双基达标(限时15分钟)
1．函数f(x)在R上是增函数，则f(3)与f(5)的大小关系是________．
解析根据增函数的定义直接作答．
答案f(3)＜f(5)
2．若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(π)与f(3)的大小关系是________．解析根据减函数的定义直接作答．
答案f(π)＜f(3)
3．若函数f(x)在实数集R上是增函数，且f(x)＞f(1－x)，则x的取值范围是________．
解析根据增函数的定义有x＞1－x，解得x＞1 2.
答案{x|x＞1 2}
4．函数y＝x2的单调减区间是________．
解析根据函数y＝x2的图象直接作答．
答案(－∞，0)
5．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是________．
①y＝－x＋1②y＝－2
x③y＝x
2－4x＋5④y＝
2
x
解析结合函数的图象可知①③④在区间(0,2)上均为减函数．答案②
6．(1)证明函数f(x)＝3x＋2在R上是增函数；
(2)证明函数f(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数．
证明(1)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)，
由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)＝3x＋2在R上是增函数．
(2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1
x1－
1
x2＝
x2－x1
x1x2，
∵0
于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝1
x在(0，＋∞)上是减函数．
综合提高(限时30分钟)
7．函数y＝1
x＋2的单调递减区间是________．
解析作出图象如图，结合图象可知单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
答案(－∞，0)，(0，＋∞)
8．若函数f(x)的图象如右图，则其单调递增区间是________．
解析单调递增即图象是上升的部分，即为(－∞，－1)和(1,4)．
答案(－∞，－1)，(1,4)
9．给出下列说法：(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数
f (x )在R 上单调递增；(2)若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上不可能单调递减；(3)函数f (x )＝－5
3x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)单调递增；(4)函数f (x )＝???
x ＋1，x ≥0
－x 2＋1，x ＜0在定义域R 上是增函数．其中正确说法的序号是
________．
解析 逐一判断．由增函数的定义可知(1)错误；由减函数的定义可知(2)正确；(3)函数f (x )＝－5
3x 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递增，故错误；作出函数图象如图，由图象可知(4)正确．
答案 (2)(4)
10．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调递减区间是________．
解析 因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1，所以f (t )＝(t －2)2，t ∈[－1,1]，即f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]，作出图象如图，结合图象可知[－1,1]是函数f (x )的减区间．
答案 [－1,1]
11．画出下列函数图象，并写出单调区间： (1)函数y ＝－1
x ； (2)f (x )＝???
x 2＋1，x ≤0
－2x ＋2，x ＞0
解作出图象如图1，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调增区间．
(2)作出图象如图2，(－∞，0)和(0，＋∞)是两个单调减
区间．
图1图2
12．判断函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性，并说明理由．
解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)．若k＞0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝kx＋b在R上是增函数．
若k＜0，又x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)＝kx＋b在R上是减函数．
13．(创新拓展)讨论函数f(x)＝ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上的单调性．
解f(x)＝ax＋1
x＋2
＝
ax＋2a＋1－2a
x＋2
＝1＋
1－2a
x＋2
，
设－2＜x1＜x2，则(x2＋2)(x1＋2)＞0，x2－x1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝1－2a
x2＋2
－
1－2a
x1＋2
＝(1－2a)
(x1－x2)
(x2＋2)(x1＋2)
，
∵
(x1－x2)
(x2＋2)(x1＋2)
＜0
当a＜1
2时，f(x2)＜f(x1)，此时函数f(x)＝
ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上是单调
减函数；
当a＞1
2时，f(x2)＞f(x1)，此时函数f(x)＝
ax＋1
x＋2
(a≠
1
2)在(－2，＋∞)上是单调
增函数．