斐波那契数列的性质
一、通项公式：a n = 5〔1+ 52〕n - 5
〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u
三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N)
四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 （n 属于N ）
五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)
六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N)
七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N)
八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)
九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2)
十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12
下面是一篇文章：
斐波那契数列通项公式
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
奇妙的属性
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64
＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不
过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中
所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
5.f(0)-f(1)+f(2)-…
+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
6. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
7. [f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
8. f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
9. 3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
斐波那契数列
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
斐波那契数列与黄金比
1/1=1，2/1=2，3/2=1.5，5/3=1.6…，8/5=1.6，…………89/55=1.61818…，…………233/144=1.618055…
相关的数学问题
1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
斐波那契数列别名
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：
---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书
＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*[(1+√
5/2)^n-(1-√5/2)^n]（n=1,2,3.....）
斐波那契数列公式的推导
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) ……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2 则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 迭代法
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))
得α+β=1
αβ=-1
构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√
5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√
5)/2*a1)`````````1
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√
5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√
5)/2*a1)`````````2
由式1,式2,可得
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√
5)/2*a1)``````````````3
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√
5)/2*a1)``````````````4
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√
5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
斐波那契弧线
斐波那契弧线，第一，此趋势线以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。三条弧线均以第二个点为中心画出，并在趋势线的斐波纳契水平：38.2%， 50%和61.8%交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范
围而改变因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。
斐波那契扇形线
斐波那契扇形线，例如，以最低点反向到最高点线上的两个端点画出的趋势线。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%，50%和61.8%的无形垂直线交叉。
这些线代表了支撑点和阻力点的价格水平。为了能得到一个更为精确的预报，建议和其他斐波纳契工具一起使用。
斐波那契数列的应用
数学游戏
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝
桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n 项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。
斐波那契螺旋
具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就
是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n 项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
字数：5681
斐波那契数列
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1) 又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质 也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即：
“斐波那契数列” 教学目标 1、使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。 3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养良好的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学重点使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 教学难点了解斐波那契数列并在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感。 教学准备多媒体教学课件等。 教学过程 一、导入： 1、课前游戏：找规律填数，并说一说规律。（女生组 VS 男生组） 女生组：5，10，15，（），（），30 男生组：2，5，8，（），14，17，（） 引出像这类找规律题，都需要观察前后数的关系。 2、同学们，今天我们要来学习一个课外知识，老师把题目写出来。（师板书：斐波那契数列） 二、探究新知： 1、斐波那契是一个人的名字，我们一起来认识一下他。自由地读一读。很久很久以前，这个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，便成为一位举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题巧妙地告诉了我们，请看大屏幕：齐读 2、请学生读题，分析、理解题意。 师：你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡；②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。3、模拟兔子生长过程：那我们就从前几个月开始研究，四人小组合作，方法不限，你可以画画图啊，画画线啊，写写字啊……等等，自己选择一种方式进行研究这个问题，好，开始。 4、汇报：出示几个学生的图，边出示边说。 ①1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。（引导说明） 如：一月，只有1对小兔，大兔为0对，合计1对； 二月，1对小兔长成1对大兔，小兔变为0对，大兔1对，合计1对； 三月：小兔有1对；大兔有1对；合计1+1=2（对）。 四月：小兔有1对；大兔有1+1=2对；合计1+2=3（对）。 ②学生尝试说5月—7月兔子的变化过程，并记录板书。 五月：小兔有2对；大兔有1+2=3对；合计2+3=5（对）。
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程： 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流，解决问题。 二、合作探究，解决问题 1、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律? ①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列 为斐波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
拓展目标： 一：周期问题的解决方法 （1）找出排列规律，确定排列周期。 （2）确定排列周期后，用总数除以周期。 ①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个 ②如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1： （1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，1829 ÷=，所以第18个数是2．（2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3，16351 ÷=???，所以第16个数是1．二：斐波那契数列 斐波那契是 的有关兔子的问题：
假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 斐波那契数列（兔子数列） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … 你看出是什么规律：。【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】 【巩固】 （1）2，2，4，6，10，16，（），（） （2）34，21，13，8，5，（），2，（） 例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有个偶数？个奇数？第2004个数是数（奇或偶）？
【解析】120÷3=40 2004÷3=668 【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？ 例2：（10秒钟算出结果！） （1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55= （2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89= 数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11 倍！ 巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584== 例3：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … （1）这列数中第2013个数的个位数字是几？ 分析：相加，只管个位,发现60个数一循环
《斐波那契数列》教学设计 杨遇春 教学背景： 《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。 多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。 教学目标： 1．使学生了解了斐波那契数列； 2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想； 3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。 教学重点： 认识斐波那契数列 教学过程： 1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题） 先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子？ 先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研： 我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质） 第1月底○ 第2月底◎ 第3月底◎○ 第4月底◎○◎ 第5月底◎○◎◎○ 第6月底◎○◎◎○◎
走台阶问题 如： 总共100级台阶（任意级都行），小明每次可选择走1步、2步或者3步，问走完这100级台阶总共有多少种走法？ 解析： 这个问题本质上是斐波那契数列，假设只有一个台阶，那么只有一种跳法，那就是一次跳一级，f(1)=1；如果有两个台阶，那么有两种跳法，第一种跳法是一次跳一级，第二种跳法是一次跳两 级,f(2)=2。如果有大于2级的n级台阶，那么假如第一次跳一级台阶，剩下还有n-1级台阶，有f(n-1)种跳法，假如第一次条2级台阶，剩下n-2级台阶，有f(n-2)种跳法。这就表示f(n)=f(n- 1)+f(n-2)。将上面的斐波那契数列代码稍微改一下就是本题的答案f(n)=f(n-1)+f(n+2) 斐波那契数列 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：F(n)=F(n-1)+F(n-2) 递推数列显然这是一个线性。 数学定义： 递归斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*） 由兔子生殖问题引出、生物 (计算科学)
特性： 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 特别指出：第1项是0，第2项是第一个1。 代码： public class Test { static final int s = 100; //自定义的台阶数 static int compute(int stair){ if ( stair <= 0){ return0; } if (stair == 1){ return1; } if (stair == 2){ return2; } return compute(stair-1) + compute(stair-2); //return 递归进行计算 --->递归思想进行数据计算处理 在斐波那契数列中后一项的值等于前两项的和 } public static void main(String args[]) { System.out.println("共有" + compute(s) + "种走法"); } } return compute(stair-1) + compute(stair-2); 在return子句中调用调用compute函数 由斐波那契数列特性得到最后的值 分值拆分
浅谈从数学文化中理解数学的价值 张瑶03级3班1030500723 数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。 R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。也许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。 一、数学文化的概念 由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物，所以，数学本身就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们所研究的量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而，在亚里士多德看来，数学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。 1．数学传统的内涵： 数学对象是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的，他们的行为方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以下这个笑话被用来表明在解决问题时，数学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方法： 有人提出这样一个问题：“架设在你面前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水，点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解决问题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。 2．数学在历史发展中存在三个辩证关系： 1）抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽 象程度是数学发展的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形 式。事实上，例如：“计算数学，运筹学，统计数学等与实践密切相关的学科的建 立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是，数学向着更高抽象程度的发展又并 非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的 2）一般化与特殊化 对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为特殊化可 以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊 的化归解决原来的问题。与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造 性功能，忽视这一方法在解题中的作用。例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的 广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的功能，而由原来所求作的对象到 相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一般化或特 殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。 3）多样化与一体化
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江 斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。 下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。 由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-= λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2 51-=μ。 先以2 51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2 15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+ -+n a a a a n n n n ， 即)2()2 15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215( 11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2 15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12 15215=-++x x 即55=x ， 所以 ])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ，
所以)2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， )2]()251()251[(5 1])215(551[)251()215(55112111≥--+=+--++=++-++n a n n n n n 所以)3]()251()251[(5 1≥--+=n a n n n ， 又121==a a 适合上式，故 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 同理可得251--=λ，2 51-=μ时，*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 因此斐波那契数列的通项公式是 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=
对数学实验之几何画板的理解与感想 学之初体验。学习学习数学实验课半个学期了，我对几何画板和Matlab软件的基础知识和技能进行了初步的认识与学习，还接触到了以前学过的Excel，由于这些知识都是初步接触，不经常运用到实践中来，所以对几何画板、Excel、Matlab 的知识还不是很熟悉。课堂上老师对几何画板的知识进行了详细的讲解，通过一些实例来画图并说明了几何画板的高级应用。如几何画板的迭代、函数、图像、动画的功能等。我掌握的不是很好，有时候常常在作图过程中错了、漏了某些步骤。作为一位数学专业师范方向的大学生，即将毕业，我要学习和掌握的知识与技能还很多，数学实验就是其中的一个组成部分。因此，我不仅要学好它，还要把它运用到实践中去，运用到我以后从事教师专业的教学当中去。 几何画板和Matlab的功能，以及给我这个数学师范生带来的感想。几何画板可以任意地拖动图形、观察图形、猜测并验证，它应用于函数、平面几何、解析几何、立体几何、三角函数等方面，为我们提供了一个探索几何图形内在关系的环境。几何画板提供的画点、画线和画圆的工具，使用简单，操作简便，画出的图形美观大方，效果良好，是一个动态讨论问题的工具。它制作出的图形不仅是动态的，而且“数形结合”，由抽象的物体变为形象，由微观变宏观，通过动态演示揭示图形与知识之间的内在联系。Matlb是一个画图和解题的好工具，图的精美与准确让我佩服。如果我以后从事教师行业，若把几何画板和Matlab用到数学教学当中，给学生上课，使学生在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，增强空间感、立体感，开发学生的智力。这样一来，加强图形的形象化，使数和形紧密地结合起来，在教学上一定可以取得较好的成效。 数学实验课内容简单、易理解，但也有挑战性。几何画板把数和形的潜在关系及其变化动态很好地显示出来了，它可以绘制动态的函数图象，显示动点运动的过程，数形关系直观，线条清晰、精确、美观、可隐可显，可反复演示，可使我们较为轻松地掌握知识点。我学会了自己利用几何画板中的“作图”、“变换”、“度量”、“编辑”、“数据”等功能，制作具有动感的几何图形和曲线，然后进行自主探究学习，想象它可以运用到我以后的教学中去。我将所学的数学知识进行整理和归纳，使数和形紧密地结合起来。例如，我们已经学习了：利用几何画板绘制函数曲线、迭代法绘制分形图形的生成和求非线性方程的近似解的方法、绘制空间曲面、计算π和e以及定积分在计算面积等问题中的应用等等；Matlab可以画出精美的图形，也可以求出方程的解，当遇到笔算算不出来的题目或者比较复杂的题型时，我们可以利用matlab来求解。学习数学实验课期间，老师给我们探讨了迭代产生的分枝与混沌观察
斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式
斐波那契是欧洲中世纪颇具影响的数学家，公元1170年生于意大利的比萨，早年曾就读于阿尔及尔东部的小港布日，后来又以商人的身份游历了埃及、希腊、叙利亚等地，掌握了当时较为先进的阿拉伯算术、代数和古希腊的数学成果，经过整理研究和发展之后，把它们介绍到欧洲。公元1202年，斐波那契的传世之作《算法之术》出版。在这部名著中，斐波那契提出了以下饶有趣味的问题：假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。问一对刚出生的兔子，一年内能繁殖成多少对兔子？图 1 逐月推算，我们可以得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。这个数列后来便以斐波那契的名字命名。数列中的每一项，则称为“斐波那契数”。第十三位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数。这个数字等于233。从斐波那契数的构造明显看出：斐被那契数列从第三项起，每项都等于前面两项的和。假定第n项斐波那契数为，于是我们有：通过以上关系式，我们可以一步一个脚印地算出任意，不过，当n很大时，推算是很费事的。我们必须找到更为科学的计算方法。为此，我们在以下一列数中去导求满足关系式的解答。解上述q的一元二次方程得： [!--empirenews.page--] 。据此，设，并结合，可确定α，β，从而可以求出：以上公式是法国数学家比内首先求得的，通称比内公式。令人惊奇的是，比内公式中的是用无理数的幂表示的，然而它所得的结果却是整数。读者不信，可以找几个n的值代进去试试看！斐波那契数列有许多奇妙的性质，其中有一个性质是这样的：有兴趣的读者，不难自行证明上述等式。斐波那契数列的上述性质，常被用来构造一些极为有趣的智力游戏。例如，美国《科学美国人》杂志就曾刊载过一则故事：一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（如图4），例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
学习数学史的意义 一、学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科 《标准》明确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用”，而现阶段高中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上——枯燥、难学。数学的本质特征是什么？当今数学究竟发展到了哪个阶段？在科学中的地位如何？与其它学科有什么联系？这些问题大都不被学生全面了解，而从数学史中可以找到这些问题的答案。 二、学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式 现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的，语言十分精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。 三、学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的动机 动机是激励人、推动人去行动的一种力量，从心理学的观点讲，动机可分为两个部分；人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机；社会责任感构成了有利于创造的外部动机。兴趣是最好的动机。中学生的学习动机不明确，对数学的兴趣也很不够，这些都极大地影响了学习数学的效果。但这并不是因为数学本身无趣，而是它被我们的教学所忽视了。在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克服动机因素的消极倾向。 四、学习数学史为德育教育提供了舞台 在《标准》的要求下，德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了，数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能，我们从下几个方面来探讨一下。 首先，学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少, 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。《标准》中“数学史选讲”专题3就是“中国古代数学瑰宝”，提到《九章算术》、“孙子定理”这些有代表意义的中国古代数学成就。 然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。《标准》中“数学史选讲”专题11——“中国现代数学的发展”也提到要介绍“现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程”。在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用”。 其次，学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出毕生的努力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，他的论文多而且长，以致在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说，介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。 最后，学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。1940年，美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。 体会一：懂得历史：从欧几里得到牛顿的思想变迁 历史使人明智，数学史也不例外。古希腊的文明，数学是主要标志之一，其中欧几里得的《几何原本》闪耀着理性的光辉，人们在欣赏和赞叹严密的逻辑体系的同时，渐渐地把数学等同于逻辑，以“理性的封闭演绎”作为数学的主要特征。跟我国古代数学巨著《九章算术》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东西方数学的不同风格：《几何原本》以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，极少提及应用问题，以
用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式 斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。 1.斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 2.斐波那契数列的定义 定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。
斐波那契数列 一、简介 斐波那契数列（Fibonacci），又称黄金分割数列，由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入，推动了数学的发展。故斐波那契数列又称“兔子数列”。 斐波那契数列指这样的数列： 1,1,2,3,5,8,13,……，前两个数的和等于后面一个数字。这样我们可以得到一个递推式，记斐波那契数列的第i项为F i，则F i=F i-1+F i-2. 兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子，从第三个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。按此规律，并假定兔子没有死亡，10个月后共有多少个兔子？ 这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列，第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。 二、性质 如果要了解斐波那契数列的性质，必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公 式。 令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。则可得： F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) =q2(F n-2-pF n-3) =…=q n-2(F2-pF1)
又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2) ∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2 F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0 (1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0 ∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组 ∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1 F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1 不难看出，上式是一个以p/q为公比的等比数列。将它用求和公式求和可以得到： 而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1，可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0，这样就得到了一个标准的一元二次方程，配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。随意取出一组解即可： 这就是著名的斐波那契数列通项公式。有了它，斐波那契数列的一些性质也不难得出了。比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比，即： 根据斐波那契数列通项公式，可以得到 因为n是趋向于正无限的，因此我们可以知道： 那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉，即 这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系。下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明。
斐波那契数列的性质 一、通项公式：a n = 5〔1+ 52〕n - 5 〔1? 52〕n 二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立:a p a q - a u a v = (-1)p+1a u-p a q-u 三、a n +1a n?1 - a n 2 = (?1)n (n >= 1, n 属于 N) 四、a 2n +1 = a n +12 + a n 2 （n 属于N ） 五、a n +12 - a n?12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N) 六、a n +m = a n?1a m + a n a m +1 (n >= 1, n 和m 属于N) 七、a 2n +2a 2n?1 - a 2n a 2n +1 = 1(n >= 1, n 属于N) 八、a m +n 2 - a m?n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1) 九、a n?1?a n +2 - a n ?a n +1 = (?1)n (n >= 2) 十、{f 2n f 2n +1} 有极限且等于黄金分割率 5 ?12
下面是一篇文章：
斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64
有趣的斐波那契数列 谈起斐波那契数列，我想很多人会想到《达芬奇密码》中的故事：午夜,卢浮宫博物馆年迈的馆长被人杀害在大陈列馆的镶木地板上.在人生的最后时刻,馆长脱光了衣服,明白无误的用自己的身体摆成了达.芬奇名画维特鲁维人的样子,还在尸体旁边留下了一个令人难以捉摸的密码.符号学专家罗伯特.兰登与密码破译天才索菲.奈夫,在对一大堆怪异的密码进行整理的过程当中,发现一连串的线索竟然隐藏在达.芬奇的艺术作品当中。而这串密码就是斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 然而它们到底是怎样的一串数字呢？今天就让我们一起来认识一下吧！斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*） 递推公式 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1) 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1] 显然这是一个线性递推数列。[1] 通项公式 (如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*） 待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。
斐波那契数列的通项公式推导 一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1 在数列{}n a 中，1=5a ，2=2a ，13=23n n n a a a --+ (3)n ≥，求数列{}n a 的通项。 （普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列{}n a 的通项。 解：（ 设，则（）所以数列 为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以 。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得 因为 所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列{}n a ，其中，，求数列{}n a 的通项。
解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为 所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。