直线与圆锥曲线的综合问题
一.知识体系小结
()()()22
2222222222
222222
cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x
y a b a b
x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p ???=?+=>>??
=?+=>>-=>>-=>>=>=->圆锥曲线的标准方程
椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时．
双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，．
抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p =>=->，开口向上时，开口向下时．
()()()()2222
22222222
222222
222222
2211111(0)123142x y x y a b a b x y x y
a b a b x y x y
a b a b
mx ny λλλλλλ+=+=---=-=---=-=≠+=常用曲线方程设法技巧
共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；
与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；
与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m =≠=≠点在轴上，； 焦点在轴上，．
3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；
(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
1212|||| |.AB AB x x y y ==-==-(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或
222
0002220
222
0002220
2000
1()1()2(0)().
b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p
y px p P x y k y +==--===>=圆锥曲线中点弦斜率公式
在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率；
在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率；
在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．
()()()()(1)(1234)05.()n k m n k m
OA OB AB OA OB AB PM PN P MN AP AQ BP BQ A B PQ λ==+++=+=+解析几何与向量综合的有关结论
给出直线的方向向量，或，，等价于已知直线的斜率或给出与相交，等价于已知过的中点．给出，等价于已知是的中点．
给出，．等价于已知，与的中点三点共线．
u u
()()106//50AB AC AB AC OC OA OB A B C MA MB MA MB AMB MA MB m AMB MA MB m λλαβαβαβ=+==+?=⊥∠?=<∠?=>给出以下情形之一：①；②存在实数，使；
③若存在实数，，且，使，等价于已知，，三点共线．给出，等价于已知，即是直角；给出，等价于已知是钝角或反向共线；给出()70(
)AMB MA MB
MP MP AMB MA MB
λ∠+=∠，等价于已知是锐角或同向共线．
给出，等价于已知是的角平分线．二. 例题剖析
1.概念性质
22
121221259
||12||______1____.
x y F F F A B F A F B AB +=+==已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点．
若，则【例】 解析:由椭圆的定义可知：|F 1A |+|F 2A |=2a =10，|F 1B |+|F 2B |=2a =10，所以|AB |=20-|F 2A |-|F 2B |=8.
()22121121123
A 7
B 5
C 4
D 3x y F F P PF y PF PF +=椭圆的焦点为，，在椭圆上，如果线段的
中点在轴上，则是的．倍 【变式训练1】
．倍 ．倍 ．
倍
2221127b PF x PF PF a PF PF ⊥=====解析：由题意，轴，则可计算出，因此是的倍．答案为A
2.椭圆方程
()()()22
1122122211(0)1,01.
12().
.
2y x C a b A C a b
C P C y x h h R C P C M N AP MN h +==+∈已知椭圆：＞＞的右顶点为，过的焦点且垂直
长轴的弦长为求椭圆的方程；
设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点、当线段的中点与的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例 ()2
2212 . .11
4112b a x b b a
y +=?=??
??
=??==??由题意解析：椭圆方程为，得，从而因此，所求的()211222212222222214221()()()|22.4(2)40.4(1)4()()40.16[2(2)4]0.2x t M x y N x y P t t h C P y t MN y tx t h C x tx t h t x t t h x t h MN C t h t h =+'==-++-+-=+--+--=?=-++-+设，，，，，，则抛物线在点处的切线斜率为，
直线的方程为：将上式代入椭圆的方程中，
得即①因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以①式中的＞②
设212332()
.
22(1)
x x t t h MN x x t +-==+线段的中点的横坐标是，则244342221
.(1)10.2
(1)401 3.320,401.1111.
1t PA x x x x t h t h h h h h h h t h t h h +=
=+++=?=+-≥≥≤-≤-+-≥==-==-设线段的中点的横坐标是，则由题意，得，即③由③式中的，得，或当时，＜＜，则不等式②不成立，所以当时，代入方程③得，将，代入不等式②的，检验成最小立以，值为．所()()()22
1222112210,0,02()0x y a b e F c a b
F c Q x FQ a P x y QF T F Q PT TF T +=>>-==已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，
，是椭圆外且不在轴上的动点，满足，点，是线段与椭圆的交点，点是【变式训练2线段上的点，且满足，求点】的轨迹．()()()112212111
2
2
22222121211()(),022,2.24x y 24y 44.
T x y Q x y F c PT TF FQ a T F Q x c x y y FQ a x c y x a a a c c ==+=
=++=-++==+不妨设，，，，如图所示，．且，得为的中点．因此有，则可得，因此有，化简因为又因为得解析：
【例3】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．
()()()22121212211222.1,2221 2.22
(1)(1)111
.
()()4 1.
2PA PB PA PB PA PB y px P p p y y PA k PB k k x k x x x PA PB k k A x y B x y y x x ==?=--=
≠=≠--==-=-由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，所以，解得故所求设直线的斜率为，直线的抛物线的方程是，其准线方程是斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以由，，，均解析：在抛物线22
112244y x y x ==上，得， ① ， ②
1212112212212122
1222
24
1(2) 4.
111()144AB y y y y k x x x x y y y y y y y AB y --=-+=-++=--===-≠-+---所以
，所以，所以由①②得，直线的斜率为．
2y x O A B OA OB AOB =⊥抛物线上异于坐标原点的两个相异的动点，满足，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，【变式训练3】请说明理由．
(
)12
1122121212
222222222
11221122121212121212()()111.124(x y )(x y )(y )(y )[y y ]2241y y A x y B x y OA OB x x y y x x AOB S S OA OB S y y y y y y y y y y S y y ⊥=-=-====++=++=+++=++≥+=≥=解析：设，，，．因为，则有
，所以，不妨设的面积为，则因此有，因此，当且仅当()()min 11,11,11.
A B S =-=时取到最小值．即此时，，小结：抛物线焦点弦的性质：
直线l 过抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则有： (1)通径的长为2p ； (2)焦点弦公式：|AB |=x 1+x 2+p ；
(3)x 1x 2=p 2/4，y 1y 2=-p 2
. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
第二课时
一．知识体系小结
()()()()()()1222
12222211221212121(0)||[]||[]||||[].123456tan ()2
1F PF x y F F a b P B a b
O OP b a PF a c a c PF PF b a F PF F BF S b F PF θ
θ+=>>∈∈-+?∈∠≤∠==∠椭圆中的最值
，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的
一个端点，为坐标原点，则有：
，． ，． ，．
． 焦点弦以通．径为最短．
()()()1222
12222
11221(00)12||.||.()ta 2
3n
F PF x y F F a b P a b
b O OP a PF
c a S F PF θθ?-=>>≥≥-==∠．双曲线中的最值
，为双曲线，的左、右焦点，为双曲线上的任一点，
为坐标原点，则有：．
()()()()()22(0)||.2
34||2.()12|2|31p
P y px p F PF AB AB p A m n PA PF b a
a b
=>≥≥+抛物线中的最值点
为抛物线上的任一点，为焦点，则有：焦点弦以通径为最值，即，为一定点，则有最小值．双曲线的渐近线
求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．用法：①可得
或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线．．的方程．()()()3512直线与圆锥曲线的位置关系
相离；相切；相交．特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，
直线与双曲线相交且只有一个公共点．②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有．一个公共点．
【注】：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线：f (x ，y )＝0，由?
????
Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0消元(x 或y )，
若消去y 得a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0.
（1）若a 1＝0，此时圆锥曲线不是椭圆．当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． （2）若a 1≠0，Δ＝b －4a 1c 1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点；
②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线
，没有
．
二．例题剖析
1.定值问题
()()22 141()12x y M M A B M AB AMB +=已知椭圆方程为，点，过作倾斜角互补的两条直线，
分别与椭圆交于、两点异于．求证直线的斜率为定值；
求
面积的【例】最大值．
解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．
(
)2
2 (0)((14
111
.2A B A B AB
A B
A B MA MA MB MA k k MA y k x x MB y k x y y y x x k x x AB >=-=--+=-====-=证明：由题可知直线的斜率存在，且与的斜率互为相反数，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为：，
直线的方程为，代入可分别求得，
即直线的斜率为定值.
2
(
)2
222221(0)124
222000 2.22 2.||2A B A B x AB y x m m y x mx m m x x m x x m AB =+≠+=++-=?><<+=-=-==设直线的方程为，代入得，
，由，得而，所以
222422max 1
||2024
1 1.
AMB M AB d S AB d m m m m S ==
?=-+<<=±=点到直线的距离为则，又，当时，
2.定点问题
()()()1517
(0).
44
122
32
2F P F x P P C C y M C A B AMB A B AMB AB y π
π
∠=
∠=
已知点，，上半平面内的点到点和轴的距离之和为求动点的轨迹方程； 设动点的轨迹方程为，曲线交轴于点，在曲线上是否存在两点，，使？
若，是曲线上满足的两点，求【例证：直线与轴】交于一定点．
(
)()()217()0.4
4(04)0,421(041)P x y y y P x y y p y >==--<≤=<≤解析：设点坐标为，，其中，化简得动点的轨迹方程为．这是一个以为顶点，，开口向下的抛物线的一部分其中．
()()()()2444(04)1,31,32.
2
MA y x MB y x x y y A B AMB π
-=-=-=--<≤-∠=
考虑到抛物线的对称性，不妨设直线：，直线：，分别与联立，可得两个点的坐标为，，此时
()()()()()222
221
4 4.4,444111
(4)31
4()030,3AM y kx BM y x k
y kx x k
A k k x y y k
B AB k AB k k k y k k x k x y AB y k
=+=-
+=+=-??--??=-(-)=-??----=-+==设直线的方程为，直线的方程为由方程组，解得，即点坐标为．同理可得点坐标为，，则直线的斜率为，所以直线的方程
为.令，得，从而直线与轴交于定点．
()()
22
1169
411822A (0)
B (0)
C C.4,0
D (0)
10
5
5
x y A F AF B B BC C AC -=设为双曲线右支上一动点，为该双曲线的右焦点，
连接交双曲线于，过作直线垂直于双曲线的右准线，垂足为，则直线必过定点．，【变式训练1，】．．，
:41
(01.
)0
A A
B x 解析此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即与轴垂直时，
便可得出一个定点，故选， 3.最值问题
()()()2
2
10,14
111
()()222
12||3y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，
是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求【例：动点的轨迹方程；
的最大值】与最小值．
()()22211222122
121222
1220,1 1.1()()(4)23014
2144.()()()8222444:1l M k l y kx y kx A x y B x y k x kx y x k x x x x y y k k OP OA OB k k y y k =+=+??
++-=?+
=???
+=-?++-?+=+==?++?+=
?+?
直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，
所以，，解析则． ()(
)222222222()40.
0,040.
11111
2.||()()164422
1713().||6126611||.
44
P x y k x y y AB P x y y P x x NP x y x x NP x NP +-=+-=≤
-≤≤=-+-=-++=-=设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以点的轨迹方程为由点的轨迹方程知，即所以故当时，当时，取得最小值为 ()()()()20,2(02)2,0||0()120|2|M N Q P m PQ MP NP m R P m MP NP --?=∈=+已知定点、，、，动点满足． 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形【变式训练2状；
当时，】求的取值范围．
()()22222222222()(2)(2)(2)||(2)()4[(2)]4(1)(1)4440.1222,01(1P x y MP x y NP x y PQ x y PQ x y MP NP x y m x y x y m x m y mx m m x y m x =-=+=--=-+-?=+--+=+--+--++===≠-设，，则，，，，，，，所以，整理得，当时，方程为，表示过点平行于轴的直线；当时，方程化为解析：222
2)()11
22
(
0)11
m y m m m m m +=----，表示以，为圆心，以为半径的圆．()[]2222042(3,32)|2|94|2|4022
|2|824,m x y MP NP x y MP NP x x y MP NP y MP NP =+=+=-+=+=+=
≤+-≤当时，方程化为，
，所以，所以而的取值范围是所以．
第三课时
一．知识体系小结
()1求轨迹方程的常用方法：
轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．
⑤除去不合题意的1．点作答．
(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．
(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：
①设出两动点坐标(x ，y )，(x 0，y 0)．②结合已知找出x ，y 与x 0，y 0的关系，并用x ，y 表示x 0，y 0. ③将x 0，y 0代入它满足的曲线方程，得到x ，y 的关系式即为所求． (4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法．
(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x 1+x 2，x 1-x 2，y 1+y 2，y 1-y 2的关系式． ③求出AB 的斜率 4．取值范围问题
(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a +c ，最小值为a -c ； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c -a ； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p /2 .
二．例题剖析
1.参数范围问题
()()()(01)0,1||()12||1G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ?-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，． 求点的轨迹方程；
若斜率为的直线与点的轨迹交于【例】不同的两点、，且满足，试求的取值范围．
(
)2
2
22()()()33(0)||3
1(0)13
1(0)
3
x y
C x y G ABC G GM AB R x
GM AB M x C y x x M MA MC x
y x λλ?=∈==+=+=≠≠设，，为的重心，则，．因为，
所以，而点的轨迹方程为点在轴上，则，．由，得
．析得以解：所 ()()()
2
2222222220||.013
(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**2k l C P Q x AP AQ k l y kx m y k x kmx m l km k m k m ==≠=++=+++-=?=-+?->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知
②当时，可设的方程为，代入，
整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即， 21122121222
1200000
22
2
2
63(1)()()13133()21313113||13-13AN km m P x y Q x y x x x x k k x x km m
PQ N x y x y kx m k k m
k AP AQ AN PQ k k k km k -+=-=+++==-=+=++++=⊥?=?=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，
()()()()2
213**11,00,12
1,1k m k k k +=<∈--得，代入得，所以．
综合①②得，的取值范围是．
222
Rt 103ABC BC BC BC P Q l AP AQ PQ λ=++在中，斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于、两点，设，试问是否是定值？如果是定值，请【变式训练1】求出这个值．
(
)(
)
2
22
2
222
22
2
2
2
336241002100366836104.
O PQ O PAQ APDQ AP AQ
PQ
AD AD
AO AP AQ
AP AQ PQ =+=+==+=+++=+=如图所示，建立直角坐标系．因为圆的半径为，因此，利用圆心，可构造得平行四边形，根据解析平行四边形的边长关系得，，而，因此，所以：
2.存在性问题
()()(01)0 3.13
2(0)(0)2
||2x B x y k k Q l l M N BM BN l --+=≠=已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，，且其右焦点到直线的距离为求椭圆的方程；
是否存在斜率为【例】，且过定点，的直线，使与椭圆交于不同的两个
点、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．(
)()22
222
2
2
2222
221122122
121(0)1(,0)33.
315
1(13)90234
9(133)()1x y a b b c a b c a b c x l y kx y k x kx k
M x y N x x y y x x MN P k +=>>====+==++=+++++=-==+设椭圆方程为，由已知得，设右焦点为，
，解析：得，得设直线的方程为，代入，得，
设，，，，则，设的中椭圆方程点为为，
22
2222
93
(
)||26263
1
125
2609312
26253.
3122
BP k P BM BN B MN k k k k k k k k k l l y -=++++=-==?>>-+>==+则点的坐标为，，因为，所以点在线段的中垂线上，所以，化简得，又由得，，
因为，所以故存在直线满足题意，的方程为()()()()()2201
()2
12,00l y px p A B l x OAB O l P a a x x C ABC a =>>设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线焦点且与轴垂直时，的面积为为坐标【原点．
求抛物线的方程；
当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，
使得为正三角形，变求的取式训练2】值范围．
()()()22112200212
022********
11
12.22
2()()(),0(0)22022OAB p p
AB p O AB S p p p y x A x y B x y AB M x y C t l x my a y y x my a m y my a y m y x x m a ABC MC ==??
=====+?+=+≠--===?=?=+解析：由条件可得，又点到的距离为，，所以，因此抛物线的方程为设，，，，的中点为，，又设，直线：
，由，所以，所以，
所以，因为
为正三角形，所以001
1AB MC y MC AB x
t m
⊥⊥=--，，由，得
，
()()222
2221.111
3120006261
(0)6t m a MC m m m m a a m m a a =++=
==+=
++=-≠><<所以又，所以，因为，所以，所以，
所以的取值范围为，．
3.综合问题
()()()2
221211213 41.
1(2011)2()C x y C x y M M C P C P C C A B M P AB l =+-=已知抛物线：，圆：的圆心为求点到抛物线的准线的距离；
已知点是抛物线上一点异于原点，过点作圆的两条切线，交抛物线
于，两点，若过，两点的直线 l 垂直于，求直线浙江卷【例】的方程．
()()1
0,4214
14.
4117
4
M p y M ==-+=解析：因为，且，所以准线方程为，因此点到准线
的距离为
()()()(
)()()()22
221122
12122222
2
2
2
22
2
2
44()()()4
1() 1.20,411142412AB PM
PM AB m P m m
A x x
B x x k x x k m m m
PM AB k k x x m m
P C k P y m k x m k k m m
km m k m m -=+==-⊥?=-+-
=--=-=+=+-+--+设，，，，，，，，
因为，则，所以设过点且与圆相切的直线的斜率为，则过的圆的切线方程为，
由圆心到切线的距离为，得所以，()()2
2
2
4140m k m --+-=，
()()()()()(
)222212112
222112222121212221222(4)
01
04
2()144423
2()12(1)()115
PM m m k k y m k x m x k x m m m m x k y m k x m x k x m m m x k x x k k m x x m m
m k k m m m m m m m m m m k --+=-=----=-+=-=----=+=+=+-+-
=--+--=---=-=-==所以，设切线，则，所以，设切线，则，所以，所以，代入，得，所以，所以，
2
3
4 4.
115y x m -==±+()()22
122211222212121(0)(,0)(,0)||2.0||0.12x y a b F c F c a b
Q F Q a P F Q T F Q PT TF TF T C T C M F MF S b F MF +=>>-=?=≠?=∠已知椭圆的左、右焦点分别是、．
是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，求点的轨迹的方程；
试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的【变式训练3】面积？
若存在，求的正切值；若不存在，说明理由．
()2221
11222121()0||0||2||2||1
||||2
1T x y PT TF TF PT TF FQ PF PQ a PF PF a PQ PF T QF OT OT F F Q OT QF a T ?=≠⊥=+=+==?==设，，因为，
，所以，又，而由椭圆定义，所以，则为线段的中点，连结，为的中位线，则，
即点的解析：轨迹方程222.
x y a +=为 ()222
2000002
02
2022
100200()||.122
|2|()()x y a b M M x y y c S c y b
b y a a M S b c
b b a M a MF
c x y MF c x y c c
?+=?
=?=??=??≤≥=<≥=---=--假设存在点满足题意，设，，则，得而，当时，存在点，使；
当时，不存在点．当时，，，，，
222
222212001212212121212||||cos 1
||||sin .tan 2.2
2.MF MF x c y a c b MF MF F MF b S MF MF F MF b F MF M F MF ?=-+=-=∠==
∠=∠=∠，即，
又所以即存在点满足题意，
且的正切值为
第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题
A 组（基本训练题）
一选择题：（每题5分，合计40分）
1．抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若
621=+y y ，则21P P 的值为 （C ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
2. 过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ B ） Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条
3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ A ）Ａ．
2
3
Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 4. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
5双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角
为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A ．
B C D 6直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ A ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）
7.过点（1，0）且与双曲线x 2－y 2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）
A ．1 条
B ．2条
C ．3 条
D ．4条
8．已知动点P （x ,y ）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P 点的轨迹是 （ A ）
A 、直线
B 、抛物线
C 、双曲线
D 、椭圆 二．填空题：（每题5分，合计30分）
9. 一动点到y 轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y 2=8x 或y=0（x<0））
10. 经过双曲线13
2
2
=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为?30的弦AB ，则AB F 1?的周长为 .( 答案： 333+ )
11. 过椭圆22
154x y +
=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．（答案：5
3
）
12. 直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．48
13. 过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则
满足条件的直线l 有____条3
14. 设P 是抛物线y 2=2x 上的点，Q 是圆（x －5）2+y 2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2
三．解答题：（每题15分，合计30分）
15. 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q
满足2
3
DQ DP =
. （1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使
1
()2
OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不
存在，请说明理由.
解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 2
3
D Q D P =
∴ 000002332x x x x y y y y -==??????==????
即 ， ∵ P 在⊙O 上，故22
009x y +=
∴ 22194x y += ， ∴ 点Q 的轨迹方程为22
194
x y +=
（2）假设椭圆22
194
x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足
1
()2
OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，
且有12
12121
2122
212
x x x x y y y y +?=?+=????++=??=??即，又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上
∴ 22
112222194
1
94x y x y ?+=????+=?? 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=， ∴ 12124
9
MN y y k x x -=
=--， ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=. ∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1
()2
OE OM ON =+，
此时直线MN 的方程为 49130x y +-=
16. 设1F 、2F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点.
（1）设椭圆C
上点到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；
（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程； （3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，
当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ?的值是否与点P 及直线L 有关，不必证明你的结论。
解：（1
）由于点2
2
2
21b =得2a =4,
椭圆C 的方程为 22
1
43
x y +=，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)-
（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +
把K 的坐标代入椭圆22
1
43
x y +=中得
22
(21)(2)143
x y ++=
线段1KF 的中点B 的轨迹方程为 2
21()132
4
y x ++=
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称
设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y --, ,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得
2222
00222211x y x y a b a b
+=+=， PM PN k K ?=22
0002
2
000
y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=22b a - 故：PM PN k K ?的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关，
B 组(能力提升题)
一选择题：（每题5分，合计60分）
1已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两
点，MN 中点的横坐标为,3
2
-则此双曲线的方程是 （ C ）
A ．14322=-y x
B ．13422=-y x
C ．12522=-y x
D ．15
22
2=-y x 2已知直线y=kx ＋2与双曲线x 2-y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ C ） (A)(-153153，) (B)(0，153) (C)(-
-15
3
1，) (D)(-1530，) 3. 设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ?的面积为1
2
的点P 的个数为（ B ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4. 已知P 是椭圆
120
452
2=+y x 上第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线01234=+--m y x 的距离不大于3，则实数m 的取值范围是 （ A ） A ．[－7，8]
B ． ]2
21,29[-
C ． [－2，2]
D ．),8[]7,(+∞--∞
5.过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点
C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ B ）
A ． x y 2
32= B ． x y 32= C ． x y 2
92=
D ． x y 92=
6. 对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部．若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线)(2:00x x y y l +=与抛物线C
（ D ）
A ．恰有一个公共点
B ．恰有两个公共点
C ．可能一个公共点也可能两个公共点
D ．没有公共点
7. 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是( D ) (A)
2a (B) 2
p (C) 2p a + (D) 2p a -. 8. 设抛物线)0(22>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( C )
A. QEF FEP ∠>∠
B. QEF FEP ∠<∠
C. QEF FEP ∠=∠
D. 不确定
9. 直线134=+y x 与椭圆
19
162
2=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ?的面积等于１２，这样的点P 共有（ D ）个 A ．１ B ．２ C ．３ D ．４
10. 双曲线14
92
2=-y x 中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程为（ D ） A 、798=-y x B 、2598=+y x C 、694=-y x D 、不存在 11. 方程
13
cos 2cos 3
sin 2sin 2
2
=-+
-y x 表示的曲线是（ C ）
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
12若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点
O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是 ( A )．
(A)
a 21 (B)a
1
(C)a (D)a 2 二填空题：（每题5分，合计25分）
13. 已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有
,m R M
N ∈≠?均有，则b 的取值范围_____22?-???
14. 已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ），长轴的两个端点为A 、B ，若椭圆上存
在点Q ，使 120=∠AQB ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是
13
6
<≤e 15. 若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22
128
x y +
=截得线段的中点的轨迹方程为 12
)1()21(22
2=++
-y x 16. 若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80
17. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60?的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于___16
3
三. 解答题
18. 已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、
B 两点，设1DA l =，2DB l =，求
12
21
l l l l +的最大值．
由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴
1l =
，
2l =
．
∴
22212122112l l l l l l l l ++==
==， ③当0a ≠时，由③得
，
1221l l l l +=
． 当且仅当a =±时，等号成立．
当0a =时，由③得，
12212l l l l +
=． 故当a =±1221
l l
l l +的最大值为
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾
股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量 x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. 【热身练习】 1．(教材习题改编)与椭圆 x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 2 3 ＝1 B. y 2 3 －x 2＝1 C.34x 2－38 y 2＝1 D. 34 y 2－ 38 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－ x 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2， c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 4．过椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交 点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐 标为? ?? ??－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝6 3. 5．已知双曲线方程是x 2－y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2 的中点，则此直线方程是________________． 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－ y 21 2 ＝1，x 22－ y 22 2 ＝1，得k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝ 2x 2＋x 1y 2＋y 1 ＝ 2×4 2 ＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用． 2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 第9节 圆锥曲线的综合问题 课标要求 运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题（尤其是椭圆与抛物线的简单应用），感悟平面解析几何中蕴含的数学思想. 知识衍化体验 知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系，通常是联立直线l 与圆锥曲线C 的方程，判断其方程组解的个数.设直线:l y kx b =+（注：需讨论斜率k 不存在的情况；若设直线:l x my n =+，也需讨论y h =这种情况） ，圆锥曲线:(,)0C F x y =，即 (,)0 y kx b F x y =+?? =?，消去y ，得2 0ax bx c ++=， （1）当0a ≠时，设一元二次方程2 0ax bx c ++=的判别式为?，则： 0?>?直线l 与圆锥曲线C _______； 0?=?直线l 与圆锥曲线C _______； 0? 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
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