卦限(八个
O
M '
在坐标轴上的投影分别为M
?x a ,M '
M
b c
αc
b a ??)b
a
所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下： 点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？ a.点乘的具体几何意义： 根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）： 定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边 由于余弦定理我们可以知道c2 =a2 +b2 - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c2(有兴趣的朋友可以去试着推导一下) 所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ) 因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c c=a - b c·c=(a -b)·(a - b) c·c=(a·a-2a·b+b·b) (a·a - 2a·b + b·b)=a2+b2- 2ab cos(q) 约掉a·a=a2,b·b=b2; -2a·b= -2ab cos(θ) a·b=ab cos(θ) 因为a=|a| 所以a·b=|a| |b|cosθ 跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 所以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线? ??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方
5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的面积。 参考答案 一 填空题 1、? ?????-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==- =γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、5 31221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219== ?S
习题二 向量的点积与叉积 一、是非题 解：1.（×）满足000=?≠≠b a b a ,,的向量a 与b 平行，可能同向或反向. 2.（√）由向量点积定义可得. 3.（×）b a ?的大小表示a ,b 两向量构成的平行四边形的面积. 4.（√）c a b a ?=?，即0)(=-?c b a ，所以)(c b a -⊥. 二、填空题 解：1. 1413)2(222=++-= a ，21)1(22=+-= b , 所以夹角余弦为7 1 72221411)1(302cos - =-=??+-?+?-=??= b a b a θ. 而以向量a ,b 为邻边的平行四边形的面积即为b a ?，所以 62)7 1(1214cos 1sin 2 2=- -??=-?=?=θθb a b a S . 2. 由向量加法的三角形法则及余弦定理，有2 32 3222)32(2cos 2 22=??-+=θ，得a 与b 的夹角为6 π= θ. 3. k j i a 2++-=，k j i b 2+-=，所以 222)1(11)1(=?+-?+?-=?b a ，j i j i b a 442 11211+=--=?k . 4. 22 2224πsin =??=?=?b a b a . 三、选择题 解：1.(A) 因为1)32( )3 1()3 2(22 2 =-++，所以),,(3 23132-可以作为方向余弦.
2. (C)因为向量的点积满足乘法分配律. 3. (B)因为k j i a ++=，k j i j 010++=，所以同时垂直于a 和Oy 轴的单位向量为)(21 1 )1(22k i k i k i k i j a j a c +-±=+-+-±=+-+-±=??± =. 4.(C)由三角形法则及余弦定理，133 π 2cos 432432 2 =???-+=+b a . 四、解：1. k j i k j i b a 7351 12231 -+=-=?,83)7(35222=-++=?b a , 所以同时垂直于a ,b 的单位向量为{}73583 1-± ,,,即??? ?? ?-±837833 83 5 , , . 2.设{}p n m ,,=b ，由题意有??? ??=++-==, 14,2 36222p n m p n m 解得12±=m ，6±=n ，4 =p ，因此所求向量为{}4,6,12-±=b . 3.{}2,3,1-=，{}8,0,2-=，k j i k j i 612248 02231 ++=--=?AC AB ， ABC ?的面积是以AC AB ,为邻边的平行四边形面积的一半，于是 213612242 1222=++== ?S ABC .
空间向量练习 一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分) 1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2) 2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1， 则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是() A． 120° B． 45° C． 150° D． 60° 3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当 ·取得最小值时，点Q的坐标为() A． B． C． D． 4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是() A．① B．② C．③ D．④ 5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点 E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是() A． 45° B． 60° C． 90° D． 120° 6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点， 设＝a，＝b，＝c，则等于() A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c 7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空 间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为() A． B． C．－ D．－ 8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点， 若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小() A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定 9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝ SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为() A．－ B． C．－ D． 10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平
2013专转本高数空间向量复习资料(同方)
第七章 矢量与空间解析几何 本章主要知识点 ● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程 ● 主要的几个立体图形及方法 一、矢量运算 着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。 1．矢量的内积 （1）?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的夹角 （2）若?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? 且?Skip Record If...? （3）?Skip Record If...? (?Skip Record If...?为非零矢量) 例7.1．?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?。 解：?Skip Record If...?。 例7.2．如果?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?。 解：?Skip Record If...? 得：?Skip Record If...? 得：?Skip Record If...?。 2．矢量的叉积?Skip Record If...? 如图所示，如果?Skip Record If...?不平行于 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?同时垂直 与?Skip Record If...?又垂直于?Skip Record If...?， 或者等价地，?Skip Record If...?垂直于由?Skip ??Ski p
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若二向量b a ,满足关系b a ??-=a ?+b ? ，则b a ,反向。 （ ） 6． 若 +=+,则 = ( ) 7． 向 量 ,满 足 = ，则 ,同向。 （ ） 二、填空题。 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且|2|a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设,有共同的始点，则以,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB // OA 且 2 1 a ，OC = b ，则AB = （A ） 2 1 - （B ）21- （C ）-21 （D ）21- 3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有
（A+（B+- （C+<-（D+>- 三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的 点D。 六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
向量- 向量叉乘向量点乘 2010年07月28日星期三14:33 向量（Vector） 在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。 向量加法 向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有： V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2) 下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。 点乘（Dot Product） 如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。点乘比较简单，是相应元素的乘积的和： V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2 注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有： A B = |A||B|Cos(θ) θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：Cos(θ) = A B /(|A||B|) 当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值 另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）
例1 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长AB =BC =3，BB 1=4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于点E ，交B 1C 于点F ． （1）求证：A 1C ⊥平面EBD ； （2）设A 1C ∩平面EBD =K ，求线段A 1K 的长； （3）求A 1B 与平面BDE 所成角的大小． 解法1：（1）证BE C A ⊥1，BD C A ⊥1，可得A 1C ⊥平面EBD ． （2）在平面1BC 中用平几知识可求得4 9 = CE ，在对角面1AC 中，设AC 与BD 交于点O ，可求得22CE OC OE +=4173=，由面积法得34 34 9=CK ， 2 121AA AC C A +=34=，34 342511= -=CK C A K A ． （3）∵A 1C ⊥平面B DE ，∴∠A 1BK 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角． ∴BK A 1sin ∠B A K A 11= 34345= ，∴直线A 1B 与平面BDE 所成的角为34 34 5arcsin ． 解法2：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则D (0，0，0），A (3，0，0），C (0，3，0），B (3，3，0），A 1(3，0，4），D 1(0，0，4），C 1(0，3，4）， B 1(3，3，4）． 设E (0，3，z ），则∵BE ⊥B 1C ，∴BE ·C B 1=0，BE =(-3，0，z ），B 1=(-3，0，-4）， ∴·B 1C=(-3，0，z ）·（-3，0，-4）=9-4z=0，∴z=49 ， ∴E(0，3，4 9)， ∴A 1·=-3×3+3×3=0，A 1·=3×3-4×4 9=0， ∴A 1⊥，A 1⊥，∴A 1⊥DB ，A 1C ⊥DE ， ∴A 1C ⊥平面BDE ． （2）DK =m +n =m (3，3，0）+n （0，3，49）=(3m ，3m +3n ，4 9n ）， ∴K (3m ，3m +3n ，49n ），∴A 1=（3m -3，3m +3n ，4 9n-4）， A 1⊥?A 1·=(3m -3，3m +3n ， 4 9 n -4）·(3，3，0）=0， A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
第八章练习题 （一）填空题 1. 直线 2 2111z y x =+=--与z 轴夹角的余弦是 . 2. 设直线 x y z -= += 1 1 1 2 5 在平面x +2y －z +k =0上，则 k =______. 3. 球面x 2－2x +y 2＋y +z 2=0的球心是______. 4. 点（－1，－2，－1）到平面0522=-++z y x 的距离d= . 5. 方程22y x z +=表示的二次曲面是 . （二）选择题 1.同时与向量a ={2，1，4}和z 轴垂直的向量是 ( ) A . {－2，1，0} B . {1，－2，0} C . {2，1，0} D. {1，2，0} 2．若一直线的方向向量为{2,3,3}，则此直线与z 轴的夹角是（ ）。 A . 0 B . 3 π C . 2 π D. 4 π 3. 设向量k j b k,j a 2 3 213-=+-=，那么（ ）。 A .a b ⊥ B . a ∥b 且a b ,同向 C . a ∥b 且a b ,反向 D. a 与b 既不平行，也不垂直 4.与向量a ={1，0，－1} 垂直的单位向量是( ) A .{－1，0，1} B . {1，0，1} C . { 2 1, 0,2 1} D.{1/2， 0，1/2} 5．方程y +z =0 的图形是( )的平面. A .平行于坐标面yz B .平行于y 轴 C .过x 轴 D.平行于z 轴 6．过点(1,2,1)M -且与平面010352=-+-z y x 平行的平面方程式是-------( ) A. 2(1)5(2)3(1)0x y z ---+-=; B. 253110x y z +++= C. 253110x y z -++=; D. 253110x y z ---= （三）计算题 1．求过点(1，1，1)且平行于直线???=--=-+0 2223z x z y x 与 11122z y x =-+=-的平面方程.
第七章 空间解析几何及向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明 确学习空间解析几何的意义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通 过坐标把空间的点及一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形 勾股定理为： 222212221 22 12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -= 12y y PN -=
1 22z z NM -= 所以 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o 222z y x oM d ++== 例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222 21=-+-+-=M M 6)23()12()75(222232=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M 由于 1332M M M M =，原结论成立。 例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。 解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x ()11 3222221+=++=x x PP ()211222 22+=+-+=x x PP 212PP PP = 221122+=+∴x x 1±=?x
§1.8 两向量的向量积 定义1.8.1 两个向量a 与b 的向量积（外积）是一个向量，记作a ×b ，它的模是 |a ×b | = |a | |b | sin θ 其中θ 为a 与b 间的夹角. a ×b 的方向与a 与b 都垂直，并且按a ，b ，a ×b 的顺序构成右手标架{O ；a ，b ，a ×b }（下图）. a b a b a b θ 定理1.8.1 两个不共线向量a 与b 的向量积的模，等于以a 与b 为边所构成的平行四边形的面积. 定理1.8.2 两向量a 与b 共线的充要条件是a ? b = 0. 证 当a 与b 共线时，由于sin(a 、b ) = 0，所以 |a ?b |=|a | |b | sin(a 、b ) = 0，从而a ?b =0；反之，当a ?b = 0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或sin(a 、b ) = 0，a // b ，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a // b ，即a 与b 共线. 定理1.8.3 向量积满足下面的运算律: (1) 反交换律 a ? b = ?b ? a ， (2) 分配律 (a + b ) ? c = a ? c + b ? c ，c ? (a + b ) = c ?a + c ? b . (3) 数因子的结合律 (λa ) ? b = a ? (λb ) = λ(a ? b ) (λ为数). 证 （略）. 定理1.8.4 设a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k ，则 a ? b = (a y b z ?a z b y )i ＋(a z b x ?a x b z )j ＋(a x b y ?a y b x )k . 证 由向量积的运算律可得 a ? b = (a x i + a y j + a z k ) ? (b x i + b y j + b z k ) =a x b x i ? i + a x b y i ? j + a x b z i ? k ＋a y b x j ? i ＋ a y b y j ? j ＋ a y b z j × k ＋a z b x k ? i + a z b y k ? j +a z b z k ? k . 由于 i ?i = j ?j = k ?k = 0，i ?j = k , j ?k = I ， k ? i = j , 所以 a ?b = (a y b z ?a z b y )i ＋(a z b x ?a x b z )j ＋(a x b y ?a y b x )k . 为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成 z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 使用时可按第一行展开.
向量的点乘和叉乘以及几何意义 |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：定义向量 c=a2abcos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可 以推导出cc=c(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)所以： cc=aa+bb-2abcos(θ)因为向量的点乘满足分配率： a(b+c)=ab+acc=ab)(a2ab+bb)(aa2abcos(q)约掉aa=a,bb=b;-2ab= -2abcos(θ)ab=abcos(θ)因为a=|a|所以ab=|a| |b|cosθ跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向 量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断 如下：ab>0方向基本相同，夹角在0到90之间ab=0正交ab<0方向基本相反，夹角在90到180之间所以，点乘的几何意义和用 处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至 于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我 们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面， 如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样 就节省了很多很多计算，能加快效率。向量的叉乘(也叫做叉积)
为什么是这样，上面已经说过，规定就这样。同样，我们给出叉乘的几何解释：在3维几何中，我们可以一眼看出来，叉乘的结果也是一个向量，而且这个向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3D技术中法向量有多重要我就不吹了，反正是个VIP概念。在2维集合中，axb等于由向量组成的平行四边形的面积（证明很简单，你们可以自己试着证明）总之：向量的叉积最重要的应用就是创建垂直于平面，三角形，或者多边形的向量。
向量叉积的运用 1. 向量的叉积 (1)定义 两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。 向量积可以被定义为：|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在这里θ表示两向量之间的角夹角（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。 一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。向量积c=a×b=|a| |b|sin
(2). 判断两线段是否相交 如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。 P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) < 0，即( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) > 0 当( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1 )共线，P1一定在线段Q1Q2上或者其延长线上；如果P1在线段Q1Q2上，不管P2在哪P1P2都会与Q1Q2相交。 (3)判断线段和直线是否相交 如果线段P1P2和直线Q1Q2相交，则P1P2跨立Q1Q2，即： ( P1 - Q1 ) ×( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) ≥0 3. 代码 判断两线段是否相交的代码 (PS：判断点是否在线段上和判断线段和直线是否相交都比判断两线段是否相交简单，代码也可以由判断两线段是否相交的代码修改得出，所以这里不列出了) #include 高等数学期末复习 第八章向量代数与空间解析几何 一、内容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转 曲面，双曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1 P在yoz面上的投影点为( )；（内容要求1） (- A. )2,4,1 Q D. )2,4,0( Q (- (- (- Q B. )2,0,1 Q C. )0,4,1 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（内容要求2） 3、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（内容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ρ，)2,1,3(-=b ρ，则=?b a ρρ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=r r ，所以选C 。（内容要求3） 5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-?=a b 解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-?=-?+?+?-=-a b ，所以填6-。（内容要求3） 6、设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。 解：23202(4)2a b ?=?+?+?-=-，所以填-2。（内容要求3） 7、向量}3,0,1{=a ρ，}2,1,1{-=b ρ，则=?b a ρρ( )； A. 6 B. 6- C. }1,1,3{- D. }1,1,3{-- 解：1033112 i j k a b i j k ?==+--r r ，所以选C 。（内容要求4） 8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a ρρ,则=?b a ρρ ； 解：3122111 i j k a b i j k ?=-=---r r ，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。（内容要求4） 向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读 概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c 均为向量）有： 即： 向量a，b 的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b 间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量 b 之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是 一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b 的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个 垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。 高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探 讨 在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、线性运算、坐标表示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算，能够提升对向量的理解，方便问题的解决。 1.叉乘的定义【1】 要确定一个向量，需要知道它的模和方向。 如图1，对于给定的向量a 和b ，规定向量b a c ?=，满足： （1）模：b a b a c ,sin = （2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 构成的平面），且符合右手定则：用右手的食指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度)0(πθθ≤≤到向量b 的方向，大拇指所指的方向就是向量c 的方向。这里的θ也就是b ,。 这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数量积，向量的叉乘的结果仍是一个向量。 给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推导出一系列结论。 2.叉乘的性质 （1）显然有0a a =? （2）反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即a b b a ?-=?，这是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交换，则一定要将手倒过来才能满足πθ≤≤0，也就使得积向量反向。 （3）易得对数乘的结合律，即()?a λb )()(b a b a ?=?=λλ （4）可以证明分配律：c b c a c b a ?+?=?+)(或c a b a c b a ?+?=+?)( 3.叉乘的几何意义 如图2，在平面上取点,,b a ==O ，作b a b a b a ,sin =?，由三角形面积公式θsin 2 1 ab S = 可知b a ?表示以OB OA ,为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就是高等数学期末复习 向量代数与空间解析几何
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读教学教材
高中数学知识背景下对向量叉乘运算的探讨(向东来)
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