2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.取决于a 的值 答案：注意)()(/x g e x f x =，答案C .
2. 已知ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中，能使得ABC ?的形状唯一确定的有（ ）
A.Z c b a ∈==,2,1
B.B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=
C.060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A
D.060,1,3===A b a
答案：对于选项A ，由于b a c b a +<<-||，于是c 有唯一取值2，符合题意；
对于选项B ，由正弦定理，有2
222b ac c a =++，可得0135,2
2
cos =-
=B B ，无解；
对于选项C ，条件即0)sin(cos =-C B A ，于是)60,60,60(),60,30,90(),,(000000=C B A ，不符合题意；
对于选项D ，由正弦定理，有2
1sin =B ，又060=A ，于是0
090,30==C B ，符合题意. 答案：AD .
3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=，下列说法中正确的有（ ） A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C. )(),(x g x f 有且只有一个交点
D. )(),(x g x f 有且只有两个交点
答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线， 如图，因此答案BD .
4. 过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有（ ）
A.以线段AB 为直径的圆与直线2
3
-=x 一定相离 B. ||AB 的最小值为4 C. ||AB 的最小值为2
D.以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 答案：对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为
||2
1
|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线2
3
-=x 一定相离；
对于选项B,C ，设)4,4(2
a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||2
2++
=a a AB ，最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2
1
BM 不一定相等，因此命题错误. 答案：AB .
5. 已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说
法中正确的有（ ） A.b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B. b a 2>
时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个
C.21F PF ?的周长小于a 4
D. 21F PF ?的面积小于等于
2
2
a 答案：对于选项A,B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点； 对于选项C ，21PF F ?的周长为a c a 422<+；
对于选项D ，21PF F ?的面积为22
212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =??
? ??+≤∠?. 答案：ABCD .
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了；
丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD . 7. 已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有（ ）A.P B M O ,,,四点共圆 B. N B M A ,,,四点共圆 C. N P O A ,,,四点共圆 D.以上三个说法均不对
答案：7.对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；
对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；
对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得. 答案：AC.
8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ?为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于1cos sin )2
sin(
sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π
,
类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ， 于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性：当4
,2
π
π
=
==C B A 时，不等式成立，但ABC ?不是锐角三角形.
答案：B.
9.已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程
2
1
111=++z y x 的解的组数为（ ） A.8 B.10 C.11 D.12 答案：由于
x
z y x 3
11121≤++=，故63≤≤x . 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；
若5=x ，则
6,5,3
20
,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ；
若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y . 答案：B .
10.集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
答案：不妨假设n a a a >>> 21，若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于32a a +和
42a a +均大于2a ，于是有14232a a a a a =+=+，从而43a a =，矛盾！所以集合A 中至多
有3个正数.同理可知集合A 中最多有3个负数.
取}3,2,1,0,1,2,3{---=A ，满足题意，所以n 的最大值为7.答案B .
11.已知0
00121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ）
A.3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα
B.3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββα
C.
3tan tan tan tan tan tan =++γβαγ
βα
D.
3tan tan tan tan tan tan -=++γ
βαγ
βα
答案：令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则
3111=+-=+-=+-zx
z
x yz y z xy x y ，
所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-， 以上三式相加，即有3-=++zx yz xy .
类似地，有
)11
(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zx
x z yz z y xy y x ， 以上三式相加，即有3111-=++=++xyz
z
y x zx yz xy . 答案BD.
12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）
A.)12,11(
B.)13,12(
C.)14,13(
D.)15,14(
答案：设函数14)(+=x x f ，则其导函数1
42
)(/
+=
x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=
x 处的切线3
21)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7
1
74+=x y ，如图， 于是可得
321
)31(7212147
174+
-≤+≤+x x x ， 左侧等号当41-
=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31
=x 时取得.因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当2
3
,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值
与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .
13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A.xyz 的最大值为0 B. xyz 的最大值为27
4
- C. z 的最大值为
32 D. z 的最小值为3
1- 答案：由1,12
22=++=++z y x z y x 可得0=++zx yz xy .设c xyz =，则z y x ,,是关于
t 的方程023=--c t t 的三个根.令c t t t f --=23)(，则利用导数可得???
??≤--=>-=0274
)3
2(0
)0(c f c f ，所以0274≤=≤-xyz c ，等号显然可以取到.故选项A,B 都对. 因为)1(2)(2)1()(2
2
2
2
2
z y x z y x -=+≤-=+，所以13
1
≤≤-z ，等号显然可以取到，故选项C 错误.
答案ABD .
14.数列}{n a 满足)(6,2,1*
1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）
A.n n n a a a 221++-为定值
B.)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n a
C.741-+n n a a 为完全平方数
D.781-+n n a a 为完全平方数
答案：因为2
1122
21122
2132
26)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a
n n n n n n n a a a a a a a 22
121122)6(++++++-=+-=.
所以A 选项正确；
由于113=a ，故76)6(2
121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，
又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++， 故选项C,D 正确.
计算前几个数可判断选项B 错误. 答案：ACD .
说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 22
1++-为定值.
15. 若复数z 满足11
=+
z
z ，则z 可以取到的值有（ ） A.
21 B.21- C.2
15- D. 2
1
5+ 答案：因为11
||1||=+≤-
z
z z z ，故
215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 2
1
5-=
时取得.答案CD . 16. 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A.6552 B.4536 C.3528 D.2016
答案：从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k
2016
个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.
考虑到73220162
5
??=，因此所求正多边形的个数为
352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .
17.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作
21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值，则
=b
a
（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案：设点),(00y x P ，可得)2
1
41,21(),2141,
21(00000000y x y x N y x y x M +--++，
故意2
02044
1||y x MN +=为定值，所以2,
164
1422===b a b a ，答案：C . 说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则
k
b a 1
=； （2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.
18. 关于y x ,的不定方程y
x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
答案：方程两边同时模3，可得)3(mod 22y x ≡，因y
2不能被3整除，故2
x 不能被3整除，所以)3(mod 12≡x ，故)3(mod 12≡y ，所以y 为偶数，可设)(2*N m m y ∈=，则有
4153615)2)(2(??==+-x x m
m ，解得?????=+=-,1232,
52x x m
m 即?
??==.12,59y x 答案：B . 19.因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）
A.22=I
B.123=I
C.964=I
D.1205=I 答案：根据卡特兰数的定义，可得1
121221)!1(!1------=?=
=n n n n n
n n n C n n C n
A C I .答案：A
B . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示：
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 .
答案：根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=?+?.
21.在正三棱锥ABC P -中，ABC ?的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线
CP AB ,的距离为y .则=∞
→y x lim
.
答案：当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ?中AB 边上的高，为
2
3. 22.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A O 114
1
,21,==，则四面体OEBF 的体积为 .
答案：如图，
EBF G EBF O OEBF V V V --==2
1
96
1161212111=?==--B BCC E GBF E V V . 23.
=+-?
-dx x x n n )sin 1()(220
12π
π .
答案：根据题意，有
0)sin 1()sin 1()
(212220
1
2=+=+-??
---dx x x dx x x n n n
n π
π
π
π.
24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 .
答案：根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是12
2≤+y x ，等号当2
1
2
2
=
=y x 时取得，因此所求最大值为1. 25.z y x ,,均为非负实数，满足4
27)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 .
答案：由柯西不等式可知，当且仅当)0,2
1
,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值2
3. 根据题意，有4
13322
2
2
=
+++++z y x z y x ， 于是
,)(3)(413
2y z y x z y x +++++≤解得2
3
22-≥++z y x . 于是z y x ++的最小值当)2322,
0,0(),(-=yz x 时取得，为2
3
22-. 26.若O 为ABC ?内一点，满足2:3:4::=???CO A BO C AO B S S S ，设AC AB AO μλ+=，则
=+μλ .
答案：根据奔驰定理，有3
29492=+=
+μλ. 27.已知复数32sin 32cos ππi z +=，则=+++2
223
z z z z . 答案：根据题意，有i i z z z z z z 2
3
2135sin 35cos 122223
-=+=-=+=+++ππ.
28.已知z 为非零复数，
z
z 40
,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量的端点P 运动所形成的图形的面积为 .
答案：设),(R y x yi x z ∈+=，由于2
||4040z z z =，于是???????≥+≥+≥≥,140,140,110,110
2222y x y y
x x y x 如图，弓形面积为
1003
100)6sin 6(20212-=-??π
ππ， 四边形ABCD 的面积为
100310010)10310(2
1
2-=?-?. 于是所示求面积为30031003
200)1003100()1003100(2-+=-+-π
π. 29.若3
3
4tan =
x ，则
=+++x x x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 答案：根据题意，有
x
x
x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++
38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .
30.将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44?的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法.
答案：首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有2
4C 种选择. 下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶数，设为b a ,.
情形一：若b a ,位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定；
情形二：若b a ,位于不同的行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.
所以偶数的不是位置数为90)263(2
4=?+C .
因此，总的填法数为441000
904
8488=C C . 31.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 .
答案：一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21. 若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a .同理
759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k .
另一方面，取}14,13,11
,10,5,4,2,1{=A ，满足题意. 综上所述，A 中元素个数的最大值为8.
清华大学2016年自主招生笔试真题汇总 收藏此文2016-06-13| 编辑：王老师| 阅读:17500 摘 要 6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。 6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。 据悉，清华大学2016年自主招生、领军人才选拔一共在全国29个省市设36个初试考点，考生可根据的情况，就近选择相应的考试地点。 考试相关内容 考试模式：机考系统分发和回收考卷。考生更加安全高效，阅卷也更为及时准确，还可大大降低作弊的可能性。 考试科目： 文科——数学、语文 理科——数学、物理 试卷结构：试题不仅引入多选题，而且采用单选题、多选题混合编排的方式，用以区分不同水平的学生，也增加了能力考查的力度。多选题学生全部选对得满分，选对但不全得部分分，有选错的得0分 科目分数：每科100分 考试内容：语文——30题，数学——40题，物理——30题，数学和物理都难度大于高考 考试时间：三个小时 8:30-11:30 考试题型：不定项选择题；每题有一个或多个正确选项，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得零分。考试题目全部为选择题。 考察方向
数学与逻辑和物理探究着重考查学生较高层次的思维能力以及综合运用所学知识分析 和解决问题的能力。阅读与表达重点考查学生的文学文化水平和各类文章的阅读水平等能力，在考查学生语言运用能力的同时也考查了学生的写作能力。 笔试真题 语文试卷要求： 阅读与表达对语文基础知识和语言文字的运用能力提出的更高的要求。 内容：除了涉猎字音、字形、词语、句子衔接等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识、《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。代文阅读材料的体裁既有论说文，也有小说和诗歌。文言文的阅读语料未经断句标点，还新增了分析推理题，考查学生综合语文能力。 为了彻底杜绝靠猜测拿到部分分数的情况，语文试卷中的多项选择题要求全部正确才 得分，错选或少选不得分; 物理试卷要求： 物理探究非常注重理论联系实际，紧密联系生产、生活和科技前沿，深入挖掘情境背 后的物理内涵，考查学生构建物理模型，灵活运用物理知识解决实际问题的能力。同时，也强调通过设置一些饶有兴趣的现象，引导学生探究背后的物理原因。 人类首次探测到引力波，试题就通过介绍相关实验背景和结果，考查学生提取信息、 加工信息并利用关键信息进行推理判断的能力。 台球是非常受年轻人欢迎的运动，涉及到许多经典力学的规律，试题就以情境设计问题，引导学生学以致用。
2012年清华大学自主选拔“新百年计划”实施办法 自主选拔录取工作是深化高校招生考试制度改革的重要措施，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》指出要“完善高等学校招生名额分配方式和招生录取办法，建立健全有利于促进入学机会公平、有利于优秀人才选拔的多元录取机制”，“对特长显著、符合学校培养要求的，依据面试或测试结果自主录取”，“高中阶段全面发展、表现优异的，推荐录取”。 为进一步推进高校招生考试制度改革，在2010年开始实施的自主选拔A、B计划探索的基础上，今年起清华大学将继续坚持“综合评价，多元录取，因材施招，促进公平”的理念，对不同类型的优秀人才实行有针对性地选拔，力促优秀人才脱颖而出、力促教育机会公平。此外，清华大学将探索招生选才和人才培养密切结合的新模式，为人才的成长提供因材施教的条件和个性化发展的空间。 2012年清华大学自主选拔“新百年计划”分为“领军计划”、“拔尖计划”和“自强计划”三个部分： “领军计划”面向志向远大、追求卓越、品学兼优、素质全面的应届高中毕业生。 “拔尖计划”面向具有学术理想和创新潜质，在某一方面有突出才华并取得一定成果的应届高中毕业生。“自强计划”面向长期学习、生活在农村地区、边远贫困地区或民族地区，自强不息、德才兼备的高中毕业生。 一、“领军计划”实施办法 1、招生对象 面向志向远大、追求卓越、品学兼优、素质全面的应届高中毕业生。 2、选拔方式 本计划采用中学推荐的方式报名。清华大学根据各中学近年考入清华大学学生的质量、数量及在校综合表现确定具有推荐资格的中学名单和推荐人数。 具有推荐资格的中学应在校园显著位置对推荐名额、报名办法、选拔标准、遴选程序进行公示，做到信息公开和程序透明。 中学根据可推荐的人数，按照已公示的标准和程序接受报名并选拔符合要求的学生。选拔结果和推荐理由应在校园显著位置进行公示，接受各方监督。 被推荐学生在清华大学本科招生网（https://www.doczj.com/doc/2610870913.html,）进行网上报名。中学应将推荐汇总表、选拔标准、实际申请学生名单、遴选程序、公示信息反馈情况、推荐人报名表、中学推荐表和说明被推荐学生个人情况的其他材料一同寄至清华大学招生办公室。 清华大学组织专家组对推荐材料进行审核，并在清华大学本科招生网公布通过审核通过的学生名单。审核通过者免于参加自主招生笔试，只需参加综合面试。 在公示和材料审核过程中，如发现中学或学生存在弄虚作假行为，将取消相关学生的报名资格及相应中学参与清华大学其它各类招生的推荐资格。
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
2019清华自主招生试题与答案 (2018清华自主招生)1、如图的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确是 C A．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗 C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小 (2018清华自主招生)2、如图，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大 解析：对过程定性分析。斜面倾斜角大于450 3、 (2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BD A．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W a B．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W a C．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kc
D ．物体到达底端的动能 E ka >2E kb >2E kc 解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底 则有 ::W 2:1:1c b a W W = 动能定理 k mgx mgx E -μ=高底 则有 E ka >2E kb >2E kc (2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 AC A ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度 B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能 C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度 D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度 1
1 2016年清华大学领军计划测试数学试题 1.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） C.2 D.4 2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解的组数为 ( D ) A.8 B.10 C.11 D.12 3.将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。 4.已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+ ， 则λ=___________，μ=_________。 5.“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中，N 的最大值为 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 7.已知实数,,x y z 满足22211 x y z x y z ++=??++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4()27xyz =- C.min 23z =- D.以上都不对
2010清华大学自主招生考试试题（语文+数学+化学+物理） 数学（共9题）（缺第2题） 1.设1 51 5-+的整数部分为A ，小数部分为B, 1）求A,B 2）求AB B 21A 22+ + 3）求)1(lim 21n n B B B +++++∞ → . 3.(1),1,Y X 0,Y 0,X +∈=+>>N n 证明：122221 X -≥+n n n Y (2)正实数x,y,z,任意打乱顺序后成为a,b,c,求证：3≥++c z b y a x 4.椭圆C ：)0,(1x 22 22>=+b a b y a ，直线l 过点A （-a,0），与C 交于点B ，与y 轴交于点D,过原点的平行于l 的直线与椭圆交于点E 证明：OE AD 2AB 、、成等比数列 5.,sin cos )(,1cos sin t i t t z t t +==+求∑==n k k n z t I 0)( 6.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数 7.M 为三位的自然数 1）M 含因子5的概率 2）M 中恰有两位数码相同的概率 8.一个四面体，对边相等。证明：(1)每个面都是锐角三角形 (2)底面与三个斜面的三个二面角的余弦值和为1 9.证明:正整数列1221,,n a a a + 是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n 项,存在一种方法将这2n 项分为两类(每类n 个数),使得两类数之和相等. 物理 一．不定项选择题（顺序不定） 1.（天体运动）下列说法正确的是： A.卫星运行速度总不超过7.9km/s B.卫星轨道必为圆形 C.卫星运行速度与卫星质量无关 D.？
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（） A. B. C. D.取决于的值 答案：注意，答案C. 2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（） A. B. C. D. 答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意； 对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解； 对于选项C，条件即，于是，不符合题意； 对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意. 答案：AD. 3.已知函数，下列说法中正确的有（） A.在点处有公切线 B.存在的某条切线与的某条切线平行 C. 有且只有一个交点 D. 有且只有两个交点 答案：注意到为函数在处的切线， 如图，因此答案BD. 4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（） A.以线段为直径的圆与直线一定相离 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D.以线段为直径的圆与轴一定相切
答案：对于选项A，点到准线的距离为 ，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离； 对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. 答案：AB. 5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（） A.时，满足的点有两个 B. 时，满足的点有四个 C.的周长小于 D. 的面积小于等于 答案：对于选项A,B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点； 对于选项C，的周长为； 对于选项D，的面积为. 答案：ABCD. 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对. 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD. 7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（）A.四点共圆 B. 四点共圆 C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对 答案：7.对于选项A，即得； 对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；
2016年清华大学领军计划测试题（数学+物理） 特别说明： 1、2016年清华领军计划测试为机考，全卷共100分。 2、考试时间：数学+物理共180分钟。 3、所有考题为不定项选择题。以下内容为回忆版本，部分题改编成填空题。 4、物理测试共35题，回忆版中共26题，供大家参考。 A 、 数学部分 1、已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两 条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） A 、2 D 、4 2、已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程 1111 2 x y z ++=的解的组数为 ( ) A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 3、将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。
4、已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+， 则λ=___________，μ=_________。 5、“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中， N 的最大值为 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知实数,,x y z 满足222 1 1 x y z x y z ++=?? ++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4 ()27xyz =- C.min 23 z =- D.以上都不对
2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e <<
一、选 择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 ? 1? 2017年清华大学自主招生 暨领军计划试题解析 已知-?根绳子放在数轴的[0?斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加 解答 件先冇 cos 単十 i iin 4? 5 二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin 再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警, 1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l — 2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战 /(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1) /(w)/(w _1 )/(w 2 )/(?"*) (4?十 W 十 2)(^~2 十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十 2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4) (6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警) (6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、 (6 - 6孕 y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为 + i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5 -75-l)(6 + ?5- 1 、4 ? 1? 《高校自主招生一数学》 贾广素工作室 ? 2 ? =11. 若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（ A. 厲的值唯? B. 口的值不唯一 C 门的值不存在 D.以上都不对 解答选A. 因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验? = -1符合 题意" 04 已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的 种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■ 心）的平均值为（ ）. 解答选D- N 5\心、a 3心）为1的个数为4； N （心?如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144* N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24. 1 17^ 从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^. 在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为( 解答选E 市积化和差公式得 sin^A + sin^Bsm^C =sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM -sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令 Y I s + (_ 4) - Z 卩)+ Y A - 32 175 64 A - i B. 1 +75 D.无报大值 4 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z + -=（ ） (A)0 (B)1 (C) 12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22 (C)直线AB 过抛物线y=2 x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23 π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC (D)△ABC 7.设函数2 ()(3)x f x x e =-，则（ ） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 一、 选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则211 1-1z z + -=（????） (A)0(B)1(C)12(D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的()条件 (A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则() (A)|OA|·|OB|≥2(B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点(D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（????） (A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有（??） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为(C)△ABC (D)△ABC 7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（????） (A) ()f x 有极小值，但无最小值(B)()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程 ()f x =b 恰有一个实根，则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 清华大学等五校2020年自主招生联考试题语文： 语文题量很大，包括两篇现代文阅读、古诗词鉴赏、古文翻译、古文断句等。两篇现代文阅读，一篇为“科学与人文”摘自杨叔子《融则利而育全人》一书，所选段落涉及DNA知识、《红楼梦》、《老子》、《大学》等诸多内容。另一篇是俄国作家蒲宁的文章《山口》。此外有一篇古代诗文阅读《寻陆鸿渐不遇》。 两篇文言文阅读，断句，以及将《论语·泰伯》、《世说新语·汰侈》部分段落译为现代汉语。 作文是材料作文，有五十分，题目为“网瘾”。卫生部日前发出通知称：“电击治疗网瘾”技术的安全性尚不确切，暂不宜应用于临床。《中国青年报》：在过去三年里，已有近3000名网瘾少年在某网瘾戒治中心接受过电击治疗。《亚太经济时报》：从电击疗法寿终正寝推及其他对青少年的教育方法，问题的根本在于教育已到了革故鼎新的时刻。《东方早报》：当孩子网络成瘾后，学校除了把孩子当作“差生”、“问题生”推给家长之外，并没有针对这些孩子开展相应的教育。《新民晚报》：治疗网瘾已成为迫切需要解决的时代课题，有效的治疗手段，一定会带来巨大的利润。新浪网：一旦网瘾确实能被电击治愈，那么如烟瘾、酒瘾等好多棘手问题都将成为科学实验室的目标。 请联系社会实际，选择一个角度进行探讨，发表你的见解。写一篇不少于800字的论述文。 文科综合特色测试 有关国庆阅兵的军事知识，还考了经济学、心理学知识、蝴蝶效应、东盟自由贸易区、有关澳门回归的《七子之歌》等，此外，还有《哈姆雷特》、《双城记》等英文原著的经典语句以及国际组织的英文缩写等。其中写作题还出自一位境外学者之手，要求考生以梁漱溟的一段话，结合自己的实际生活，撰写短文阐述中国人是权利本位还是责任本位。 另外考察了“猪肉价格下降的原因”、“三农问题含义”等与农村考生联系密切的知识点。 2016年清华大学领军计划数学测试题 1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：1 2 y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分 别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN =（ ） .A .B .C 2 .D 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程 1111 2 x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12 3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法. 接下来填数，故共有887844???? ? ????? 种填法. 4．对于复数(0)z z ≠， 10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 5．下列计算正确的是（ ） . A tan1tan 61tan121 3tan1tan 61tan121++= . B tan1tan 61tan121 3tan1tan 61tan121 ++=- .C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=- 6．从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数. 7．已知3tan 4α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα +++. 8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ） .A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I = 9．,,a b c R ∈，2221 1a b c a b c ?++=?++=? ，那么（ ） .A max 23a = .B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27 abc =- 10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则 以下结论正确的是（ ） .A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆 11．F 为BC 中点，111 4 A E AA =，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ） . A 17144 . B 1738 . C 11144 . D 1138 12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016 O P A M B N 2016年清华大学领军计划测试 1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12 y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN =（ ） . A . B . C 2 . D 【解析】C (田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11 (1,)2 e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22 n m a n m b c θ-=????+=?? (,)(2sin ,cos )21222 n m a a MN m n b b θθ-=+=?== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得00001 11(,)242M x y x y ++，0000111(,)242 N x y x y --+ ，||MN =为定值，所以2241614 a b == 2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =± 1k =； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12 【解析】方法一、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918 ++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015 ++ 清华大学自主招生与保送考试试题(各科齐全) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2009年1月1-2日清华大学自主招生考试试题 分两天 1月1日上午9：00-12：00 中英文综合200分 下午2：00-3：30 数学100分 下午4：00-5：30 物理100分 1月2日上午9：00-12：00 理科综合300分，数学物理化学各100分 中英文综合 题型分值 第一部分英语基础（40分） 单选词汇（1分×10） 单元语法与词汇（1分×10） 完形填空（1分×20） 第二部分英语阅读（2分×20=40分） 共8篇左右，每篇后2至3个单选题。内容基本为美国文化政治 第三部分中文（94分） 4篇文章，后面分5大题：每篇的阅读理解题，第五大题为新词解释与作文 第四部分中英文综合应用（26分） 给一段文言文，翻译成中文（6分），用英文概括大意并评论（20分） 第一部分英语基础（略） 第二部分英语阅读（略） 第三部分中文（全） 白居易的粉丝 李国文 中国文学，一直有大众化和小众化的分野。唐代的白居易，则是最能代表中国文学大 众化的典型诗人。 白居易，生于公元772年（唐代宗大历七年），终于公元846年（唐武宗会昌六年），活了74岁。经历顺宗、宪宗、穆宗、敬宗、文宗、武宗六朝。无论当时，无论后世，谈及这位诗人，离不开以下三点：一，他在诗坛领袖群伦，推动潮流的地位；二，他在朝野引起轰动，遐迩知名的程度；三，作为诗人，他在当时中国人之大多数心目中的无与伦比的尊崇，非同凡响的声望，他的粉丝，可以说是举国上下，遍地皆是，大江南北，无处不在，这也许是最值得大书而特书的中国文学的“白居易现象”。 他的朋友元稹为他的诗集《白氏长庆集》序中，这样写道：“二十年间，禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、马走之口无不道。缮写模勒，炫卖于市井中，或持之以交酒茗者，处处皆是。” 明人胡震享的《唐音癸签》一书中引《丰年录》：“开成中，物价至贱，村路卖鱼肉者，俗人买以胡绡半尺，士大夫买以乐天诗。”白居易的一首诗，竟可以换来一条胖头鱼，一方五花肉，我估计当代诗人的作品，怕难以卖出这样的高价来。所以，我一直认为，白居易大众化的文学追求，和白居易诗歌的大众化现象，是特别应该加以研究的对象。因为与之相对的文学小众化，文人的小圈子化，贵族化，雅痞化，老爷化，使得文学脱节于现实，疏隔于生活，陌生于人民，淡漠于民众，再这样下去，不但换不来鱼，换不来肉，被人唾弃，视作敝屣的日子，也就不远了。 为什么要研究，因为在唐朝，中国文人的作品，其传播的范围，速度，方法，手段，都是极其有限的。然而，白居易能够在这有限的空间里，创造出来无限的局面，在中国文学史上，是少有的被他同时代广大公众所追捧，千载以来被更广大公众所认可的成功者。 “自长安抵江西三四千里，凡乡校、佛寺、通旅、行舟之中，往往有题仆诗者；士庶、僧徒、孀妇、处女之口，每每有咏仆诗者。” 2017-11 1 2014年清华大学自主招生数学试题 1. a ，小数部分为 b ． （1）求a ，b ；（2）求222 ab a b ++ ；（3）求2lim()n n b b b →∞+++…． 2. （1）x ，y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，22211 2n n n x y -+≥ ； （2）a ，b ，c 为正实数，求证：3a b c x y z ++≥，其中x ，y ，z 为a ，b ，c 的一种排列． 3. 请写出所有三个数（正数）均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论． 4. 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）过椭圆左顶点(),0A a -的直线l 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于P ．求证：AQ ，AR 成等比数列． 5. 已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求()21n f s s s s =++++…． 6. 随机挑选一个三位数I ． （1）求I 含有因子5的概率； （2）求I 中恰有两个数码相等的概率． 7. 四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =． （1）求证：每个面的三角形均为锐角三角形； （2）设三个面与底面BCD 所成的角为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=． 8. 求证：当p 、q 均为奇数时，抛物线222y x px q =-+与x 轴交点横坐标为无理数． 9. 设1221,,,n a a a + 均为整数．性质P 为：对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分发将其分为两组， 每组n 个数，使得两组所有元素的和相等．求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具备性质P ．清华大学自主招生数学试题解析
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