第八章 边界层理论基础和绕流运动
8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：20℃水的运动粘度ν＝1.003?10-6 m 2/s 密度3
998.2/kg m ρ=
611
9970091.00310ν-?=
=
=?L uL
Re
因为 56
310997009310?<=
按层流边界层计算。
max 1/2
5.447
5.447m 0.0055m Re 997009L L δ=== 3
f 1/2
1.46 1.4610997009
-===?L C Re 2
2
3
998.2122 1.461011N 1.46N 22
f f
f u F C A ρ-?==?????= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于
二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？
解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。
8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。
解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13
/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。 首先判别流态，计算平板上宽雷诺数
5
6
0.60.884635655101.13910
ν
-?=
=
=
Re ，按层流边界层计算。 设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即
12
f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910-
-?+??
=
=??????
L z C Re
1
5
2
1.328 5.2677810(0.380.5)z -
轾=创?犏臌
总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，
f f
1
2
012(0.380.5)d 2
F C u z z r =?
ò
1
1
5
2
2 1.328 5.2677810(0.380.5)
z -
轾=创创+犏臌ò
21
999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 11
2
0.658(0.380.5)d z z =
?ò
。
因0.380.5x z =+，所以d 0.5d x z = ，或d 2d =z x 。代入上式得
题8-1图
0.881
30.88
2
2f 0.380.38
2
0.6582 1.3163
=??=??
F x dx x
0.88(0.830.23)N 0.528N =?=
8—4 油的动力粘度μ=50×10-3
Pa·s ，密度r =990kg/m 3，流速u =0.3m/s ，流过一水平放
置的静止光滑平板。试求距离平板始端150mm 处的边界层厚度δ以及边界层厚度为50mm 处距离平板始端的距离L 。
解：（1）30.39900.15
8915010x u x Re r m -创=
==′，为层流边界层。
5.4770.028m d ==?
（2）0.05m d =时，假设仍为层流边界层
0.05==
=0.495m L =
3
0.39900.49529405010L Re -创==′，为层流边界层。
0.05m d ==
8—5 试按光滑平板上的湍流边界层计算习题8—1中平板上边界层厚度的最大值max
d 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。
解：max 1
5
0.381
0.024m Re L L
d ===
3
f 150.074= 4.6710L
C Re -==? ()2
f f f =22
u F C A r 两侧
2
3
998.212 4.671011N
4.66N 2
-′=创创?
max d 、F f 值均大于习题8—1按层流边界层计算所得的值。
8—6 空气的温度t ＝0℃，流速u ＝30m/s ，在一个标准大气压下，流过一水平放置的（静止）光滑平板。已知距平板始端4m 处的某点流速u x ＝27m/s ，试求该点距平板的垂直距离y 。
解：t ＝0℃时，空气的动力粘度μ=1.71×10-5Pa·s ，密度3
1.293kg/m r =。
51.29330490736841.7110
x ux Re r m -创=
==′，在57
31010:′范围内。 按湍流边界层计算
15
0.381
0.3810.062m x
x Re d ==?
1
7x y u u d 骣÷?=÷?÷
?桫 7
7
270.062m 0.03m 30
x u y u
d 骣骣÷
÷??=??÷÷??÷÷??桫桫
8—7 有一宽b ＝2.5m ，长L ＝30m 的光滑平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖
曳，平板长边与运动方向一致，水温为20℃，试求光滑平板的总摩擦阻力F f 。
解：t ＝20℃时，水的运动粘度n =1.003×10-6m 2/s ，密度998.2r =kg/m 3。
6530
1.00310o L U L Re n -′=
==′149551346＞107，按湍流边界层计算。 ()fm 2.58
0.455
0.002lg L C Re == 22
0fm f 998.25220.002 2.530N 3743.25N 22
U F C A r ′==创创=总
8—8 空气的温度t ＝40℃，流速U 0＝60m/s ，流过一长L ＝6m ，宽b ＝2m 的光滑平板, 平板长边与流速方向一致。设平板边界层由层流转变为湍流的条件为60cr
cr 10x U x Re n
==。试求平板两侧所受的总摩擦阻力F f （注：按混合边界层计算）。
解：t ＝40℃时，空气的运动粘度52
1.6810m /s n -=?，密度3
1.128kg/m r =。
6
05
60621428571101.6810
L U L Re n -′=
==>′，按混合边界层计算。 Re x cr =106，由表8-1可查得A=3300
()fm 11
5
50.0740.0743300
0.0023521428571
21428571L L
A C Re Re =
-
=-= 2
2
0f fm 1.12860220.0023526N 114.5N 2
2
U F C bL
r ′=?创创=
8—9 空气的温度为293K ，流速u =30m/s,在一个标准大气压下，流过一水平放置的光滑平板。层流边界层转变为湍流边界层的临界雷诺数cr x Re 5
510=?，试求（1）边界层流态转变处离平板始端距离x cr 和该处离平板垂直距离y ＝1mm 处的流速u x ；（2）离平板始端1m 处的边界层厚度和每米宽平板所需的总拖曳力F f 。（按混合边界层计算）
解：（1）t =293K 时，空气的动力粘度51.8110Pa s m -=醋
，密度3
1.205kg/m r =。 cr cr =
x Re ux r
m
55
cr cr 510 1.8110m 0.25m 1.20530
x Re x u m r -创?=
==′
cr 1/2cr 5.477 5.4770.00194m x x Re d ==? 22
22300.001()(0.001)m/s 22.96m/s 20.0019420.00194x u y u y d d ′=-=-=′
(2) 551.205301
199********.8110L uL Re r m -创===>?′为湍流边界层。
1/5=0.3810.3810.0209m L x Re d =?
f m 1/50.0741700
1700
0.003221997238
L L
C Re Re =
-=
=
22
f fm 1.20530220.0032211N 3.49N 22
u F C bL r ′==创创=
8—10 设有一宽b =2.5m ，长L =30m 的粗糙平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板宽边b 与运动方向一致，水温为20℃，平板当量粗糙度?=0.3mm 。试求粗糙平板的总摩擦阻力F f 。
解：由表1—1查得，水温t =20℃时，水的密度ρ= 998.2 kg/m 3，运动粘度ν=1.003×10-6
m 2/s 。
506
5 2.5
124626125101.00310
ν
-?=
=
=>??b U b
Re ，为湍流边界层。 允许粗糙度
?'6
50100100 1.00310m 2.00610m 0.02mm 0.3mm /5
U ν--??≤==?≈
14×0.02=0.28mm ，粗糙平板，且可认为属于湍流边界层粗糙区。
层流边界层长度 56
cr cr 0510 1.00310m 0.1m 5
-???===x Re v x U
与平板宽边b =2.5m 相比，可略去不计。
按湍流边界层粗糙区计算摩阻系数C f ，即
2.5 2.5f 2.5(1.62lg
1.89)(1.62lg 1.89)0.0003--=+=+?b C 31013.5-?= 2320f f 2 5.1310998.25
2.530
2N 22
U F C A r -创创创== 9601.44N =
8—11 球形尘粒密度s ρ= 2.5×103kg/m 3，在20℃的大气中等速自由沉降。若空气阻力
可按斯托克斯阻力公式计算，试求尘粒最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 。
55.8410m 58.4μm d -=
=
=?
max 58.4μm d =
2f 1()18s u d g r r nr
=-
2
5
10.000058418 1.510 1.205-=?创? (2.51000 1.205)9.8m/s 创-? f u 0.257m/s =
8—12 球形水滴在20℃的大气中等速自由沉降，若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求水滴最大直径d max 和自由沉降速度u f 。
解：（1）由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 ，水的密度F ρ= 998.2kg/m 3。
d =
=
57.9310m
79.3μm -=?
max 79.3μm d =
（2）2f F 1
()18u d g r r nr
=
- 52
5
1(7.9310)18 1.510 1.205--=创创?(998.2 1.205)9.8m/s ?? 0.189m/s =
8—13 球形固体微粒直径d=0.00001m(=10μm )，密度s ρ=2.5×103kg/m 3，在高空11000m 处以等速自由沉降。空气的动力粘度m 随离地面的高程Z 而变化，m =1.78×10-5－
3.06×10-10
Z （Pa·s ）。因固体微粒甚小，空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算。试求微粒在静止大气中下降到地面所需的时间t 。（空气密度ρ= 1.248 kg/m 3 ） 解：2
f 1()18s u d
g r r m
=
- 52(110)(2.51000 1.248)9.818m -创??=7
1.36010m
-′=
f d z u dt -=75101.360101.7810 3.0610z ---′=?? 444
58170z
=
- d 58170d 444d z z z t -=
积分上式得 2
581704442
z z t C -=+ 当 t =0，z =11000，C =－579370000，所以得
2
581704445793700002
z z t -=- 当 z=0时 579370000
s 1304887s 15.1d 444
t =
==
8—14 使小钢球在油中自由沉降，以测定油的动力粘度。已知油的密度ρ=900 kg/m 3，直径d ＝3mm 的小钢球密度s ρ=7800 kg/m 3。若测得球的自由沉降速度u f ＝11cm/s ，试求油的动力粘度0m
解：2
s f D 4()3u gd C r r r -=
s D 2
f 4()3C gd u r r
r -= 2
47800900
()9.80.00330.11900
-=创′ 24.84=
D 24240.966124.84Re C =
==<，可按斯托克斯公式计算。 f
0.966du Re r m == 9000.0030.11
Pa s 0.307Pa s 0.966
m 创=??
8—15 一竖井磨煤机，空气的上升流速u ＝2m/s ，运动粘度n =20×10-6m 2/s ，密度r =1 kg/m 3，煤的密度s r =1500 kg/m 3，试用近似公式求可被上升气流带走的煤粉颗粒最大直径
d max 。
解： 按近似公式计算。假定Re ＝10～1000，
D C =
u =
化简后得
0.996d u =
0.9962
=创
44.1310m 0.413mm -=? 校核：4
62 4.131041.32010
ud Re n --创===′，在10～1000之间，计算有效。 8—16 一直径d ＝12mm 的固体小球，在油中以速度u ＝35mm/s 上浮，油的密度
3918kg/m r =，动力粘度0.034Pa s m =?。试求小球的密度s ρ。
解：9180.0350.01211.340.034
ud ud Re r n m 创==== 当Re=10~1000时，C D
3.86==
f u =
29184
0.035()9.80.0123 3.86918
S r -=创′
3890.32kg/m s r ?