模 拟 试 题 1
一．将下面命题写成符号表达式。(3,4题要使用句后给定的谓词。)
1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。
2.我们不能既划船又跑步。
3.有些运动员是大学生。(L(x)：x 是运动员；,S(x)：x 是大学生。)
4.每个运动员都钦佩一些教练。( L(x):x 是运动员，A(x,y):x 钦佩y ，J(x):x 是教练。) 二．写出命题公式 (Q →?P)→Q 的主合取范式。（要求有解题过程） 三．令集合A={1,{1}}, B={1}, P(A)表示A 的幂集
1.判断下面命题的真值。并说明原因，否则不给分。 (1) B ∈A, (2) P(B) ?P(A) (3) {Φ}?P(A) (4) {1}∈P(B)
2.分别计算: (1) A ×P(B) (2) A ⊕B (3) P(A)－P(B)
四．用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
?x(A(x)∧(B(x)→?C(x))), ?x(A(x) → (C(x) ∨?D(x))), ?x(A(x) →D(x)) ? ?x(A(x) ∧? B(x))
五．令Ａ＝{1,2,3,4 }，给出Ａ中关系R 1,R 2,R 3, R 4如下：
R 3={<1,2>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<1,1>,<1,4>, <3,3>,<4,4>}
R 4={<2,2>,<3,2>,<4,1>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<1,2>,<3,3>,<3,4>, <4,2>,<4,4>,<4,3>,<1,1>} 1．求复合关系~R 4oR 2c 。
2．分别画出R 1、R 3、R 4关系的有向图。
3．分别指出上面各个关系是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。
4．上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？哪些是从Ａ到Ａ的函数？如果是等价关系，请写出该等价关系的各个等价类。
如果是函数，请指出该函数的类型。
六．设I 是整数集合，在I 上定义二元运算 * 如下：对于任何a,b ∈I
a *b=a+
b ＋4
求证
R 2: 1 2
3
4
????
?
?
???
???=0001111011101110M R1
七．具有五个元素的格中，有几个不是分配格？请画出这些非分配格的图。 八，有三个小题
1．指出下面各个图中哪些是彼此同构的.
2. 完全二叉树中，设边数为e ，叶结点数为t ，求证 e=2(t-1)。
3．根据给定一组权值:1,6,2,5,3,4,1,6,2 画出一棵最优完全二叉树。要求有画图的过程。
a c d
f
g
h
i
e
模拟试题1参考答案 一．
1．设P ：小张去。Q ：小王去。R ：小李去。表达式为：
(P →(?Q ∧?R))∧(?P →? (Q ∧R))
2．令 P:我们划船。Q:我们跑步。 表达式为?(P ∧Q) 3．?x(L(x)∧S(x))
4．?x(L(x)→?y(J(y)∧A(x,y))) 二．解 (Q →?P) →Q
??(?Q ∨?P)∨Q ? (Q ∧P)∨Q ?Q ? (P ∧?P)∨Q ? (P ∨Q)∧(?P ∨Q) 三． 1． P(A)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}
P(B)＝{Φ,{1}}
⑴：T ；因为A={1,{1}}, B={1}, B 是A 中一个元素，所以B ∈A 。
⑵：T ；因为P(B)＝{Φ,{1}}，P(B)中两个元素Φ和{1}都属于P(A),所以P(B) ?P(A)。 ⑶：T ；因为集合{Φ}中只有一个元素Φ，而P(A)中也有元素Φ，所以{Φ}?P(A)。 ⑷：T 。因为{1}是P(B)中一个元素，所以{1}∈P(B)。 2．
⑴ A ×P(B)＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>} ⑵ A ⊕B ＝(A ?B)－(A ?B)＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。
⑶ P(A)－P(B)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}－{Φ,{1}}＝{{{1}}, {1,{1}}
四．答案：证明.
⑴ ?x(A(x)∧(B(x)→?C(x))), P ⑵ A(a)∧(B(a)→?C(a)) ES ⑴ ⑶ A(a) T ⑵ I ⑷ (B(a)→?C(a)) T ⑵ I ⑸ ?x(A(x) → (C(x) ∨?D(x))) P ⑹ A(a) → (C(a) ∨?D(a)) US ⑸ ⑺ (C(a) ∨?D(a)) T ⑶ ⑹ I ⑻ ?x(A(x) →D(x)) P ⑼ A(a) →D(a)) US ⑻ ⑽ D(a) T ⑶ ⑼ I ⑾ C(a) T ⑺ ⑽ I ⑿ ?B(a) T ⑷ ⑾ I ⒀ A(a)∧?B(a) T ⑶ ⑿ I ⒁ ?x(A(x)∧?B(x)) EG ⒀ 五．1．~R 4={<1,3>,<3,1>}
~R 4oR 2c ＝{<1,3>,<3,1>}o{<1,4>,<2,3>,<3,1>,<4,2>}＝{<1,1>,<3,4>} 2．
3．具有自反性：R 1，R 3，R 4。
具有反自反性：R 2。 具有对称性：R 2，R 4。 具有反对称性：R 2，R 3。 具有传递性：R 1，R 3。 4.上述四个关系中，
是等价关系：R 1，A/R 1＝{{1,2,3},{4}}。 是偏序关系：R 3 。
是从Ａ到Ａ的函数：R 2，是双射的函数。
六．答案：
1.证明封闭姓:任取a,b ∈I 因为a ＋b ＋4 ∈I , a *b ∈I. 所以*满足封闭性.。
2.证明交换性:任取a,b ∈I, 因为a *b=a ＋b ＋4=b ＋a ＋4=b *a. 所以*满足交换性。
3.证明结合性, a,b,c ∈I, 因为
(a *b)*c =(a ＋b ＋4)＋c ＋4=a ＋b ＋4＋c ＋4=a ＋(b ＋c ＋4)＋4=a *(b *c). 所以*满足结合性。. 4.证明4是幺元, 任取a,∈I, 因为a *(-4)=a ＋4＋(-4)=a (-4)*a=(-4)+a+4=a ，所以-4是幺元。 5.证明有逆元, 任取a,∈I, -8-a ∈I , 因为
a *(-8-a)= a+(-8-a)+4=-4
(-8-a)*a=(-8-a)+a+4=-4 所以-8-a 是a 的逆元。 综上所述
八．1．a 、h 、i 同构； b 、d 同构； c 、g 同构； e 、f 同构。
2．解：由完全m 叉树公式 (m －1)i=t －1这里 (2－1)i=t －1, ∴ i=t －1, ∴T 中总的结点数v 为: v=i ＋t =(t t －1)＋t=2t －1，T 的边数 e=v －1= 2t －1－1= 2t －2=2(t t －1)
d
a
c
1 2
3
4
R 1
R 3
R 4
3．
1,1,2,2,3,4,5,6,6
2,2,2,3,4,5,6,6, 2,3,4,4,5,6,6
4,4,5,5,6,6,
5, 5,6,6,8
6,6,8,10
8,10,12
12,18
30
1
1
3
4
5
6
2 6 2
2 4 8
10
30
18
12
5
离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧())
下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。
离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D
(7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={
1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f
2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= 《离散数学》模拟题（补） 一．单项选择题 1．下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。 A、 2,3,4,5,6,7； B、 1,2,2,3,4； C、 2,1,1,1,2； D、 3,3,5,6,0。 2．图的邻接矩阵为( )。 A、； B、； C、； D、。 3.设S1={1，2，…，8，9}，S2={2，4，6，8}，S3={1，3，5，7，9}，S4={3，4，5}，S5={3，5}，在条件下X与（）集合相等。 A、X=S2或S5 ； B、X=S4或S5； C、X=S1，S2或S4； D、X与S1，…，S5中任何集合都不等。 4．下列图中是欧拉图的有( )。 5.下述命题公式中，是重言式的为（）。 A、； B、； C、； D、。 6.的主析取范式中含极小项的个数为（）。 A 、2； B、 3； C、5； D、0 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 3 1 S X S X? ?且 ) ( ) (q p q p∨ → ∧)) ( )) (( ) (p q q p q p→ ∧ → ? ? q q p∧ → ?) (q p p? ? ∧) ( r q p wff→ ∧ ?) ( 7.给定推理 ① P ② US ① ③ P ④ ES ③ ⑤ T ②④I ⑥ UG ⑤ 推理过程中错在（ ）。 A 、①->②; B 、②->③; C 、③->④; D 、④->⑤ 8.设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}， S 5={3，5}，在条件 下X 与（ ）集合相等。 A 、X=S 2或S 5 ； B 、X=S 4或S 5； C 、X=S 1，S 2或S 4； D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。 9.设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合， ， 则表示关系 （ ） 。 A 、； B 、 ； C 、 ； D 、 。 10.下面函数（ ）是单射而非满射。 A 、 ； B 、 ； C 、 ； D 、。 ))()((x G x F x →?)()(y G y F →)(x xF ?)(y F )(y G )(x xG ?)())()((x xG x G x F x ??→?∴3 1S X S X ??且},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=R S 1-},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><Φ},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><12)(,:2-+-=→x x x f R R f x x f R Z f ln )(,:=→+的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(, :=→12)(,:+=→x x f R R f 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 离散数学（上）模拟题 1、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 用命题逻辑把下列命题符号化 a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 b) 我今天进城，除非下雨。 c) 仅当你走，我将留下。 2. 用谓词逻辑把下列命题符号化 a) 有些实数不是有理数 b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。 c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得 f(a)=b. 2、简答题（共6道题，共32分） 1. 求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范 式，并写出所有成真赋值。（5分） 2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分） a) xy(x+y=4) b) yx (x+y=4) 3. 求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分） 4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） a) （AB）－C=(A-B) (A-C) b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B| 5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分） a) A上有多少种不同的等价关系？ b) 从A到A的不同双射函数有多少个？ 6. 设有偏序集 下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即 可）(6分) 3、证明题（共3小题，共计40分） 1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10 分） a) A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，xR(x) xP(x) 2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R 满足：< 《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)( 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 《离散数学》课程试题(A)卷 课程代码： 080800111 本试卷适用理学系数学与应用数学专业和信息与计算科学专业 （时量：120分钟；总分为100分） 注 意： 1、所有答案和解答均应写在答题纸上，答在试卷上不记分 2、答案必须写明题目序号，并按题号顺序答题 3、请保持行距，保持卷面整洁 一、填空题：（每题3分，本大题共24分） 1．设}4,}3{,,2{a A =，}1,4,3,}{{a B =，请在下列每对集合中填入适当的符号：?∈, 。 （1）}{a B , (2) }}3{,4,{a A 。 2．设}1,0{=A ，N 为自然数集，???=是偶数。，是奇数， ，x x x f 10)( 若A A f →： ，则f 是 射的，若A N f →： ，则f 是 射的。 3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2， 则G 中有 条边，根据 。 4．两个重言式的析取是 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 。 5．在一阶逻辑中将命题：凡对顶角都相等，符号化为_____________________。 6.集合A 有n 个元素，则A 上共有_____________________个既是对称又是反对称的的关系。 7. 连通简单无向图有17条边。则该图至少有_____________________个结点。 8. 某班有学生50人，有26人在第一次考试中得优，有21人在第二次考试中得优，有17人两次考试都没得优，那么两次考试都得优的学生的人数是_____________________。 二、单项选择题：（每小题3分，本大题共30分） 1．设}16{2<=x x x A 是整数且，下面哪个命题为假（ ） 。 A 、A ?}4,2,1,0{ ； B 、A ?---}1,2,3{ ； C 、A ?Φ ； D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2．设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ，则B －A 是（ ）。 A 、}}{{Φ ； B 、}{Φ ； C 、}}{,{ΦΦ ； D 、Φ。 一、填空 1．不能再分解的命题称为____________，至少包含一个联结词的命题称为____________。2．一个命题公式A(P, Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是__________________，其主合取范式是_________________。 3．设A={a,b,c}，B={b,c,d,e}，C={b,c}，则( A ?B ) ⊕C＝____________。 4．幂集P(P(?)) ＝________________。 5．设A为任意集合，请填入适当运算符，使式子A________A=?；A________A’=?成立。6．设A={0，1，2，3，6}，R={〈x,y〉|x≠y∧(x,y∈A)∧y≡x(mod 3)}，则D(R)=____________，R(R)=____________。 7．称集合S是给定非空集合A的覆盖：若S={S1，S2，…，S n}，其中S i?A，S i≠?，i=1，2，…，n，且______ _____；进一步若_____ _______，则S是集合A的划分。8．两个重言式的析取是____ ____式，一个重言式和一个永假式的合取式是式。9．公式┐(P∨Q) ←→(P∧Q)的主析取范式是。 10. 已知Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分，由Π决定的A上的一个等价关系 是。 二、证明及求解 1．求命题公式（P→Q）→（Q∨P）的主析取范式。 2．推理证明题 1）?P∨Q，?Q∨R，R→S?P→S。 2) (?x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(?x)P(x)?Q(y)∧(?x)(P(x)∧R(x)) x)}，S={〈x,y〉|x,y∈A∧（x=y+2）}。3．设A={0，1，2，3}，R={〈x,y〉|x,y∈A∧(y=x+1∨y= 2 试求R S R。 4．证明：R是传递的?R*R?R。 5．设R是A上的二元关系，S={ 华南理工大学网络教育学院 2016–2017学年度第一学期期末考试 《 离散数学 》试卷（模拟卷） （客观题电脑给分，主观题依过程给分） 教学中心： 专业层次： 学 号： 姓 名： 座号： 注意事项：1. 本试卷共 三 大题，满分100分，考试时间90分钟，闭卷； 2. 考前请将以上各项信息填写清楚； 3. 所有答案必须做在答题纸上,做在试卷、草稿纸上无效； 4．考试结束，试卷、答题纸、草稿纸一并交回。 一、单项选择题（本大题30分，每小题6分） 1．设，P ：他聪明；Q ：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。” 可符号化为：( ) A ．P Q B ．P Q C ．P Q D ．P Q 【答案：A 】 2．下列式子( )是永真式 A ．Q （P Q ） B ．P （P Q ） C ．（P Q ） P D ．（P Q ） Q 【答案：C 】 3．设S （x ）：x 是运动员，J （y ）：y 是教练员，L （x ，y ）：x 钦佩y 。命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是( ) A ．x （S （x ） y （J （y ） L （x ，y ））） B ．x y （S （x ）（J （y ） L （x ，y ））） C ．x （S （x ） y （J （y ） L （x ，y ））） D ．y x （S （x ）（J （y ） L （x ，y ））） 【答案：C 】 4．下列命题是真的是( ) A ．如果A ? B 及B ∈C,则A ? C B ．如果A ?B 及B ∈C,则A ∈C C ．如果A ∈B 及B ?C,则A ?C D ．如果A ∈B 及B ?C,则A ∈C 【答案：D 】 5．设G 是n 有个结点，m 条边的简单有向图。若G 是连通的，则m 的下界是（ ） A ．n B ．1n - C ．()1n n - D ．()1 12 n n - 【答案：B 】 二、 判断题（本大题20分，每小题4分） 1. 设A ，B 是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B 。 （ × ） 2、 x yA(x,y) y xA(x,y) 。 （ × ） 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题2分，共30分） 1、令A（x）:x是实数，B（x）:x是有理数，则命题：并非所有有理数都是实数。符号化为：（） A、x┐(A(x)∧B(x)) B、┐x(B(x)→A(x)) C、┐x(A(x)∧B(x)) D、┐x(B(x)∧┐A(x)) 2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，则下列选项正确的是（） A、1∈A， B、φ∈A C、{1，2，3} A， D、{{4，5}} A 3、设A、B为集合，A-B=φ，则有（） A、B=φ B、B≠φ C、A B D、B A 4、一个连通有向图，如果它的每个结点的出度均等于入度，那么它有一条（）。 A、基本回路 B、欧拉回路 C、欧拉通路 D、简单回路 5、一棵树有2个结点度数为2，2个结点度数为3，3个结点度数为4，则它的树叶数为（） A、8 B、9 C、10 D、12 6、G是连通平面图，有5个顶点、6个面，则G的边数为（） A、6 B、5 C、11 D、9 7、设A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}，C={2，3}，则（A∪B）+C=（） A、{1，2} B、{2，3} C、{1，4，5} D、{1，2，3} 8、下列命题中为假的是（） A、{a，{b}}{{a，{b}}} B、φP(∪{φ,{φ}}) C、{a}XaX D、X∪Y=YX=φ 9、设解释T为：个体域为D={—2，3，6}，谓词A(x)：x 6，B(x)：x>5，则根据解释，公式x(A(x)∨B(x))的真值为（） A、0 B、1 C、没有确定真值 10、一个教室公用一个电源，如果想接34盏灯，则至少需要4个插线孔的接线板（）个。 A、10 B、11 C、12 D、34 11、下列说法错误的是（） A、n个结点m条边的有向树和无向树均满足：m=n－1. B、树都是二部图。 C、有向树都是单侧连通的 D、有桥的图不是欧拉图 一、 填空 1．不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称为。 2．一个命题公式A(P , Q, R)为真的所有真值指派是000, 001, 010, 100，则其主析取范式是，其主合取范式是。 3．设 {}，{}，{}，则( A ? B ) ⊕C ＝ 。 4．幂集 P(P(?)) ＝ 。 5．设A 为任意集合，请填入适当运算符，使式子?；’=?成立。 6．设{0，1，2，3，6}，{〈〉≠y ∧(∈A)∧y≡x( 3)}，则D(R)，R(R)。 7．称集合S 是给定非空集合A 的覆盖：若{S 1，S 2，…，}，其中?，≠?，1，2，…，n ，且 ；进一步若 ，则S 是集合A 的划分。 8．两个重言式的析取是 式，一个重言式和一个永假式的合取式是 式。 9．公式 ┐(P ∨Q) ←→(P ∧Q)的主析取范式是 。 10. 已知Π={{a}{}}是{}的一个划分，由Π决定的A 上的一个等价关系是 。 二、 证明及求解 1．求命题公式（P →Q ）→（Q ∨P ）的主析取范式。 2．推理证明题 1）?P ∨Q ，?Q ∨R ，R →S ?P →S 。 2) (?x)(P(x)→Q(y)∧R(x))，(?x)P(x)?Q(y)∧(?x)(P(x)∧R(x)) 3．设{0，1，2，3}，{〈〉∈A ∧(1∨2x )}，{〈〉∈A ∧（2）}。试求οο。 4．证明：R 是传递的?R *R ?R 。 5．设R 是A 上的二元关系，{ 专科《离散数学模拟》试题（一） 姓名______________ 学号______________ 成绩______________ 一、填空（每小题5分，共25分） 1．设}41,,3|{≤≤∈==K N k k x x A ，则用列举法表示A =_____________________。 2．设}2,{φ=A ，则A 的幂集=A 2________________________。 3．设)}1,2(),2,4(),3,1{(=ρ是A 到B 的关系，则ρ的逆关系=ρ~_______________。 4．下图G 的邻接矩阵 A =__________________________ 5．设}},3,2{,3,2{φ=A ，则=-}}3,2{{A ____________________________。 二、选择题（将正确答案的编号填入相应题目后面的括号中，每小题5分，共20分） 1．设集合}3,2,1{=A ，A 上的关系)}1,1(),1,2(),1,3(),3,2{(=ρ，则ρ是（ ）。 A ．自反的 B ．反对称的 C ．可传递的 2．设有函数Z Z Z f →?:（Z 表示非负整数集），定义为y x y x f +=),(，则f 是（ ）。 A ．满射 B ．内射 C ．双射 3．设}4,3,2,1{=A ，则A 的分划有（ ）。 A ．}}3{},4,2{),1{( B ．}}4{},3,2{{ C ．}}4{},3,2,1{{ 4．设简单图G 所有结点的度之和为12，则G 一定有（ ）。 A ．3条边 B ．4条边 C ．6条边 4 v 3v 2 v 1 v离散数学模拟题(开卷)
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