生物统计学教案
第九章 两因素及多因素方差分析
教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型
的方差分析，了解多因素的方差分析方法。。
讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤
9.1 两因素方差分析中的一些基本概念 9.1.1 模型类型
交叉分组设计：A 因素的a 个水平和B 因素的b 个水平交叉配合，共构成ab 个组合，每一组合重复n 次，全部实验共有abn 次。
固定模型：A 、B 两因素均为固定因素。 随机模型：A 、B 两因素均为随机因素。
混合模型：A 、B 两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。 9.1.2 主效应和交互作用
主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。
A 1 A 2 A 1 A 2
B 1 18 24 B 1 18 28
B 2 38 44 B 2 30 22
先看左边的表。A 因素的主效应应为A 2水平的平均效应减A 1水平的平均效应，
B 的主效应类似。
当A 1B 1＋A 2B 2＝A 1B 2＋A 2B 1时，A 、B 间不存在交互作用。这里A 1B 1＋A 2B 2＝62，A 1B 2＋A 2B 1＝62，因此A 、B 间不存在交互作用。
交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们
20
2
241824438226
2361824424221211222121112212=+-+=+-+==+-+=+-+=B A B A B A B A B B A B A B A B A A
之间存在交互作用。
现在看右边的表。
A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10
A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8
显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为
AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1）
9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式
假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。以x ilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。一般格式见下表。
因素 B j=1,2,…,b
B1B2…B b总计A1x111x121x1b1
x112x122x1b2
x11n x12n x1b n x1. .
因
素A2x211x221x2b1
A x212x222x2b2
x21n x22n x2bn x2. .
A a x a11x a21x ab1
x a12x a22x ab2
x a1n x a2n x abn x a. .
总计 x .1. x .2. x .b . x . . .
上表中的各种符号说明如下：
??i x A 因素第i 水平的所有观察值的和，其平均数为..i x
..j x B 因素第j 水平所有观察值的和， 其平均数为..j x .ij x A 因素第i 水平和B 因素的第j 水平和所有观察值的和，
其平均数为.ij x
...x 所有观察值的总和， 其平均数为 (x)
关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。 9.2 固定模型 9.2.1 线性统计模型
对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此
交互作用的效应也是固定的
εijk 是相互独立且服从N (0 , σ2)的随机变量。
固定模型方差分析的零假设为：
abn
x x x x b
j a i n
x x x x a i b j n
k ijk
ij ij n
k ijk ij ?
?????===?????=?=
=??
????=???==
=∑∑∑∑,,,2,1,,2,1,
,
111
1()??
?
?????=???=???=++++=n k b j a i x ijk
ij j i ijk ,,2,1,,2,1,,2,1εαββαμ∑∑====b
j j
a
i i
1
1
,
0β
α
()
()
∑∑====a
i b
j ij
ij
1
1
,
0αβαβ==???==H a 0
:2101ααα
9.2.2 平方和与自由度的分解
与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。
上述各项分别为A 因素、B 因素、AB 交互作用和误差平方和，即：
自由度可做相应的分解：
由此得出各因素的均方：
9.2.3 均方期望与统计量F 的确定
()
()()()()[]
()(
)
(
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∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===?
==-=?
????????
?????????===?
??????????????????===?
??-++--+-+-=-++--+-+-=-a i b j n
k ij ijk
a
i b
j a i b
j j i ij j i a
i b
j n
k ij ijk j i ij j i a i b j n
k ijk
x x
x x x x n x x an x x bn x x x x x x x x x x x x
111
2
1
1
11
2
2
2
111
2
1112
()
()
()
()
∑∑∑∑∑∑∑===?
==?
???????=?
????=?????-=
+--=-=-=a i b
j n
k ij ijk
e a
i b
j j i ij AB b
j j B a
i i A x x
SS x x x x n SS x x an SS x x bn SS 111
2
11
2
12
12
()()
()
1111
1
1
-=--=-=-=-=n ab df b a df b df a df abn df e AB B A T ()()()
1,11,1,1-=
--=-=-=
n ab SS MS b a SS MS b SS MS a SS MS e e AB
AB B B A A ()()()()()()()2
11
22
1
22
1
2
2,111,
1σαβσβσασ=--+=-+=-+=∑∑∑∑====e a i b
j ij AB b
j j B a i i A MS E b a n
MS E b an MS E a bn MS E
对上式E (MS A )、E (MS B )和E (MS e )中的第二项，分别记为：
于是：
这时，零假设还可以写为：
用F 作为检验统计量，以对A 因素的检验为例：
当F >F α时拒绝H 01。对B 因素和AB 交互作用的推断类似。
两因素固定模型的方差分析表如下： 9.2.4 平方和的简易计算法
为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的
其中abn
x 2?
??称为校正项，用C 表示。
变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望
A 因素 SS A a -1 MS A MS A /MS e σ2+bn ηα2
B 因素 SS B b -1 MS B MS B /MS e σ2+an ηβ2 AB 交互作用 SS AB (a -1)(b -1) MS AB MS AB /MS e σ2+n ηαβ2 误差 SS e ab (n -1) MS e σ2 总和 SS T abn -1
()()
()∑∑∑∑====--=
-=-=a i b
j ij
b j j a i i b a b a 11
2
2
1
2
2
1
2
2111
,11,11αβηβηαηαββα()()()2
22222,,αβ
βαησησησn MS E an MS E bn MS E AB B A +=+=+=0
:,
0:,
0:2
032
022
01===αββαηηηH H H ()()2
2
2
A
e
bn MS F MS ασ
ησ+==
的估计
的估计
abn
x x an SS abn
x x bn SS abn
x x SS b j j B a i i A a
i b
j n
k ijk
T 212
212
11122
1,1???=?????=??===?
??-=-=-=∑∑∑∑∑
不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去A 因素、B 因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：
例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。
在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。将每一数据都减去30，列成表9-1。
原料(A ) 温度(B ) x ij 1 x ij 2 x ij 3 x ij 4 x ij . x ij .2
∑=4
1
2
k ijk
x
30 11 19 -7 -5 18 324 556 1 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 711 40 -24 -8 -4 -12 -48 2304 800 30 17 29 20 10 76 5776 1630 2 35 13 8 3 6 30 900 278 40 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948
∑∑∑∑∑=====?
-=
a i
b j n
k a i b j ij ijk
e x n x
SS 111
11
221∑∑==?
???---=---=a i b j B
A ij e
B A T AB SS SS abn
x x n SS SS SS SS SS 11221
30 13 5 23 20 61 3721 1123 3 35 25 8 17 14 64 4096 1174 40 0 3 -4 -11 -12 144 146 和 84 22838 7366 利用x ij .列，列成表9－2
温 度 (B)
30 35 40 x i . . x i . .2 原 1 18 －47 －48 －77 5929 料 2 76 30 －58 48 2304 (A) 3 61 54 －12 113 12769 x .j. 155 47 －118 84 21022 x .j.2 24025 2209 13924 40158
从表9－1中可以计算出：
及由表9－2中可以计算出：
()()()
00
.196433842
===???abn x C 00.717019673661112
2
=-=-=∑∑∑===???a i b j n
k ijk
T abn
x x SS ()50.1656228384
1
73661111
1122=-=-=∑∑∑∑∑=====?a
i b
j n
k a i b j ij ijk
e x n x
SS ()()
()17.1554196210224311212=-=-=?
??=??∑abn x x bn SS a i i A ()()()58.3150196401584311212=-=-=???=??∑abn x x an SS b
j j B
---=e
B A T AB SS SS AA SS SS
列成方差分析表 变差来源 平方和 自由度 均方 F 原料 A 1554.17 2 777.09 12.67** 温度 B 3150.58 2 1575.29 25.68** AB 808.75 4 202.19 3.30* 误 差 1656.50 27 61.35
9.2.5 无重复实验时的两因素方差分析
如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n = 1）。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n 都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。 9.3 随机模型 9.3.1 线性统计模型
对于随机模型：
因此，任何观察值的方差
()
22
22var σσσσαββα+++=ijk x
零假设为： 0
:,0:,0:
2
032
02201===αββασσσH H H
9.3.2 均方期望与统计量F 的确定
()??
?
?????=???=???=++++=n k b j a
i x ijk
ij j i ijk ,,2,1,,2,1,,2,1εαββαμ()()()()()
2
2
2
2,0:,,0:,,0:,,0:σεσαβσβσααββα
NI D NI D NI D NI D ijk ij
j i