中学数学教学设计案例
案例 数学教学目标设计示例
为了说明数学教学目标设计的步骤和方法，并准确地陈述教学目标，现以“有理数的加法”一节为例，详细地说明教学目标的设计。
“有理数的加法”教学目标设计
1．掌握有理数加法法则：
(1) 能准确叙述有理数加法法则，并知道哪哪些问题是属于有理数的加法。
(2) 能按法则把有理数的加法分解成两个步骤完成：① 确定符号；② 确定绝对值。
(3) 熟练、准确地利用加法法则进行计算。
2．理解有理数加法法则导出过程及本身所含的数学思想方法。
（1）能解释数形结合和分类的思想；
（2）能懂得初步的算法思想；
（3）学会“观察——归纳”的思维方法。
3．初步感受从特殊到一般和从一般到特殊的思维方式；体验用矛盾转化的观点认认识问题；培养严谨、认真、理论联系实际的科学态度和学风。
数学教学过程的设计
每一节课的教学过程都是由具体的、生动活泼的教学活动组成的。因而，完成了上述方面的教学设计之后，就应着手安排具体的教学活动。具体教学过程的设计，是课堂教学中直接操作的部分，应该按照具体的教学模式来进行富有创造性的设计，同时，应对教学活动进行设计，它主要包括：导入设计、教学情境设计、提问设计、练习设计、讨论设计和小结设计。
案例 充 要 条 件
一、教学目标
1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念.
2. 能在判断中正确运用以上概念，并为今后用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
二、教学过程
（一）复习引入
师：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）；
（1）若1≥x ，则12≥x ；
（2）若22y x =，则y x =；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若0=ab ，则0=a ；
（6）若方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不等的实数解，则042
>-ac b .
（学生口答，教师板书）
生：（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题.
师：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题。你是如何判断其真假的？ 生：看p 能不能推出q ，如果p 能推出q ，则原命题是真命题，否则就是假命题.
师：很好！对于命题“若p ，则q ”，如果由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立。换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件，记作p ?q ．
（二）讲授新课
（板书充分条件的定义）一般地，如果已知p ?q ，那么我们就说p 是q 成立的充分条件. 师：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系.
生：（口答）
（1）“1≥x ”是“12≥x ”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实数解”是“042>-ac b .”成立的充分条件. 师：从另一个角度看，如果p ?q 成立，那么其逆否命题?p ??q 也成立，即如果没有q ，也就没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，也就是必要条件.
（板书必要条件的定义）
师：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
（学生口答）
（1）因为1≥x ?12≥x ，所以1≥x 是12≥x 的充分条件，12
≥x 是1≥x 的必要条件；
（2）因为22y x =?y x =，所以22y x =是y x =的必要条件，y x =是22y x =的充分；
（3）因为“两三角形全等”?“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直”?“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为0=ab ?0=a ，所以0=ab 是0=a 的必要条件，0=a 是0=ab 的充分条件；
（6）因为“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”?“042>-ac b ”，而且“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”?“042>-ac b ”，所以“方程)0(02≠=++a c bx ax 的有两个不等的实根”是“042>-ac b ”充分条件，而且是必要条件. 师：如果p 是q 的充分条件，p 又是q 的必要条件，则称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ?q ．
（板书充要条件的定义）
（三）巩固新课
例1（用投影仪投影）
① 因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；
② x >5一定能推出x >3，而x >3不一定推出x >5，所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；
③ m 、n 是奇数，那么m ＋n 一定是偶数；m ＋n 是偶数，m 、n 不一定都是奇数（可能都为偶数），所以A 是B 的充分非必要条件，B 是A 的必要非充分条件；
④ b a ≥表示b a >或b a =，所以b a ≥是b a >成立的必要非充分条件；
⑤ 由交集的定义可知A x ∈且B x ∈是B A x ?∈成立的充要条件；
⑥ 由0≠ab 知0≠a 且0≠b ，所以0≠ab 是0≠a 成立的充分非必要条件；
⑦ 由0)2)(1(=-+y x 知1-=x 或2=y ，所以0)2)(1(=-+y x 是2,1=-=y x 成立的必要非充分条件；
⑧ 易知“m 是4的倍数”是“m 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辨，在争论中得到了正确答案，加深了对充分条件、必要条件的认识.） 例2 已知α是β的充要条件，S 是γ的必要条件同时又是β的充分条件，试判断α与γ的关系.（投影）
师：请同学们把解答写在投影片上.
（师巡视后，选错误及正确的解答展示，最后把正确的解答定格.）
解：由已知得 γβα???S ，
所以γ是α的充分条件，或α是γ的必要条件.
(四) 课堂练习
课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页 练习1、2；第36页 练习1、2. （通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评.）
（五）小结回授
师：今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A 是B 的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
（六）布置作业
第36页, 习题1.8 1、2、3.
案例： 两角和与差的余弦公式
一、课型：新授课.
二、教学目标:
引导学生经历探索两角和的余弦公式的过程，培养学生主动参与探究数学的意识和能力；使学生掌握两角和与差的余弦公式，并能应用公式解决一些较简单的问题.
三、教学重点和难点
教学重点：两角和与差的余弦公式的形式及其应用.
教学难点：两角和与差的余弦公式的得来过程.
四、教学方法：启发引导、探索发现法.
五、教学过程：
1．创设问题情境
前面我们学习了任意角的三角函数，也知道了一些特殊角的三角函数值，如：
；190sin ,2
360sin ,2245sin ,21sin30,00sin ====
=
0.90cos ,2
160cos ,2245cos ,2230cos ,10cos ===== 但如果要求015cos ，应该怎样进行？ 2、尝试阶段
学生思考、讨论、归纳得出方法一：查数学用表，得出015的三角函数值.
教师启发性提问——能否用我们已经学过的特殊角进行转化呢？
学生转化得到方法二：进行转化，用我们以前学过的特殊角进行代换.因为
304515-=，所以)30cos(45cos15 -=.
教师启发性提问——015cos 与045cos 和0
30cos 有无联系？（能否用其表示） 部分学生猜想——
2322322cos30cos453045cos -=-=
-=- ）（. 教师进一步启发性提问——以上猜想是否正确？能否得到一般结论：βαβαcos -cos )(cos =-？
教师引导学生思考讨论——检验 30cos cos45cos15-=是否正确.
可采用的方法很多，较好的一种选择是教师先引导，学生再判断，进而得出结论：βαβαcos -cos )(cos ≠-.
由特殊到一般：βαβαcos -cos )(cos ≠-.
3．探索阶段
提出问题：怎样利用化归思想将α＋β的三角函数表示成α和β的三角函数.
分析问题：学生已经有了处理任意角的三角函数问题的方法，如诱导公式的推导，在研究同角三角函数和诱导公式的时候，经常采用直角坐标系中的单位圆及三角函数线。要寻找α＋β的三角函数与α和β的三角函数的关系，不妨从单位圆开始。
在教师的启发和学生的合作下，在直角坐标系中画出
单位圆，并作出角α和β，如图1所示，这样角α＋
β也出现了，由单位圆的特殊功能可以直接得出角α、α
＋β起始边和终边与单位圆交点的坐标：)0,1(1P ；
)sin ,(cos 2ααP ；))sin(),(cos(3βαβα++P .
现在问题的关键是建立)cos(βα+的等式，如何将点
1P 、2P 的坐标联系起来，似乎很难找到这样的等量关系.
在△21P OP 中应用余弦定理可以建立一个等式，但目
前学生还没有学过余弦定理，因此只能另找解决方法.
教师引导：图1中出现了角α和角α＋β的正余弦，
但现在的关键是角β的正余弦还未能体现出来.
在这样的启发和引导下，学生自然想到，需要将角β在图中体现出来，于是以1OP 为始边作角β，终边与单位圆交点为)sin ,(cos 4ββP ，得到图2.
教师进一步启发，现在需要建立起包含)cos(βα+的等量关系.
因为图2中1P 、2P 、3P 、4P 的坐标可以用角α、β、α＋β的正余弦表示，所以要建立角α、
β、α＋β的正余弦之间的关系，
自然联系到1P 、2P 、3P 、4P .只需建立1P 、2P 、3P 、4P 四点之间的关系，此时很容易发现
3241P P P P =，再将1P 、2P 、3P 、4P 四点的坐标用角α、
β、α＋β的正余弦形式代入，就有：
2222]sin )[sin(]cos )[cos(sin )1(cos αβααβαββ-++-+=+-
化简得 αβααβαβs i n )s i n (c o s )c o s (c o s +++=
此时，探讨过程出现了疑惑：以上推导好像得不到)cos(βα+的表达式。此路似乎不通，通常学生在这种情况下就会望而止步，甚至放弃之前的一切工作，重新回到起点。但科学的道路是需要坚持、回顾与反思的.
教师进一步引导：上式得不到)cos(βα+的表达式，但同学们仔细观察等式的形式，可以发现βcos 可以用角α和角α＋β的正余弦表示。角β能否用角α和角α＋β表示？
显然，β＝（α＋β）－α，上式又可以写成
αβααβααβαβsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+=
结合上式左端的形式，令α＋β＝θ，则有
αθαθαθsin sin cos cos )cos(+=-. 将α用－α代换可得到
αθαθαθsin sin cos cos )cos(-=+. 由角α和角β的任意性，
可知角θ和角α也是任意的，这样便得到了两角和的余弦公式.
4．反思阶段
在得到图1后，为了将角β的正余弦在图中体现出来，我们直接作出了角β，但在推导过程中遇到了障碍。反思一下，最终目的是要寻找βcos 、βsin .能否作其他的角，使它能用角β及角－β有关的正余弦表示呢？
启发学生利用诱导公式，很容易联想到角－β和角β进行转化，从而作出终边为4OP 的角－β，其中))sin(,(cos 4ββ-P ，这样得到图3.
有了以上关于4P 的处理经验，学生很容易发现在图3中4231P P P P =.于是有： 2222]sin )[sin(]cos )[cos()sin(]1)[cos(αβαββαβα--+--=++-+
化简整理得：
)sin sin cos (cos 22)cos(22βαβ
αβα--=+-，所以 )cos(βα+＝βαβαsin sin cos cos -
这一式子充分说明了两角和的余弦)cos(βα+与角
α、β的三角函数αcos 、βcos 、αsin 、βsin 的关系.
即两角和的余弦公式)cos(βα+＝βαβαsin sin cos cos -.
这个公式对于任意的角α、β都成立。但要注意)cos(βα+是两角α与β和的余弦，它表示角（α＋β）终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.
这种方法是教材给出的推导两角和与差的余弦公式的方法，但如果一开始就向学生传授这种方法，学生很难理解为什么要“以1OP 为始边作角－β”，有了常规想法作β后，再给出教材的推导过程，让学生经历知识的建构过程，更能体现学生学习的主体性，培养学生的探究意识和探索能力.
5．拓展阶段
即知识的再应用，这个阶段包括)cos(
βα+＝βαβαsin sin cos cos -形式的分析和总结，以及通过代换得到)cos(
βα-＝βαβαsin sin cos cos +，本文着重分析两角和与差的余弦公式的推导过程，体现知识的建构和形成过程。因此对于公式的扩充和应用只能作简单介绍.
6．小结
概述两角和与差的余弦公式的内容及其形式，归纳公式推导的基本思想。布置本节课的课内课外作业.
案例： 等比数列的前Ｎ项和
一、教学目标：
1．掌握等比数列的前n 项和公式及其推导思想和过程，会用等比数列求和公式进行计算，解决相关问题；
2．通过实际问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲；通过引导学生探究等比数列的前n 项和公式，让学生感受如何去分析问题、解决问题，提高学生的综合能力；培养学生的归纳、分类讨论、知识迁移的能力；
3．利用教材中我国古代有关数列的历史故事，培养学生的民族自豪感，体会数学的文化价值，培养学生的数学素养。
二、重点和难点：
重点：等比数列的前n 项和公式，及其应用。
难点：等比数列的前n 项和公式的推导。
三、教学过程：
（一） 引入新课
讨论问题：
［问题1］国际象棋起源于印度，据说国王舍罕为了奖赏发明者西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir ）,让他提出一个要求，于是这位聪明的发明者说：“尊敬的陛下，请在棋盘的第1格里放上1颗麦粒，在第2个格里放上2颗麦粒，在第3格里放上4颗麦粒，以此类推，每一格里放的麦粒数是前一格里放的麦粒数的2倍，直至64格，请陛下把这些麦子赏给您的仆人吧。”国王觉得这事不难，就欣然同意了。请问：国王能办到吗？
［问题2］我有一部手机，我用1分钟的时间把一条短信传给三个人，这三个人又用1分钟的时间又分别传给另外三个人，以此类推传下去，请问：10分钟后有多少人知道了这条短信？
师生活动： 教师：对学生分小组讨论上面的问题。
学生：合作交流，给出解决问题的思路。［问题1］中，每个格子里的麦粒数构成一个等比数
列：63
322,,2,2,2,1 ，于是国王要给的麦粒总数为：633222221+++++ ；［问题2］中，接受到手机短信的人数构成一个等比数列:10
323,,3,3,3,1 ,于是知道短信的总人数为：103233331+++++ .
教师：提问：如何求和呢？
学生：议论纷纷：如果能够知道等比数列求和公式就好办了。
教师：为解决这个问题，就需要研究一般等比数列的前n 项和公式，引出课题。
（二）探究结论
1．等比数列{}n a 的首项是1a ，公比为q ，如何求其前n 项和？
师生活动：
教师：引导学生从整体、全局思考、考察发现规律。分析等比数列的前n 项每一项和前一项的关系，探索求和公式。
q a a 12=； q a a 23=； q a a 34=； ……； q a a n n 21--=； q a a n n 1-=
学生：思考后回答，将这1-n 个式子两边分别相加，得：q a a a a a a a a n n )(1321432-++++=++++ ， 所以q a S a S n n n )(1-=-
整理得：q a a S q n n -=-1)1(，提出问题：能不能直接求n S .
教师：提示：要求n S ，考虑q 需不需要讨论?
学生：分1=q 和1≠q 两种情况，当1≠q 时，q
q a q q a a S n n n --=--=1)1(111；当1=q 时，1na S n =
∴等比数列的前n 项和公式为?????≠--==11)1(111q q
q a q na S n n 教师:总结：在推导等比数列前n 项和公式时，用的是累加法；并且在推导过程中需要分类讨论，分类讨论的方法是数学问题中一种常用的方法，但讨论时一定要把握好标准。
2．利用求和公式，计算［问题1］象棋盘上的麦粒总数633222221+++++ .
师生活动：
学生：计算麦粒问题：11=a ，2=q ，64=n ，总数196464641084.1122
1)21(1?≈-=--?=S . 教师：按千粒麦粒的质量为40克计算棋盘上放的麦粒质量，会发现什么问题？
学生：计算：麦粒总质量超过7000亿吨。连呼不可思议。
教师：数学来不得半点马虎，需要用一种严谨的态度对待。
3．考虑用其他的方法求和=64S 633222221+++++ ，并推广到一般的等比数列求和。
师生活动：
教师：考虑讨论：用其他的方法求和=64S 633222221+++++ .
学生：思考、交流。可以把上式两边都乘以2，则2=64S 64633222222+++++
然后让两式相减得到=64S 1264-，得到一样的结果。
教师：这种求解思路能不能推广到一般的等比数列求和？
学生：完全可以。一般的等比数列前n 项和：112111321-++++=++++=n n n q a q a q a a a a a a S
两边同乘q ，得：n n q a q a q a qS 1211+++=
两式相减，得：q a a S q n n -=-1)1(
下面的过程就类似前面的第一种方法。
教师：归纳总结方法：错位相减法。并鼓励学生的这种探索精神。
4．我国古代思想家庄子在他的著作“天下篇”中有这样一段论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”怎样用学过的知识来说明它？
师生活动：教师：把古语翻译成现代汉语。
学生：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。
教师：引导学生化归等比数列问题。
学生：如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则是这样一个数列： ,21,,21,21,
2132n 它的首项是首项211=a ，公比2
1=q ，前的前n 项和为 n n n S )21(12
11])21(1[21-=--?= 教师：为什么一尺长的木棒永远也取不完？
学生：n 越大，n )21(越小，所以n
)21(1-总小于1，这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完。
（三）讲解例题
例3、例4.
师生活动：教师：教科书P52例3。让学生思考如何求解n S 。
学生：观察、分析：要求n S ，需要根据条件由通项公式求出1a 。
师生：共同黑板上书写整个过程。总结：等比数列的前n 项和公式及通项公式涉及到5个量：1a ，q ，n ，n a ，n S ，已知其中的3个量就可以求出另外的2个量。
教师：教科书P53例4。引导学生思考：9,99,999，…不是等比数列，不能直接用公式，该如何解决？
学生：独立思考，交流观点：把数列转化成10－1,100－1,1000－1，…就可以解决了。 师生：共同在黑板上书写解题过程。
教师：归纳题目所体现的数学思想：化归转化的思想。
（四）课堂练习
（1）课本P53页A 组第1题；（2）求数列2
11，412，813，...的前n 项和； （3）求和：0.5＋0.05＋0.005＋0.00 (05)
师生活动：
学生：独立解决。教师：巡视课堂，个别指导。师生：共同探讨答案。
（五）尝试小结
师生活动：
学生归纳总结，教师补充。小结如下：
①等比数列的前n 项和公式?????≠--==11)
1(111q q
q a q na S n n ②等比数列的前n 项和公式的推导方法有两种???错位相减法累加法
③数学方法：分类讨论的数学方法
④数学思想：化归转化的数学思想
（六）布置作业
作业：教科书P54练习A 第3题；习题A 第1题；选做：教科书P54练习B 第2题，第3题
数学教学设计方案的编写
下面通过具体例子说明数学教案的格式。
课题：一元二次不等式的解法 （1） 时间：----- 年 ---- 月 ----日
（普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）[M]．北京：人民教育出版社，2004．85-89．）
一、课型 ：新授课
二、教学目标
1．理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系；初步掌握一元二次不等式的基本解法。
2．通过探究活动，培养学生观察、分析、综合能力；提高学生运用数形结合等数学思想解决数学问题的能力。
3．通过探究过程，培养学生的独立与合作意识，让学生去体验成功，感受学习数学的快乐。
三、教学重点及难点
教学重点：一元二次不等式的解法。
教学难点：一元二次方程、二次函数和一元二次不等式的内在本质联系，一元二次不等式解集的确定。
四、教学方法：引导探究法
五、教学媒体：幻灯片
六、教学过程
（一） 创设情境、回顾旧知
教师提出问题：
1.一次函数b ax y +=（0≠a ）的图象是什么？
2.二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象是什么？
学生回答：
1.一次函数b ax y +=（0≠a ）的图象是一条直线;
2.二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象是一条抛物线。
【探究1】
实施过程：教师提出问题：如何作出一次函数153+=x y 的图象?
学生作出图象，然后让学生
(1)观察图象回答问题:
x 取___________时，0=y 即0153=-x ；x 取___________时，0>y 即0153>-x ； x 取___________时，0 (2)根据图象写出: 不等式0153>-x 的解集__________；不等式0153<-x 的解集__________ 教师启发学生发现一元一次方程、一次函数和一元一次不等式三个概念之间的“三个一次”的关系；教师引导学生总结一元一次不等式的解法步骤。 （二）师生互动、探究新知 【探究2】 实施过程：教师提出如何解一元二次不等式：062>--x x ？ 学生联想一元一次不等式的解法，思考并交流此问题的解法： 1．求出方程062=--x x 的根； 2．画出二次函数62--=x x y 的图象； 3．根据方程的根和函数图象确定不等式的解集。 教师和学生一起填空如下： (1)图象与x 轴交点的坐标为__________,该坐标与方程062=--x x 的解的关系：_____________。 (2)当x 取__________时，0=y ？ 当x 取__________时，0>y ？ 当x 取__________时，0 (3)由图象写出： 不等式062>--x x 的解集_______； 不等式062 <--x x 的解集______。 让学生反思并确认解一元二次不等式的方法和步骤。从而总结出以下结论： 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有 “三个二次”关系,三者之间有互为补充说明的相互联系。 （三）深化思维、总结规律 【探究3】 实施过程：（学生分成三组）结合学生在完成上面习题的练习结果的基础上，归纳总结一元二次不等式解的更一般的情况，由学生分组讨论填写表格，提升知识的结构。 教师引导学生分三种情况()0,0,0?讨论一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 与)0(02><++a c bx ax 的解集。（如下图） 教师引导学生进行归纳总结与提高： 1. 思考：若0++c bx ax 与02 <++c bx ax 的解集又如何求？如，怎样求解不等式 -x2+3x+4>0 的解集？ 引导学生思考并回答：须先把原不等式转化为 x2-3x-4<0 ，再求解. 从而得到如下规律： 若 a<0，在求一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集时，可以先把二次项系数化为正数，再求解. 2. 进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法)。即： 解一元二次不等式的一般步骤: （1） 把二次项系数化为正数；（2） 解对应的二次方程的根；（3） 根据二次函数的图像,结合不等号的方向写出不等式的解集. （四）练习互检、共同提高 1. 课堂练习：课本第89页，练习题1, 2. 2. （“考一考”活动） 同桌之间相互编题，求一元二次不等式的解集，然后相互检查. （五）师生交流、课堂小结 1. 研究了“三个一次”的关系； 2. 解一元二次不等式的一般步骤； 3. 数学思想：类比、数形结合、等价转化等数学思想. （六）课后作业、强化训练 1.课本P 89习题1, 2. 七、教学反思 主题 如何说课 一、数学课说课的含义 "说课"是近几年教学改革中涌现出来的一种新的教研模式，它是教师在精心备课的基础上，阐述对某节课的教学设想及其理论依据；但说课不是对备课内容的简单叙述，也不是对讲课过程的简单总结，而是在教育理论的指导下，教师对备课、讲课等教学环节在理论上的高度概括。原则上每次说课范围为一课时（如果是单元备课，就说一单元)的教学内容， 包括说教材、说教法、说学法、说教学程序四部分。 １、说教材 （1）说本课时教材的题目及主要内容；说课型(主要有新授课、讨论课、实验课、阅读指导课、复习课、检查课、综合课等)及所需课时。 （2）说前后联系及所处地位：要说出本节课的知识结构和教材内容前后的联系及其在本单元或本册教材中的地位和作用，从而明了教材编排意图。 （3）说重点、难点：说出哪些是重点、难点?确定这些重点、难点的依据是什么? （4）说教学目标：根据教学大纲、教材和学情，确定本节课的教学目标。 ２、说教法 （１）说出为完成本节授课任务所采用的教学方法及理论依据是什么?（用常教学方法主要有讲授法、谈话法、讨论法、读书指导法，演示法、实验法、参观法、练习法等)。 （2）说出使用哪些教具 （3）如何突出重点，突破难点。 ３、说学法 （1）结合教学内容说出通过什么方式，养学生哪些学习习惯和学习方法？(如主动预习、圈点勾划、查字典词典、记课堂笔记、手脑并用，读思结合、独立作业、及时复习等)。 （2）说出通过哪些途径，培养学生哪些能力(主要有阅读能力、书写能力、观察能力、思维能力、表达能力、计算能力等)? （3）说出因材施教的措施(如优生的培养、差生转化) ４、说教学程序 （1）说出本节课的课堂结构(课的结构主要有导入新课、指导预习、明确目标、捡测目标，进行新课、知识迁移、教师小结、布置作业等几个环节)。其中进行新课一个环节分为哪几个部分。（2）说出本课时师生双方活动的具体安排和依据。 （3）说出本课时师生的板书设计和依据。 （4）说出本节课的课堂练习及练习意图。 （5）说出课后作业的布置和训练意图。 说教学程序，是整个说课过程中最重要的一环，要求结构严谨，层次清楚。环环紧扣，过渡自然，要体现出如何抓住关键；突出重点，突破难点；要体现出：如何加强双基，发展智力，培养能力，德育；要体现如何面向全体，因材施教；要体现出如何激发学习兴趣，调动积极性；要体现出如何改革教法，指导学法。板书要提纲挈领，布局合理美观。 案例说课 —函数的单调性(1) 陆萍 (江苏省扬州大学附属中学, 225002) 一、教材分析 函数的单调性是函数的重要性质. 从知识结构上看, 函数的单调性既是函数概念的延续和拓展,又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础, 在研究各种具体函数的性质, 解决各种问题中都有着广泛的应用. 在函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法,这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用. 根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用,本节课教学应实现如下教学目标: 知识与技能理解函数单调性的概念,初步掌握判别函数单调性的方法. 过程与方法通过观察、归纳、抽象、概括, 自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;领会数形结合的数学思想方法, 提高发现问题、分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观在函数单调性的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养善于 观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.根据上述教学目标, 本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用. 虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力, 但函数单调性概念对他们 来说还是比较抽象的.因此,本节课的学习难点是用准确的数学语言刻划单调性的数学本质. 二、教法学法 为了实现上述教学目标, 本节课采取下述教学方法: 1)通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境, 拉近数学与现实的距离,激 发学生求知欲, 调动学生主体参与的积极性. ( 2) 在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与, 正确地形成概念. ( 3) 在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用, 要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达. 在学法上重视以下几点: ( 1) 让学生利用图形直观启迪思维,并通过正、反例的构造, 来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃. ( 2) 让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用, 培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力. 三、教学过程 函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点,为了突破这一难点, 在教学设计上采用了以下四个环节. 1. 创设问题情境,提出问题 (问题情境) (播放中央电视台天气预报的音乐) . 图1为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图,观察这张气温变化图. (教师活动) 引导学生观察图象, 提出问题: 问题1 说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的? 问题2 怎样用数学语言刻划上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征? 设计意图问题是数学的心脏,问题是学生思维的开始,问题是学生兴趣的开始.这里,通过两个问题,引发学生的进一步学习的好奇心. 2.探究发现,建构概念 (学生活动)对于问题1,学生容易给出答案.问题2对学生来说较为抽象,不易回答. t=8时,f(t1) =1, (教师活动)为了引导学生解决问题2,先让学生观察图象,通过具体情形,例如,“ 1 t2=10时,f(t2) =4”这一情形进行描述.引导学生回答:对于自变量8<10,对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题:结合图象,请你用自己的语言,描述“在区间[4,14]上,气温随时间增大而升高”这一特征. 在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时,进一步提出: 问题3 对于任意的t1、t2∈[4,16]时,当t1< t2时,是否都有f(t1) (学生活动)通过观察图象、进行实验(计算机)、正反对比,发现数量关系,由具体到抽象,由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性,并尝试用符号语言进行初步的表述. (教师活动)为了获得单调增函数概念,对于不同学生的表述进行分析、归类,引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1 问题4 类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗? 最后完成单调性和单调区间概念的数学表述. 设计意图数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要.但概念的高度抽象,造 成了难懂、难教和难学,这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去,从自己的经验和已有的知识基础出发,经历“数学化”、“再创造”的活动过程. 3.自我尝试,运用概念 为了理解函数单调性的概念,及时地进行运用是十分必要的.为此提出: 问题5 (1)你能找出气温图中的单调区间吗? (2)你能说出你学过的函数的单调区间吗?请举例说明. (学生活动)对于(1),学生容易看出:气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间,对于 (2),学生容易举出具体函数如:f(x) =-2x+2,f(x) =x 2+2x-3, f(x) = x 1,并画出函数的草图,根据函数的图象说出函数的单调区间. (教师活动)利用实物投影仪,投影出学生画出的草图和标出的单调区间,并指出学生回答问题时可能出现的错误,如在叙述函数f(x) =x 1的单调区间时写成并集. 设计意图 在学生已有认知结构的基础上提出新问题,使学生明了,过去所研究的函数的相关特征,就是现在所学的函数的单调性,从而加深对函数单调性概念的理解. 对于给定图象的函数,借助于图象,我们可以直观地判定函数的单调性,也能找到单调区间.而对于一般的函数,我们怎样去判定函数的单调性呢?提出: 问题6 证明f(x) =x 1在区间(0, +∞)上是单调减函数. (学生活动)学生相互讨论,尝试进行函数单调性的证明. (教师活动)教师深入学生中,与学生交流,了解学生思考问题的进展过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误,规范书写的格式. (学生活动)学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程:取值 作差变形 定 号 判断. 设计意图 有效的数学学习过程,不能靠单调的模仿与记忆,数学思想的领悟和学习过程更是如此.利用学生自己提出的问题,让学生在解题过程中亲身经历和实践体验,师生互动学习,生生合作交流,共同探究. 4.回顾反思,深化概念 (教师活动) 给出一组题:(1)定义在R 上的单调函数f(x)满足f(2) >f(1),那么函数f(x)是R 上的单调增函数还是单调减函数? (2)若定义在R 上的单调减函数f(x)满足f(1+a) (学生活动)学生互相讨论,探求问题的解答和问题的解决过程,并通过问题,归纳总结本节课的内容和方法. 设计意图 通过学生的主体参与,使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法,从而实现对函数单调性认识的再次深化. (教师活动)作业布置: (1)阅读课本第34页至35页例2. (2)书面作业. 必做:教材第43页第1题、7题、11题. 选做:二次函数y=x 2+bx+c 在[0,+∞)是增函数,满足条件的实数b 的值唯一吗? 探究:函数y=x 在定义域内是增函数,函数y = x 1有两个单调减区间,由这两个基本函数构成的函数y=x+x 1的单调性如何?请证明你得到的结论. (设计意图)通过两方面的作业,使学生养成先看书,后做作业的习惯.基于函数单调性内容的特点及学生实际,对课后书面作业实施分层设置,安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层.学 生完成作业的形式为必做、选做和探究三种,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦, 看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习热情,促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成. 四、教学评价 学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价.教师应当高度重视学生 学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力以及学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的 学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生 成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯.让学生 在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础. (编者注本文获第三届全国高中数学青年教师优秀课观摩与评比一等奖) 案例三垂线定理的说课1 一、教材分析 1.教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握了空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直的位置关系等知识基础上, 进一步研究空间的两条直线的垂直关系, 为今后继续研究直线与平面的位置关系, 空间两个平面 的位置关系打下坚实的知识基础. 因此, 本节课的内容是至关重要的, 它对知识起到了承上启下 的作用. 2.教学目标的确定及依据 全日制《立体几何》全一册教参及教学大纲明确指出: 高中里开设立体几何这门课程,目的是 要使学生系统地掌握空间图形的基本性质, 从而掌握一些简单几何体的画法, 表面积、体积公式, 进一步发展他们的逻辑推理能力和空间想象能力, 以及应用这些知识去分问题、解决问题的能力. 教学原则明确强调 要将思想教育内容渗透到数学教学中, 使学生在获得知识和培养能力的同时, 在思想教育方面也 应受到良好的熏陶. 依据教学目的和原则, 以及学生的学习现状, 我制定了本节课将要完成的教 育目标: a. 知识目标: 使学生初步掌握三垂线定理及其应用; b. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力; c. 德育目标: 培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点. 3. 重点、难点的确定及依据 多年的教学经验使我体会到: 学生对三垂线定理的学习普遍感到困难的是一时分不清定理中 的各条直线间的关系. 为此, 在教学过程中要把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平 面内的某条直线这一事实作为重点讲解的突破口, 因此, 本节课的教学难点是三垂线定理中的垂 线关系及证明过程. 依据本节的教学内容及学生现有的实际水平和认知能力, 我把三垂线定理的内容及应用作为教学 重点. 二、教材处理 1.学生现状的分析及对策 虽然高一学生学过平面几何, 已经具备了一定的几何知识, 在立体几何学习中已经掌握了空 间两条直线的位置关系, 直线与平面垂直的判定与性质, 斜线的性质等基础知识, 但是学生所具 有的空间想象能力毕竟是初步的, 另外学生的基础又参差不齐, 为此,在教学中要照顾全局, 注重 提高差生的学习兴趣, 耐心讲解, 耐心辅导. 2. 教学内容的组织与安排 为了更好完成本节课的教学任务, 让学生尽快掌握知识, 针对学生的认知规律, 借助电教和多 媒体教学手段, 通过操作教具和电脑, 使学生能直观感觉知识的正确性, 在此基础上激发学生探 索证实知识的正确性, 进而过渡到定理的证明, 使学生的认识上升到理性认识. 三、教学方法和手段 1. 教学方法的采用 教无定法, 教必有法, 贵在得法. 如果单靠教师讲解, 不注重发挥学生的主观能动性,则不利 于学生能力的提高. 现代的教学观明确指出: 教师是主导, 学生是主体. 根据本节的教学内容及 教学目标, 以及学生的认知规律, 我采用启发、引导、探索式相结合的教学方法, 启发、引导学生积极思考, 勇于探索, 使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态, 从而产生浓厚的学习兴趣, 发挥学生的主观能动性, 体现学生的主体作用. 2. 教学手段的采用 根据本节内容的特点, 为了更有效地突出重点, 突破难点, 增大课堂容量, 提高课堂效率, 使学生尽快掌握本节的教学任务, 除采用常规的教学手段, 特采用电教和多媒体教学手段, 利用 投影仪, 电脑和教具, 可以激发学生的学习兴趣, 强化记忆, 节省教学时间,会收到事半功倍的教 学效果. 四、教学程序 1. 复习, 导入新课 通过复习提问前面所学知识, 给学生创设一个确定空间两条直线垂直的方法有哪些的问题情境, 学生回答: 两条相交或异面的直线成直角, 直线与平面垂直的性质等均可说明两条直线垂直. 今天我们要学习一种新的方法, 进而引出新课——三垂线定理. (1) 三垂线定理的内容及证明; (2) 三垂线定理的逆定理; (3) 例题讲解 3. 反馈练习 为突出本节所学知识, 使学生尽快掌握,特编写一套反馈练习题, 充分调动学生学习的积极性, 强化学生巩固所学知识, 同时也给差生创造了主动请教他人的条件. 4. 归纳总结 给学生归纳总结本节所学知识, 目的是强化学生加深理解、便于记忆和应用所学知识. 5. 布置作业 通过布置作业, 使学生更进一步掌握和巩固本节的重点内容.为了便于学生掌握本节课的知识点, 并突出重点, 培养学生的逻辑推理能力和书写表达的规范化, 特把定理的证明和例题的证明 过程, 作为本节的板书内容. 附: 板书设计 案例 一元二次方程的应用教学设计 （一）指导思想与理论依据 数学是一门应用非常广泛的学科，注重应用意识和实践能力的培养，是当前数学课程改革的要点之一。新课程标准力求形成“问题情境——建立模型——解释与应用”的基本叙述模式，使学生在问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，发展数学应用意识，感受数学创造的乐趣。 本节课的设计理论依据主要来源于建构主义教育理论。学生学习的过程是一种自我建构的过程，也是一种再创造的过程。因此，要转变目前学生总是被动、单一的学习方式，让学生成为学习的主体，使学生的主体意识、能动性和创造性不断发展，培养学生的创新意识和实践能力，这就是要提倡自主、实践、探索、合作的学习方式。就是把数学教学过程作为学生活动的教学过程，采取以激励学习为特点的学生主动参与实践为主的教学形式，鼓励学生自己进行探索，自己尝试解决问 题的各种各样的方法，培养学生掌握探求新知识的方法，并获得不断深造的能力和创造能力，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的。 （二）教学背景分析 （1）学生情况及前期教学状况、问题、对策分析 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型. 现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是不会将实际问题提炼成数学问题.本节课对象是初二学生，他们具有一定的人治能力，比较缺乏社会生活经历，搜集信息、处理信息的能力较弱，鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题.它具有明显的问题性、实践性、开放性和创造性等特点，有效地发展了学生的思维能力. （2）教学方式与教学手段 以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识.激发学生学习兴趣，能让学生体会到“学数学、做数学、用数学”的快乐. （3）技术准备 多媒体计算机、实物投影仪、剪刀、纸板、铁丝、展板 （三）教学目标设计 ⑴知识与技能 [知识目标]以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. [能力目标]通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. ⑵过程与方法 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。 ⑶情感态度与价值观 本节课通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养应用数学的意识. （四）教学过程与教学资源设计 教学流程图
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