又)
()
()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==Θ
而由题设)
()
()()()|()|(A P B A P A P AB P A B P A B P =∴
=
即)]()()[()()](1[AB P B P A P AB P A P -=- )()()(B P A P AB P =∴，故A 与B 独立。
5. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是4
1，求)(A P 和)(B P .
解：4
1
)()(==B A P B A P Θ，又ΘA 与B 独立
∴41
)()](1[)()()(=-==B P A P B P A P B A P
4
1
)](1)[()()()(=-==B P A P B P A P B A P
4
1)()(),()(2
=-=∴A P A P B P A P
即2
1
)()(==B P A P 。
6. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有 （1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。
证明：0)(,0)(>>B P A P
（1）因为A 与B 独立，所以
0)()()(>=B P A P AB P ，A 与B 相容。 （2）因为0)(=AB P ，而0)()(>B P A P ， )()()(B P A P AB P ≠∴，A 与B 不独立。
7. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A Y 与C 也独立。
证明：因为A 、B 、C 相互独立， ∴)(])[(BC AC P C B A P Y I Y =
)()()()]()()([)()()()()()()()
()()(C P B A P C P AB P B P A P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P Y =-+=-+=-+=
B A Y ∴与
C 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为，和，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令321,,A A A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321===A P A P A P 令B 表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++=
902
.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)
()()()(321321321321=??+??+??+??=+++=A A A P A A A P A A A P A A A P 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为
)10(<
可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令=A “系统（Ⅰ）正常工作” =B “系统（Ⅱ）正常工作” =i A “第i 个元件正常工作”，n i 2,,2,1Λ= n i A A A P A P 221,,,,)(Λ=相互独立。 那么
[])()()(22121n n n n A A A A A A P A P ΛΛ+++=
][[]
)
2(2)
()()()
()()(221
21
1
22122121n n n n n
i i
n n i i
n i i
n n n n n P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-=-+=
-+=∏∏∏=+==++ΛΛΛ
)]())([()(22211n n n n A A A A A A P B P +??++=++Λ
n
n n i n i i n i i
n i
n
i i n i P P P P A P A P A
P A P A A P )2(]2[)]()()()([)
(1
211-=-=-+=
+=∏∏∏==++=+
10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。
解：令=i A “第i 个人中奖”，3,2
,1=i
(1) )(321321321A A A A A A A A A P ++
注：利用第7题的方法可以证 明)(i n i A A ++与)(j n j A A ++
j i
≠时独立。
系统I
系统II
)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)
|()|()()
|()|()()|()|()(213121213121213121A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P ++=
2
1859410684951068596104=??+??+??=
或213
10
2614==C C C P （2）)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P += 5
2
9410693104=?+?=
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
令=B “被检验者患有肝癌”， =A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么，0004.0)(,10.0)|(,95.0)|(===B P B A P B A P （1）)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P +=
10034.01.09996.095.00004.0=?+?=
（2）)
|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
0038.01
.09996.095.00004.095
.00004.0=?+??=&
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
解：令=i B “5件中有i 件优质品”，5,4,3,2,1,0=i
（1）3087.0)7.0()3.0()(3
2252==&C B P
（2）)()
()|()|
(0
02025
12B P B B P B B P B B P i i =
==Y
371.0)7.0(13087
.0)(1)(5
02=-=-=&B P B P
13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。
解：令=A “抽取一件产品为正品”
=i A “箱中有i 件次品”，2,1,0=i =B “该箱产品通过验收”
（1）9.010103
1)|()()(2
02
0=-?==
∑∑==i i i
i i
A A P A P A P （2）)|()()|()()(A
B P A P A B P A P B P +=
887.005.01.098.09.0=?+?=
14. 假设一厂家生产的仪器，以概率可以直接出厂，以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂，并以概率定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：
（1）全部能出厂的概率；
（2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。
解：令=A “仪器需进一步调试” ；=B “仪器能出厂”
=A “仪器能直接出厂” ；=AB “仪器经调试后能出厂” 显然AB A B +=，
那么8.0)|(,3.0)(==A B P A P
24.08.03.0)|())(=?==A B P PA AB P 所以94.024.07.0)()()(=+=+=AB P A P B P 令=i B “n 件中恰有i 件仪器能出厂”，n i ,,1,0Λ= （1）n
n B P )94.0()(= （2）222
222
2)06.0()94.0()06.0()94.0()(----==n n n n n
n C C B P （3）n n n n n n k k
C B P B
P B P )94.0()94.0(06.01)()(1)(
11
1
2
0--=--=---=∑
15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件
的概率：
（1）直到第r 次才成功；
（2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功； （4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。
解：
（1）1
)
1(--=r p p P
（2）k
r r k r p p C P )1(11-=--+ （3）r
n r r n p p C P --=)1(
（4）r
n r r n p p C P ----=)1(11
16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为，第二次为，第三次为. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为，击中飞机二次而飞机被击落的概率为，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
解：令=i A “恰有i 次击中飞机”，3,2,1,0=i =B “飞机被击落” 显然：
09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=A P
36
.07
.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)(1=?-?-+-??-+-?-?=A P 41
.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(2=??-+?-?+-??=A P
14.07.05.04.0)(3=??=A P
而0)|(0=A B P ，2.0)|(1=A B P ，6.0)|(2=A B P ，1)|(3=A B P
所以
458.0)|()()(3
==∑=i i i A B P A P B P ；542.0458.01)(1)(=-=-=B P B P
习题解答
1. 设X 为随机变量，且(Λ,2,1=k
), 则
（1） 判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2） 若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .
解：令Λ,2,1,2
1
)(====k p k X P k k
（1）显然10≤≤k p ，且
112
1
2121
11=-==∑∑∞
=∞
=k k k k p
所以Λ,2,1,2
1
)(===k k X P k 为一概率分布。
（2）X P (为偶数31
12
1)41411212=-===∑∑∞
=∞=k k k k p
161
121)5(2
121
555=-===≥∑∑∞
=∞=k k k k p X P
2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k
!
)((Λ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .
解：1!1=-∞=∑λλe k c k k Θ，而1!
0=-∞
=∑λ
λe k k k
1!010=??
?
???-∴-λλe c ，即1)1(---=λe c 3. 设一次试验成功的概率为)10(<
解：Λ,2,1,)1()(1
=-==-k p p k X P k
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。
解：
（1）Λ,2,1,0,1.0)9.0()1()(=?=-==k p p k X P k
k
（2）55
5
)9.0(1.0)
9.0()()5(=?===
≥∑∑∞
=∞=k k
k k X P X P
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少
解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为41=p ，所以这是一个5=n ,4
1=p 的独立重复试验。
64
1)43()41(43)4
1
()4(0
5554
4
5=
+?
=≥C C X P 6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备
发生故障的概率为，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过
解：
（1）0175.0)99.0(01.020)99.0(119
20
≈??--（按Poisson (泊松)分布近似）
（2）λ==?==101.0100,100np n （按Poisson (泊松)分布近似） 01.0!1)
99.0()01.0()1(100
1
1
100
1
100100
≤?≈=+≥∑∑+=-+=-N k k N k k
k k k e C
N X P
查表得4=N
7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且2
1)0(==X P ，求
（1）λ； （2）)1(>X P .
解：2ln ,2
1
!0)0(0
=∴=
=
=-λλλe X P Θ
)]1()0([1)1(1)1(=+=-=≤-=>X P X P X P X P
)2ln 1(2
1
]2ln 2121[1-=+-=
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某
本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
解：)2()1(===X P X P Θ，即
2,!
2!
12
1
==
--λλλλλ
e e
2
0-==∴e X P ）
（ 8
4
2)(--==∴e e P
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的
Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
9. 在长度为t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X 服从参数为2
t
的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；
解：
（1）2
3)0(23
,3-
===
=e X P t λ
（2）2
51)0(1)1(2
5
,5--==-=≥=
=e X P X P t λ
10. 已知X 的概率分布为：
试求（
1）a ； （2）12-=X Y
的概率分布。
解：
（1）12310
1
2=+++++a a a a a Θ 10
1
=∴a 。
（2）
11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图所示.
试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度；
（3）)22(≤<-X P .
解：
（1）135.02
1
5.0)(21=??+?-t Θ
1-=∴t
（2）???
?
?????∈+--∈+=其它，0
)3,0[,2161
)0,1[,2121)(x x x x x f
（3）1211
)2161()2121()22012
=+-++=≤<-??-dx x dx x X P （
12. 设连续型随机变量X 的概率密度为
?
?
?≤≤=其他,00,sin )(a
x x x f 试确定常数a 并求)6
(π>X
P .
解：令
1)(=?+∞
∞
-dx x f ，即1sin 0
=?dx x a
1cos 0
=-∴a x ，即2
,0cos π
=
=a a
2
3
|cos sin )6
(2
6
2
6
=
-==>
?π
ππ
π
π
x xdx X P 13. 乘以什么常数将使x
x e
+-2
变成概率密度函数
解：令 12
=?
+∞
∞
-+-dx ce x
x
即 14
1)2
1(2
=?
+∞
∞---dx e e c x
即 14
1=πce
4
11
-
=
∴e c π
14. 随机变量),(~2
σμN X ，其概率密度函数为
6
4
42
61)(+--=
x x e x f π
(+∞<<∞-x )
试求2
,σμ；若已知
?
?
∞
-+∞
=C
C
dx x f dx x f )()(，求C .
解：
2
22)3(2)2(6
443
21
61)(--+--
==
x x x e
e
x f ππ
Θ
2=∴μ , 32=σ
若
??∞
-+∞=c
c
dx x f dx x f )()(，由正态分布的对称性
可知 2==μc .
15. 设连续型随机变量X 的概率密度为
??
?≤≤=其他,
01
0,2)(x x x f 以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2
1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P .
解：412)21(2
1
==≤
?xdx X P 64
9)43()4
1()2(2
2
3=
==C Y P 。 16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<解：X 的概率密度为?????≤≤=其他,05
1,41)(x x f
（1）?-==<<2
1
221)1(41
41)(x x dx x X x P
（2）?-==
<<5
1211
)5(4141)(x x dx x X x P 17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从5
1=λ
的指数分布。某顾客
等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和)1(≥Y P .
解：
2105
1]1[1)10(1)10(-?-=--=<-=≥e e X P X P
5,4,3,2,1,0,)1()()(5225=-==∴---k e e C k Y P k k k
5167.0)1(1)1(5
2≈--=≥-e Y P
习题解答
1. 已知随机变量X 的概率分布为
2.0)1(==X
P ，3.0)2(==X P ，
5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出的曲线。
解：
????
??
?≥<≤<≤<=3
,1
32,5.021,2.01
,0)(x x x x x F
；
5.0)25.0(=≤≤X P
)(x F 曲线：
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为
??????
?≥<≤<≤--<=331111,
1,8.0,4.0,
0)(x x x x x F 试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠解：
（1）
（2）3
2
)1()1()1|2(=≠-==
≠3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互
独立的，且概率均是，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X
的概率分布； （2） X 的分布函数。
解：
（1）3,2,1,0,)
5
3()5
2()(33===-k C k X P k
k
k
列成表格
（2）??????????
?≥<≤<≤<≤<=3
,
1
32,12511721,12581
10,125270,0)(x x x x x x F 4. 试求习题中第11题X 的分布函数，并画出的曲线。
解：
?????????≥<≤+
+-<≤-++-<=3
1
30412112
10
141214110
)(22x x x x x x x x x F
5. 设连续型随机变量X 的分布函数为
??
?≤>+=-0
0,0,
)(2x
x Be A x F x
试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f .
解：
（1）11)(lim )(2=∴=+=+∞-+∞
→A Be
A F x
x Θ
又10)0()(lim 20
-=-=∴==+-→+A B F Be
A x
x Θ
（2）2
1)1()1()11(--=--=<<-e
F F X P
（3）???≤>==-0,0
,2)(')(2x x e x F x f x
6. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为
??
?
??
>≤≤++<=.,;1,ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F
试确定中的d c b a ,,,的值。
解： 10)(=∴=-∞a F Θ 又11)(=∴=+∞d F Θ 又10
)1ln (lim 1
-=∴==++-→c a cx x bx x Θ
又111
)1ln (lim =+-∴==+--→e be d x x bx e
x Θ 即1=b
7. 设随机变量X 的概率密度函数为)
1()(2
x a x f +=
π，试确定a 的值并求和
)1(解：1)
1(2=+?+∞
∞-dx x a
πΘ
即 11|arctan =∴=∞
+∞-a x a π
+∞<<∞-+=+=
?∞
-x x dt t a x F x
,arctan 1
21)1()(2ππ 5.0)]1arctan(1
21[)1arctan 121()
1()1()1|(|=-+-+=--=<π
πF F X P 8. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：
年），试求:
（1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
解：
（1） 当0≥t 时，t
e t N P t X P 1.0)0)(()(-===> t
e
t X P t X P t F 1.01)(1)()(--=>-=≤=∴
当0?
??<≥-=∴-000
1)(1.0x x e x F x
X 服从指数分布（1.0=λ）
（2）26.01)3(3
1.0≈-=?-e
F （3）13.0)3()5(≈-F F
9. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(X P ；（3）)4(-X P .
解：
（1）8051.0)4
44
.3()4)1(44.2(
)44.2(=Φ=--Φ=<&X P （2）)5.1(1)5.1(-≤-=->X P X P
5498.0)8
1
(1)415.1(1=-Φ-=+-Φ-=&
（3）)414()414()4|(|+-Φ-+Φ=3
()45(-Φ-Φ=
6678.01)4
3
()45(=-Φ+Φ=&
（4）[])2()0()2()0()1|1(|>+<=><=>-X P X P X X P X P Y
)412(1)410(
+Φ-++Φ=8253.0)4
3
(1)41(=Φ-+Φ=& 10. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2
N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分
解：100
20
)60|(=≥≥X x X P Θ 而
[])
60()
()60()60()()60|(≥≥=≥≥≥=
≥≥X P x X P X P X x X P X x X P I
又 Θ8413.0)1(1070601)60(=
Φ=??
?
??-Φ-=≥&X P 16826.08413.02.0)(=?=≥∴x X P
即 16826.0)1(10701)(=Φ=??
?
??-Φ-=≥x x X P
83174.01070=?
?
?
??-Φ∴x ，96.01070≈-x ，6.79≈x
11. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2μN X ，)5,(~2
μN Y ，而
)4(1-≤=μX P p ，，试证明 21p p =.
证明：
)1(44)4(1-Φ=???
??--Φ=-≤=μμμX P p Θ
)1()1(1551)5(2-Φ=Φ-=??
?
??-+Φ-=+≥=μμμY P p
21p p =∴.
12. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。
解：
??
???≤-≤???? ??-=其它,0,||1)(b c
d
y a c c d y f y f X Y 当0>c 时，??
?
??+≤≤+-=其他,0,)(1
)(d cb y d a c a b c y f Y
当0???
+≤≤+--
=其他,0,)(1)(d ca y d b c a b c y f Y
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计期末试卷+答案
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
概率论与数理统计课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1
概率论与数理统计课后习题答案
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量
probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计基本知识
概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8
{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。
