第十二章 级数
一、本章提要
1．基本概念
正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域．
2．基本公式
)1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，!
)
(0)(k x f a k k =
； (2)傅里叶系数： ππ
ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ
n n a f x nx x n b f x nx x n --=
===?? ． 3．基本方法
比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理
比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．
二、要点解析
问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？ 解析 有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立．
但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则．
例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题． 设 +-+-=1111x ，则有：
解一 0)11()11(=+-+-= x ； 解二 1)11()11(1=-----= x ； 解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12
x =
． 这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数
∑∞
=--1
1
)
1(n n 是发散的．
问题2 如何判别正项级数的收敛性? 解析 判别一个正项级数
∑∞
=1
n n
u
是否收敛没有固定的方法步骤，一般的作法有：
(1)利用级数收敛的必要条件，若0lim ≠∞
→n n u ，则
∑∞
=1
n n
u
发散；否则改用其他方法判别；
(2)若它是或可能转化为等比级数或p —级数，则由它们的收敛条件来判别； (3) 用比值判别法或用比较判别法来判别；
(4) 除以上方法外，还可用正项级数收敛的充要条件来进行判别，但使用此法需要一定的技巧，比如拆项求和，借助一些不等式等．对此读者可参考有关书籍．
还有一些方法，因本书中没有介绍，这里就不列举了，有兴趣的读者可参看其他教材．
例2 判别
1
π
3sin
4n n
n ∞
=∑的收敛性． 解一 因π303sin π44n
n
n ??<< ???，且13π4n
n ∞
=?? ???
∑收敛，故由比较判别法可知，
1
π
3sin
4n n
n ∞
=∑收敛． 解二 因
11π
3sin
341π43sin 4
n n n n ++=<，故由比值判别法可知， 1
π
3sin
4
n n n ∞
=∑收敛． 问题3 判别任意项级数
∑∞
=1
n n
u
的收敛性的一般步骤是什么?
解析 (1)若0lim ≠∞
→n n u ，则级数发散，若0lim =∞
→n n u ，则需要进一步判别；
(2)判别
∑∞
=1
n n
u
是否收敛，若收敛，则
∑∞
=1
n n
u
为绝对收敛，若
∑∞
=1
n n
u
发散，再看它是否
条件发散(如果是采用比值法判别
∑∞
=1
n n
u
发散的，那么
∑∞
=1
n n
u
也发散，因0lim ≠∞
→n n u )；
(3)若为交错级数，可用莱布尼茨判别法； (4)直接用收敛定义或性质判别． 例3 判别
∑∞
=---+-1
1
)11()
1(n n n n 的收敛性．若收敛，是绝对收敛还是条件收敛．
解 这是交错级数，因
1
11
1211)11()
1(1
+>
-++=
--+=--+--n n n n n n n n ，
而
∑
∑
∞
=∞
==+0
1
11
1n n n
n 发散，故
∑∞
=---+-1
1
)11()
1(n n n n 发散．又因
01
12lim
lim =-++=∞
→∞
→n n u n n n ，
且0)
2)(11()1(2)12(2)2()11(1>++--+--++-+=
-+---+=-+n n n n n n n n n n n n u u n n ，
即该级数满足莱布尼茨判别条件，故它收敛，而且为条件收敛．
例4 判别级数
∑∞
=???? ?
?+--21111n n n 的收敛性． 解 级数∑∑∑∞
=∞=∞
==-=???? ??+--2211
2121111n n k k n n n ． 由于调和级数11
k k
∞
=∑发散，所以级数∑∞
=???? ??+--21111n n n 发散． 问题4 求幂级数的收敛区间或收敛域时应注意写些什么? 解析 如果是不缺项的幂级数
n n n a x ∞
=∑，又n
n n a a 1
lim
+∞→存在，可以先按公式求出收敛半径
R ，
并写出收敛区间),(R R -；再判定R x ±=处的收敛性，以确定其收敛域．如果n
n n a a 1lim +∞
→不存在，或不是标准的幂级数(比如缺奇次幂或缺偶次幂，或含0x x -的幂等)，则要因题而异采取变量替换等方法化为标准的形式，求出新级数的收敛区间后，再回代求出原级数的收
敛区间或收敛域，也可以直接用比值法求前后项之比的极限(此时它不为常数而带有参数)，再进一步求出收敛区间或收敛域．
读者可以通过下面的例题来体会并加以总结．
例5 求幂级数∑∞
=??
?
??151n n
x n 的收敛半径和收敛域．
解 这是标准的幂级数．
因为11
1155n
n
n
n n x x n n ∞
∞
==??= ????∑∑，所以，由 11511lim
lim lim lim 1(1)55(1)5
51n n n n n n n n
a n n
a n n n ++→∞→∞→∞→∞
?====
+??+???+ ???
， 得到所给级数的收敛半径为5=R ，收敛区间为)5,5(-．
当5=x 时，级数为∑∞
=1
1
n n ，发散；当5-=n 时，级数为∑∞
=-1)1(n n n ，收敛．
因此所给级数的收敛域为)5,5[-．
例6 求幂级数
21
1
1
(1)
(21)!
n n n x n -∞
+=--∑的收敛域．
解 因为2221(21)!1
lim
lim lim 0(21)!2(21)n n n n n
u n x x x u n n n +→∞→∞→∞-===?++，所以收敛半径
+∞=R ，收敛域为),(+∞-∞．
例7 求幂级数
1
1
(1)(1)
n
n n x n
∞
-=--∑的收敛域． 解 令1-=x t ，原级数变为
∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
t ，因为 1111
lim 1lim lim
1=+
=+=∞→∞→+∞→n
n n a a n n n n n ，
所以其收敛半径为1=R ，收敛区间为)1,1(-．
当1-=t 时，
∑∑∞
=∞=--=--1
11
1)1()
1(n n n n n n 发散；当1=t 时，∑∞
=--1
11
)1(n n n 收敛，故∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
t 的收敛域为]1,1(-，显然原级数的收敛域为]2,0(． 问题5 把函数)(x f 展开为幂级数有哪些方法?求幂级数的和函数有哪些方法? 解析 一般说来，将)(x f 展开为幂级数有两种方法．一种是直接展开：就是先写出泰勒级数，然后证明其余项的极限为0，即lim ()0n n R x →∞
=．参见教材上的几个例子．另一种
为间接展开：作适当恒等变形，使之化为可利用的已知的几个展开式；或利用级数的加、减、乘等运算；或发现其导函数(或积分)可用常见的几个展开式表示，再通过逐项积分(或微分)得到原函数的幂级数展开式等等．用此类方法既可避免求)(x f 的各阶导数，也无需研究其余项，并且讨论收敛区间也比较方便．
求和函数的方法基本上有五个：)1(利用幂级数的和、差、积的运算性质；)2(利用幂
级数的逐项微分或逐项积分的性质；)3(利用某些常见的幂级数展开式；)4(利用初等数学公式及变量代换；)5(化为微分方程求解．参见下面例题． 例8 将2
()12x
f x x x
=+-展开为x 的幂级数． 解 因??
?
??+--=+-=
x x x x x x f 2111131)21)(1()(，而
+++++=-n x x x x
2111
)11(<<-x ，
+-++-+-=+n n x x x x x )2(842121132??? ??<<-212
1
x ，
故∑∞
=-+=
)2)
1(1()(n n n n
x x f ??? ??<<-212
1
x ．
注：一个函数展开为n 个幂级数之和，其收敛区间为n 个幂级数收敛区间的交集． 例9 将x x f ln )(=展开成2-x 含的幂级数．
解 2()ln[2(2)]ln 2ln 12x f x x -??
=+-=++
???
． 令22-=
x t ，则)1ln(221ln t x +=??
? ??
-+
+-++-+-=-n
n t n
t t t t 1432)1(432t <-1(≤1)， 故 23
12322(2)(2)
(1)(2)ln 12222322n n n
x x x x x n -------??+=-++++ ?????
? x <0(≤)4 于是得
+?--++-+---+=-n n
n n x x x x x 2)2()1(2)2(312)2(21222ln ln 13322x <0(≤)4 例10 求∑∞
=+++12
)
2)(1(n n n n x 的和函数．
解 因1)
3)(2()
2)(1(lim
=++++=∞→n n n n R n 且1±=x 时级数收敛，故收敛区间为]1,1[-．
设∑∞
=+++=12
)
2)(1()(n n n n x x S ，则
∑∞
=++='111)(n n n x x S ，∑∞
==''1
)(n n
x x S ，
又
∑∞
=-=
1
1n n x x x ，故x
x
x S -=''1)()11(<<-x ．积分得 ??
---=-=''='-'x x
x x x x
x
x x S S x S 0
0)1ln(d 1d )()0()()11(<<-x ， 因0)0(='S ，故)1ln()(x x x S ---=')11(<<-x ．再积分得
??---='=-x x
x x x x x S S x S 0
d )]1ln([d )()0()(
?--+---=x x x
x x x x 02
d 1)1ln(2
)1ln()1(2
2
x x x x --+-= )11(<<-x ，
又因0)0(='S ，故得
)1ln()1(2
)(2
x x x x x S --+-= )11(<<-x ．
此例通过微分方程亦可求得． 例11 求
∑∞
=+0
2!12n n
x n n 的收敛区间及和函数． 解 因0)1)(12(32lim !
12)!
1(32lim
2232=+++=+++∞→+∞→x n n n x n n x
n n n n
n n ， 故收敛区间为),(+∞-∞．
设∑∞
=+=
2!12)(n n
x n n x S ，而
221220
0021()d d e !!!
n n
x x n x n n n n x x S x x x x x x n n n +∞
∞∞
===+====∑∑∑?
?
， 故 ()
22
20
()()d (e )e (12)x x x S x S x x x x '
'=
==+?
，
即 2
220
21()e (12)!n x n n S x x x n ∞
=+=
=+∑，),(+∞-∞∈x ． 注：)1(对于给定的幂级数，如果一般项如例10那样：)
1)(2(2
+++n n x n ， 常用“先微后
积”的办法求和(系数分母中含有幂指数的因子)； )2(对于给定的幂级数，如果一般项如例11那样：n
x n n 2!
12+，常用“先积后微”的办法求和（系数分子中含有幂指数加1的因子）；
)3(幂级数在收敛区间逐项微分或逐项积分后，收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变，如例10．
问题6 傅里叶级数与幂级数有何不同?求函数)(x f 的傅里叶级数与将函数)(x f 展成傅里叶级数是否为一回事 ?
解析 傅里叶级数的结构与幂级数不同，它的各项均为正弦函数或余弦函数，它们都是周期函数，因此，傅里叶级数能呈现出函数的周期性，而幂级数则不能．正因为这样，傅里叶级数对振动电子信号等周期性现象的研究具有非常重要的意义．同时，一个函数的傅里叶级数展开(简称傅里叶展开)的条件要比幂级数展开的条件低得多，它不仅不需要函数具有任意阶导数，就连函数的连续性也不要求，只须满足收敛定理条件即可．这样就可以使得一般的函数均能展成傅里叶级数，当然它的收敛域比较复杂，系数计算也比较复杂，逐项求导和逐项积分则需附加很强的条件．而幂级数的收敛域是区间，系数的计算也相对简单，最重要的是幂级数在收敛区间内可以自由的运算，不仅可以把有限的四则运算带到无穷级数中来，还可以把有限个函数的（逐项）微分和（逐项）积分等解析运算也带进无穷级数中来． 求)(x f 的傅里叶级数与将)(x f 展成傅里叶级数不是一回事，就像一个函数的泰勒级数与其泰勒展开式不是一回事一样．所谓求)(x f 的傅里叶级数是指：若它在[π,π]-上可积，
则由公式计算出以n a ，n b 为系数的三角级数
∑∞
=++1
)sin cos (2n n n nx b nx a a ，就是)(x f 的傅里叶级数．显然，只要)(x f 在[π,π]-上可积，总可以用公式计算出n a ，n b ，从而可写出它的傅里叶级数．
问题是满足什么条件这个傅里叶级数收敛于)(x f ?只要满足收敛定理条件，这个傅里叶级数一定收敛，在连续点x 处收敛于)(x f ，在间断点处收敛于该点左、右极限的平均值．我们说将)(x f 展成傅里叶级数就是指：若)(x f 满足收敛定理条件，则在使
2
)()()(-++=x f x f x f 的点处有
∑∞
=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ，
一般说来，使上式成立的范围就是)(x f 的连续范围． 三、例题精解
例12 +-+-=!
6!4!21cos 6
42x x x x 中的“…”意味着什么？
解 这三个点表明级数的项无穷多，没有尽头，去掉三个点就称为多项式，不称为级数． 例13 验证欧拉公式．
246357
cos isin 1i 2!4!6!3!5!7!θθθθθθθθθ????+=-
+-++-+-+ ? ?????
2
3456
i i 1i 2!3!4!5!6!
θθθθθθ=+--++-- ，
因为2
i 1=-，3i i =-，4i 1=，5i i =，…，所以我们重新写级数为
23456
i (i )(i )(i )(i )(i )cos isin 1i e 2!3!4!5!6!
θθθθθθθθθ+=+++++++=
即i cos isin e θ
θθ+=．
例14 (付款现值模型) 某企业家支持一个球队，签如下合同：今后10年，每年向球
队支付300万元人民币．问企业家存入银行多少钱才能保证付清所有的应付款呢?假设存储是有利息的，企业家只需存入比3000万元人民币少得多的钱，这个少得多的存款额称为3000万元的现值．
解 现值的定义：将来应付款B 元的现值p 元，是一个必须今天存在银行账户上的值，它使得在将来的某个相关时间，账户上的值恰好等于B 元． 若年利率为r ，对t 年，每年n 次以复利计算利息，则
nt
n r p B ??? ?
?
+
=1或nt
n r B
p ??
? ??
+=1， 若利息以年利率为r 的连续复利计算，可得
e rt
B p =或e e
rt
rt
B p B -=
=． 求球队合同的现值：设付款分10次，球队每次获得300万元，第一次付款是在签约当天，设整个合同执行期间以%5的年复利计算利息．
第1笔付款发生在签约的当天：
第1笔付款现值3=(百万元)， 第2笔付款发生在一年后实现：
第2笔付款现值05
.013
+=
(百万元)，
第3笔付款发生在两年后实现：
第3笔付款现值2
05
.13
=
(百万元)， 同样
第10笔付款现值9
05.13
=
(百万元)， 总的现值1029
131 1.05333324.3211.05 1.05 1.051 1.05
????-??
???????=++++=≈- （百万元）
， 即企业家只需存入2432万元现值即可．
若合同永不停止地每年支付300万元，则该合同的现值是多少?即假设从签约之日起，每年付一次，且永不停止．设利率为每年%5，以连续复利计算． 第1笔付款现值3=(百万元)， 第2笔付款现值0.05
3e
-=(百万元)，
第3笔付款现值0.05
23(e )-=(百万元)，
……
总的现值0.05
0.0520.05333e 3(e )3(e )---=++++ ，
这是一个0.05
e
x -=的几何级数，求和得
总的现值0.05
3
61.51e -=
≈-(百万元)．
四、练习题
１．判断正误
（１）函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数； （ √ ） 解析 由函数)(x f 的幂级数展开式的唯一性可知，如果)(x f 能展开成0x x -的幂级数，那么幂级数就是)(x f 的泰勒级数．
（２）函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数展开式； （ ? ） 解析 当)(x f 的麦克劳林级数不收敛或不收敛于)(x f 时，)(x f 不可展开成为幂级数，所以函数的麦克劳林级数不一定是此函数的幂级数展开式．
（３）因为,0lim =∞
→n n u 所以正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛； （ ? ）
解析 0lim =∞
→n n u 是级数收敛的必要条件，而非充分条件．此题的结论应为：正项级数
∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u ．例如级数∑∞
=11n n ，有01lim =∞→n n ，但级数∑∞
=11
n n
发散． （４）交错级数
()
,11
∑∞
=-n n n
a 若,0lim =∞
→n n a 则∑∞
=-1
)1(n n n a 收敛． （?）
解析 此结论应用的是判定交错级数敛散性的“莱布尼茨判别法”，但缺少了一个条件“),2,1(1
=≥+n u u n n ”．
２．判断题 （１） 正项级数
∑∞
=1
n n
a
若满足条件（ D ）必收敛；
（Ａ）0lim =∞
→n n a ； （Ｂ）1lim
1
<+∞→n n
n a a ；
（Ｃ）1
lim
1n n n
a a +→∞≤； （Ｄ）1lim 1>=+∞→λn n n a a ．
解析 此题考察的是正项级数的比值判别法，定理中要求1lim 1
<=+∞→n
n n a a q 时收敛，故
选D ．
（２） 若
∑∞
=+1
)4(n n n
x a
在2-=x 处收敛，则它在2=x 处（ D ）；
（A ）发散； （B ）条件收敛；
（C ）绝对收敛； （D ）不能判断． 解析 设4+=x t ，则原级数转化为
∑∞
=1
n n
n t
a ．当2-=x 时，2=t ，由幂级数收敛域
关于原点的对称性，知
∑∞
=1
n n
n t
a 在（2-，2）必收敛，而在(,2)∪(2,)-∞-+∞不能确定其
敛散性．当2=x 时，6=t ，所以不能确定级数
∑∞
=+1
)4(n n n
x a
的敛散性．
（３） 关于幂函数∑∞
=1n n
n
x ，下列结论正确的是（ C ）；
（Ａ）当且仅当1 （Ｃ）当11<≤-x 时收敛； （Ｄ）当11≤<-x 时收敛． 解析 因为 11lim lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n ，所以收敛半径为1，从而收敛区间为)1,1(-． 当1=x 时，∑∞ =1 1n n 发散，当1-=x 时，∑∞ =-1)1(n n n 收敛，所以收敛域为)1,1[-． （４）设级数 ∑∑∑∞ =∞=∞=11 1 ,,n n n n n n c b a ，且n n n c b a <<),2,1( =n ，则（ C ）正确． （Ａ）若 ∑∞ =1n n b 收敛，则 ∑∞ =1n n a 必收敛； （Ｂ）若 ∑∞ =1n n b 发散，则 ∑∞ =1 n n c 必发散； （Ｃ）若 ∑∞ =1n n a ， ∑∞ =1n n c 都收敛，则 ∑∞ =1n n b 必收敛； （Ｄ）若 ∑∞ =1 n n a ， ∑∞ =1 n n c 都发散，则 ∑∞ =1 n n b 必发散． 解析 由级数性质的两边夹定理可知，若级数∑∞ =1 n n a ， ∑∞ =1 n n c 都收敛，则级数 ∑∞ =1 n n b 必 收敛． ３．填空题 （１） 函数)(x f 的泰勒级数 ∑ ∞ =-1 00) ()(! ) (n n n x x n x f 收敛于)(x f 的必要条件是 0)(! ) (lim 00) (=-∞ →n n n x x n x f ； 解 因为泰勒级数 ∑ ∞ =-1 00) ()(! ) (n n n x x n x f 收敛于)(x f ， 因此必定满足级数收敛的必要条件，所以0)(! ) (lim 00) (=-∞ →n n n x x n x f ． （２）写出麦克劳林展开式，并注明收敛域； e x = 212!! n x x x x n +++++∈ R ； =x s i n 35211 (1) 3!5!(21)! n n x x x x x n ---+-+-+∈- R ； =x c o s 2421(1)2!4!(2)! n n x x x x n -+-+-+∈ R ； =+)1l n (x ]1,1()1(32132-∈+-+-+-+x n x x x x n n ； m x )1(+=)1,1(! )1()1(!2)1(12-∈++--++-+ +x x n n m m m x m m mx n ； （３）设 ∑∞ =1n n n x a 的收敛半径为R ，则∑∞ =12n n n x a 的收敛半径为 R ； 解 由于 ∑∞ =1 n n n x a 的收敛半径为R ，则∑∞ =1 n n n x a 的收敛区间为),(R R -． 于是，对于级数 21 n n n a x ∞ =∑，R x <<2 0?R x R <<- ，所以，∑∞ =1 2n n n x a 的收敛 半径为 R ． （４） 设)(x f 以2π为周期，在[π,π]-的表达式为{ 1,π0,()1,0π, x x f x x x --≤<= +≤<则 )(x f 的傅里叶级数在πx =处收敛于 1π+ ． 解 因为 π π lim ()lim (1)1πx x f x x - -→→=+=+， ππ lim ()lim (12π)1πx x f x x + +→→=-+=+， 从而 π lim ()1π(π)(2ππ)(π)x f x f f f →=+=-=-= ， 即)(x f 在πx =处连续， 所以，)(x f 的傅里叶级数在πx =处收敛于(π)f =1π+ ． ４．解答题 （１） 求 ∑∞ =+1)1(n n x n n 的收敛域与和函数； 解 因为 ∑∞ =+1 )1(n n x n n =∑∞ =-+1 1 )1(n n nx n x =∑∞ =++0 )1)(2(n n x n n x ， 设)(x s = ∑∞ =++0 )1)(2(n n x n n ，容易求得，此级数的收敛半径为1，收敛区间为（-1，1）． 设 )(x u = ()d x s x x ? =0 (2)(1)d x n n n n x x ∞=++∑? =∑∞ =++0 1 )2(n n x n ， 积分得 ()d x u x x ? =1 (2)d x n n n x x ∞+=+∑? =∑∞ =+0 2 n n x =x x -12 ， 求导得 )(x u =)1(2 '-x x =22)1()1(2x x x x -+-=2 2)1(2x x x --， 再求导得 )(x s =])(['x u =])1(2[22'--x x x =3 )1(2 x -， 所以 ∑∞ =+1 )1(n n x n n =)(x xs = 3 ) 1(2x x - )1,1(-∈x ． (2) 分别求级数 ∑∞ =-1 1 n n nx 与∑∞ =+1 212n n n x 的和函数； 解 （a ）设 )(x s = ∑∞ =-1 1 n n nx ， 积分得 ()d x s x x ? =1 1 d x n n nx x ∞-=∑? =∑∞ =1 n n x = x x -1， 求导得 )(x s =)1( '-x x =2 ) 1(1x -， 所以 ∑∞ =-1 1n n nx = 2 )1(1 x - )1,1(-∈x ． （b ） ∑∞ =+1212n n n x =∑∞=++11 2121n n n x x ． 设 )(x u =∑∞ =++11 21 2n n n x ， 求导得 ='])([x u )12(112'+∑∞ =+n n n x =∑∞ =1 2n n x =2 21x x -， 积分得 )(x u =0 ()d x u x x '?=220d 1x x x x -?=201 d 1x x x -?-0d x x ?=x x x --+11ln 21， 所以 ∑∞ =+1212n n n x =∑∞=++1 12121n n n x x =111ln 21--+x x x ． (3) 将x x f 1 )(= 展开成3-x 的幂级数； 解 因为 x x f 1)(= =3)3(1+-x =3 311 3 1-+ ?x ， 又因为 x +11=)1,1()1(12-∈+-+-+-x x x x n n ， 所以 x x f 1)(==3 3113 1 -+? x =31]33)1()33(331[2 +??? ??--+--+--n n x x x =∑∞ =+--01)3(3 )1(n n n n x )1,1(33-∈-x ， 即 )6,0(∈x ． (4) 将x sin 展开为π 6 x + 的幂级数； 解 因x sin =π πsin[()]6 6 x +-= 3π1π sin()cos()2626 x x +-+，而 )6sin(π+x =3521 1πππ()()()π666()(1)63!5!(21)! n n x x x x x n --++++-+-+-+∈- R ， πcos()6x +=242πππ ()()()6661(1)2!4!(2)! n n x x x x n +++-+-+-+∈ R ， 所以 x sin = 3π1π sin()cos()2626 x x +-+ =234 πππ ()()()13π131666()22622!23!24!x x x x +++-+++?--?+ 22111ππ ()()1366(1)(1)2(2)!2(21)! n n n n x x x n n ---+++-?+-?+∈- R ． (5) 设{ 0,()π,f x x = -π0,0π, x x -≤<≤<将)(x f 在[π,π]-上展成傅里叶级数，傅叶级数在 0=x 处收敛于什么？ 解 计算傅里叶系数 0a =ππ1()d πf x x -?=π01(π)d πx x -?=2π 11(π)π2x x -=π2， n a =ππ1()cos d πf x nx x -?=π01(π)cos d πx nx x -?=π 1(π)d(sin )πx nx n -? =π01(π)sin πx nx n -+π01sin d πnx x n ?=π021cos πnx n -=20,21,2 ,2,π n k n k n =-???=?? n b =ππ1()sin d πf x nx x -?=π01(π)sin d πx nx x -?=π 01(π)d(cos )πx nx n --? =π01(π)cos πx nx n --π01cos d πnx x n ?=0cos 1n =n 1， 所以，)(x f 的傅里叶级数展开式为 )(x f =π4+2 1211[cos(21)sin(21)sin 2](21)π 212k k x k x kx k k k ∞=-+-+--∑． 因为)(lim 0 x f x +→=0 lim (π)x x + →-=π，)(lim 0 x f x -→=0， 所以，傅里叶级数在0=x 处收敛于 π 2 ． (6) 判断 ∑∞ =-2 1 1n n n 的敛散性； 解 因为 11 -n n < 1 )1(1 --n n = 2 3) 1(1-n ， 而级数 ∑ ∞ =-2 2 3) 1(1n n = ∑ ∞ =1 2 31n n 是3 12 p = >的p —级数，收敛， 根据正项级数收敛的比较判别法知，级数 ∑∞ =-2 1 1n n n 收敛． (7) 判断11 π tan 2n n n ∞ +=∑的敛散性； 解 根据正项级数的比值判别法， n n n a a q 1lim +∞→==21 π (1)tan 2lim π tan 2 n n n n n +→∞ ++??=21 π (1)2lim π2 n n n n n +→∞++? ?=n n n 21lim +∞→=21<1， 所以，级数1 1π tan 2n n n ∞ +=∑收敛． (8) 判断 ∑∞ =+-1 1 1) 1(n n n 的敛散性； 解 根据交错级数的莱布尼茨判别法， n n u ∞ →lim =11lim +∞ →n n =0， 1+n u = 2 1+n < 1 1+n =n u ， 所以，级数 ∑∞ =+-1 1 1)1(n n n 收敛． (9) 存款账户上的定期存款．假设储户在账户上每年存入1000元，年利率为５％， 以年复利计算，储蓄n 年之后账户上的存款B 是多少？作出这个模型并观察当∞→n 时的级数的收敛性． 解 根据题意，储蓄一年后账户上的存款 %)51(10001+?=a ， 储蓄n 年后帐户上的存款 %)51(%)51(10001+++?=-n n a a ， 则得到方程组 12212233 23211 211000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%),(15%)1000(15%)(15%), n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=?+++? ?+=?+++?+=?+++?? ?+=?+++? 将方程组中的方程相加，得 n a =111 2 %)51(]%) 51(%)51(%)51[(1000--++++++++?n n a =n n %)51(1000%) 51(1] %)51(1%)[51(10001+?++-+-+? - =21000[]1%)51(-+n ， 并且 n n a ∞ →lim =∞， 所以，储蓄n 年之后账户上的存款B 是21000[]1%)51(-+n 元，当∞→n 时的级数发散． 常数项级数： 是发散的调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1312112 )1(3211111 2+++++=++++--=++++- 级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）： —根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=?? ???=><=?? ???=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞ →+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数； 肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数； ，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数： 0010)3(lim )3(1111111221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()! 1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m 欧拉公式： ??? ????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数： 。 上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。 ，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )sin cos (2)sin()(00101 0ππω???ω-====++=++=∑∑∞ =∞= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数： 《高等数学》--级数期末考试试卷 班级 学号 姓名 一、填空：本大题共8小题，每题2分，共16分。 1、写出几何级数 ，通项为 。 2、写出调和级数 ，通项为 。 3、写出p 级数 ，第100项为 。 4、设级数1 n n u ∞ =∑收敛于s ，a 为不等于零的常数，则级数1 n n au ∞ ==∑ 。 5、已知级数1 2!n n n ∞ =∑收敛，则2lim !n n n →∞= 。 6、若级数1 n n u ∞=∑发散，则原级数1 n n u ∞ =∑ （填敛散性）。 7、将函数()sin f x x =展开成马克劳林级数为 。 8、将函数()cos f x x =展开成幂级数为 。 二、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题意要求的。 9、lim 0n n u →∞ =是级数 1 n n u ∞ =∑收 敛的------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 既非充分又非必要条件 10、设级数1 n n u ∞=∑收敛，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 ()n n n u v ∞ =+∑------（ ） A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性不定 11、下列级数收敛的是----------------------------------------------------（ ） A 、1n n ∞ =∑ B 、1ln n n ∞ =∑ C 、11n n n ∞ =+∑ D 、1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 12、下列级数的发散的是-------------------------------------------------（ ） A 、1n ∞ = B 、111 248+++ C 、0.001 D 、13 ()5n n ∞ =∑ 13、若级数1 n n u ∞ =∑收敛，n s 是它的前n 项部分和，则1 n n u ∞ =∑的和为（ ） A 、n s B 、n u C 、lim n n s →∞ D 、lim n n u →∞ 14、幂级数0! n n x n ∞ =∑的收敛区间为 -----------------------------------（ ） A （-1，1） B 、(0,)+∞ C 、(,)-∞+∞ D 、（1，2） 15、被世界公认的微积分的创始人为----------------------------（ ） A 、阿基米德和刘徽 B 、牛顿和庄子 C 、莱布尼兹和牛顿 D 、欧拉 16、若幂级数0n n n a x ∞ =∑的收敛区间为(1,2)-则-------------------（ ） A 、在1x =-处收敛 B 、在4x =处不一定发散 C 、在2x =处发散 D 、在0x =处收敛 《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南” 授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师） 强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围： 第一部分《矢量代数与空间解析几何》 ————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》 ————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”） ————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》 ————第十一章都要复习 敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请原谅！ 另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。 第十一章 级数 一、常数项级数的概念与性质（了解） 1、无穷级数的概念 设有无穷数列 ,,,,,21??????n u u u 则式子 ,21???++???++n u u u 称为无穷级数，简称级数。记作 ∑∞ =1 n n u 。即 , 211 ???++???++=∑∞ =n n n u u u u 其中,,,,,21??????n u u u 叫做级数的项，而n u 叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。 例如 ???++???+++n 321， ???++???+++n 3 1 31313132。 就是常数项级数。 2、级数的收敛与发散 定义 设级数,21 ???++???++n u u u 当n 无限增大时， 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 常数项级数： 是发散的 调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1 312112 )1(3211111 2 +++++= ++++--= ++++-ΛΛΛ 级数审敛法： 散。 存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞ →+∞→∞ →+++=?? ? ??=><=?? ? ??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞ →+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11 1 )1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n Λ ΛΛΛ 幂级数： 01 0)3(lim )3(111 1111 221032=+∞=+∞ === ≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρ ρρΛΛΛΛ函数展开成幂级数： Λ ΛΛ Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00 lim )(,)()!1() ()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(2 0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数： ) ()!12()1(!5!3sin )11(! )1()1(!2)1(1)1(1 21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+ +=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n m ΛΛΛΛΛ 欧拉公式： ??? ????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数： 。 上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。 ，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin ) sin cos (2)sin()(00101 0ππω???ω-====++=++=∑∑∞ =∞ =ΛΛnx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数： 第七章 级数 7.1 常数项级数的概念与性质 7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列 12,,,, n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式 12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数； 其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。 级数简记为： 1 n n a ∞ =∑，即 121 n n n a a a a ∞ ==++++ ∑ 部分和： 作（常数项）级数12 n a a a ++ ++ 的前n 项的和121 n n n i i S a a a a ==++ +=∑， n S 称为级数（1）的前n 项部分和。 当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。 级数收敛与发散： 如果级数 1 n n a ∞ =∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =（有限值），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++ 。 如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞ 不存在或为±∞），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑发散。 常用级数： （1）等比级数（几何级数）： n n q ∞ =∑ 1 11q q -当时收敛于 1q ≥当发散 （2）p 级数: 11p n n ∞ =∑ 11p p ≤当时收敛当时发散 级数的基本性质： 性质1： 若级数 1n n a ∞ =∑收敛于和S ，则级数 1 n n Ca ∞ =∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。 性质2： 若级数 1 n n a ∞ =∑和级数 1 n n b ∞ =∑分别收敛于和S 、σ，则级数 ()1 n n n a b ∞ =±∑也收敛，且其和为 S σ±。 注意：如果级数 1n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑都发散，则级数 ()1n n n a b ∞ =±∑可能收敛也可能发散；而如果 两个级数 1 n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑中有且只有一个收敛，则 ()1 n n n a b ∞ =±∑一定发散。 性质3： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。 性质4： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数 1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -+++ +++++++++ 仍收敛，且其和不变。 注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。 推论1： 若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。 性质5： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则 lim 0n n a →∞ =。 注意：lim 0n n a →∞ =仅仅是级数1 n n a ∞ =∑收敛的必要条件，而非充分条件。 第四篇 无穷级数 第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数. 第1节 常数项级数的概念与性质 1.1常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…， 12...n n s u u u =+++，… 根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 如果级数∑∞ =1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 ΛΛ 3211 +++++==∑∞ =n n n u u u u u s ; 如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值 12n n n n r s s u u ++=-=++L 叫做级数∑∞ =1n n u 的余项. 例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞ =0 (a ≠0)的敛散性. 解 如果1≠q , 则部分和 q aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1 2. 当1 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞<高等数学基本公式整理(级数部分)
高等数学(级数)期末试卷
高数 级数
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同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
q 时, 因为∞=∞ →n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散.
高数 第七章 无穷级数 知识点
p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、 ? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
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