的基本性质
考点1 对称性
圆既是________ ① ___ 对称图形，又是_____ ② ________ 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的—
③_________ O它的对称中心是一④°同时圆又具有旋转不变性。
温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条宜线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。
考点2 垂径定理
建理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条⑥。
常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条____ ⑧____________ 0温馨提示：垂径立理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式岀现，一般分值都任3 分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径左理和勾股左理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形：（2）常用的辅助线：连接半径：过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位巻不确泄，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径立理，一条直线只要满足：①过圆心：②垂直于弦；③平分弦：④平分弦所对的优弧：⑤平分弦所对的劣弧：
考点3 圆心角、弧、弦之间的关系
￥
泄理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_______ （9）_____ ,所对的弦也______ ⑩________ 。
常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—?______________ ,所对的（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角—?_______________ ，所对的弧_____ ?
方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、狐、弦之间的关系立理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地苴余各组量也都相等。
温馨提示：（1）上述怎理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的狐与弦都不相等。
（2）在由弦相等推岀弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。
考点4 圆周角泄理及其推论
推论：半圆或直径所对的圆周角是 _______ ? __________ ? 90°的圆周角所对的弦是 ______ @ ____________ * 方法点拨：左理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，若需要直角或证明垂直时，通 常作出直径就能解决问题。
温馨提示：左理中的“同弧或等弧”不能改为是“同弦或等弦二因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个, 这两个圆周角互补。
例匕如图1,正方形ABCD 是00的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则ZBPC 的
度数是（ ）
例2：如图，在OO 中，ZAO3的度数为m C 是ACB 上一点，D E 是AB h 不同的两点（不与A B 两点重合），则ZD+ZE 的度数为（ ）
A. //? B ? 180 一一 C ? 90 +— D ?—
2 2 2
例3：髙速公路的隧道和桥梁最多.如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路
面AB=10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA=（ ）
37 37
A ?5
B ?7
C ?一
D ?一
5 7
训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1. （09年南宁）如图，AB 是00的直径，弦CD 丄AB 于点E, ZCDB=30° ,€>0的半径为,则弦CD 的长 为（ ） ）
3
A. —cm B ? 3cm C ? 2>/3cm D ? 9cm
2 VV 名 精解>>
C. 75
D. 90
A. 45
B. 60 例2图
2.（09年天津市）如鼬僉炉内接于紀戚ZOABp?题购ZC的棣翅图）
A. 28°
B. 56°C?60°D?62°
3.（09南宁）如图，AB是€>0的直径，弦CD丄AB于点E,ZCDB = 30° , 00的半径为屈加，则弦CD的长为
（）
3
A. —cm
B. 3cm C? 2、/5cm D? 9cm
2
4.（09年安徽）如图，弦CD垂直于00的直径AB,垂足为H,且CD = 2血，BD=>/3 ,则AB的长为（
）
A?2 B?3 C?4 D?5
5.（09年安徽）AABC中，AB=AC, ZA为锐角，CD为AB边上的髙，I为Z\ACD的内切圆圆心，则ZAIB的度
数是（） A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°
6.（09年重庆）如图.?O是AABC的外接圆，AB是直径.若ZBOC=80° ,则ZA等于（）
A. B. C. D.
7. （09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度^124^ 拱的半径为13米，则拱高为（）
A. 5米
B. 8米
C. 7米
& （09年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截而如图所示，其中有水部分水而宽米，最深处水深米，则此输水管道的直径是（）
A.米B?米 C.米D?1米
9.（09山四省太原市）如图，在RtAABC中，ZC=90°, AB=10,若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过
AB的中点D,则AC的长等于（）
A. 5松
B. 5 C? 5>/2 D. 6
10.（09年云南省）如图，A、D是00上的两个点，BC是直径，若ZD = 35° ,则ZOAC 的度数是（
二填空题（每小题3分，共30分）
12. （09年长春）如图，点C 在以A3为直径的0O 上，AB = 10, ZA = 30°,则3C 的长为 _____________?
13. （09年福州）如图，AB 是00的直径，点C 在OO ± > OD 〃AC,若BD=1,则BC 的长为 __________________
14. （09年北京市）如图，AB 为€）0的直径，弦CD 丄AB, E 为BC 上一点，若ZCEA= 28 ,则ZABD =
15. （09年山东青岛市）如图，AB 为€）0的直径，CD 为O0的弦，ZACD=42° ,则ZBAD= ___________________
16. （09年新疆乌鲁木齐币）如图，点C 、D 在以AB 为直径的OO 上，且CD 平分ZACB ,若AB = 2/ZCBA=15° ,
则CD 的长为 ___________ ?
17. （09年广东省）已知00的直径AB = 8cm, C 为上的一点，ZBAC = 30则BC= ______________ cm.
18. （09年山西省）如图所示，A. B.C. D 是圆上的点，Zl = 70°, ZA = 40°,则ZC = _ _________________ 度
.
第20题图 第X 、题图
第12题图 第13题图 （09年长沙）如图，AB 是00的直径, C 是OO±一点，ZBOC=44° ,则ZA 的度数为 ______________
第14题图
第20题图
8
D
第18题图
19.（09年上海市）在中，弦AB的长为6,它所对应的弦心距为4,那么半径0A= _________________ ?
20.（09 成都）如图，AABC 内接于00, AB = BC, ZABC = 120° , AD 为00 的直径，AD = 6,那么 BD= ________ ?
三、解答题（共60分）
21.（本题6分）（09年广四钦州）已知：如图，OOi与坐标轴交于A （1, 0）、B （5, 0）两点，点6的纵坐标
为求00］的半径?
22.（本题6分）（’09年四川省内江市）如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上,
AB=AD, ZBFC=ZBAD = 2ZDFC?
求证：（1） CD1DF；（2） BC = 2CD?
C
第22题图
第22题图
23.（本题6分）（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点,
延长AP交圆于点E.
Z E= ____________ 仪；
第23题图
25.（本题7分）（09年株洲市）如图，点4、B、C是0O上的三点，AB//OC?
（1）求证：AC平分ZOAB?
2 ）过点O作OE丄A3于点E ,交AC于点P?若AB = 2 >