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高等代数第四章线性变换

第四章线性变换

习题精解

1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；

3）在P 3

中，A

),,(),,(2

33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3

中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；

5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f

6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=

8）在P n

n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n

n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,

A ≠)(αk k A()α.

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有

A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++

=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx

),,2()

,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-=

= k A )(α

故A 是P 3

上的线性变换.

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令

)()()(x g x f x u +=则

A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.

6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.

A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )

A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f

7)不是.例如取a=1,k=I,则

A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)

8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则

A (=+=+=+BYC BXC C Y X

B Y X )()A X +A Y

A (k X )=k BXC k kX

B ==)()(A X

故A 是n n P ?上的线性变换.

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:

A 4=

B 4=

C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2

并检验(AB )2

=A 2

B 2

是否成立. 解任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为

A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)

B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)

C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)

所以

A 4=

B 4=

C 4=E

2) 因为

AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为

A 2

B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)

所以

A 2

B 2=B 2A 2

3) 因为

(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)

A 2

B 2(a)=(-x,-y,z)

所以

(AB )2≠A 2B 2

3.在P[x] 中,A '

)(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E

证任取∈)(x f P[x],则有

(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('

f ))(x =;

)(xf x f +)(x -'

xf )(x =)(x f

所以 AB-BA=E

4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:

A k B-BA k =k A 1-k (k>1)

证采用数学归纳法. 当k=2时

A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A

结论成立.

归纳假设m k =时结论成立,即A m

B-BA m

=m A

-m .则当1+=m k 时,有

A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A

-m A=)1(+m A m

即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.

证设A 是可逆变换,它的逆变换为A

若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1

-,有a=b,这与条件矛盾.

其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1

-b=a 即可.

因此,A 是一个双射.

6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且

仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 证因

A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A

故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;

2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵; 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!

)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1) 下的矩阵A;

4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e ax

sin bx

3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=221x e ax cos bx ,1ε=2

e ax 2x sin bx

的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵;

5) 已知P 3

中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是??

??-121011101求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3

中,A 定义如下:

???

??--=-=-=)9,1,5()6,1,0()

3,0,5(3

21ηηηA A A 其中

???

??-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(3

21ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1)

A 1ε=(2,0,1)=21ε+3ε

A 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)= 2ε

故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为???

? ??-001110012

2）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=

1ε+212ε，

A 2ε=

1ε+212ε

故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=?????

??2121212

又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =???

??1000，另外，

（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=

1ε+212ε

所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =????

210210， 3）因为 )!

1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε ，所以A 0110=-=ε

A 01)1(εε=-+=x x A )!

1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=

-n n x x x n n x x x n K K ε

1()]

3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }

=2-n ε

，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =???????

?011010K

K K

， 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,

D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε

，所以D 在给定基下的矩阵为D =??????

?---00

0000010000100

001

01a b b a a b b a a

b b a

， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

??--111101

011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)???

??---101110111=(1η,2η,3η)X ，

故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为

B =X 1

-AX=????? ??--111101

011????? ??-121011101????? ??---101110111=????

??--203022211.

6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301，

所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)???

?? ??--012110301,

但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)???

?? ??----963110505故

A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)????? ??----963110505????

? ??--0121103011

=(1ε,2ε，3ε)??

??? ??----963110505???????

??---717

172717672

737371 =(1ε,2ε，3ε)??

???

??-----7247

187

27727574

72072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)??

?? ??--0121103011

所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)??

?? ??--0121103011

-????

??----963110505 =(1η,2η,3η)???

??---011101532。

8．在P

2?中定义线性变换A

(X )=???

??d c b a X, A 2

(X )=X ???

??d c b a , A 2

(X )=

???? ??d c b a X ???

? ??d c b a , 求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵。解因

A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,

故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为

A 1=??????

?d c

c b a b a

0000000 又因

A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,

故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为

A 2=???

?d b c a d b c

a 00000000

又因

A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22 A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22 A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22 A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22

故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为

????

?=22223d bd

cd bc cd ad c ac bd b ad ab bc ab ac a A 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

? ??3332

232221

131211

a a a a a a a a a 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵; 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且; 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1)因

A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε A 2ε=+332εa +222εa 112εa A 1ε=+331εa +221εa 111εa 故A 在基123,,εεε下的矩阵为

????

??=1112

212223

3132333a a a a a a a a a B 2)因

A 1ε=111εa +

+)(221

εk k

a 331εa A (k 2ε)=k 112εa +)(222εk a +332εka A 3ε=13a 1ε+

a 23

(2εk )+333εa 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为

?????

? ?

?=3332

31232221

1312112a ka a k a a k a

a ka a B 3)因

A (21εε+)=(1211a a +)(31εε+)+(12112221a a a a --+)2ε+(3231a a +)3ε A 2ε=12a (21εε+)+(1222a a -)2ε+332εa A 3ε=13a (21εε+)+(1323a a -)2ε+333εa

故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为

???

+----+-=3332

3231132312

2212

11222113

1212113a a a a a a a a a a a a a a a a B 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果A

ε1

-k ≠0,但A εk =0,求证

ε,A ε,,Λ A ε1-k (k >0)线性无关.

证设有线性关系

21=+++-εεεk k A l A l l Λ

用A

-k 作用于上式,得

1l A

ε1

-k =0(因A 0=εn 对一切n k ≥均成立) 又因为A

ε1

-k ≠0,所以01=l ,于是有

01232=+++-εεεk k A l A l A l Λ

再用A

-k 作用之,得2l A

ε1

-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得

021====k l l l Λ

即证ε,A ε,,Λ A ε1

-k (k >0)线性无关.

11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A

ε1

-n 0≠但,求证A 在某组下的矩阵是

???????

??01010

10O O

证由上题知, ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,,Λ A ε1

-n 为线性空间

V 的一组基.又因为

A ?+?+?=010εεεA A ε2+?+0Λ A ε1-n

A (A ε)=ε?0+?0 A ε+?1 A ε2+?+0Λ A ε1-n

…………………………………………………

A （A ε1-n ）=ε?0+?0 A ε+?0 A ε2+?+0Λ A ε1-n

故A 在这组基下的矩阵为

???????

??01010

10O O

12．设V 是数域P 上的维线性空间，证明：V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘

变换.

证因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K. 13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.

证设A 在基下n εεε,,,21Λ的矩阵为A=(ij a ),只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且

(n ηηη,,21)=(n εεε,,,21Λ)X

则n ηηη,,21也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1

-,从而即有AX=XA,这说明A

与一切非退化矩阵可交换. 若取

??????

??=n X O

211

则由A 1X =1X A 知ij a =0(i ≠j),即得

A=??????? ?

?nn a a a O

11 再取

2X =???????

? ?

?00

1100001000010

ΛΛO ΛΛΛ

ΛΛ 由A 2X =2X A,可得 nn a a a ===Λ2211

故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.

14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为

????

??---21225521312112

01 1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下的矩阵; 2) 求A 的核与值域;

3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵; 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1)由题设,知

(4321,,,ηηηη)=(321,,εεε,4ε)????

?---21110110003

20001 故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为

X 1-=

2111011000320001

-???

???

??---???

???

?---21225521312112

???

??---2111011000320001

?????

? ?

?-----871

03403403163831031034322332 2) 先求A 1-(0).设∈ξ A 1-(0),它在321,,εεε,4ε下的坐标为(1χ,432,,χχχ),且在A ε 在321,,εεε,4ε下的坐标为(0,0,0,0,),则

???????

??---21225521312112

01??????? ??4321x x x x =???

??? ??0000

因rank(A)=2,故由 ??

=+++-=++032024321

431x x x x x x x

可求得基础解系为 X 1=)0,1,2

,2('--,X 2=)1,0,2,1('--

若令

a 1=(321,,εεε,4ε)X 1,a 2=(321,,εεε,4ε)X 2 则a 1, a 2即为A 1

-(0)的一组基,所以

-(0)=L(a 1, a 2)

再求A 的值域A V.因为

A 1ε=43212εεεε++- A 2ε=432222εεε-+ A 3ε=432152εεεε+++ A 4ε3ε=4321253εεεε-++

因rank(A)=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε发秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2

ε可组成A V 的基,从而

A V=L(A 1ε ,A 2ε) 4) 由2)知a 1, a 2是A

-(0)的一组基,且知,1ε2ε, a 1, a 2是V 的一组基,又

(,1ε2ε, a 1, a 2)=(321,,εεε,4ε)??????

?--

-10

00010022310

120

1 故A 在基,1ε2ε, a 1, a 2下的矩阵为

0010022310120

-??????

? ?

?--

-???

???

??---21225521312112

??????

? ?

?--

-10

00010022310120

=????

??-0022002100129002

4) 由2)知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且

(A 1ε, A 2ε,43,εε)=(321,,εεε,4ε)???

?--10210121002

10001

故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为

1021012100210001

-???

????

?--???????

??---21225521312112

???

??--102

1012

100210001 =??????

??00000000223129

1225

15. 给定P 3

的两组基

???

??===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(3

21εεε ???

??--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(3

21ηηη 定义线性变换A : A i ε=i η(i =1,2,3)

1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵; 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵; 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵. 解 1)由

(321,,ηηη)=(321,,εεε)X

引入P 3

的一组基1e =(1,0,0), 2e =(0,1,0), 3e =(0,0,1),则

(321,,εεε)=(1e ,2e ,3e )???

? ??101110121=(1e ,2e ,3e )A

所以

(321,,ηηη)=(1e ,2e ,3e )???

? ??----111122

221

=(1e ,2e ,3e )B=(1e ,2e ,3e )A 1-B 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为

X= A 1

-B=1

101110121-??

??????

? ??----111122221

=????

???

-25211

2323123232 2)因

A (321,,εεε)=(321,,ηηη)=(321,,εεε)????

???

---25211

2323

23232 故A 在基321,,εεε下的矩阵为

A=????

???

-252112323

123232 4) 因

A (321,,ηηη)=A (321,,εεε)X=(321,,ηηη)X

故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X.

16.证明

??????? ?

?n λλλO

1与????

?n i i

i λλλO

1相似,其中(n i i i ,,,21Λ)是1,2,n ,Λ的一个排列.

证设有线性变换A ,使

A )21,,,(n εεεΛ=)21,,,(n εεεΛ????

???

??n λλλO

1=)21,,,(n εεεΛD 1 则A (K ,,21i i εε,n i ε)=(K ,,21i i εε,n i ε)????

?n i i

i λλλO

1=(K ,,21i i εε,n i ε)D 2 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故??????

??n λλλO

与????

?n i i

i λλλO

1相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证因A 可逆,故A

-存在,从而A

-(AB)A=( A

-A)BA=BA

所以AB 与BA 相似.

18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明:.0000相似与???

??????

??D B B A 证由已知,可设B=X 1

-AX, D=Y 1

-CY, 则???? ??--1100Y X ????

??C A 00???? ??Y X

0=???

? ??D B 00 这里???? ??--1100Y X =???

??Y X

- 故?

???

??C A 00与???

? ??D B 00相似. 19设A,B 是线性变换, A 2

= A, B 2

=B 证明:

1) 如果(A+B )2

=A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么(A+B-AB)2

=A+B-AB.

证 1)因为A 2= A, B 2=B, (A+B )2

=A+B 由(A+B )2

=(A+B) (A+B)= A 2

+AB+BA+ B 2

, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.

又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2

B-B 2

A= A 2

B+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.

2) 因为A 2

= A, B 2=B, AB=BA 所以(A+B-AB)2= (A+B-AB) (A+B-AB)

= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB

20. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2

n 维的.

证 .21221111维的是的一组基，是，，，，，，，

因n P P E E E E E E n n n n nn n n n ??ΛΛΛΛ 所以V 的全体线性变换与n

n P

?同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2

n 维的.

21. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:

3) 在][x P 中有一次数2

n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ;

4) 如果

)(,0)(==A g A f ,那么

)(=A d ,这里

.)()()(的最大公因式与是x g x f x d

5) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式.0)()(=A f x f 使

证 1)因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2

n 维的,所以2

n +1个线性变换A

n ,A 1

-n

,、、、,A,E

一定线性相关,即存在一组不全为零的数011,,,22a a a a n n Λ-使

2n a A 2n +12-n a A 1

-n

+1a A+0a E=0

令

2)(a x a x a x a x f n

n n n +++=--,且

.),,2,1,0(22n x f n i a i ≤?=））（（不全为零，Λ

这就是说,在][x P 中存在一次数2

n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证.

2)由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0

3)必要性.由1)知,在][x P 中存在一次数2

n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即

2n a A 2n +12-n a A 1

-n

+1a A+0a E=0

若则,00≠a 011

2)(a x a x

a x a x f n

n n n +++=--即为所求.

若

00=a 最小的那一个，则是不为零的系数中下标不全为零，令因j i a n i a ),,2,1,0(2Λ=

2n a A 2

n +12-n a A

2-n +1a A+0a E=0因 A 可逆，故存在

右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ，

得2n a A

n -2+12-n a A

2--j n +…+j a E=0

令=)(x f 2n a j

n x -2+12-n a 1

2--j n x

+…+)0(≠j j a a ，即)(x f 为所求.

充分性.设有一常数项不为零的多项式

011

222)(a x a x a x a x f n

n n n +++=--)0(0≠a 使0)(=A f

即0011

1=++++--E a A a A

a A a m m m m Λ 所以E a A a A

a A a m m m m 011

1-=+++--Λ 于是E A E a A a a m m =?++-

-)(1

110

Λ 又?A E E a A a a m m =++-

-)(1

110

Λ 故A 可逆.

22. 如果s A A A ,,,21Λ是线性空间V 的个两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使

a A a A a A s ,,,21Λ也两两不同.

证令

V }{a A A V j

ij =∈=

ααα, (s j i Λ,2,1,=)

因为

ij j i V A A ∈==0,000

故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21Λ两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个

向量β,使ββj i A A ≠

故ij V 是V 的非空真子集设则,,ij V ∈βα

ββααj i i A A A A ==,

于是

)()(βαβα+=+j i A A

即ij V ∈+βα

又 )()(ααααk A kA kA k A j j i i === 于是ij V k ∈α 故ij V 是V 的真子空间.

1)如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设

),,,2,1,(s j i V ij Λ=?α则

ααj i A A ≠(s j i ,,2,1,Λ=)

即证: 存在向量α,使αααs A A A ,,,21Λ两两不同. 2)如果{ij V }中有V 的平凡子空间0

0j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取,

0≠α就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1),即知也存在向量α使

αααs A A A ,,,21Λ两两不同.

,.,证明的子空间中向量的像组成表示由的子空间是的线性变换是有限维线性空间设W AW V W V A

)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =?+-

证因为故上的线形变换也是,W A W A ?-)0(1

是.的子空间

W 设W A ?-)0(1

的维数为r,W 的维数为s.

今在W A ?-)0(1

中取一组基,,,21r εεεΛ把它扩充成W 的一组基,,,21r εεεΛs r εεΛ,1+,

则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεεΛΛ+==),(1s r A A L εεΛ+

且s r A A εε,1Λ+线性无关.所以)dim ())0(dim ()dim (1

W W A AW =?+-

24.设:,,证明的两个线性变换维线性空间是V n B A

rank (AB )rank ≥(A )+n B rank -)(

证在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,, A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.

因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有

rank (AB)rank ≥(A)+n rank -)B (

故对于B A ,线性变换,也有AB

大学高等数学阶段测验卷

第一章函数与极限阶段测验卷学号班级成绩考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（） A 、正确 B 、错误

10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5-

高等数学第一章练习题答案

第一章练习题一、设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。二、求极限：思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →

5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。四、讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。五、设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。六、求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。七、设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上至少有一点，使()()a x f x f +=。八、设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ，至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+

第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章线性变换 7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：

()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例（1）设V 是数域P 上的任一线性空间。零变换： ()00,V αα=?∈；恒等变换：(),V εααα=?∈。幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使得σ =m 0，就称σ为幂零变换。

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是（） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（）（A ）（1，0）（B ）（0，1）（C ）（1，1）（D ）（1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

高数第一章综合测试题复习过程

第一章综合测试题一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ?????? 收敛，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限

9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε　（D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量

七年级数学下册第一章单元测试题及答案

第一章整式的乘除单元测试卷（一）一、精心选一选(每小题3分，共21分) 1.多项式8923 3 4 +-+xy y x xy 的次数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列计算正确的是 ( ) A. 8 421262x x x =? B. ()() m m m y y y =÷34 C. ()2 2 2 y x y x +=+ D. 342 2 =-a a 3.计算()()b a b a +-+的结果是 ( ) A. 2 2 a b - B. 2 2 b a - C. 222b ab a +-- D. 2 22b ab a ++- 4. 1532 +-a a 与4322 ---a a 的和为 ( ) A.3252--a a B. 382 --a a C. 532---a a D. 582+-a a 5.下列结果正确的是 ( ) A. 9 1 312 -=? ? ? ??- B. 0590=? C. ()17530 =-. D. 8 1 23-=- 6. 若 () 682 b a b a n m =，那么n m 22-的值是 ( ) A. 10 B. 52 C. 20 D. 32 7.要使式子2 2259y x +成为一个完全平方式，则需加上 ( ) A. xy 15 B. xy 15± C. xy 30 D. xy 30± 二、耐心填一填（第1~4题1分，第 5、6题2 分，共28分） 1.在代数式2 3xy ， m ，362 +-a a ， 12 ， 22514xy yz x - ， ab 32 中，单项式有个，多项式有个。 2.单项式z y x 4 2 5-的系数是，次数是。 3.多项式51 34 +-ab ab 有项，它们分别是。 4. ⑴ =?5 2x x 。 ⑵ () =4 3y 。 ⑶ () =3 22b a 。 ⑷ () =-425 y x 。 ⑸ =÷3 9 a a 。 ⑹ =??-024510 。 5.⑴=?? ? ??-???? ??325631mn mn 。 ⑵()()=+-55x x 。 ⑶ =-2 2）（b a 。 ⑷( )()=-÷-2 3 5312xy y x 。

高等代数第四章线性变换

第四章线性变换习题精解 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ）一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。

线性变换

第七章线性变换计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。二. 线性变换的性质定理7.1.1（P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义1 （P310）注意：＋是V的线性变换. 二. 数乘运算定义2（P311）显然k也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算定义3 （P311-312）注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可

能是零变换. (2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义4 （P 313）线性变换可逆的充要条件例2 （P 314）线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时）教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与 ()关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理论。教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。本节内容分为下面四个问题讲授：一. 线性变换关于基的矩阵定义（P 316）。注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316）注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317）例3 （P 317）二. 与 ()关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318）三. L (V )与M n (F )的同构定理7.3.2 （P 320）定理7.3.3 （P 320）注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求

高等代数线性变换自测题

线性变换自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1．σ是22?F 上的线性变换，若??? ? ??=100 71 )(A σ，则=-)3(A σ ． 2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，) ,3(),(y x y y x + -=τ，则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ． 3．设???? ? ?=2231 A ，则向量???? ??11是A 的属于特征值的特征向量． 4．若???? ? ??--=10 0001 011 A 与???? ? ? ?--10101 01k k B 相似，则k = ． 5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2 3 +--=λλλλf ，则=||A ． 6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为．二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1 -=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特征向量与P 有关． 3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关． 4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则} )(|{)(1 αησηασ==-是 V 的子空间．三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设??? ? ? ? ?----=a A 3 3242 111 与??? ? ? ??=b B 0 0020 002 相似．（1）求b a ,的值；（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．

高等代数-第四章-线性变换

高等数学上册第一章测试试卷

理科A 班第一章综合测试题一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ?????? 收敛，则{}n y 必为无穷

高等数学(上)第一章练习题

高等数学（上）第一章练习题一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ，则__________.a = 3．若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6．已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7．设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第类间断点二．单项选择题 13．当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15．如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.

高等代数第七章线性变换复习讲义

第七章线性变换一.线性变换的定义和运算 1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的一个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的一个线性变换。（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V. 它们都是V的线性变换。（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P. 2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,α s线性无关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(α

s)线性无关。 3.线性变换的运算

4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，如果线性变换A和B在这组基上的作用相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B. （2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的一组基，对于V 中任意一组向量α1，α2，…,αn,存在唯一一个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n. 二．线性变换的矩阵 1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的一组基，A是V中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出 Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εn Aε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn …… Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn 用矩阵表示就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中 a 11 a 12 …… a 1n a 21 a 22 …… a 2n A= …… a n1 a n2 …… a nn 称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。 2.线性变换与其矩阵的关系（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；

(完整word版)专升本高数第一章练习题(带答案)

第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C

第七章线性变换.

第七章线性变换计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。二. 线性变换的性质定理7.1.1 （P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 （P310）注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算定义 2 （P311）显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算（1）. 乘法运算定义 3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理论。教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。本节内容分为下面四个问题讲授：一.线性变换关于基的矩阵定义 ( P316) 。注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求逆变换的方法。四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.

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