2-6某水槽如题图2-1所示。其中A 1为槽的截面积，R 1、R 2均为线性水阻，Q i 为流入量，Q 1和Q 2为流出量要求：
(1)写出以水位h 1为输出量，Q i 为输入量的对象动态方程；
(2)写出对象的传递函数G(s)并指出其增益K 和时间常数T 的数值。
图2-1
解：1）平衡状态： 02010Q Q Q i +=
2）当非平衡时： i i i Q Q Q ?+=0；1011Q Q Q ?+=；2022Q Q Q ?+=
质量守恒：211
Q Q Q dt
h
d A i ?-?-?=? 对应每个阀门，线性水阻：11R h Q ?=
?；2
2R h Q ?=? 动态方程：i Q R h
R h dt h d A ?=?+?+?2
11
3) 传递函数：)()()1
1(2
11s Q s H R R S A i =++
1)11(1)()()(211
+=++==
Ts K
R R S A s Q s H s G i
这里：2
112
1212
111111R R A T R R R R R R K +=
+=+=
；
2
Q
1
1
2-7建立三容体系统h 3与控制量u 之间的动态方程和传递数,见题图2-2。
解：如图为三个单链单容对像模型。被控参考△h 3的动态方程： 3233
Q Q dt
h d c ?-?=?；22R h Q ?=?；33R h
Q ?=?； 212
2Q Q dt
h d c ?-?=?；11R h Q ?=? 11
1
Q Q dt
h d c i ?-?=? u K Q i ?=? 得多容体动态方程：
u
KR h dt
h d c R c R c R dt h d c c R R c c R R c c R R dt h d c c c R R R ?=?+?+++?+++?333
3322112
3
2313132322121333321321)()(
传递函数：3
22133)()()(a s a s a s K
s U s H s G +++==
； 这里：
3
213213
32132133213213
3221123213213
1313232212111
;
c c c R R R kR K c c c R R R a c c c R R R c R c R c R a c c c R R R c c R R c c R R c c R R a =
=++=++=
2-8已知题图2-3中气罐的容积为V ，入口处气体压力，P 1和气罐 内气体温度T 均为常数。假设罐内气体密度在压力变化不大的情况下，可视为常数，并等于入口处气体的密度；R 1在进气量Q 1变化不大时可近似看作线性气阻。求以用气量Q 2为输入量、气罐压力P 为输出量对象的动态方程。 解： 根据题意：
假设：1)ρ在P 变化不大时为常数 2) R 1近似线性气阻；
3
平衡时：211Q Q p p ==
非平衡时： 21G
Q Q dt
d C
?-?= 气容：容器内气体变化量量
容器内气体重量的变化=
C
dt
dG
dt p d C
p
d dG
C =??=
1
11)(1R p p P P R G ?-=?--=
? 动态方程：21
1p Q R
p dt d C
?-=?+?；
题图2-3
2-10有一复杂液位对象，其液位阶跃响应实验结果为:
(1) 画出液位的阶跃响应曲线；
(2) 若该对象用带纯延迟的一阶惯性环节近似，试用作图法确定纯延迟时间τ和时间常数Ｔ。
(3) 定出该对象，增益K 和响应速度ε设阶跃扰动量△μ=20% 。 解：1）画出液位动态曲线：
2) 切线近似解： τ=40s T=180-40=140(s) 1002
.020
)0()(==?-∞=
u y y K s
s e s e Ts K s G 401
1401001)(--+=+=
∴
τ 3）采用两点法： 取【t 1, y*(t 1)】, 【t 2, y*(t 2)】
无量纲化： )(201)()(*t y y t y y =∞= 则： ??
?
??≥--<=T t T t T t t y )exp(10)(*τ
取两点：??
??
?
--=--=)
exp(18.0)exp(14.021T t T t τ
τ 解得：???=-=-T t T t 61.151.021ττ ??
???
-=
-=∴1.151.061.11.12112t
t t t T τ
2-12 知矩阵脉冲宽度为1s ，幅值为0.3，测得某对象的脉冲响应曲线数据如下表：
试求阶跃响应曲线。
解：设脉冲响应y(t)，阶跃输入R(t); 1) 列关系式：
122111()()()()()
()()()
u t u t u t u t u t t u t u t u t t =+=--?=--?
1211()()()()()y t y t y t y t y t t =+=--?
即 11()()()y t y t y t t =+-?
从题意知：△t =1秒 一拍; 可列表格： 2）表格计算：
y
u
0u
)
(t )
t ?-)
t ?-
3) 做图：
2-14已知被控对象的单位阶跃响应曲线试验数据如下表所示：
分别用切线法，两点法求传递函数，并用仿真计算过渡过程，所得结果与实际曲线进行比较。
解：1）对实验曲线描图：
60 30 30090 120 150 180 210 240 270 330
2) 切线法： 找拐点：
)(130********
)
0()(s T u
y y k =-===?-∞=
τ
s e s s G 801
1301
)(-+=
3) 两点法：
)
()()
(63.0)(*)()
()
(39.0)(*222111t y y t y t y t y y t y t y =∞===∞==
)
(220)(5.15321s t s t ==
得：
86
2133
)(22112=-==-=t t t t T τ ∴ s e s s G 861
1331
)(-+=
2-17 根据热力学原理，对给定质量的气体，压力p 与体积V 之间的关间为。pV α=β,
其中α和β为待定参数。经实验获得如下一批数据，V 单位为立方英寸，p 的单位为帕每平方英寸。
试用最小二乘法确定参数α和β。 解： 由 βα=PV 取对数：βαln ln ln =+V P V P ln ln ln αβ-=
方法1：矩阵解： Θ
=X Y
[]T
V V V X P P P Y αβln ln ln ln 111ln ln ln 621621=Θ???
?
??
?
?
?????
???---=????
?
??
?????????=
由定义：Θ-=X Y ε
ΘΘ+Θ-Θ-=Θ-Θ-===∑=X X X Y Y X Y Y X Y X Y J T
T T T T T T m
j j )()()(12εεε
0?22?
=Θ
+-=Θ??Θ=ΘX X Y X J T T 得：Y X X X Y X X X T T T T 1)(?;?-=Θ
=Θ
（1） 带入数值到（1）式：
??????--=?????
?
??????---??????---=53.15123.2923.29657.7112.4194.3157.712.494.3111 X X T ?
?
?
???=-11.0534.0534.077.2)(1X X T ∴ ??
?
???-=-319.0008.0040.0063.0081.0095.0272.1217.0372.0484.0570.0639.0)(1
X X X X T
T
?????
?-=???????
??
?
????????????????-=??????-==Θ-445.0624.531.295.245.363.390.311.4319.0008.0040.0063.0081.0095.0272.1217.0372.0484.0570.0639.0ln )(?1αβY X X X T T ∴ ?
?
?
???=??????445.0277αβ 方法二：采用代数式求解： ∑=-+=6
12
)ln ln (ln i i i V P J βα
01)ln ln (ln 20ln )ln ln (ln 26
1
6
1
=-+=??=-+=??∑∑==i i i i i i i V P J V V P J
ββαββαα
解得：
ln )(ln ln 0
ln ln )
(ln ln ln 6
1
6
1
6
1
6
1
2
61=++=-+?∑∑∑∑∑=====βαβαi i
i i
i i i i
i i
i
V P V V V P
把值代入：
0ln 623.2925.200
ln 23.295.1516.94=-+=-+βαβα 57
.5ln 45
.0==∴
βα
4
.26245
.0==∴
βα
2-18求下列所示各系统输出Y(z)的表达式。 a)
解：)
()(1)
()()(2112z G z H G z R G z G z Y +=
b)
解：1）在R(s)作用下： )(1)()(2122z G H z G z +=
Φ )
()()(1)
()()()(1)()()(22212222z G z H z G H z R z G z z H z R z z Y R ++=Φ+Φ=
2）在N(s)的作用下：
()
z H z G z G H z N G z Y N ())(1)
()(12212++=
3）总解：
()
z H z G z G H z N G z R z G z Y z Y z Y N R ())(1)
()()()()()(122122+++=+=
c)
解：
1）在R(s)作用下：
)
()
()(1)
()]()([)()()()()]()()[()()(2112121212211z R z G G G z D z G G G z D z D z Y z R z G G G z D z Y z R z G G G z D z Y k k R k R k R ++=
+-=
2）在N(s)作用下：
)
()(1)
()()()()()()(21121212z G G G z D z NG z Y z Y z D z G G G z NG z Y k N N k N +=
-=
3) 总输出：
)
()(1)
()()()(1)()]()([)()()(21122112121z G G G z D z NG z R z G G G z D z G G G z D z D z Y z Y z Y k k k N R ++
++=
+=