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课时提升作业(三十三)
一、选择题
1.(2013·南昌模拟)已知等比数列{a n}公比为q,其前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于( )
(A)-(B)1
(C)-或1 (D)-1或
2.(2013·长春模拟)在等差数列{a n}中,a9=a12+6,则数列{a n}的前11项和S11等于( )
(A)24 (B)48 (C)66 (D)132
3.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3()n,则其前20项和为( )
(A)380-(1-) (B)400-(1-)
(C)420-(1-) (D)440-(1-)
4.(2013·阜阳模拟)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第一项与第二项,若b n=,数列{b n}的前n项和为T n,则T10=
( )
(A)(B)(C)(D)
5.(2013·太原模拟)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则= ( )
(A)(B)(C)(D)
6.数列{a n}的前n项和S n=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b为
( ) (A)3 (B)0 (C)-1 (D)1
的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-=0,S2m-1=38,则m=
7.等差数列{a
( )
(A)38 (B)20 (C)10 (D)9
的前n项和S n=2n-1,则+++…+等于
8.(能力挑战题)数列{a
( )
(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2
(C)4n-1 (D)(4n-1)
二、填空题
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a3=20-a6,则S8等于.
10.数列{1+2n-1}的前n项和为.
11.(2013·芜湖模拟)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S5= .
12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{a n}中,若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值(n∈N+),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{a n}的前100项的和S100= .
三、解答题
13.已知数列{log2(a n-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)求和:
S n=++…+.
14.(2012·湖州模拟)设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{a n},{b n}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和S n.
15.(能力挑战题)已知数列{a n}的通项公式是a n=n·2n-1,b n=,求数列{b n}的前n项和.
答案解析
1.【解析】选A.当q=1时,显然不可能;当q≠1时,根据已知得2×
=+,
即2q9=q6+q3,即2q6-q3-1=0,
解得q3=1(舍),或q3=-.
2.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.
3.【解析】选C.由a n=2n-3()n,
得S20=2(1+2+…+20)-3(++…+)
=2×-3×=420-(1-),故选C.
4.【解析】选B.将直线方程化为(x+y-4)+m(3x-y)=0,
令解得即直线过定点(1,3),
所以a1=1,a2=3,公差d=2,
∴a n=2n-1,
∴b n==(-),
∴T10=×(-+-+…+-)
=×(-)=.
5.【解析】选C.等差数列{a n}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为a1,a3,a9
,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,
恰好构成某等比数列,所以有=a
所以该等差数列的通项为a n=nd.则的值为.
6.【思路点拨】根据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n 项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,根据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的S n=3n+b对比后,即可得到b的值.
【解析】选C.因为a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,
则S n==3n-1,
所以b=-1.
7.【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以a m-1+a m+1=2a m,由a m-1+a m+1-=0,得2a m-=0,所以a m=2(a m=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.
8.【解析】选D.a n=S n-S n-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴a n=2n-1(n ∈N+),
∴{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…
+==(4n-1).
9.【解析】因为a3=20-a6,
所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.
答案：80
10.【解析】前n项和S n=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1=n+=n+2n-1.
答案：n+2n-1
11.【解析】由S n+1+S n-1=2(S n+S1)
得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,
即a n+1-a n=2(n≥2),数列{a n}从第二项起构成等差数列,
则S5=1+2+4+6+8=21.
答案：21
12.【解析】设定值为M,则a n+a n+1+a n+2=M,进而a n+1+a n+2+a n+3=M,后式减去前式得a n+3=a n,即数列{a n}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{a n}的前100项的和S100=68+99+132=299.
答案：299
13.【解析】(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,
即d=1.
所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.
(2)因为==,
所以S n=++…+
=+++…+
==1-.
14.【解析】(1)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则依题意有q>0且
解得
所以a n=1+(n-1)d=2n-1,b n=q n-1=2n-1.
(2)=,
S n=1+++…++, ①
2S n=2+3++…++. ②
②-①,得S n=2+2+++…+-
=2+2×(1+++…+)-
=2+2×-=6-.
【变式备选】已知各项都不相等的等差数列{a n}的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N+),且b1=3,求数列{}的前n项和T n. 【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),
则
解得∴a n=2n+3.
(2)由b n+1-b n=a n,
∴b n-b n-1=a n-1(n≥2,n∈N+),
b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1
=a n-1+a n-2+…+a1+b1=n(n+2),
当n=1时,b1=3也适合上式,
∴b n=n(n+2)(n∈N+).
∴==(-),
T n=(1-+-+…+-)
=(--)=.
15.【解析】=
==
=-,k=1,2,3,…,n
故++…+
=(-)+(-)+…+[-]=-
=4-.
【方法技巧】裂项相消法的应用技巧
裂项相消法的基本思想是把数列的通项a n分拆成a n=b n+1-b n或者a n=b n-b n+1或者a n=b n+2-b n等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.
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专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
课题 数列求和 课型复习课课时： 1 授课时间： 教学目标知识与技能： 数列求和方法． 过程与方法： 求和方法及其获取思路． 情感态度与价值观： 通过学生对数列的观察能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学 重点 数列求和方法及其获取思路． 教学 难点 数列求和方法及其获取思路． 教学 手段[来源:学科网] 多媒体辅助教学[来源:Z_xx_https://www.doczj.com/doc/2412658980.html,] 教学 方法 先学后教，讲练结合 [来源:学。科。网Z。X。X。K] 教学过程1．倒序相加法：等差数列前n项和公式的推导方法： （1）) ( 2 1 1 1 2 1 n n n n n n n a a n S a a a S a a a S+ = ? ? ? ? + + + = + + + = - 例1．求和： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 10 10 8 3 3 9 2 2 10 1 1 + + + + + + + + 分析：数列的第k项与倒数第k项和为1，故宜采用倒序相加 法． 小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其 前n项和. 2．错位相减法：等比数列前n项和公式的推导方法： （2） 1 1 1 3 2 3 2 1) 1( + + - = - ? ? ? ? + + + + = + + + + = n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S 例2．求和：)0 ( )1 2( 5 33 2≠ - + + + +x x n x x x n 3．分组法求和 二次备课
例3求数列 16 1 4 ,8 13,412,211的前n 项和； 例4．设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1=a ，前n 项和为n S ，且 0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 例5．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 1 2 2 -+++++++n a a a a a a 的前n 项 和S n . )1(11 111,1 ;2 ) 1(21 ,111,1:1 n n n n n n a a a a a a a a n n n S n a a --=--=++=≠+=+++==+++==- 则若于是则若解] 1)1([11)]([11 11111122a a a n a a a a n a a a a a a a S n n n n ----=+++--=--++--+--= 于是4．裂项法求和 例6．求和：n ++++ ++++++ 211 32112111 解：设数列的通项为a n ，则)11 1(2)1(2+-=+= n n n n a n , 1 2)111(2)]111()3121()211[(221+= +-=+-++-+-=+++=∴n n n n n a a a S n n 例7．求数列 ???++???++,1 1, ,321, 2 11n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++= 11 1 （裂项） 则 1 13 212 11+++ ???+++ += n n S n
数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
高中数学必修5数列求和精选题目（附答案） 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝??? na 1，q ＝ 1， a 1(1－q n ) 1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 一、分组转化法求和 1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 注： 1．分组转化求和的通法 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，
转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型 2.．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －? ???? 12n ，则其前20项和为( ) A ．379＋1 220 B ．399＋1 220 C ．419＋1 220 D ．439＋1 220 3．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝?? ? a n ＋2，n 是奇数， 2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( ) A ．1 121 B ．1 122 C ．1 123 D ．1 124 二、裂项相消法求和
习题课 数列求和 一、基础过关 1．数列12·5，15·8，18·11，…，1 (3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( ) A.n 3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.n ＋1n ＋2 2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项 之和是 ( ) A ．n (n ＋2) B.1 2n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.1 2 n (n ＋7) 3．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( ) A ．－3 016 B ．－3 015 C ．－3 014 D ．－3 013 4．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n － 1(4n －3)，则S 15＋S 22 －S 31的值是 ( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76 5．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于 ( ) A ．2n －1 B ．2n － 1－1 C ．2n ＋1 D ．4n －1 6．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 7．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______. 8．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1 a 2n －1(n ∈N *)，求数列{ b n }的前n 项和T n . 二、能力提升 9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ??? ?1＋1 n ，则a n 等于( )
数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n n 项求和 ② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前 n 项的和. 一般地，当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设1 2 n a an b an b λ λ = - ++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -，从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+
③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中，1 1211++ ???++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1) 123...;2 n n n +++++= ②2 135...(21);n n ++++-= ③22221 123...(1)(21).6 n n n n ++++= ++ ④2 33 3 3 )]1(2 1[321+=+ +++n n n
考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：
考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =， 则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---， 即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和． 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ． 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识． 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值． 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大． 【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0． 证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有
高二数学数列测试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．某数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列为（） A常数列 B公差为零的等差数列 C公比为1的等比数列 D这样的数列不存在 2．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是 ( ) A．19 B．20 C．21 D．22 3．等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、 -101 C、101 D、-89 4．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（）项 A．23 B．24 C．19 D．25 5．在等差数列｛a n｝中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98等于( ) A．91 B．92 C．93 D．94 6．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（） A．第10项B．第11项C．第10项或11项 D．第12项 7．已知等差数列{a n}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为（） A．180 B．－180 C．90 D．－90 8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（） A．9 B．10 C．19 D．29 9．数列{a n}前n项和是S n，如果S n＝3＋2a n（n∈N*），则这个数列是（） A．等比数列 B．等差数列 C．除去第一项是等比 D．除去最后一项为等差 10．a、b、c成等比数列，则f（x）＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是（） A．0 B．1 C．2 D．不确定 11．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（） A．511个B．512个C．1023个D．1024个 12．已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{C n}，其通项公式为（） A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 二．填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．写出下列各数列的通项公式： (1)3，5，3，5，3，… a n=_______．
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
专题考案(2)数列板块 第3课 数列的求和 (时间：90分钟 满分：100分) 题型示例 已知y =f (x )是一次函数，且f (2),f (5),f (4)成等比数列，f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )(n ∈N x)的表达式. 分析 要求和，关键要先求出f (n ). 解 由y =f (x )是一次函数可设f (x )=ax +b ,则f (2)=2a +b ,f (5)=5a +b ,f (4)=4a +b , ∵f (2),f (5),f (4)成等比数列，∴(5a +b )2=(2a +b )(4a +b ). ∴17a 2+4ab =0,又∵a ≠0. ∴a =- 17 4b ① 又∵f(8)=15,∴8a +b =15 ② 联立方程①、②解得a =4,b =-17,∴f (x )=4x -17. ∴f (1),f (2),…,f (n )可看作是首项为-13,公差为4的等差数列. 由等差数列前n 项和公式可求得S n =-13n +2)1(-n n ×4=2n 2-15n . 点评 此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 一、选择题(9×3′＝27′) 1．数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 ( ) A.S n =an +b B.S n =an 2+bn +c C.S n =an 2+bn (a ≠0) D.S n =an 2+bn 2．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( ) A.3)1(2-n n B.21n (n +4) C.21n (n +5) D.2 1n (n +7) 3．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 4．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x ,符号［x ］表示x 的整数部分，即［x ］是不超过x 的最大整数.函数［x ］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x -1<［x ］≤x <［x +1］.请回答:［log 21］+［log 22］+［log 23］+…+［log 21024］的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7．若等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ,则r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 8．已知S =1+ΛΛ++++22213121n ，那么S 的范围是 ( ) A.(1,23) B.(2 3,2) C.(2,5) D.(5,+∞)
高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和 （ 1 ）等差数列前项和公式 （ 2 ）等比数列前项和公式时 时 （ 3 ）前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值； （ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。 例 1 ．求数列的所有项的和 例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。
例 3 ．已知数列中，，求。 练习 1 、求和： 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若 的值 . 例 3 ．数列中，，求。 例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列
练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。 练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 若是公差为的等差数列，则； ； ； ； * ； 例 1 ．求和。 例 2 ．求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足 （ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式； （ II ）求和