第2章 实验数据的误差分析
通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。
误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
2.1 误差的基本概念
2.1.1真值与平均值
真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种：
（1）算术平均值
这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n
x n x x x x n i i
n ∑=++==121 （2-1） 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值
n x n x x x x n i i n ∑=++=
=1222221 均 （2-2）
（3）加权平均值
设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n
i i
i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 （2-3）
式中；n x x x 21、——各次观测值；
n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的权数一般凭经验确定。
（4）几何平均值
n n x x x x x 321??=发 （2-4）
（5）对数平均值
2
1
21212
1ln ln ln x x x x x x x x n -=--= （2-5） 以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。
2.1.2误差的定义及分类
在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，不同时间所测得的结果不一定完全相同，而有一定的误差和偏差，严格来讲，误差是指实验测量值（包括直接和间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差，偏差是指实验测量值与平均值之差，但习惯上通常将两者混淆而不以区别。
根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为：1）系统误差； 2）偶然误差；3）过失误差三种。
1．系统误差
又称恒定误差，由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差数值的大小和正负保持恒定，或随条件改变按一定的规律变化。
产生系统误差的原因有：1）仪器刻度不准，砝码未经校正等；2）试剂不纯，质量不符合要求；3）周围环境的改变如外界温度、压力、湿度的变化等；4）个人的习惯与偏向如读取数据常偏高或偏低，记录某一信号的时间总是滞后，判定滴定终点的颜色程度各人不同等等因素所引起的误差。可以用准确度一词来表征系统误差的大小，系统误差越小，准确度越高，反之亦然。
由于系统误差是测量误差的重要组成部分，消除和估计系统误差对于提高测量准确度就十分重要。一般系统误差是有规律的。其产生的原因也往往是可知或找出原因后可以清除掉。至于不能消除的系统误差，我们应设法确定或估计出来。
2．偶然误差
又称随机误差，由某些不易控制的因素造成的。在相同条件下作多次测量，其误差的大小，正负方向不一定，其产生原因一般不详，因而也就无法控制，主要表现在测量结果的分散性，但完全服从统计规律，研究随机误差可以采用概率统计的方法。在误差理论中，常用精密度一词来表征偶然误差的大小。偶然误差越大，精密度越低，反之亦然。
在测量中，如果已经消除引起系统误差的一切因素，而所测数据仍在未一位或未二位数字上有差别，则为偶然误差。偶然误差的存在，主要是我们只注意认识影响较大的一些因素，而往往忽略其他还有一些小的影响因素，不是我们尚未发现，就是我们无法控制，而这些影响，正是造成偶然误差的原因。
3．过失误差
又称粗大误差，与实际明显不符的误差，主要是由于实验人员粗心大意所致，如读错，测错，记错等都会带来过失误差。含有粗大误差的测量值称为坏值，应在整理数据时依据常用的准则加以剔除。
综上所述，我们可以认为系统误差和过失误差总是可以设法避免的，而偶然误差是不可避免的，因此最好的实验结果应该只含有偶然误差。
2.1.3 精密度、正确度和精确度（准确度）
测量的质量和水平，可用误差的概念来描述，也可用准确度等概念来描述。国内外文献所用的名词术语颇不统一，精密度、正确度、精确度这几个术语的使用一向比较混乱。近年来趋于一致的多数意见是：
精密度：可以称衡量某些物理量几次测量之间的一致性，即重复性。它可以反映偶然误差大小的影响程度。
正确度：指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合，它可以反映系统误差大小的影响程度。
精确度（准确度）：指测量结果与真值偏离的程度。它可以反映系统误差和随机误差综合大小的影响程度。
为说明它们间的区别，往往用打靶来作比喻。如图2-1所示，A 的系统误差小而偶然误差大，即正确度高而精密度低；B 的系统误差大而偶然误差小，即正确度低而精密度高；C 的系统误差和偶然误差都小，表示精确度（准确度）
高。当然实验测量中没有像靶心那样明确的真值，
而是设法去测定这个未知的真值。
对于实验测量来说，精密度高，正确度不一定
高。正确度高，精密度也不一定高。但精确度（准
确度）高，必然是精密度与正确度都高。
2.2误差的表示方法 测量误差分为测量点和测量列（集合）的误差。它们有不同的表示方法。
2.2.1测量点的误差表示
1．绝对误差D
测量集合中某次测量值与其真值之差的绝对值称为绝对误差。 x X D -= （2-6）
即 D x X D x D x X +≤≤-±=-
式中：X ——真值，常用多次测量的平均值代替；
x ——测量集合中某测量值
2．相对误差Er
绝对误差与真值之比称为相对误差
X
D =Er （2-7）
相对误差常用百分数或千分数表示。因此不同物理量的相对误差可以互相比较，相对误差与被测之量的大小及绝对误差的数值都有关系。
3．引用误差
仪表量程内最大示值误差与满量程示值之比的百分值。引用误差常用来表示仪表的精度。
2.2.2测量列（集合）的误差表示
1．范围误差
范围误差是指一组测量中的最高值与最低值之差，以此作为误差变化的范围。使用中常应用误差的系数的概念。
α
L K = （2-8） 式中：K ——最大误差系数；
L ——范围误差；
α——算术平均值。
范围误差最大缺点是使K 只以决于两极端值。而与测量次数无关。
2．算术平均误差
算术平均误差是表示误差的较好方法，其定义为
δ=n
d i ∑，n i ,2,1= （2-9） 式中：n ——观测次数；
i d —－测量值与平均值的偏差，α-=i i x d 。
算术平均误差的缺点是无法表示出各次测量间彼此符合的情况。
3．标准误差
标准误差也称为根误差。
n
d i
∑=2
σ （2-10） 标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，成为表示精确度的较好方法。
上式适用无限次测量的场合。实际测量中，测量次数是有限的，改写为
12
-=∑n d i
σ （2-11）
标准误差不是一个具体的误差，σ的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的任一次观察值对其算术平均值的分散程度，如果σ的值小，说明该测量集合中相应小的误差就占优势，任一次观测值对其算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大。
算术平均误差和标准误差的计算式中第i 次误差可分别代入绝对误差和相对误差，相对得到的值表示测量集合的绝对误差和相对误差。
上述的各种误差表示方法中，不论是比较各种测量的精度或是评定测量结果的质量，均以相对误差和标准误差表示为佳，而在文献中标准误差更常被采用。
2.2.3仪表的精确度与测量值的误差
1．电工仪表等一些仪表的精确度与测量误差
这些仪表的精确度常采用仪表的最大引用误差和精确度的等级来表示。仪表的最大 引用误差的定义为
最大引用误差= 绝对值
该仪表相应档次量程的仪表显示值的绝对误差×100% （2-12） 式中仪表显示值的绝对误差指在规定的正常情况下。被测参数的测量值与被测参数的标准值之差的绝对值的最大值。对于多档仪表，不同档次显示值的绝对误差和程量范围均不相同。
式（2-12）表明，若仪表显示值的绝对误差相同，则量程范围愈大，最大引用误差愈小。 我国电工仪表的精确度等级有七种：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2..5、5.0。如某仪表的精确度等级为2.5级，则说明此仪表的最大引用误差为2.5%。
在使用仪表时，如何估算某一次测量值的绝对误差和相对误差？
设仪表的精确度等级P 级，其最大引用误差为10%。设仪表的测量范围为n x 仪表的 示值为i x ，则由式（2-12）得该示值的误差为
??
????≤=?≤%%P x x x D E P x D i n i n 相对误差绝对误差 （2-13） 式（2-13）表明：
（1）若仪表的精确度等级P 和测量范围n x 已固定，则测量的示值i x 愈大，测量的相对误差愈小。
（2）选用仪表时，不能盲目地追求仪表的精确度等级。因为测量的相对误差还与i n x x 有关。应该兼顾仪表的精确度等级和i
n x x 两者。 2．天平类仪器的精确度和测量误差
这些仪器的精度用以下公式来表示：
仪器的精密度=量程的范围
名义分度值 （2-14） 式中名义分度值指测量时读数有把握正确的最小分度单位，即每个最小分度所代表的数值。例如TG —3284型天平，其名义分度值（感量）为0.1毫克，测量范围为0~200克，则其
精确度=73
1051002001.0-?=?-）（ （2-15） 若仪器的精确度已知，也可用式（2-14）求得其名义分度值。
使用这些仪器时，测量的误差可用下式来确定：
??
???≤≤测量值名义度值相对误差名义分度值绝对误差 （2-16）
3．测量值的实际误差
由于仪表的精确度用上述方法所确定的测量误差，一般总是比测量值的实际误差小的多。这是因为仪器没有调整到理想状态，如不垂直、不水平、零位没有调整好等，会引起误差；仪表的实际工作条件不符合规定的正常工作条件，会引起附加误差；仪器经过长期使用后，零件发生磨损，装配状况发生变化等，也会引起误差；可能存在有操作者的习惯和偏向所引起的误差；仪表所感受的信号实际上可能并不等于待测的信号；仪表电路可能会受到干扰等。
总而言之，测量值实际误差大小的影响因素是很多的。为了获得较准确的测量结果，需要有较好的仪器，也需要有科学的态度和方法，以及扎实的理论知识和实践经验。
2.3“过失”误差的舍弃
这里加引号的“过失”误差与前面提到真正的过失误差是不同的，在稳定过程，不受任何人为因素影响，测量出少量过大或过小的数值，随意地舍弃这些“坏值”，以获得实验结果的一致，这是一种错误的做法，“坏值”的舍弃要有理论依据。
如何判断是否属于异常值？最简单的方法是以三倍标准误差为依据。
从概率的理论可知，大于σ3（均方根误差）的误差所出现的概率只有0.3%，故通常把这一数值称为极限误差，即
σδ3＝极限 （2-17）
如果个别测量的误差超过σ3，那么就可以认为属于过失误差而将舍弃。重要的是如何从有限的几次观察值中舍弃可疑值的问题，因为测量次数少，概率理论已不适用，而个别失常测量值对算术平均值影响很大。
有一种简单的判断法，即略去可疑观测值后，计算其余各观测值的平均值α及平均误差δ，然后算出可疑观测值i x 与平均值α的偏差d
如果 δ4≥d
则此可疑值可以舍弃，因为这种观测值存在的概率大约只有千分之一。
2.4间接测量中的误差传递
在许多实验和研究中，所得到的结果有时不是用仪器直接测量得到的，而是要把实验现场直接测量值代入一定的理论关系式中，通过计算才能求得所需要的结果，既间接测量值。由于直接测量值总有一定的误差，因此它们必然引起间接测量值也有一定的误差，也就是说直接测量误差不可避免地传递到间接测量值中去，而产生间接测量误差。
误差的传递公式：从数学中知道，当间接测量值)(y 与直接值测量值),,(21n x x x 有函数关系时，即
),,(21n x x x f y =
则其微分式为：
n n
dx x y dx x y dx x y dy ??++??+??= 2211 （2-18） ??
??????++??+??=n n n dx x y dx x y dx x y x x x f y dy 221121),(1 （2-19） 根据式（2-18）和（2-19），当直接测量值的误差),,(21n x x x ??? 很小，并且考虑
到最不利的情况，应是误差累积和取绝对值，则可求间接测量值的误差y y y ??或为：
n n
x x y x x y x x y y ????++????+????=? 2211 （2-20） ??
????????++????+????=?=n n n x x y x x y x x y x x x f y y 2211,21,1Er ）（ （2-21） 这两个式子就是由直接测量误差计算间接测量误差的误差传递公式。对于标准差的传则有：
222222121n x n x x y x y x y x y σσσσ???
? ????++???? ????+???? ????= （2-22） 式中1x σ，2x σ等分别为直接测量的标准误差、y σ为间接测量值的标准误差。
上式在有关资料中称之为“几何合成”或“极限相对误差”。现将计算函数的误差的各种关系式列表如下：
函数式的误差关系表
2.5误差分析在阻力实验中的具体应用
误差分析除用于计算测量结果的精确度外，还可以对具体的实验设计予与先进行误差分析，在找到误差的主要来源及每一个因素所引起的误差大小后，对实验方案和选用仪器仪表提出有益的建议。
例2-1 本实验测定层流Re ～λ关系是在Dg6（公称径为6mm ）的小铜管中进行，因内径大小，不能采用一般的游标卡尺测量，而是采用体积法进行直径间接测量。截取高度为400mm 的管子，测量这段管子中水的容积，从而计算管子的平均内径。测量的量具用移液管，其体积刻度线相当准确，而且它的系统误差可以忽略。体积测量三次，分别为11.31、11.26、11.30（毫升）。问体积的算术平均值α、平均绝对误差D 、相对误差Er 为多少？
解：算术平均值 29.11330.1126.1131.11=++==∑n x i α
平均绝对误差 02.0330.1129.1126.1129.1131.1129.11=-+-+-=
D 相对误差 %18.0%10029
.1102.0E r =?±==a D 例2-2 要测定层流状态下，公称内径为6mm 的管道的摩擦系数λ（参见流体阻力实验），希望在Re =200时，λ的精确度不低于4.5%，问实验装置设计是否合理？并选用合适的测量方法和测量仪器。
解：λ的函数形式是：λ=22152)(162s
lV R R d g -?π 式中：1R 、2R ——被测量段前后液注读数值[mH 2O]：
s V ——流量[m 3/s]：
l ——被测量段长度[m]。
标准误差：Er(λ)=22
121222)()()](2[)](5[R R R R l l V V d d s s -?+?+?+?+?±=?λλ 要求Er(λ)<4.5%,由于
l l ?所引起的误差小于10
)(λr E ，故可以略去不考虑。剩下三项分误差，可按等效法进行分配，每项分误差和总误差的关系： Er(λ)=23i m =4.5% 每项分误差 m i =%6.2%35
.4=
○
1流量项的分误差估计： 首先确定s V 值
]/[4.9]/[104.91000
410006.020004Re 363s ml s m d V s =?=????==--πρμπ 这么小的流量可以采用500ml 的量筒测其流量，量筒系统误差很小，可以忽略，读数误差为ml 5±，计时用的秒表系统误差也可忽略，开停秒表的随机误差估计为1.0±秒，当Re=200时，每次测量水量约为450ml ，需时间48秒左右。流量测量最大误差为：
011.0)48
1.04505()(=+±=?+?±=?ττV V V V s s
式中具体数字说明V
V ?误差较大，ττ?可以忽略。因此流量项的分误差： %2.2%100011.0221=??=?=s
s V V m 没有超过每项分误差范围。
○
2d 的相对误差 要求：即则 ,5
5m d d m d d ≤?≤? %52.05%6.2=≤?d d 由例2-1知道管径d 由体积法进行间接测量。
h d V 24
π= π
4?=h V d 已知管高度为400mm ，绝对误差±0.5mm
为保险起见，仍采用几何合成法计算d 的相对误差。
)(21h
h V V d d ?+?=? 由例2-1已计算出V V ?的相对误差为0.18% 代入具体数值：
%8.0%)100400
5.018.0(25%)100(2552=?+=??+?=?=h h V V d d m 也没有超过每项分误差范围。
○
3压差的相对误差： 单管式压差计用分度为1mm 的尺子测量，系统误差可以忽略，读数随机绝对误差R ?为±0.5mm 。
2
1211212
15.022R R R R R R R R R -?=-?=-?+? 压差测量值21R R -与两测压点间的距离l 成正比：
031.02)006.0785.0104.9(006.02000642Re 64226
221=????=??=--g
l g u d l R R 式中：u ——为平均流速[m/s]。
由上式可算出l 的变化对压差相对误差的影响（见下表）。
][m m l ][21mm R R -
%1002211?-?R R R 500 1000 1500 2000 15
30
45 60 6.7 3.3 2.2 1.6
由表中可见，选用mm l 1500≥可满足要求，若实验采用mm l 1500=其相对误差为：
%2.2%1001500
03.05.022********=???=-?=-?+?=R R R R R R R m 总误差：
Er(λ)=222232221)2.2()8.0()2.2(++±=++±=?m m m λ
λ =%2.3±
通过以上误差分析可知：
（a ）为实验装置中两测点间的距离l 的选定充分提供了依据。
（b ）直径d 的误差，因传递系数较大（等于5），对总误差影响较大，但所选测量d 的方案合理，这项测量精确度高，对总误差影响反而下降了。
（c ）现有的测量s V 误差显得过大，其误差主要来自体积测量，因而若改用精确度更高一级的量筒，则可以提高实验结果的精确度。
例2-3 若l 选用1.796m ，水温20℃ ，mm R R 1.821=-，测得出水量为450ml 时，所需时间为319秒，当Re=300时，所测λ的相对误差为多少？
解：由例2知%2.21=m %8.02=m
%3.12%1001
.85.0222113=??=-?=R R R m Er(λ)=%5.123.128.02.22222
32221±=++±=++±m m m
结果表明，由于压差下降，压差测量的相对误差上升，致使λ测量的相对误差增大。当Re=300时，λ的理论值为213.0Re 64=，如果实验结果与此值有差异（例如λ=0.186或λ=0.240），并不一定说明λ的测量值与理论值不符，要看偏差多少？象括号中的这种偏差是测量精密度不高引起的，如果提高压差测量精度或者增加测量次数并取平均值，就有可能与理论值相符。以上例子充分说明了误差分析在实验中的重要作用。
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103 第2章 实验数据的误差分析 通过实验测量所得大批数据是实验的主要成果，但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，所以在整理这些数据时，首先应对实验数据的可靠性进行客观的评定。 误差分析的目的就是评定实验数据的精确性，通过误差分析，认清误差的来源及其影响，并设法消除或减小误差，提高实验的精确性。对实验误差进行分析和估算，在评判实验结果和设计方案方面具有重要的意义。本章就化工原理实验中遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。 2.1 误差的基本概念 2.1.1真值与平均值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121ΛΛ （2-1） 式中： n x x x ΛΛ21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++= =1222221Λ均 （2-2） （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211ΛΛ （2-3） 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差 第四章误差与实验数据的处理练习题参考答案 1. 下列各项定义中不正确的是( D) （A）绝对误差是测定值和真值之差 （B）相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 （C）偏差是指测定值与平均值之差 （D）总体平均值就是真值 2. 准确度是（分析结果）与（真值）的相符程度。准确度通常用（误差）来表示，（误差）越小，表明分析结果的准确度越高。精密度表示数次测定值（相互接近）的程度。精密度常用（偏差）来表示。（偏差）越小，说明分析结果的精密度越高。 3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和（随机误差）两类。系统误差具有（重复性）、（单向性）和（可测性）等特点。 4. 对照试验用于检验和消除（方法）误差。如果经对照试验表明有系统误差存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：（空白试验），（校准仪器和量器），( 校正方法)。 5. 对一个w(Cr)=%的标样，测定结果为%，%，%。则测定结果的绝对误差为（－%），相对 误差为（－%）。 6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。（√） 7. 比较两组测定结果的精密度（B） 甲组：％，％，％，％，％ 乙组：％，％，％，％，％ （A）甲、乙两组相同（B）甲组比乙组高（C）乙组比甲组高（D）无法判别 8. 对于高含量组分（>10%）的测定结果应保留（四）位有效数字；对于中含量组分（1%～10%） 的测定结果应保留（三）位有效数字；对于微量组分（<1%）的测定结果应保留（两）位有效数字。 9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结果准确度就好。（√） 10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C) （A）精密度高，准确度必然高（B）准确度高，精密度也就高 （C）精密度是保证准确度的前提（D）准确度是保证精密度的前提 11. 误差按性质可分为（系统）误差和（随机）误差。 12. 下列叙述中错误的是( C) 误差理论与数据处理 实验报告 姓名：黄大洲 学号：3111002350 班级：11级计测1班 指导老师：陈益民 实验一 误差的基本性质与处理 一、实验目的 了解误差的基本性质以及处理方法 二、实验原理 （1）算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。 设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n i n i l l l l x n n =++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。 i v = i l -x i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差） 2、算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为： 1 1 n n i i i i v l nx ===-∑∑ 当x 为未经凑整的准确数时，则有：1 n i i v ==∑0 1）残余误差代数和应符合： 当 1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1 n i i v =∑为零； 当 1n i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1 n i i v =∑为正；其大小为求x 时 的余数。 当 1n i i l =∑ 物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实 验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验 的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用 实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1. 真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若 在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测 量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种 : (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设 x 1 、 x 2 、 、 x n 为各次测量值， n 代表测量次数，则算术平均值为 n x 1 x x n i x i (2-1) x 2 1 n n (2) 几何平均值 几何平均值是将一组 n 个测量值连乘并开 n 次方求得的平均值。即 x 几 n x 1 x 2 x n (2-2) （3）均方根平均值 n 2 2 x 2 2 x i x 均 x 1 2 x n i 1 (2-3) n n (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量 x 1 、 x 2 ，其对数平均值 x 对 x 1 x 2 x 1 x 2 (2-4) ln x 1 ln x 2 x 1 ln x 2 1 实验数据的误差分析与处理 在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。 1.1 测量误差的表示方法 由于测量误差的客观存在，因此为了表示被测量的测量结果的准确度，一般用绝对误差、相对误差和引用误差来定量表示测量结果与被测量实际值之间的差别。 1.1.1 绝对误差 绝对误差是指测量仪器的示值与被测量的真值之间的差值。假设被测量的真值为Ａo，测量仪器的示值为X，则绝对误差为 △X＝X－Ao （1.1.1）在某一时间及空间条件下，被测量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值A代替真值Ao，为区别起见，将A称为被测量的实际值，则 △X＝X－A （1.1.2）在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值（即实际值）减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即 在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C 表示。对于被测量，高一级标准仪器的示值（即实际值）减去测量仪器的示值所得的差值，就是测量仪器的修正值C。实际上修正值就是绝对误差，只是符号相反，即 C＝－△X＝A－X （1.1.3） 利用某仪器的修正值便可得该仪器所测被测量的实际值A，即 A ＝X ＋C （1.1.4） 例如：用一电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V ，通过鉴定得出该电压表修正值为－0.01V ，则被测电压的真值为 A ＝1.1＋（－0.01）＝1.09V 修正值给出的方式可以是曲线、公式或数表。对于自动测验仪器，修正值则预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是实际值。 1.1.2 相对误差 测量不同大小的被测量时，绝对误差往往不能确切地反映出被测量的准确程度。例如：设测一个大小为100V 电压时，绝对误差为△X 1＝＋2V ；测一个10V 电压时，绝对误差为△X 2＝0.5Ｖ，虽然△X 1＞△X 2，可实际△X 1只占被测量的２％，而△X 2却占被测量的5％。显然，后者的误差对测量结果的影响更大。因此，工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。 相对误差：用绝对误差△X 与被测量的实际值A 的比值的百分数来表示的相对误差，记为 % 100??= A X A γ （1.1.5） 1.1.3 引用误差 相对误差虽然可以说明测量结果的准确度，并衡量测量结果和被测量实际值之间的差异程度，但还不足以用来评价指示仪表的准确度，为此引入了引用误差的概念。 引用误差：用于表征仪表性能的好坏，其定义为绝对误差△X 与仪器的满刻度值Xm 之比的百分数，即 % 100??= m m X X γ （1.1.6） 例1.1 用量程为300V 的电压表测量实际电压为218V 的电压时，电压表的示值为214V ，试求各种误差。 解：根据定义，得被测电压的绝对误差为 △U=U-U 0=214-218=-4V 相对误差为 专业资料 《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月 实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为： ',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为： ',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]); p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 第四章误差与实验数据的处理练习题 1. 下列各项定义中不正确的是( ) (A )绝对误差是测定值和真值之差 (B)相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 (C)偏差是指测定值与平均值之差 (D)总体平均值就是真值 2. 准确度是( )与( )的相符程度。准确度通常用 ( ) 来表示，( )越小，表明分析结果的准确度越高。精密度表示数次测定 值( )的程度。精密度常用( )来表示。( )越小，说明分析结果的精密度越高。 3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和( )两类。系统误 差具有( )、( )和( )等特点。 4. 对照试验用于检验和消除( )误差。如果经对照试验表明有系统误差 存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：( )，( )，( )。 5. 对一个w(Cr)=1.30%的标样，测定结果为1.26%, 1.30%, 1.28%。贝U 测定结果的绝对误差为( )，相对误差为( )。 6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。( ) 7. 比较两组测定结果的精密度( ) 甲组：0.19％， 0.19％ 0.20％，0.21％，0.21％ 乙组：0.18％， 0.20％ 0.20％，0.21％，0.22％ ( A ) 甲、乙两组相同(B)甲组比乙组高(C)乙组比甲组高(D)无法判别 8. 对于高含量组分( >10%)的测定结果应保留( )位有效数字；对于中 含量组分(1%^ 10%)的测定结果应保留( )位有效数字；对于微量组分( <1%)的测定结果应保留( )位有效数字。 9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结 果准确度就好。( ) 10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( 《误差理论与数据处理》实验报告 实验名称：MATLAB 软件基础 班级：学号： 姓名： 实验时间： 成绩： 一、 实验目的 熟悉MATLAB 软件的用户环境；了解MATLAB 软件的一般目的命 令；掌握MATLAB 数组操作与运算函数；掌握MATLAB 软件的基 本绘图命令；掌握MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择 结构。 通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB 软件解决一些 简单问题，能借助MATLAB 软件进行曲线或图形的绘制。 二、 实验原理 三、 实验内容和结果 1. 程序及流程 1. MATLAB 软件的数组操作及运算练习 设有分块矩阵A=[E R O S ],其中E,R,O,S 分别为单位矩阵，随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证A 2=[E R +RS O S 2 ] 程序： >> E=eye(3); >> R=rand(3,2); >> O=zeros(2,3); >> S=diag([1 2]) >> A=[E R O S] >> a=[E,R+R*S O,S^2] >> A^2-a 2.直接使用MATLAB软件进行作图练习 1.在同一个坐标下作出sin(2π*1*t)和cos(2π*10*t)2条曲 线的图形，并要求在图上加粗相应标注 程序：>> x=0:0.001:1; >> plot(x,sin(2*pi*x),x,cos(2*pi*10*x)) 2.用subplot分别在不同的坐标系下作出下列两条曲线，为每 幅图形加上标题。 1.正态分布N(0,1)的概率密度函数曲线； 2.反正弦分布的概率密度函数曲线，取a=1。 程序：x=-5:0.01:5; r = randn(1,1); y1=normpdf(x,0,1); y2=1/(pi*sqrt(1-(r ^2))); subplot(2,1,1) plot(x,y1) subplot(2,1,2) plot(x,y2) 3画出下列曲面的3维图形：z=sin（π√x2+y2）。 程序：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(pi*sqrt(x^2+y^2)); mesh(x,y,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); 3.用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件 编写函数M-文件sq.m：用迭代法求x=√a的值。求平方根的迭 代公式为x n+1=1 2（x n+a x n ）迭代的终止条件为前后两次求出 的x的差的绝对值小于10?5。 第一章试验数据的误差分析 （I）教学内容与要求 （1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法； （2）理解误差的基本概念及表示方法； （3）理解试验数据误差的来源及分类； （4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度； （5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则； （6）理解有效数字的含义、有效数字的运算； （7）掌握误差的传递的基本原理； （8）了解Excel在误差分析中的应用。 （II）教学重点 可疑数据的取舍规则，误差的传递。 （III）教学难点 误差的传递。 通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。 误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。 目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。 1.1 实验数据的真值和平均值 1.1.1真值 真值是指某物理量客观存在的确定值。对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值： (1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。 (2)平均值是指对某物理量经多次测量算出的平均结果，用它替代真值。当然测量次数无限多时，算出的平均值应该是很接近真值的，实际上测量次数是有限的（比如10次），所得的平均值只能说是近似地接近真值。 1.1.2 平均值 在化工领域中，常用的平均值有下面几种： (1)算术平均值 这种平均值最常用。设、、…、代表各次的测量值，代表测量次数，则算术平均值为 158 实验1 实验误差与数据处理 【预习和实验要求】 本实验是“大学物理实验”中实验课重要的预备知识，也为进一步的学习和科研工作提供了基础工具。而误差与数据处理所涉及到的内容非常丰富，本实验在课堂只能由老师作基本的综合介绍。因此要求同学： ● 在课前必须认真阅读本实验教材，对误差与数据处理有所认识； ● 本实验属于课堂理论讲授，不动手作实验。同学必须带上讲义、记录用纸和笔，适当的作好课堂笔记； ● 课后认真复习教材，完成书面作业。 【实验原理】 一、 物理实验和测量误差 物理学是一门以实验为基础的科学。物理实验，除了观察之外，就是要对各种物理量进行测量。对一个物理量的测量，是用一个标准单位来与之作比较，得知其大小的。显然，测量值的大小同选用的单位有关，因此，表示物理量的测量值时，必须包括数值和单位。 测量分为两种：直接测量和间接测量： ● 直接测量：从仪器直接读出测量结果； ● 间接测量：从直接测量的结果，通过公式计算而得到需要的结果。 根据测量的条件，可以把测量分为等精度测量和不等精度测量： 等精度测量：保持测量条件不变（如，同一个人、用同一台仪器、相同的外部环境）而进行的重复性测量。此时无法判断某一次测量比另一次测量是否更准确，只能认为每次测量的精度是同等级别的； 不等精度测量：在测量中一个或几个条件发生了变化。又称为复现性测量。 置于一定实验条件下的物理量，在客观上总是有一个唯一确定的大小，称为该物理量的真值。但是，测量时由于种种原因，包括理论的近似性、仪器的分辨率和灵敏度的局限、环境条件的不稳定、操作者的差别……、等等，测量结果是不可能绝对准确的。此物理量的真值同测量值之间总是存在一定的差异，这种差异就称为测量误差： 测量误差=测量值—真值 测量误差反映了实验结果的准确程度，如何降低和控制误差是物理实验和测量的重要任务。随着科学和技术水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但是永远存在于一切测量之中，不可能降低到零。换言之，物理量的真值是不可能通过测量得到的。 上述测量误差反映了测量值对于真值的偏差的大小和方向，它反映了某一次测量结果的优劣，称为绝对误差： 0i N N N ?=- （1-1） 式中0N 为真值，i N 为第i 次的测量值； 当需要比较多次测量结果的优劣程度时，则要用到相对误差： 100%N E N ?= ? （1-2）实验误差及数据处理习题
实验数据的误差分析(精)
物理实验-误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
实验大数据误差分析报告与大数据处理
第四章误差与实验数据的处理-答案
误差理论与数据处理实验报告要点
物理实验误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理.doc
1 实验数据的误差分析与处理
误差理论与数据处理实验报告
(完整版)第四章误差与实验数据的处理
误差理论与大数据处理实验报告材料
第一章 试验数据的误差分析.
实验1 物理实验误差与数据处理
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