第11章 电磁感应
11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。
２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。
３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。
４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。 ５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。 ６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。 ７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。 ８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。 11.２ 基本概念
１电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即
W
q
ε=
２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。 ３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。 ４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。
５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。 自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ
６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。
７互感系数M ：2112
12
M I I ψψ=
= ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。 ９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。 自感贮存磁能：212
m W LI =
磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111
222
m B w μH HB μ===
１０位移电流：D d d I dt Φ=
s d t
?=??D
S ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。 １１位移电流密度：d t
?=?D j 11.３ 基本规律
１电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。
（１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。楞 次定律是判断感应电流方向的普适定则。
（２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路 中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即
m
i d dt
εΦ=-
２动生电动势：()B
B
K A
A
i εd d ==???E l v B l ，若0i ε>,则表示电动势方向由A B →;若
0i ε<,则表示电动势方向B A →
３感生电动势：m K l
s i d Φd εd d dt
dt =
?=-
=-?
?B
E l S （对于导体回路）
B
K A
i εd =?E l （对于一段导体）
４自感电动势：L dI
εL dt
=- ５互感电动势：12212d ΨdI
εM dt dt
=-=- ６麦克斯韦方程组
s
d ??
D S =0V
dV q ρ=?
l d ??E l = - s d t
????
B
S =0s
d ??B S
c l s
d d t ??
??=+? ???
???D H l j S
11.４ 学习指导
学习法拉第电磁感应定律要注意，公式中的电动势是整个回路的电动势，式中负号是楞 次定律的要求，用以判断电动势的方向。由于动生电动势的非静电力为洛仑兹力，因此，学 习这一部分内容时，复习并掌握洛仑兹力的计算和方向判断是很有必要的。感生电动势的 学习和应用是本章的难点，学习时要多从感生电场的物理意义上去理解，感生电场由变化的 磁场所产生，它是产生感生电动势的非静电力的提供者，它既是非静电场，也是非保守场。 感生电场的问题解决了，感生电动势的问题自然也就容易解决。应该注意，无论是动生电动 势还是感生电动势，原则上均有两种求法：一种是利用公式()B
A i εd =??v
B l （动生电动
势）或B
K A
i εd =?E l （感生电动势）来求；另一种是应用法拉第电磁感应定律m
i d dt
εΦ=-
来解。不过，用法拉第电磁感应定律求出的是整个闭合回路的感应电动势，而不是某一段 导体的感应电动势。因此，利用法拉第电磁感应定律来求一段导体的感应电动势时，一要注 意“补”成闭合回路，二要注意将其他各段导体的电动势或电动势之和求出来，然后通过求算回路的感应电动势与其他各段导体的电动势之差才能得出该段导体的感应电动势。一般来 说，求一段导体的感应电动势用积分公式求解要简便些。
位移电流是电磁理论中的一个基本概念（假设），学习时要从其产生根源及计算两个方 面去进行理解。麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，学习时要注意从两个层面上去理解 它的物理意义：一是方程中各字母的物理意义；二是整个方程式的物理意义。
例1 如图所示，载有电流I 的长直导线附近，放一导体半圆环MeN 与长直导线共面，且端点MN 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b ，环心O 与导线相距a ．设半圆环以速度v 平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN 两端的电势差M N V V -．
解:作辅助线MN ，则在MeNM 回路中，沿v 方向运动时,穿过回路所围面积磁通量不变
因此 0=MeNM ε 即 MN MeN εε= 又 0cos d ln 02a b
MN a b
Iv a b
vB l a b
μεππ+-+=
=-
<-?
表明MN 中电动势方向为N M →.
所以半圆环内电动势MeN ε方向沿N e M →→方向， 大小为
b
a b a Iv -+ln
20πμ M 点电势高于N 点电势，即
0ln
2M N Iv a b
V V a b
μπ+-=
- 例2 如图所示，长直导线通以电流I =5A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长
b =0.06m ，宽a =0.04m ，线圈以速度v =0.03m ·s -1垂直于直线平移远离．求：d =0.05m
时线圈中感应电动势的大小和方向．
a
b
O
I
v
N
M
例1图
e
例2图
解: AB 、CD 运动时不切割磁感线，所以不产生感应电动势．
DA 产生电动势
01()d 2d
A
i D
I
vBb vb
μεπ=??==?v B l 10i ε>,表示 方向为D A →. BC 产生电动势
02()d 2π()
C
i B
I
vb
a d με=??=-+?v B l
20i ε<,表示方向为C B →.
回路中总感应电动势
80121
1() 1.6102πi i i Ibv V d d a
μεεε-=+=
-=?+
方向沿顺时针．
例3 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B 中，B 的方向与回路的法线成60°角，B 的大小为B =kt (k 为正常数)．设t =0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向．
解: 取回路绕行正方向为逆时针方向,则回路所围面积的正法线方向即为图示的方向 任意时刻穿过回路面积的磁通量为
21
d cos602
m Blvt klvt Φ=?=?=
?
B S 故 d d m
i klvt t
εΦ=-
=- 0i ε<表明电动势方向与所规定绕行正方向相反,即沿顺时针方向．
例3图
例4 两根平行长直导线，横截面的半径都是a ，中心相距为d ，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l 的一段自感为
0ln
l d a
L a
μπ-=
． 解: 设给两导线中通一电流I ,左侧导线中电流向上,右侧导线中电流向下.
在两导线所在的平面内取垂直于导线的坐标轴r ,并设其原点在左导线的中心,如图所示,由此可以计算通过两导线间长度为l 的面积的磁通量. 两导线间的磁感强度大小为
001222π()
I
I
B B B πr
d r μμ=+=
+
-
取面积元r l S d d =,通过面积元的磁通量为
0022π()m I I d d Bldr =ldr πr d r μμ??
Φ=+??
-??
B S = 则穿过两导线间长度为l 的矩形面积的磁通量为 000011()(ln ln )22π()2π2πd a
d a m a
a I I Il Il d a a
ldr dr πr d r r r d a d a μμμμ--??-Φ=
+=-=-??---???
? a
a
d Il
-=
ln π
0μ 故 0ln πm l d a
L I a
μΦ-=
= 例5 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环,其尺寸如附图(a)所示，共有N 匝(图中仅画出少量几匝)．试求： (1)此螺线环的自感系数；
例4图
(2)若导线内通有电流I ，环内磁能为多少?
解: (1)设有电流I 通过线圈,线圈回路呈长方形,如图(b)所示,由安培环路定理可求得在
12R r R <<范围内的磁场分布为
02NI
B r
μπ=
通过螺绕环横截面的磁通为 2
1
002
1
d ln
2π
2π
R m R NI
NIh
R h r r R μμΦ=
=
?
磁链 202
1
ln
2π
m N Ih
R N R μψ=Φ=
故 202
1
ln 2πN h R L I R μψ==
(2) 磁能 2
2
1LI W m = 带入可得 2202
1
ln
4π
m N I h
R W R μ=
11.5习题详解
11.1 在一线圈回路中，规定满足如图所示的旋转方向时，电动势i ε, 磁通量m Φ为正值。
例5图
r
dr
若磁铁沿箭头方向进入线圈，则有（ ） (A) /0m d dt Φ<,0i ε< (B) /0m d dt Φ>, 0i ε< (C) /0m d dt Φ>, 0i ε> (D) /0m d dt Φ<, 0i ε> 解 正确答案（B ）
回路取图示旋转方向时，回路正法线方向向右，与磁感强度B 的方向相同，所以穿过线圈所围面积的磁通量为正，即0m Φ>，当磁铁插入线圈时，穿过线圈的磁通量增加，故
/0m d dt Φ>，由电磁感应定律可知0i ε<。所以选择答案（B ）。
11.2一金属圆环旁边有一带负电荷的棒，棒与环在同一平面内，开始时相对静止；后来棒
忽然向下运动，如图所示，设这时环内的感应电动势为i ε ，感应电流为 I ，则（ ）
（A ）0i ε=， 0I =
（B ）0i ε≠，0I =
（C ）0i ε≠，0I ≠ ， I 为顺时针方向 （D ）0i ε≠，0I ≠ ，I 为逆时针方向 解 正确答案（C ）
当带负电的细棒相对圆环向下运动时，相当于圆环的右侧形成一向上的电流。而原来没有相对运动时是没有这一电流的。这样在圆环内产生了一向外的磁场，且使得圆环内的磁通量增加，根据楞次定律可判断得知，圆环内产生一顺时针方向的感应电流。故选择（C ）。
S
N v
习题11.1图 习题11.2图
11.3一矩形线框长为a 宽为b ，置于均匀磁场中，线框绕OO ' 轴，以匀角速度ω 旋转(如图所示)．设0t = 时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为（ ）
（A ）2cos abB t ω
（B ）abB ω
（C ）1
cos 2
abB t ωω （D ）cos abB t ωω 解 正确答案（D ）
任意时刻穿过线圈平面的磁通量m sin BS t ωΦ=，有电磁感应定律得知
cos m
i d abB t dt
εωωΦ=
=，故选择（D ） 11.4在尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中穿过相同变化率的磁通量，则两环中（ ） （A ）感应电动势相同，感应电流相同 （B ）感应电动势不同，感应电流不同 （C ）感应电动势相同，感应电流不同 （D ）感应电动势不同，感应电流相同
解 正确答案（C ）
由于穿过两回路的磁通量的变化率相同，根据电磁感应定律可知，两回路中感应电动势亦相同；又因为尺寸相同的铁环和铜环的电阻不相同，所以两回路中产生的感应电流不相同。故选择（C ）。
11.5 半径R 的圆线圈处于极大的均匀磁场B 中，B 垂直纸面向里，线圈平面与磁场垂直， 如果磁感应强度为 2
321B t t =++，那么线圈中感应电场为（ ）
B
习题11.3图
（A ）22(31)t R π+，顺时针方向 （B ）2
2(31)t R π+，逆时针方向 （C ）(31)t R + ，顺时针方向 （D ）(31)t R + ，逆时针方向
解 正确答案（D ）
感生电动势m i k L
d d =-
dt
εΦ=
?
E l ，即2
2(62)k RE t R ππ=+，得(31)k E t R =+，再可判断感应电场方向为逆时针方向。
11.6面积为S 和2S 的两圆线圈1、2如图放置，线圈1中通有电流通有I ，线圈2中通有电流2I 。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通量用21Φ表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通量用12Φ表示，则21Φ和12Φ的大小关系为（ ） (A) 12212ΦΦ=
(B) 12212
1
ΦΦ=
(C) 1221ΦΦ= (D) 1221ΦΦ>
解 正确答案（B ）
由21ΦMI =，122ΦM I =?，可知12212
1ΦΦ=
11.7通过垂直于线圈平面的磁通量随时间变化的规律为2
671m t t Φ=++，式中m Φ的单为
Wb ，试问当s 0.2=t 时，线圈中的感应电动势为__________________．
解 31V
127m
i d t dt
εΦ=-
=+，当s 0.2=t 时，31i V ε=。 11.8半径为a 的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n ，通以交变电流sin m I I t ω=,则围在管外的同轴圆形回路（半径为r ）上的感生电动势大小为 。
解 2
0cos m n a I t μπω
ω
S
2习题11.6图
螺线管中均匀磁场的磁感强度大小为0sin m B nI t μω=,穿过圆形回路的磁通量
220sin m m a B a nI t ππμωΦ==,
由法拉第电磁感应定律得20cos m
i m d n a I t dt
εμπωωΦ=-
= 11.9一半径为 a 的金属圆盘，放在磁感应强度为B 的磁场中，B 与盘面法线 n e 的夹角为 θ，
如图所示．当这圆盘以每秒n 圈的转速绕它的几何轴旋转时，盘中心与边缘的电势差为__________________．
解2πcos nBa θ
可将B 分解为垂直于盘面的分量⊥B 和平行于盘面的分量B ,对于 B 而言,圆盘转动时并没有切割磁感线B ,所以平行分量B 对电势差没有贡献.所以本题可以等效于求圆盘在垂直于圆盘的磁场⊥B 中旋转时,圆盘中心与边缘的电势差.
导体圆盘可视为由许多条沿半径方向的导体细棒组合而成,由教材11.2节例1题知,在垂直于导体细棒的均匀磁场⊥B 中旋转时,导体细棒两端产生电势差为
221πcos 2
i B a nBa εωθ⊥==
11.10一空心直螺线管长为0.4m ，横截面积为2cm 2
，共2000匝，则自感L ＝__________。 解 8π?10-4
H
由教材11.4节例1题结果知
2
2744
020*********.48100.4L n Sl H μππ---??==?????=? ???
11.11无限长密绕直螺线管通以电流I ，内部充满均匀、各向同性的磁介质，磁导率为μ。管上单位长度绕有n 匝导线，则管内的磁感应强度为____________________，内部的磁能密度为___________________________。
B
n
e 习题11.9图
解 nI μ ，
2212
n I μ 22211
22
m w H n I μμ=
= 11.12两长直螺线管同轴并套在一起，半径分别为1R 和221()R R R >，匝数分别为1N 和2N ，长度均为12(,)l l
R l R 。略去端缘效应，它们之间的互感系数__________________。
解2
0121=πM N N R l μ
设螺线管2N 中通有电流I ,则其管内均匀磁场的磁感强度为2
20
N B I l
μ=, 通过1N 螺线管的磁链数为2
22
121101N N B R N I R l
πμπψ== 互感系数22101N M N R I l
μπψ
=
= 11.13一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B 垂直．当回路半径以恒定速率
t
r
d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 穿过回路的磁通量 2
πr B BS m ==Φ
感应电动势大小 2d d d (π)2π0.40d d d m r
B r B r t t t
εΦ=-
=== V 11.14有一无限长螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈、半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI ／dt ，求小
习题11.12图
R 1
R 2
线圈中的感应电动势．
解：长螺线管内均匀磁场的磁感强度
nI B 0μ=
穿过小线圈的磁链数
2
0NBS n r I μπψ==
由电磁感应定律
20i d dI
Nn r dt dt
ψεμπ=-
=- 11.15 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f 绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R ．求：感应电流的最大值． 解：任意时刻,穿过半圆面的磁通量为
2
0πcos()2
m r B t ω?Φ=?=+B S
其中ω为导体旋转角速度,0?为半圆面正法线方向 与磁场方向之间的初始夹角. 由电磁感应定律知
20d πsin()d 2
m i B r t t ωεω?Φ=-=+
由此知感应电动势最大值和感应电流最大值分别为
22
22ππ2ππ22
im
B r B r f r Bf ωε===
22πim
m r Bf I R R
ε== 11.16一匝数N=200的线圈，通过每匝线圈的磁通量
4
210sin10Wb m t π-Φ=? 求：
（1）任意时刻线圈感应电动势的大小；
习题11.15图
（2）在10t s =时，线圈内的感应电动势的大小。 解（1）0.4 cos10 t m
i d N
dt
εππΦ=-= (2) t = 10s 时
0.4 cos100 = 0.4 = 1.2 V i επππ=
11.17 导线ab 长为l ，绕过o 点的垂直轴以匀角速ω转动，ao =3
l
，磁感应强度B 平行于转轴，如图所示．试求： （1）AB 两端的电势差； （2）A B 、两端哪一点电势高?
解:
(1)在OB 上,距点O 为r 处取导体元dr ,则OB 段导体内产生的电动势大小为
()222
3300
29
l l OB B d rBdr l ωεω=?=??v B r = 方向为O B →.
同理OA 段导体内产生的电动势大小为
230
1
d 18
l OA rB r B l εωω==
?
方向O A →.
将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和,如图(b)所示,则
习题11.17图
A B
(b)
A
O
OB ε
OA ε
(a)
B
22121
(
)1896
AB OA OB U B l B l εεωω=-=-=- (2) B 点电势高．
11.18如图，有一弯成角的金属架COD 放在均匀磁场中，磁感应强度B 的方向垂直于金属架COD 所在的平面，且B 不随时间改变。有一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v 向右运动，v 与MN 垂直。设0t =时，0x =，求框架内的感应电动势i ε。
2tan 2
m x BS B B
θ
Φ===解 任意时刻三角形回路所围面积上的磁通量为
2tan m
i d Bv t dt
εθΦ=-=
三角形回路中感应电动势方向为逆时针方向. 11．19在通有电流 I 的无限长载流直导线旁，在右
侧距
离为a 处垂直放置一长为 L 以速度v 向上运动的导体棒，求导体棒中产生的动生电动势。 解 建立如图所示的坐标系,在距离无限长导线x 处的导体棒上取导体元dx ,该处的磁感强度02I
B x
μπ=
. 该导体元运动产生的电动势
()i d d vBdx ε=??v B l =
整个导体棒中产生的动生电动势为
00ln
22a L
i i a
v I v I a L
d dx x a
μμεεππ++===??
方向向左.
11．20如图所示，在距长直电流I 为d 处有一直导线AB ，其长为l ，与电流共面，图中倾角为，导线以速度v 向上平动，求导线上的动生电动势。
θ
? B
D
C
M
N
x
习题11.18图
v
a
L
I
习题11.19图
dx
O x
解 在直导线AB 上任意位置处取线元dl ,该处距离长直导线为x ,该处磁感强度为
02I
B x
μπ=
，方向垂直向里，线元dl 上有一个微元电动势()cos i d d =-Bv dl εα=??v B l ,负号表明其方向为B A →.由于cos dl dx α=，导线上的电动势为各微元电动势的串联，故
cos 00cos ln
22d l i i l
d
Ivdx Iv d l d x d
α
μμα
εεππ++==-
=-??
负号表明电动势方向为B A →方向。
11.21如图所示，长度为b 2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度v 平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I ，两导线相距2a ．试求：金属杆两端的电势差及其方向．
解：在金属杆上取r d 距左边直导线为r ，则
0011
()()ln
22B a b
AB A
a b
Iv Iv a b d dr r a r a b
μμεππ+--+=??=-
+=--??
v B l 因为 0 所以实际上感应电动势方向从A B →，即从图中从右向左，则 b a b a Iv U AB -+=ln 0πμ B d α I v A 习题11.20图 O x dl 习题11.21图 11.22 半径为R 的直螺线管中，有 dt dB ＞0的磁场，一任意闭合导线abca ，一部分在螺线管内绷直成ab 弦，a ,b 两点与螺线管绝缘，如图所示．设ab =R ，试求：闭合导线中的感应电动势． 解：如图，取闭合导线abca 的绕行正方向为顺时 针方向,穿过闭合回路所围面积的磁通量为 22 π3()64 m R R B Φ=?=-B S 由电磁感应定律得 22π3()64m i d R dB R dt dt εΦ=-=-- 因为 0d d >t B 所以0 11.23 磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当t B d d ＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． 解： bc ab ac εεε+= 作连线Oa Ob Oc 、、,构成两个三角形导体回路, 在三角形导体回路Oab 中, Oa Ob 、两段导体是 沿径向的,处处垂直于感生电场k E 的方向(见教材 11.3节例2题),故两段导体均不产生电动势,所以三角形导体回路Oab 中的电动势即为导 c 习题11.22图 习题11.23 图 体ab 上的电动势. 取三角形导体回路Oab 中的绕行方向为a b O a →→→,可知此三角形平面的正法线方向为垂直向外,与磁场方向相反,所以该面的磁通量为负值.由电磁感应定律,得 t B R B R t t ab d d 43]43[d d d d 2 1=--=- =Φε 0ab ε>,可知电动势方向为a b →方向. 同理可得 =-=t ab d d 2Φεt B R B R t d d 12π]12π[d d 22=-- 电动势方向为b c →方向. 所以 t B R R ac d d ]12π43[22+=ε 0>ac ε即电动势方向从c a → 11.24如图所示，长直导线和矩形线圈共面，AB 边与导线平行，a =10cm , b =30cm, l =20cm 。 (1)若长直导线中的电流I 在1s 内均匀地从10A 降为零，则线圈ABCD 中的感应电动势的大小和方向如何？ (2)求长直导线和线圈的互感系数。( ln3 = 1.1 ) 解 02m I d ldx x μπΦ=? 00ln 22b m a Il Il dx b x a μμππΦ=?=? 70ln 3 4.4102m i d l dI V dt dt μεπ-Φ=- =?=? 由楞次定律可判断电动势方向为顺时针方向. 80ln 3 4.4102l M H I μπ -Φ===? 习题11.24图 11.25在平均半径为0.100 m ，横截面积为 426.0010m -?的钢圆环上，均匀密绕线圈200匝，当线圈中通有0.600 A 电流时，测得线圈的自感系数为0.038 H ．试求在此使用条件下钢环中的磁场强度和磁导率各为多少？ 解 由环路定理可得 2H R NI π?= 知 1200 0.6191A m 220.1 NI H R ππ-= =?=?? NBS L I I ψ== 故40.0380.6T 0.19T 200610LI B NS -?===?? 1410.19A m 9.9510A m 191 B H μ---==?=?? 11.26一圆形线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成，圆面积为2 4.0cm S = ，放在另一个半径为20cm R = 的大圆线圈中心，两者共轴，如图所示．大线圈由100匝表面绝缘的导线绕成． （1）求这两个线圈的互感； （2）当大线圈导线中的电流每秒减少50 A 时，求小线圈中的感应电动势． 解（1） 设大线圈导线中通电流为I ，则在中心产生的磁感强度为 0 2NI B R μ= 通过小线圈的磁通匝数为 0212NI nBS n S R μψ== 习题11.26图 互感系数 7402124π1050100 4.010H 222010 nN M S I R μψ---???===???? 66.310H=6.3 μH -=? (2) 64i d 6.310(50)V 3.110V d I M t ε--=-=-??-=? 11.27两条很长的平行输电线，相距为l ，载有大小相等而方向相反的电流0cos I I t ω= ；旁边有一长为a 、宽为b 的矩形线圈，它们在同一平面内，长边与输电线平行，到最近一条的距离为d ,如图所示．求线圈中的磁通量 Φm 和感应电动势 i ε． 解 设通过线圈的磁通量为m Φ ，则 001 2cos 1 12π m I t d Φd BdS adr r r μω?? =?== - ??? B S 00cos d d 2π d b l d b m d l d aI t r r Φr r μω++++? ?= - ?? ? ?? ()()() 00cos = ln 2π d b l d aI t d l d b μω++++ 所以 ()()() 00i d ln sin d 2πm d b l d ΦI a t t d l d b μωεω++=-=++ 11.28有一同轴电缆，由两个非常长的同轴圆筒状导体构成，内外圆筒的厚度均可忽略不计，其半径分别为1R 和2R ，两筒间充满相对磁导率为r μ 的绝缘磁介质．电缆中沿内外圆筒流过的电流大小均为I 而方向相反，试求空间各处的磁感应强度和电缆每单位长度的自感系 习题11.27图 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。 第九章 简谐振动 填空题（每空3分） 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡 位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?） 9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。 2003—2004学年度第2学期期末考试试卷（A 卷） 《A 卷参考解答与评分标准》 一 填空题：（18分） 1． 10V 2.（变化的磁场能激发涡旋电场），（变化的电场能激发涡旋磁场）. 3. 5， 4. 2， 5. 3 8 6. 293K ，9887nm . 二 选择题：（15分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. A . 三、【解】(1) 如图所示，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -. 选取半径为r （12R r R <<）的同心球面S ，则根据高斯定理有 2() 0d 4πS Q r E ε?==? E S 于是，电场强度 204πQ E r ε= (2) 内导体球与外导体球壳间的电势差 22 2 1 1 1 2200 01211d 4π4π4πR R R AB R R R Q Q dr Q U dr r r R R εεε?? =?=?==- ????? ? r E (3) 电容 12 001221114π/4πAB R R Q C U R R R R εε??= =-= ?-?? 四、【解】 在导体薄板上宽为dx 的细条，通过它的电流为 I dI dx b = 在p 点产生的磁感应强度的大小为 02dI dB x μπ= 方向垂直纸面向外. 电流I 在p 点产生的总磁感应强度的大小为 22000ln 2222b b b b dI I I dx B x b x b μμμπππ===? ? 总磁感应强度方向垂直纸面向外. 五、【解法一】 设x vt ＝, 回路的法线方向为竖直向上( 即回路的绕行方向为逆时 针方向)， 则 21 d cos602B S Blx klvt Φ=?=?= ? ∴ d d klvt t εΦ =- =- 0ac ε < ，电动势方向与回路绕行方向相反，即沿顺时针方向（abcd 方向）． 【解法二】 动生电动势 1 cos602 Blv klvt ε?动生＝＝ 感生电动势 d 111 d [cos60]d 222d d dB B S Blx lx lxk klvt t dt dt dt εΦ=- =?=--?===?感生－ klvt εεε==感生动生＋ 电动势ε的方向沿顺时针方向（即abcd 方向）。 六、【解】 1. 已知波方程 10.06cos(4.0)y t x ππ=- 与标准波方程 2cos(2) y A t x π πνλ =比较得 , 2.02, 4/Z H m u m s νλνλ==== 2. 当212(21)0x k ππΦ-Φ==+合时，A ＝ 于是，波节位置 21 0.52k x k m += =+ 0,1,2, k =±± 3. 当 21222x k A ππΦ-Φ==合时，A ＝ 于是，波腹位置 x k m = 0,1,2, k =±± ( 或由驻波方程 120.12cos()cos(4)y y y x t m ππ=+= 有 (21) 00.52 x k A x k m π π=+?=+合＝ 0,1,2, k =±± 20.122 x k A m x k m π π=?=合＝, 0,1,2, k =±± ) 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m /s 102=g 。 1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 1–5 一质点沿x 轴正向运动，其加速度与位置的关系为x a 23+=，若在x =0处，其速度m /s 50=v ，则质点运动到x =3m 处时所具有的速度为__________。 1–6 一质点作半径R =1.0m 的圆周运动，其运动方程为t t 323+=θ，θ以rad 计，t 以s 计。则当t =2s 时，质点的角位置为________；角速度为_________；角加速度为_________；切向加速度为__________；法向加速度为__________。 1–7 下列各种情况中，说法错误的是[ ]。 A ．一物体具有恒定的速率，但仍有变化的速度 B ．一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C ．一物体具有加速度，而其速度可以为零 D ．一物体速率减小，但其加速度可以增大 1–8 一个质点作圆周运动时，下列说法中正确的是[ ]。 A ．切向加速度一定改变，法向加速度也改变 B ．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 C ．切向加速度可能不变，法向加速度不变 D ．切向加速度一定改变，法向加速度不变 1–9 一运动质点某瞬时位于位置矢量),(y x r 的端点处，对其速度大小有四种意见： （1）t r d d （2）t d d r （3）t s d d （4）2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 下述判断正确的是[ ]。 A ．只有（1），（2）正确 B ．只有（2），（3）正确 C ．只有（3），（4）正确 D ．只有（1），（3）正确 1–10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at +=（其中a 、b 为常量），则该质点作[ ]。 A ．匀速直线运动 B ．变速直线运动 C ．抛物线运动 D ．一般曲线运动 1–11 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S ＝5＋4t –t 2（SI ），则小球运动到最高点的时刻是[ ]。 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 一、判断题 1. 在自然界中，可以找到实际的质点. ···················································································· [×] 2. 同一物体的运动，如果选取的参考系不同，对它的运动描述也不同. ···························· [√] 3. 运动物体在某段时间内的平均速度大小等于该段时间内的平均速率. ···························· [×] 4. 质点作圆周运动时的加速度指向圆心. ················································································ [×] 5. 圆周运动满足条件d 0d r t =，而d 0d r t ≠ . · ··············································································· [√] 6. 只有切向加速度的运动一定是直线运动. ············································································ [√] 7. 只有法向加速度的运动一定是圆周运动. ············································································ [×] 8. 曲线运动的物体，其法向加速度一定不等于零. ································································ [×] 9. 质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的. ···································· [√] 10. 牛顿定律只有在惯性系中才成立. ························································································ [√] 二、选择题 11. 一运动质点在某时刻位于矢径(),r x y 的端点处，其速度大小为：（ C ） A. d d r t B. d d r t C. d d r t D. 12. 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为2 54SI S t t =+-（） ，则小球运动到最高点的时刻是： （ B ） A. 4s t = B. 2s t = C. 8s t = D. 5s t = 13. 一质点在平面上运动，已知其位置矢量的表达式为22 r at i bt j =+ （其中a 、b 为常量）则 该质点作：（ B ） A. 匀速直线运动 B. 变速直线运动 C. 抛物线运动 D. 一般曲线运动 14. 某物体的运动规律为2d d v kv t t =-，式中的k 为大于0的常数。当0t =时，初速为0v ，则速 度v 与时间t 的关系是：（ C ） A. 0221v kt v += B. 022 1 v kt v +-= C. 021211v kt v += D. 0 21211v kt v +-= 15. 在相对地面静止的坐标系中，A 、B 二船都以2m/s 的速率匀速行驶，A 沿x 轴正方向，B 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间内合力作功 为A 1，32t t →时间内合力作功为A 2，43t t → （C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间内，其平 均速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ）T R π2， 0 5、质点在恒力F ρ作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?内，速率由0增加到υ； 在2t ?内，由υ增加到υ2。设该力在1t ?内，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?内， 冲量大小为2I ，所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直 线运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力 F 的大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t 马文蔚（ 112 学时） 1-9 章自测题 第 1 部分：选择题 习题 1 1-1 质点作曲线运动，在时刻t质点的位矢为r ，速度为 v ，t 至 t t 时间内的位移为r ，路程为s，位矢大小的变化量为r （或称r ），平均速度为v ，平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（） （A ）r s r （B ）（C）（D ）r s r ，当t0 时有 dr ds dr r r s ，当t0 时有 dr dr ds r s r ，当t0 时有 dr dr ds （2）根据上述情况，则必有（） （A ）（C）v v, v v（ B）v v, v v v v, v v（D ）v v, v v 1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢r ( x, y) 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1）dr ；（ 2） dr ；（3） ds ；（4）( dx )2( dy )2 dt dt dt dt dt 下列判断正确的是： （A ）只有（ 1）（2）正确（B ）只有（ 2）正确 （C）只有（ 2）（3）正确（D ）只有（ 3）（ 4）正确 1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度， a 表示加速度，s表示路程，a t表示切向加速度。对下列表达式，即 （1）dv dt a ；（2） dr dt v ；（3） ds dt v ；（4）dv dt a t。 下述判断正确的是（） （A ）只有（ 1）、（ 4）是对的（B ）只有（ 2）、（4）是对的 （C）只有（ 2）是对的（ D）只有（ 3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C）切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ）切向加速度一定改变，法向加速度不变 1-5 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边 [习题解答] 1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。 解汽车行驶的总路程为 ； 汽车的总位移的大小为 ?r = 位移的方向沿东北方向，与 方向一致。 1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问 与 在一般情况下是否相等？为什么？ 解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导， 表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。 1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的单位分别是m和s。求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度； (3)第三秒末和第四秒末的加速度。 解取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。 (1)第二秒内的平均速度 m?s-1； (2)第三秒末的速度 因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为 v3 = - 18 m?s-1； 用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为 v4 = - 48 m?s-1； (3)第三秒末的加速度 因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为 a3 = - 24 m?s-2； 用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为 v4 = - 36 m?s-2 . 1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为和，试证明： (1) v d v = a d s； (2)当a为常量时，式v 2 = v02 + 2a (s-s0 )成立。 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3 ，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间合力作功为 A 1，32t t →时间合力作功为A 2，43t t → 3 C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间，其平均 速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ） T R π2， 0 5、质点在恒力F 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?，速率由0增加到υ；在2t ?， 由υ增加到υ2。设该力在1t ?，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?，冲量大小为2I ， 所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直线 运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F 的 大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t 西安工业大学试题纸 1.若质点的运动方程为：()2r 52/2t t i t j =+-+（SI ），则质点的v ＝ 。 2. 一个轴光滑的定滑轮的转动惯量为2/2MR ，则要使其获得β的角加速度，需要施加的合外力矩的大小为 。 3.刚体的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和 。 4.一物体沿x 轴运动，受到F =3t (N)的作用，则在前1秒内F 对物体的冲量是 （Ns ）。 5. 一个质点的动量增量与参照系 。（填“有关”、“无关”） 6. 由力对物体的做功定义可知道功是个过程量，试回答：在保守力场中，当始末位置确定以后，场力做功与路径 。（填“有关”、“无关”） 7.狭义相对论理论中有2个基本原理(假设)，一个是相对性原理，另一个是 原理。 8.在一个惯性系下，1、2分别代表一对因果事件的因事件和果事件，则在另一个惯性系下，1事件的发生 2事件的发生（填“早于”、“晚于”）。 9. 一个粒子的固有质量为m 0，当其相对于某惯性系以0.8c 运动时的质量m = ；其动能为 。 10. 波长为λ，周期为T 的一平面简谐波在介质中传播。有A 、B 两个介质质点相距为L ，则A 、B 两个质点的振动相位差=?φ____；振动在A 、B 之间传播所需的时间为_ 。 11. 已知平面简谐波方程为cos()y A Bt Cx =-，式中A 、B 、C 为正值恒量，则波的频率为 ；波长为 ；波沿x 轴的 向传播（填“正”、“负”）。 12.惠更斯原理和波动的叠加原理是研究波动学的基本原理，对于两列波动的干涉而言，产生稳定的干涉现象需要三个基本条件：相同或者相近的振动方向，稳定的位相差，以及 。 13. 已知一个简谐振动的振动方程为10.06cos(10/5)()X t SI π=+，现在另有一简谐振动，其振动方程为20.07cos(10)X t =+Φ，则Φ= 时，它们的合振动振幅最 大；Φ= 时，它们的合振动振幅最小。 14. 平衡态下温度为T 的1mol 单原子分子气体的内能为 。 15. 平衡态下理想气体(分子数密度为n ，分子质量为m ，分子速率为v )的统计压强P= ;从统计角度来看，对压强和温度这些状态量而言， 是理想气体分子热运动激烈程度的标志。 一、选择题 （每小题2分，共20分） 1. 关于瞬时速率的表达式，正确的是 （ B ） (A) dt dr =υ； (B) dt r d = υ; (C) r d =υ; (D) dr dt υ= r 2. 在一孤立系统内，若系统经过一不可逆过程，其熵变为S ?，则下列正确的是 （ A ） (A) 0S ?>; (B) 0S ?< ; (C) 0S ?= ; (D) 0S ?≥ 3. 均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面，今以该圆面为边界，作以半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 （ B ） （A ）2πr 2B; (B) πr 2B; （C ）0; （D ）无法确定 4. 关于位移电流，有下面四种说法，正确的是 （ A ） （A ）位移电流是由变化的电场产生的； （B ）位移电流是由变化的磁场产生的； （C ）位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律； （D ）位移电流的磁效应不服从安培环路定律。 5. 当光从折射率为1n 的介质入射到折射率为2n 的介质时，对应的布儒斯特角b i 为 （ A ） 2 1 1 2 (A)( );(B)( );(C) ;(D)02 n n arctg arctg n n π 6. 关于电容器的电容，下列说法正确．．的是 （ C ） (A) 电容器的电容与板上所带电量成正比 ; (B) 电容器的电容与板间电压成反比; (C)平行板电容器的电容与两板正对面积成正比 ;(D) 平行板电容器的电容与两板间距离成正比 7. 一个人站在有光滑转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。在该人把二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统 （ C ） （A ）机械能守恒，角动量不守恒； （B ）机械能守恒，角动量守恒； （C ）机械能不守恒，角动量守恒； （D ）机械能不守恒，角动量也不守恒； 8. 某气体的速率分布曲线如图所示，则气体分子的最可几速率v p 为 （ A ） (A) 1000 m ·s -1 ; （B ）1225 m ·s -1 ; (C) 1130 m ·s -1 ; (D) 1730 m ·s -1 得分 2008年下学期2007级《大学物理（下）》期末考试（A 卷） 一、选择题(共27分) 1. (本题3分) (2717) 距一根载有电流为3×104 A 的电线1 m 处的磁感强度的大小为 (A) 3×10-5 T ． (B) 6×10-3 T ． (C) 1.9×10-2T ． (D) 0.6 T ． (已知真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A) ［ ］ 2. (本题3分)(2391) 一电子以速度v 垂直地进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量将 (A) 正比于B ，反比于v 2． (B) 反比于B ，正比于v 2． (C) 正比于B ，反比于v ． (D) 反比于B ，反比于v ． ［ ］ 3. (本题3分)(2594) 有一矩形线圈AOCD ，通以如图示方向的电流I ，将它置于均匀磁场B 中，B 的方向与x 轴正方向一致，线圈平面与x 轴之间的夹角为α，α < 90°．若AO 边在y 轴上，且线圈可绕y 轴自由转动，则线圈将 (A) 转动使α 角减小． (B) 转动使α角增大． (C) 不会发生转动． (D) 如何转动尚不能判定． ［ ］ 4. (本题3分)(2314) 如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外力使 ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ ］ 5. (本题3分)(2125) 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为 (A) Bl v ． (B) Bl v sin α． (C) Bl v cos α． (D) 0． ［ ］ 6. (本题3分)(2421) 已知一螺绕环的自感系数为L ．若将该螺绕环锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数 c a b d N M B 精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 普通物理Ⅲ 试卷（ A 卷） 一、单项选择题 1、运动质点在某瞬时位于位矢r 的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)dt r d ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 2、一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变 3、如图所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( ) (A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ 4、对质点组有以下几种说法： (1) 质点组总动量的改变与内力无关； (2) 质点组总动能的改变与内力无关； (3) 质点组机械能的改变与保守内力无关． 下列对上述说法判断正确的是( ) (A) 只有(1)是正确的 (B) (1) (2)是正确的 (C) (1) (3)是正确的 (D) (2) (3)是正确的 5、静电场中高斯面上各点的电场强度是由：（ ） (A) 高斯面内的电荷决定的 (B) 高斯面外的电荷决定的 (C) 空间所有电荷决定的 (D) 高斯面内的电荷的代数和决定的 6、一带电粒子垂直射入均匀磁场中，如果粒子的质量增加为原来的2倍，入射速度也增加为原来的2倍，而磁场的磁感应强度增大为原来的4倍，则通过粒子运动轨道所围面积的磁通量增大为原来的：（ ） (A) 2倍 (B) 4倍 (C) 0.5倍 (D) 1倍 7、一个电流元Idl 位于直角坐标系原点 ，电流沿z 轴方向，点P (x ，y ，z )的磁感强度沿 x 轴的分量 是： （ ） 质 点 运 动 学 选择题 [ ]1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝6+3t -5t 3 (SI)，则点作 A 、匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． B 、匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． C 、变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． D 、变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． [ ]2、某物体的运动规律为2v dv k t dt =-，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 A 、0221v kt v += B 、022 1v kt v +-= C 、02211v kt v +=, D 、02211v kt v +-= [ ]3、质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻 质点的速率) A 、dt dv B 、R v 2 C 、R v dt dv 2+ D 、 242)(R v dt dv + [ ]4、关于曲线运动叙述错误的是 A 、有圆周运动的加速度都指向圆心 B 、圆周运动的速率和角速度之间的关系是ωr v = C 、质点作曲线运动时，某点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向 D 、速度的方向一定与运动轨迹相切 [ ]5、以r 表示质点的位失， ?S 表示在?t 的时间内所通过的路程，质点在?t 时间内平均速度的大小为 A 、t S ??; B 、t r ?? C 、t r ?? ; D 、t r ?? 填空题 6、已知质点的运动方程为26(34)r t i t j =++ (SI)，则该质点的轨道方程 为 ；s t 4=时速度的大小 ；方向 。 7、在xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为：j t i t r 5sin 105cos 10+=（SI ）， 则t 时刻其速度=v ；其切向加速度的大小t a ；该质 点运动的轨迹是 。 8、在x 轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为v 0，初始位置为x 0加速度为a=C t 2 (其中C 为常量),则其速度与时间的关系v= ， 运动 习题解答 （注：无选择题，书本已给出） 习题一 1-6 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和 t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即 r ?12r r -=，1 2r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r = =v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-6图 (3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-7 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r ＝2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 v =2 2d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a =2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 22 2 22 2 22 22 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中 的一部分??? ? ??????? ??-=2 22d d d d t r t r a θ径。 或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r 及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速 度的贡献。 1-8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1 《大学物理（下）》期末考试（A 卷） 一、选择题(共27分) 1. (本题3分) 距一根载有电流为3×104 A 的电线1 m 处的磁感强度的大小为 (A) 3×10-5 T ． (B) 6×10-3 T ． (C) 1.9×10-2T ． (D) 0.6 T ． (已知真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A) ［ ］ 2. (本题3分) 一电子以速度v 垂直地进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量将 (A) 正比于B ，反比于v 2． (B) 反比于B ，正比于v 2． (C) 正比于B ，反比于v ． (D) 反比于B ，反比于v ． ［ ］ 3. (本题3分) 有一矩形线圈AOCD ，通以如图示方向的电流I ，将它置于均匀磁场B 中，B 的方向与x 轴正方向一致，线圈平面与x 轴之间的夹角为α，α < 90°．若AO 边在y 轴上，且线圈可绕y 轴自由转动，则线圈将 (A) 转动使α 角减小． (B) 转动使α角增大． (C) 不会发生转动． (D) 如何转动尚不能判定． ［ ］ 4. (本题3分) 如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外力使 ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ ］ 5. (本题3分) 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为 (A) Bl v ． (B) Bl v sin α． (C) Bl v cos α． (D) 0． ［ ］ 6. (本题3分) 已知一螺绕环的自感系数为L ．若将该螺绕环锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数 c a b d N M B大学物理第一章质点运动学习题解(详细、完整)
大学物理A第九章 简谐振动
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