四 曲线运动 万有引力与航天
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分，1～5题每小题只有一个选项正确，6～10小题有多个选项符合题目要求，全选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分)
1. 如图所示，细线一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A ．v sin θ
B ．v cos θ
C ．v tan θ
D ．v cot θ
解析：选A.将光盘水平向右移动的速度v 分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v 沿细线方向的分速度大小相等，故可得v 球＝v sin θ，A 正确．
2. 如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，也是噬杀成性的“杂食家”，在跳跃方面有着惊人的“天赋”，它“厉害地一跃”水平距离可达44英尺，高达11英尺，设美洲狮“厉害地一跃”离开地面时的速度方向与水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看做质点，则tan α等于( )
A.18
B.14
C.12
D ．1
解析：选D.
从起点A 到最高点B 可看做平抛运动的逆过程，如图所示，美洲狮做平抛运动位移方向
与水平方向夹角的正切值为tan α＝2tan β＝2×1122
＝1，选项D 正确．
3. 在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径为R ，则管状模型转动的最低角速度ω为( )
A.
g R B. g 2R C. 2g R
D ．2g R 解析：选 A.经过最高点的铁水要紧压模型内壁，临界情况是重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mg ＝m v 2
R
解得：v ＝gR
管状模型转动的最小角速度ω＝v R ＝
g R
故A 正确；B 、C 、D 错误．
4．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A.14
B ．4倍
C ．16倍
D ．64倍 解析：选D.天体表面的重力加速度mg ＝GMm R 2，又知ρ＝3M 4πR 3，所以M ＝9g 316π2ρ2G 3，故M 星M 地
＝? ??
??g 星g 地3＝64. 5. 2015年9月川东地区持续强降雨，多地发生了严重的洪涝灾害．如图为某救灾现场示意图，一居民被洪水围困在被淹房屋屋顶的A 点，直线PQ 和MN 之间是滔滔洪水，之外为安全区域．已知A 点到直线PQ 和MN 的距离分别为AB ＝d 1和AC ＝d 2，设洪水流速大小恒为v 1，武警战士驾驶的救生艇在静水中的速度大小为v 2(v 1＜v 2)，要求战士从直线PQ 上某位置出发以最短的时间到达A 点，救人后以最短的距离到达直线MN .则( )
A ．战士驾艇的出发点在
B 点上游距B 点距离为v 1v 2d 1
B ．战士驾艇的出发点在B 点下游距B 点距离为v 1v 2d 1
C ．救人后船头应指向上游，与上游方向所成夹角的余弦值为v 2v 1
D ．救人后船头应指向下游，与下游方向所成夹角的余弦值为v 1v 2
解析：选A.救生艇到达A 点的最短时间为t ＝d 1v 2，战士驾艇的出发点在B 点上游距B 点距离为v 1v 2d 1，选项A 正确，B 错误；若战士以最短位移到达MN ，则救生艇登陆的地点就是C 点，则船头与上游方向所成夹角的余弦值为v 1v 2
，故选项C 、D 错误．
6. 如图所示，小木块a 、b 和c (可视为质点)放在水平圆盘上，a 、b 两个质量均为m ，c 的质量为m 2
.a 与转轴OO ′的距离为l ，b 、c 与转轴OO ′的距离为2l 且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是( )
A ．b 、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B ．当a 、b 和c 均未滑落时，a 、c 所受摩擦力的大小相等
C ．b 和c 均未滑落时线速度大小相等
D ．b 开始滑动时的转速是2kgl
解析：选BC.木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，则F ＝mr ω2，当圆盘的角速度增大时，圆盘提供的静摩擦力随之增大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体开始滑动，b 、c 同时达到最大静摩擦力，故b 、c 同时从水平圆盘上滑落，但b 、c 质量不等，角速度转动半径相等，由F ＝mr ω2知b 、c 所受摩擦力不等，A 选项错误；当a 、b 和c 均未滑落时，在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，F ＝mr ω2，所以a 、c 所受摩擦力的大小相等，B 选项正确；b 和c 均未滑落时由v ＝r ω知，线速度大小相等，故C 选项正确；b 开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，kmg ＝m ·2l ω2，
解得ω＝ kg 2l
，故D 选项错误． 7. 如图，AB 为竖直面内半圆的水平直径．从A 点水平抛出两个小球，小球1的抛出速度为v 1、小球2的抛出速度为v 2.小球1落在C 点、小球2落在D 点，C 、D 两点距水平直径分别为圆半径的0.8倍和1倍．小球1的飞行时间为t 1，小球2的飞行时间为t 2.则( )
A ．t 1＝t 2
B ．t 1＜t 2
C ．v 1∶v 2＝4∶ 5
D ．v 1∶v 2＝3∶ 5
解析：选BC.根据平抛运动的规律h ＝12
gt 2知，下落高度越高，时间越长，故t 1＜t 2，B 正确；根据几何关系可求CD 间的水平距离为0.6R ，小球1：h ＝0.8R ＝12
gt 21，x 1＝1.6R ＝v 1t 1；小球2：h ′＝R ＝12
gt 22，x 2＝R ＝v 2t 2，联立解得：v 1∶v 2＝4∶5，所以C 正确． 8. 如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )
A ．甲星所受合外力为5GM 2
4R 2 B ．乙星所受合外力为GM 2
R
2 C ．甲星和丙星的线速度相同
D ．甲星和丙星的角速度相同
解析：选AD.甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R 2＋GM 2
R 2＝5GM 24R
2，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，B 错误；由于甲、乙位于同一直线上，甲、乙的角速度相同，由v ＝ωR 可知，甲、乙两星的线速度大小相同，但方向相反，故C 错误，D 正确．
9. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q 点，轨道2和3相切于P 点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v 1、v 3和a 1、a 3，在