内蒙古呼伦贝尔市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（?U A）∩B=( )
A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．?
2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( ) A．B．C．D．
5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )
A．﹣2或﹣3 B．2或﹣3 C．±2 D．2
6．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )
A．6B．3C．2D．
7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系
数是( )
A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图
象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )
A．g（x）=sin（x+1） B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）
D．g（x）=sin（x+1）
9．已知向量，，，若，则tan（）的值为( )
A．B．C．﹣D．﹣
10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．B．1 C．D．2
11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )
A．8πB．12πC．16πD．32π
12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A．（﹣） B．（） C．（）D．（）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是__________．
14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是__________．
15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为__________米．
16．设F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，
Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为__________．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*都有S n+
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列的前n项和．
18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
19．某教研机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请了n位一线教师（n＞8且n∈N*），其中有6位教师使用人教A版教材，其余使用北师大版教材．
（Ⅰ）从这N位一线教师中随机选出2位，若他们使用不同版本教材的概率不小于，求N
的最大值；
（Ⅱ）当N=12时，设选出的2位教师中使用人教A版教材的人数为ζ，求ξ的分布列和均值．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x﹣2）2+y2=1
的两条切线，切点为A，B，|AB|=．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点．是否存在这样的k，使得抛物线E上总存在点Q（x0，y0）满足QH⊥QG，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．
21．已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（Ⅰ）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的零点为x1，x2且x1＜x2，x1+x2=2x0，求证：f′（x0）＜0．
四、解答题（共3小题，满分30分）
选修4-1：几何证明选讲
22．如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，垂足为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点
（Ⅰ）求证：∠PFE=∠PAB；
（Ⅱ）求证：CD2=CF?CP．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线
C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣1|，
（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0
（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．
内蒙古呼伦贝尔市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（?U A）∩B=( )
A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．?
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．
解答：解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，
∴C U A={﹣3，﹣4}，
∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．
故答案选B．
点评：本题主要考查了集合间的交，补混合运算，较为简单．
2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的混合运算．
分析：化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，可以确定z对应的点位于的象限．
解答：解：复数=
故选C．
点评：本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，是基础题．
3．“a=﹣2”是“直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．
解答：解：当a=﹣2时，l1：2x+y﹣3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；
若直线l1：ax﹣y+3=0与l2：2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=﹣2，或a=1，不是必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．4．已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率是( ) A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据题设条件知求出渐近线的斜率，利用a，b，c 的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，
∴渐近线的斜率为，
∴=，
∴=，
∴e=．
故选A
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为( )
A．﹣2或﹣3 B．2或﹣3 C．±2 D．2
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，当
y的值为4时，分情况讨论即可解得x的值．
解答：解：模拟执行程序可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的
值，
故当输出值为4时，有：当x＜1时，1﹣x=4，可解得x=﹣3．
当x≥1时，x2=4，可解得x=2，或﹣2（舍去）
综上可得输入x的值为2或﹣3．
故选：B．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，考查了分段函数的求解，模拟执行程序得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
6．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于( )
A．6B．3C．2D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
解答：解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S=×（1+2）×2=3，
又∵左视图是等边三角形，
∴高h=，
故棱锥的体积V=×=，
故选：D．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系
数是( )
A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，
再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．
解答：解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，
∴展开式中第5项是中间项，共有9项，
∴n=8；
展开式的通项公式为
T r+1=?x8﹣r?=（﹣1）r??x8﹣2r，
令8﹣2r=2，得r=3，
∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3?=﹣56．
故选：C．
点评：本题考查了二项式展开式的应用问题，解题时应熟记二项式系数以及通项公式的特点，是基础题目．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜），其部分图
象如图所示，将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为( )
A．g（x）=sin（x+1）B．g（x）=sin（x+1）C．g（x）=sin（x+1）
D．g（x）=sin（x+1）
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．
分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解答：解：由函数的图象可得A=1，T==1﹣（﹣1）=2，∴ω=．
再由五点法作图可得，（﹣1）+φ=0，∴φ=，函数f（x）=sin（x+）．
将f（x）的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；
再向右平移1个单位得到g（x）=sin[（x﹣1）+]=sin（x+）的图象，
故函数g（x）的解析式为g（x）=sin（x+1），
故选：B．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9．已知向量，，，若，则tan（）的值为( )
A．B．C．﹣D．﹣
考点：平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：先进行数量积的坐标运算，并且用上二倍角的余弦公式，从而可求得sin，
而根据即可求得cos，然后根据两角差的正切公式和切化弦公
式即可求出tan（）．
解答：解：由已知条件：
sinα?（1﹣2sinα）﹣cos2α=sinα﹣1=；
∴，；
∴；
∴=．
故选D．
点评：考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，正弦函数在各象限的符号情况，以及两角差的正切公式，切化弦公式．
10．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．B．1 C．D．2
考点：点到直线的距离公式．
专题：转化思想；导数的综合应用．
分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．
解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，
点P到直线y=x﹣2的距离最小．
直线y=x﹣2的斜率等于1，
令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1，1），
点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，
∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，
故选：C．
点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．
11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )
A．8πB．12πC．16πD．32π
考点：球的体积和表面积．
专题：球．
分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，
△BCD是边长为3的等边三角形．
∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，
△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，
BE=，BG=，
R===2．
四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．
故选：C．
点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A．（﹣） B．（） C．（）D．（）
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增
函数，由此能求出a的取值范围．
解答：解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是3．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x﹣y为直线方程斜截式y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣0=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成
绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是．
考点：条件概率与独立事件．
专题：概率与统计．
分析：由茎叶图，确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即
可求得结论．
解答：从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．
将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，
则事件A包含的基本事件有10，故P（A）=；
“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，
则事件B包含的基本事件有9，P（B）=，
故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）=，
故P（A|B）==．
故答案为：．
点评：本题考查读茎叶图，考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．如图所示，在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山顶高BC为1000米．
考点：正弦定理．
专题：计算题．
分析：作出图形，过点S作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，依题意可求得SE在△BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC．
解答：解：依题意，过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，
∵∠SAE=30°，AS=1000米，
∴CD=SE=AS?sin30°=500米，
依题意，在Rt△HAS中，∠HAS=45°﹣30°=15°，
∴HS=AS?sin15°，
在Rt△BHS中，∠HBS=30°，
∴BS=2HS=2000sin15°，
在Rt△BSD中，BD=BS?sin75°
=2000sin15°?sin75°
=2000sin15°?cos15°
=1000×sin30°
=500米．
∴BC=BD+CD=1000米．
故答案为：1000．
点评：本题考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．
16．设F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：通过∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，可得直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴，从而△F1PQ 为等边三角形，△F1PF2为直角三角形，计算即可?
解答：解：∵过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，
∴直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴，即△F1PQ为等边三角形，△F1PF2为直角三角形，∵F1P+F1Q+PQ=4a，∴F1P+PF2=2a，
又∵F1P=2PF2，F1F2=2c，
∴F1P=，PF2=，
由勾股定理，得，即a2=3c2，
∴e=，
故答案为：?
点评：本题考查椭圆的简单性质，勾股定理，挖掘隐含信息“直线PQ过右焦点F2且垂直于x轴”是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．设S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*都有S n+
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n，求数列的前n项和．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”及其等比数列的通项公式即可得出；求通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（II）由于a n=，可得log3a n==﹣n．利用等差数列的前n项和公式
可得=﹣．利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：（I）∵S n+，∴当n=1时，=，∴a1=．
当n≥2时，，∴a n+﹣=0，∴．
∴数列{a n}是等比数列，∴a n=．
（II）∵a n=，∴log3a n==﹣n．
∴b n=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a n=﹣（1+2+…+n）=﹣．
∴=﹣．
∴数列的前n项和=﹣2+…+
=
=．
点评：本题考查了利用“a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求通项公式、“裂项求和”、等比数列与等差数列的通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O 为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）欲证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．
解答：证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且，从而OA2+SO2=SA2．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．
设B（1，0，0），则C（﹣1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点，
．∴
．
故等于二面角A﹣SC﹣B的平面角．
，
所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．
点评：本小题主要考查直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．
19．某教研机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请了n位一线教师（n＞8且n∈N*），其中有6位教师使用人教A版教材，其余使用北师大版教材．
（Ⅰ）从这N位一线教师中随机选出2位，若他们使用不同版本教材的概率不小于，求N
的最大值；
（Ⅱ）当N=12时，设选出的2位教师中使用人教A版教材的人数为ζ，求ξ的分布列和均值．
考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据题意得出概率P==，列出不等式则，求解即可．
（Ⅱ）确定随机变量得出ξ的可能取值为0，1，2，再根据题意分别得出概率P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，列出分布列即可．
解答：解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“使用版本不同”的概率P==，
则，
化简得n2﹣25n+144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16；
（Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
所以ξ的分布列为
ξ0 1 2
P
∴Eξ=0×+1×=1．
点评：本题考查了古典概率分布在实际问题中的应用，关键是确定随机变量以及相应的概率，列出分布列，不等式求解，难度较大，属于中档题．
20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x﹣2）2+y2=1
的两条切线，切点为A，B，|AB|=．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点．是否存在这样的k，使得抛物线E上总存在点Q（x0，y0）满足QH⊥QG，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由已知得M（﹣，0），C（2，0），由圆的对称性求出|CR|、|CM|，利用抛物
线的定义求出p，得出抛物线方程；
（Ⅱ）设Q（x0，y0），H（x1，y1），G（x2，y2），直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求两根之和与两根之积，由斜率公式表示出QH与QG的斜率，由QH⊥QG，利用斜率之积是﹣1，得到关于y0的一元二次方程，利用△≥0求出k的范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知得M（﹣，0），C（2，0）．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，
|AR|=．于是|CR|==，所以|CM|===3，
即2+=3，p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）设Q（x0，y0），H（x1，y1），G（x2，y2）
由得ky2﹣4y+4k=0，由得﹣1＜k＜1且k≠0．
，y1y2=4，，同理
由QH⊥QG得，即：，
∴，，得且k≠0，
由﹣1＜k＜1且k≠0得k的取值范围为[﹣）∪（0，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题主要考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．
21．已知f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（Ⅰ）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的零点为x1，x2且x1＜x2，x1+x2=2x0，求证：f′（x0）＜0．
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题：计算题；证明题；整体思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=lnx+x2﹣bx，从而可得f′（x）=+2x﹣b≥0在（0，+∞）上恒成立，即b≤+2x在（0，+∞）上恒成立，再由+2x≥2（当且仅当x=时，等号成立），从而求b的取值范围．
（Ⅱ）由题意得，，即，从而可得ln=（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]，再由f′（x）=﹣2ax﹣b及x1+x2=2x0得到f′（x0）=
[﹣ln]，令t=，m（t）=﹣lnt（0＜t＜1），从而求导可证明m（t）
＞m（1）=0；再由x1＜x2证明f′（x0）＜0．
解答：解：（Ⅰ）若a=﹣1，则函数f（x）=lnx+x2﹣bx，
∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=+2x﹣b≥0在（0，+∞）上恒成立，
即b≤+2x在（0，+∞）上恒成立，
而+2x≥2（当且仅当x=时，等号成立）
故b≤2，
故b的取值范围为（﹣∞，2]．
（Ⅱ）证明：由题意得，，
即，
故ln=（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]，
由f′（x）=﹣2ax﹣b及x1+x2=2x0，得
f′（x0）=﹣2ax0﹣b
=﹣[a（x1+x2）+b]
=﹣ln