专题十一 概率与统计
第三十三讲 回归分析与独立性检验
答案部分
1．C 【解析】因为22.5x =，160y =，所以160422.570a =-?=，42470166y =?+=，
选C ．
2．B 【解析】∵10.0x =，8.0y =，?0.76b
=，∴?80.76100.4a =-?=， ∴回归方程为?0.760.4y
x =+，把15x =代入上式得， ?0.76150.411.8y
=?=(万元)，选B ． 3．A 【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D ．且直线必过点(3,3.5)，
代入A 、B 得A 正确．
4．A 【解析】画出散点图知0,0b a <>．
5．D 【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故
选D.
6．D 【解析】因为22
2
1
52(6221410)5281636322016363220
χ??-??==??????，
22
2
2
52(4201612)521121636322016363220
χ??-??==??????，
22
2
3
52(824128)52961636322016363220
χ??-??==??????，
22
2
4
52(143062)524081636322016363220
χ??-??==??????，
则有2222
4231χχχχ>>>，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
7．D 【解析】由回归方程为y =0.85x -85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的
线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知
?()y
bx a bx y bx a y bx =+=+-=-， 所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不
正确．
8．B 【解析】样本中心点是（3.5，42），则??429.4 3.59.1a
y bx =-=-?=，所以回归方程是?9.49.1y
x =+，把6x =代入得?65.5y =． 9．【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?30.413.519226.1y
=-+?=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?9917.59256.5y
=+?=(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下．
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据
建立的线性模型?9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 10．【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
4=t ，28)(7
1
2
=-∑=i i t ，
55.0)
(7
1
2
=-∑=i i
y y ，
40.1749.32 2.89==-?=，
99.0646
.2255.089
.2≈??≈
r .
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性
回归模型拟合y 与t 的关系.
（Ⅱ）由331.17
32.9≈=y 及（Ⅰ）得7
1
7
2
1
()()
2.89
?0.10328
()
i
i
i i i t t y y b t t ==--==
≈-∑∑， 92.04103.0331.1??≈?-≈-=b a
. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y
10.092.0?+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y
. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
11．【解析】
（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费x 的
回归方程类型．
（Ⅱ）令w =
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于
8
1
8
2
1
()()
108.8
?681.6
()
i
i
i i
i w w y y d
w w ==--==
=-∑∑． ??56368 6.8100.6c
y dw =-=-?=， 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668y
w =+，因此y 关于x 的回归方程为
?100.6y
=+ （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值
?100.6576.6y
=+= 年利润z 的预报值
?576.60.24966.32z
=?-=． （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z 的预报值
?0.2(100.620.12z
x x =+-=-+．
13.6
6.82
=
=，即46.24x =时，?z
取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 12．【解析】（I ） 由所给数据计算得1
7
t =
（1+2+3+4+5+6+7）=4
1
7
y =
（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3 7
21
1()t t
t =-∑=9+4+1+0+1+4+9=28
7
1
11
()()t t
t y y =--∑=(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)-?-+-?-+-?-
00.110.520.93 1.614+?+?+?+?=
7
1
11
7
2
1
1
()()
14
0.528
()t t t
t y y b t
t ==--=
=
=-∑∑， 4.30.54 2.3a y bt =-=-?=. 所求回归方程为0.5 2.3y t =+.
13．【解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列
联表如下:
由2×2列联表中数据代入公式计算,得:
222
112212211212()100(30104515)100
3.0307525455533
n n n n n x n n n n ++++-?-?==≈???
因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（II ）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b
3212(,),(,)}a b b b 其中i a 表示男性，1,2,3i =．j b 表示女性，1,2j =．Ω由10个基本
事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女性”这一事件，则11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A a b a b a b a b a b a b b b = ∴7
()10
P A =
第5 章自变量选择与逐步回归 思考与练习参考答案 自变量选择对回归参数的估计有何影响？ 答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。如果模型中丢 掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关 性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。 自变量选择对回归预测有何影响？ 答：当全模型（m元）正确采用选模型（p 元）时，我们舍弃了m-p 个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差， 所以全模型正确而误用选模型有利有弊。当选模型（p 元）正确采用全模型（m 元）时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选 模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。 如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣？ 答：如果所建模型主要用于预测，则应使用C p 统计量达到最小的准则来衡量回 归方程的优劣。 试述前进法的思想方法。 答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm 建立m个一元线性回归方程, 并计算 F 检验值，选择偏回归平方和显著的变量（F 值最大且大于临界值）进入回归方程。每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的 F 检验值，选择偏回归平方和显著的两变量变 量（F 值最大且大于临界值）进入回归方程。在确定引入的两个自变量以后，再 引入一个变量，建立m－2 个三元线性回归方程，计算它们的 F 检验值，选择偏
中级经济师基础知识 第 1题：单选题(本题1分) 某公司产品当产量为1000单位时，其总成本为4000元；当产量为2000单位时，其总成本为5000，则设产量为x，总成本为y，正确的一元回归方程表达式应该是（ ）。 A、y = 3000 + x B、y = 4000 + 4x C、y = 4000 + x D、y = 3000 + 4x 【正确答案】：A 【答案解析】： 本题可列方程组：设该方程为y = a + bx，则由题意可得：4000 = a + 1000b5000 = a + 2000b 解该方程，得b=1，a=3000，所以方程为y = 3000 + x 第 2题：单选题(本题1分) 在回归分析中，估计回归系数的最小二乘法的原理是（ ）。 A、使得因变量观测值与均值之间的离差平方和最小 B、使得因变量估计值与均值之间的离差平方和最小 C、使得观测值与估计值之间的乘积和最小 D、使得因变量观测值与估计值之间的离差平方和最小 【正确答案】：D 【答案解析】： 较偏较难的一道题目。最小二乘法就是使得因变量的观测值与估计值之间的离差平方和最小来估计参数的一种方法 第 3题：多选题(本题2分) 关于相关分析和回归分析的说法，正确的的有（） A、相关分析可以从一个变量的变化来推测另一个变量的变化 B、相关分析研究变量间相关的方向和相关的程度 C、相关分析中需要明确自变量和因变量 D、回归分析研究变量间相互关系的具体形式 E、相关分析和回归分析在研究方法和研究目的有明显区别 【正确答案】：BDE 【答案解析】： 相关分析与回归分析在研究目的和方法上具有明显的区别。 （1）、相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，无法从一个变量的变化来推测另一变量的变化情况。 （2）、回归分析是研究变量之间相关关系的具体形式
第6章 6.1 试举一个产生多重共线性的经济实例。 答：例如有人建立某地区粮食产量回归模型，以粮食产量为因变量Y，化肥用量为X1，水浇地面积为X2，农业投入资金为X3。由于农业投入资金X3与化肥用量X1，水浇地面积X2有很强的相关性，所以回归方程效果会很差。再例如根据某行业企业数据资料拟合此行业的生产函数时，资本投入、劳动力投入、资金投入与能源供应都与企业的生产规模有关，往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。 6.2多重共线性对回归参数的估计有何影响？ 答：1、完全共线性下参数估计量不存在； 2、参数估计量经济含义不合理； 3、变量的显著性检验失去意义； 4、模型的预测功能失效。 6.3 具有严重多重共线性的回归方程能不能用来做经济预测？ 答：虽然参数估计值方差的变大容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。但如果利用模型去做经济预测，只要保证自变量的相关类型在未来期中一直保持不变，即使回归模型中包含严重多重共线性的变量，也可以得到较好预测结果；否则会对经济预测产生严重的影响。 6.4多重共线性的产生于样本容量的个数n、自变量的个数p有无关系？ 答：有关系，增加样本容量不能消除模型中的多重共线性，但能适当消除多重共线性造成的后果。当自变量的个数p较大时，一般多重共线性容易发生，所以自变量应选择少而精。 6.6对第5章习题9财政收入的数据分析多重共线性，并根据多重共线性剔除变量。将所得结果与逐步回归法所得的选元结果相比较。 5.9 在研究国家财政收入时，我们把财政收入按收入形式分为：各项税收收入、企业收入、债务收入、国家能源交通重点建设收入、基本建设贷款归还收入、国家预算调节基金收入、其他收入等。为了建立国家财政收入回归模型，我们以财政收入y（亿元）为因变量，自变量如下：x1为农业增加值（亿元），x2为工业增加值（亿元），x3为建筑业增加值（亿元），x4为人口数（万人），x5为社
第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验 一、知识回顾 1.如何判断两个变量的线性相关： 如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。 2.所求直线方程 ?y =bx +a 叫做回归直线方程；其中 ?∑∑∑∑n n i i i i i=1 i=1 n n 2 2 2 i i i=1 i=1 (x -x)(y -y) x -nx y b = = ,a =y -bx (x -x)x -nx y 回归直线方程必过中心点(,)x y 3 ．相关系数的∑n i i (x -x)(y -y) r = 性质 ? (1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小． 4. ??=-i i y y i 残差e =实际值-预测值2 ^^ 2 1 1 () ===-∑∑n n i i i i i e y y 总残差平方和: 残差平方和越小,即模型拟合效果越好 5. 两个分类变量的独立性检验： (1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”. (2)在此假设下计算随机变量 2 2 n（ad -bc） K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d) (3) 根据随机变量K 2 查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率 典型例题： 例1．（宁夏海南卷）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）。 （A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 1x 1y 1u 1 v
1-1《 统计案例》习题 1．1 独立性检验 双基达标 限时15分钟 1．下面是一个2×2的列联表 则表中a ，b 解析 由a ＋21＝73，得a ＝52， 由a ＋5＝b ，得b ＝57. 答案 52，57 2．为了检验两个事件A 与B 是否相关，经计算得χ2＝3.850，我们有________ 的把握认为事件A 与B 相关． 答案 95% 3．为了考查高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某市在该辖区内 的高中学生中随机地抽取300名学生进行调查，得到表中数据： 解析 由χ2 ＝300 47×123－35×95 2142×158×82×218≈4.512. 答案 4.512 4．下列关于独立性检验的4个叙述，说法正确的是________． ①χ2 的值越大，说明两事件相关程度越大； ②χ2 的值越小，说明两事件相关程度越小； ③χ2 ≤3.841时，有95%的把握说事件A 与B 无关； ④χ2 >6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关． 解析 在独立性检验中，随机变量χ2 的取值大小只能说明“两分类变量有关”，这一结论 的可靠程度，即可信度，而不表示两事件相关的程度，故①②不正确．χ2 >6.635说明有99%的把握认为二者有关系，χ2≤3.841时，若x 2 ＞2.706则有90%的把握认为事件A 与B 有关系．因
此可知③中说法是不正确的． 答案 ④ 5．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该假 设________________． 解析 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时 的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设；如果χ2 很小，则不能够肯定或者否定假设． 答案 H 0：喜欢参加体育活动与性别无关 6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行 了3年的跟踪研究，调查他们是否发作过心脏病，调查结果如下表所示： 解 提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病没有影响．由列联表，得 χ2＝392× 39×167－157×29 2196×196×68×324 ≈1.780＜2.706. 因为当H 0成立时，χ2 ≥1.780的概率大于10%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数 据，不能否定假设H 0，故我们没有理由说这两种手术与“又发作过心脏病”有关，故可以认为病人是否发作心脏病跟他做过何种手术无关． 综合提高 限时30分钟 7． 2008年10月8日为我国第十一个高血压日，主题是“在家测量您的 血压”．某社区医疗服务部门为了考察该社区患高血压病是否与食盐摄入 量有关，对该社区的1 633人进行了跟踪调查，得出以下数据： 计算χ2有关系．
第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβ ε = + 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y
从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： Model Summ ary .981 .962 .942 .651 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x. ANOVA 42.571221.28650.160.001 1.6974.424 44.269 6 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig.The independent variable is x. Coe fficients -.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000 1.417 2.812.0485.843 1.324 4.414.012 x x ** 2 (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 Model Summ ary .970 .941 .929 .085 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the Estimate The independent variable is x.
回归分析与独立性检验 1.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 2.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显着 B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 3.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+ ，其中???0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )] A ．万元 B ．万元 C ．万元 D ．万元 4．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的 （ ） A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 5 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
不得病 61 213 274 合计 93 314 407 （ ） A ．种子经过处理跟是否生病有关 B ．种子经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理决定是否生病 D ．以上都是错误的 6．变量x 与y 具有线性相关关系，当x 取值16,14,12,8时，通过观测得到y 的值分别为11,9，8,5，若在实际问 题中，y 的预报最大取值是10，则x 的最大取值不能超过 （ ） A ．16 B ．17 C ．15 D ．12 7．在研究身高和体重的关系时，求得相关指数≈2 R ___________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随 机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 8.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑， 7 2 1 ()0.55i i y y =-=∑，7≈. 参考公式：相关系数1 2 2 1 1 ()() ()(y y)n i i i n n i i i i t t y y r t t ===--= --∑∑∑， 回归方程 y a bt =+) )) 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 9.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 10.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据 测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为???y bx a =+．已知10 1 225i i x ==∑，10 1 1600i i y ==∑，?4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 11.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：
数学·选修1－2(人教A版) 独立性检验的基本思想及其初步应用 ?达标训练 1．在研究两个分类变量之间是否有关时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是( ) A．散点图B．等高条形图 C．2×2列联表 D．以上均不对 答案：B 2．在等高条形图形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( ) 与 d c＋d 与 a c＋d 与 c c＋d 与 c b＋c 答案：C 3．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，说法正确的是( ) A．k越大，“ X与Y有关系”可信程度越小 B．k越小，“ X与Y有关系”可信程度越小 C．k越接近于0，“X与Y无关”程度越小 D．k越大，“X与Y无关”程度越大 答案：B 4．下面是一个2×2列联表：
则表中a、b的值分别为( ) A．94、96 B．52、50 C．52、54 D．54、52 答案：C 5．性别与身高列联表如下： 那么，检验随机变量K2的值约等于 ( ) A． B． C．22 D． 答案：C 6．给出列联表如下： 根据表格提供的数据，估计“成绩与班级有关系”犯错误的概率约是( ) A．B．0.5 C．D． 答案：B
?素能提高 1．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，下列说法中正确的是( ) A ．男人、女人中患有色盲的频率分别为、 B ．男人、女人患色盲的概率分别为19240、3 260 C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲是与性别有关的 D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 解析：男人患色盲的比例为38480，比女人中患色盲的比例6 520 大， 其差值为?? ???? 38480－6520≈ 6，差值较大． 答案：C 2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 由K 2＝算得， K 2＝≈. 附表： 参照附表，得到的正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性
1 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据： 求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 α=)。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(0.05 (6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。 解：（1）
可能存在线性关系。 （2）相关系数： 系数a 模型非标准化系数标准系数 t Sig. 相关性 B标准误差试用版零阶偏部分 1(常量).003 人均GDP.309.008.998.000.998.998.998 a. 因变量: 人均消费水平 有很强的线性关系。 （3）回归方程：734.6930.309 y x =+ 系数a 模型非标准化系数标准系数t Sig.相关性
回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加元。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 系数(a) 模型非标准化系数标准化系数 t显著性B标准误Beta 1（常量） 人均GDP（元） %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%（4） 模型汇总 模型R R 方调整 R 方标准估计的误 差 1.998a.996.996 a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 人均GDP对人均消费的影响达到%。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 模型摘要 模型R R 方调整的 R 方估计的标准差
地区人均GDP/元人均消费水平/元 22460 11226 34547 4851 5444 2662 4549 7326 4490 11546 2396 2208 1608 2035 求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(0.05 α=)。 (6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。 解：（1） 可能存在线性关系。 （2）相关系数：
有很强的线性关系。 （3）回归方程：734.6930.309 y x =+ 回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加0.309元。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 系数(a) 模型非标准化系数标准化系数 t 显著性B 标准误Beta 1 （常量）734.693 139.540 5.265 0.003 人均GDP（元）0.309 0.008 0.998 36.492 0.000 a. 因变量: 人均消费水平（元）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% （4） 模型汇总 模型R R 方调整R 方标准估计的误 差 1 .998a.996 .996 247.303 a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规范排版。 模型摘要 模型R R 方调整的R 方估计的标准差 1 .998(a) 0.996 0.996 247.303
回归分析的基本知识点及习题 本周题目：回归分析的基本思想及其初步应用 本周重点： （1）通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤；了解线性回归模型与函数模型的区别； （2）尝试做散点图，求回归直线方程； （3）能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际价值与基本思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。 本周难点： （1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析. （2）掌握回归分析的实际价值与基本思想. （3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明. （4）残差变量的解释； （5）偏差平方和分解的思想； 本周内容： 一、基础知识梳理 １．回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。 求回归直线方程的一般步骤： ①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→ ③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明. 2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 建立回归模型的基本步骤是： ①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； ②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）. ③由经验确定回归方程的类型. ④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）； ⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等. 3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤： （1）提出问题； （2）收集数据； （3）分析整理数据； （4）进行预测或决策。 4.残差变量的主要来源： （1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。 可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。这 种由于模型近似所引起的误差包含在中。 （2）忽略了某些因素的影响。影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重 关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。 （3）观测误差。由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可 能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。 上面三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
多元线性回归模型 一、单项选择题 1.在由30n =的一组样本估计的、包含3个解释变量的线性回归模型中，计算得多重决定 系数为，则调整后的多重决定系数为（ D ） A. B. C. 下列样本模型中，哪一个模型通常是无效 的（B ） A. i C （消费）=500+i I （收入） B. d i Q （商品需求）=10+i I （收入）+i P （价格） C. s i Q （商品供给）=20+i P （价格） D. i Y （产出量）=0.6i L （劳动）0.4i K （资本） 3.用一组有30个观测值的样本估计模型01122t t t t y b b x b x u =+++后，在的显著性水平上对 1b 的显著性作t 检验，则1b 显著地不等于零的条件是其统计量t 大于等于（ C ） A. )30(05.0t B. )28(025.0t C. )27(025.0t D. )28,1(025.0F 4.模型 t t t u x b b y ++=ln ln ln 10中，1b 的实际含义是（ B ） A.x 关于y 的弹性 B. y 关于x 的弹性 C. x 关于y 的边际倾向 D. y 关于x 的边际倾向 5、在多元线性回归模型中，若某个解释变量对其余解释变量的判定系数接近于１，则表明 模型中存在（ C ） A.异方差性 B.序列相关 C.多重共线性 D.高拟合优度 6.线性回归模型01122......t t t k kt t y b b x b x b x u =+++++ 中，检验0:0(0,1,2,...) t H b i k ==时，所用的统计量 服从( C ) (n-k+1) (n-k-2) (n-k-1) (n-k+2) 7. 调整的判定系数 与多重判定系数 之间有如下关系( D ) A.2 211n R R n k -=-- B. 22111 n R R n k -=--- C. 2211(1)1n R R n k -=-+-- D. 2211(1)1n R R n k -=---- 8．关于经济计量模型进行预测出现误差的原因，正确的说法是（ C ）。 A.只有随机因素 B.只有系统因素 C.既有随机因素，又有系统因素 、B 、C 都不对 9．在多元线性回归模型中对样本容量的基本要求是(k 为解释变量个数)：（ C ） A n ≥k+1 B n 回归方程和独立性检验 知识点 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 回归分析和独立性检验 一、回归分析 1、回归直线方程 a x b y ???+= （x 叫做解释变量，y 叫做预报变量） 其中∑∑==---=n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 )() )((?＝ ∑∑==--n i i n i i i x n x y x n y x 1 2 21 （由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一 个） x b y a ??-= （ 此式说明：回归直线过样本的中心点)(y x ， ，也就是平均值点。 ） 2、几条结论： （1）回归直线过样本的中心点)(y x ，。 （2）b>0时，y 与x 正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y 与x 负相关，散点图呈下降趋势。 （3）斜率b 的含义（举例）： 如果回归方程为y=+2， 说明x 增加1个单位时，y 平均增加个单位； 如果回归方程为y=－+2，说明x 增加1个单位时，y 平均减少个单位。 （4）相关系数r 表示变量的相关程度。 范围：1≤r ，即 11≤≤-r r 越大．，相关性越强． 。0>r 时，y 与x 正相关；0 数学学科自习卷（二） 一、选择题 1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，() P B A 分别是（ ） A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．53 C ．5 D ．3 3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ） A ．20 B ．25 C. 30 D ．40 5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243 6．现在有10奖券，82元的，25元的，某人从中随机无放回地抽取3奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．415 D ．9 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ） A ．148 B ．124 C ．112 D ．16 8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ） A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．80243 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 一、选择题 1. 某同学由x 与y 之间的一组数据求得两个变量间的线性回归方程为y bx a =+，已知：数据x 的平 均值为2，数据 y 的平均值为3，则 ( ) A ．回归直线必过点（2，3） B ．回归直线一定不过点（2，3） C ．点（2，3）在回归直线上方 D ．点（2，3）在回归直线下方 2. 在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5)，则Y 与X 之间的回归直线方程为（ ）A ． y x 1=+ B ． y x 2=+ C ． y 2x 1=+ Ｄ． y x 1=-3. 在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(i x 、i y ） ，1,2i =，…，n ； ③求线性回归方程； ④求未知参数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图 如果根据可行性要求能够作出变量,x y 具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ ） A ．①②⑤③④ B ．③②④⑤① C ．②④③①⑤ D ．②⑤④③① 4. 下列说法中正确的是（ ） A ．任何两个变量都具有相关关系 B ．人的知识与其年龄具有相关关系 C ．散点图中的各点是分散的没有规律 D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的 5. 给出下列结论： （1）在回归分析中，可用指数系数2 R 的值判断模型的拟合效果，2 R 越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）在回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越小，模型的拟合效果越好； （4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 以上结论中，正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 已知直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1.5个单位 D. y 平均减少2个单位 7. 下面的各图中，散点图与相关系数r 不符合的是（ ） 应用回归分析课后习题 参考答案 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 第二章一元线性回归分析 思考与练习参考答案 一元线性回归有哪些基本假定 答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(ε i )=0 i=1,2, …,n Var (ε i )=2i=1,2, …,n Cov(ε i, ε j )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(X i , ε i )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 ε i ~N(0, 2) i=1,2, …,n 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β 1 X i +ε i i=1,2, …,n 误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计解： 得： 证明（式），e i =0 ，e i X i=0 。 证明： ∑ ∑+ - = - = n i i i n i X Y Y Y Q 1 2 1 2 1 )) ? ?( ( )? (β β 其中： 即：e i =0 ，e i X i=0 2 1 1 1 2) ? ( )? ( i n i i n i i i e X Y Y Y Qβ ∑ ∑ = = - = - = ) ? ( 2 ?1 1 1 = - - = ? ?∑ = i i n i i e X X Y Q β β ) ( ) ( ? 1 2 1 1 ∑ ∑ = = = n i i n i i i X Y X β 01 ?? ?? i i i i i Y X e Y Y ββ =+=- 01 00 ?? Q Q ββ ?? == ?? 11 22211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====? ---??==??--??=-??∑∑∑∑选修1-2第一部分 变量间的相关关系与统计案例 【基础知识】 一、回归分析 1.两个变量的线性相关：判断是否线性相关 ①用散点图 (1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. ②用相关系数r (3)除用散点图外，还可用样本相关系数r 来衡量两个变量x ，y 相关关系的强弱， n i i x y nx y r -?= ∑当r ＞0，表明两个变量正相关，当r ＜0，表明两个变量负相关，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |0.75>时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系． 2.回归方程： 两个变量具有线性相关关系，数据收集如下： 可用最小二乘法得到回归方程?y bx a =+,其中 3．回归分析的基本思想及其初步应用 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的 研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报． (2)对n 个样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(xn ，yn )，(,)x y 称为样本点的中心．样本点中心一定落在回归直线上。 4、回归效果的刻画： 用相关指数2R 来刻画回归的效果，公式是μ 2 21 2 1 ()1() n i i i n i i y y R y y ==-=- -∑∑ 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好 本套试题考查的内容比较全面，独立性检验的概念与方法、2×2列联表、随机变量2 K 的值、三维柱形图、二维条形图、等高条形图等知识点在试题中都得到了充分体现，很多试题与现实生活相联系，新颖别致，有大量的原创与改编试题。 独立性检验的基本思想及其初步应用同步测试题 A 组 一、选择题 1．独立性检验中的统计假设就是假设两个事件A 、B （ ） A 互斥 B 不互斥 C 相互独立 D 不独立 2．在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就 ( ) A. 越大 B. 越小 C.无法判断 D. 以上都不对 3．2010年3月26日，韩国军舰“天安”号发生不明原因爆炸事故离奇沉没，5月20日韩国军民联合调查团公布的调查结果说天安舰是遭受朝鲜小型潜水艇发射的鱼雷攻击而沉没的。对此，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为是朝鲜所为，3890名女性公民中有2386人认为朝鲜是遭陷害，在运用这些数据说明天安舰事件中朝鲜是否冤枉时用什么方法最有说服力？（ ） A 平均数 B 回归分析 C 独立性检验 D 方差 4．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度。如果k>5.024,那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为 A.25％ B.75％ C.2.5％ D.97.5％ 5．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为},{21x x 和},{21y y ，其２×２列联表为： 对以下数据，对同一样本能说明Ｘ与Ｙ有关的可能性最大的一组为（ ） A ．5=a ，4=b ，3=c ，2=d B ．5=a ，3=b ，4=c ，2=d C ．2=a ，3=b ，4=c ，5=d D ．2=a ，3=b ，5=c ，4=d 6．考察玉米种子经过药物处理跟生病之间的关系得到如下表数据： 1 下面是7个地区2000年的人均国生产总值（GDP）与人均消费水平的统计数据：地区人均GDP/元人均消费水平/元 北京上海 22460 11226 34547 4851 5444 2662 4549 7326 4490 11546 2396 2208 1608 2035 求：(1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(0.05 α=)。 (6)如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5000元时，人均消费水平95％的置信区间与预测区间。 解：（1） 可能存在线性关系。 （2）相关系数： （3）回归方程：734.6930.309 y x =+ 回归系数的含义：人均GDP没增加1元，人均消费增加0.309元。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 系数(a) 模型非标准化系数标准化系数 t 显著性B 标准误Beta 1 （常量）734.693 .540 5.265 0.003 人均GDP（元）0.309 0.008 0.998 36.492 0.000 a. 因变量: 人均消费水平（元）%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% （4） 模型汇总 模型R R 方调整 R 方标准估计的误 差 1 .998a.996 .996 247.303 a. 预测变量: (常量), 人均GDP。 人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 注意：图标不要原封不动的完全复制软件中的图标，要按规排版。 模型摘要 模型R R 方调整的 R 方估计的标准差 1 .998(a) 0.996 0.996 247.303 a. 预测变量:(常量), 人均GDP（元）。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%回归方程和独立性检验知识点
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回归分析练习题(有答案)
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高中选修1-2回归分析和独立性检验知识总结与联系
1独立性检验(应用检测题)
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