圆周运动实例分析的全面分析

圆周运动实例分析的全

面分析

文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

“圆周运动实例分析”的

课标、教纲、考纲、教材、教材编写说明、自编教辅

一、课标要求

1．内容标准

（1）会用运动合成与分解的方法分析抛体运动。

例1 分别以物体在水平方向和竖直方向的位移为横坐标和纵坐标，描绘做抛体运动的物体的轨迹。

（2）会描述匀速圆周运动。知道向心加速度。

（3）能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。分析生活和生产中的离心现象。

例2 估测自行车拐弯时受到的向心力。

（4）关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活的联系。

2．活动建议

（1）通过查找资料，对比实际弹道的形状与抛物线的差异，尝试做出解释。

（2）调查公路拐弯处的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异。

二、教学要求

1.对课标解读

“（二）抛体运动与圆周运动”

（1）会用运动合成与分解的方法分析抛体运动。

（2）会描述匀速圆周运动。知道向心加速度。

（3）能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。分析生活和生产中的离心现象。

（4）关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活的联系。

2.教学要求及建议

三、新旧考纲对比

四、教材

略

五、教材编写说明

（一）教材特色

1．重视情景创设

（1）以图片创设情境（2）以问题创设情景（3）以活动创设情境（4）以导言创设情境

2．突出科学探究

（1）实验探究（2）理论探究

3．注重联系实际

（1）教学内容：引入课题的情景、研究问题的载体、物理知识的应用。（2）习题选编：联系生活实际、联系生产实际、联系科研实际。（3）课外拓展：课外阅览、问题讨论、物理在线实验室。

4．渗透人文精神：

（1）关注物理学的发展历史（2）关注物理学对经济、社会发展的贡献（3）关注国内、外科技发展现状与趋势（4）关注与物理学相关的热点问题。

5．方便自主学习：

（1）教材呈现形式灵活：“实验探究”、“理论探究”、“观察思考”、“讨论交流”、“活动”。（2）课文旁注画龙点睛：名词解释、点睛之笔、经典介绍、总结性语言、对正文的补充说明、启发式的提问。（3）课后作业分层要求：常规的书面作业外，还有课外阅览、动手实验、资料搜索、社会实践等。（4）章末复习及时到位：

（二）修订说明

1.降低了部分章节的教学要求

（1）将部分章节的内容由必修改为了选修：“斜抛运动”、“了解相对论”、“初识量子论”。（2）将正文中的部分内容移至了“发展空间”。

2．对部分教学内容作了适当调整

（1）调整了部分知识的呈现顺序：先讲“向心力”，后讲“向心加速度”、先讲“势能”，后讲“动能动能定理”、“能量守恒定律”移至“能源的开发与利用”内、先介绍“预言彗星回归”，后介绍“预言未知天体”。（2）调整了部分章节的教学内容：“运动的合成与分解”一节中的“活动”，由对小船渡河的讨论改为“运动的合成实验”。在讲圆周运动的向心力时，用J2130向心力演示仪进行研究。“圆周运动的实例分析”改为“汽车过拱形桥、旋转秋千、火车转弯、离心运动”。万有引力定律的应用”一节，将正文估测太阳平均密度的内容改成了估测地球的平均密度。

3．增删了部分文字、图片和习题

（1

）增删文字，删去：“运动的合成与分解”“发展空间”讨论自

行车气门芯的运动，“平抛运动”“发展空间”原有“用碎纸片估测出原子弹爆炸威力的科学家”，“圆周运动”对线速度方向的“实验探究”；增加：“机械能守恒定律”“学生实验：验证机械能守恒定律”。（2）增删图片，删去：人物卡通画 , 曲线运动速滑运动员图

片 ,“运动的合成与分解”机械地震仪示意图；增加: “人造卫星宇宙飞船”“中国国家航天计划示意图”.（3）增删习题, 删去了难度较大的习题或重复的习题；增加了部分习题，主要是章节调整后为弥补部分练习题量不足而设置，有的则是为加强重点内容而设置。

六、自编教辅资料

第三节圆周运动的实例分析

第四节圆周运动与人类文明（选学）

一、汽车过拱形桥

1．向心力来源(最高点和最低点)：汽车做圆周运动，_____和桥面的

_______的合力提供向心力

2．动力学关系

2－2

(1)如图2－3－1所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为

________=R m 2

ν，N ＝________，由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力

大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力_____重力．当gR =ν时，其压力为零．

(2)如图2－3－2所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系式为

______＝R m 2

ν，N ＝_______，汽车对桥的压力大小N N ='.汽车过凹形

桥时，对桥的压力______重力． 二、“旋转秋千”

“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图2－3－3所示． 1．向心力来源：物体做匀速圆周运动的向心力是由物体所受的重力和悬线对它的_____的合力提供． 2．动力学关系

______＝r m 2ω，又r ＝______

则ω＝______，周期T ＝__________，

所以αcos ＝________，由此可知，α角度与角速度ω和绳长l 有关，在绳长l 确定的情况下，角速度ω______，α越大． 三、火车转弯

1．火车在弯道上的运动特点：火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到__________的作用，如果火车在水平路基上转弯，______对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力____，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨_______内轨．

2－3－3

2．向心力的来源

内外轨高度差：依据_________和______________，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由_____和_______的合力来提供．

四、离心运动

1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或做逐渐_________而去的运动．

2．原因：合外力提供圆周运动的向心力______或不足，不存在受“离心力”的作用．

3．离心机械：利用_____运动的机械． 思考感悟

在近地轨道上，各国发射了很多的航天器，如卫星、空间站、各种探测器，还随时发射宇宙飞船、航天飞机，假设这些航天器都做匀速圆周运动．设想地球的引力突然消失，它们将怎样运动

提示：这些航天器在引力作用下做匀速圆周运动，若引力突然消失，它们将沿该时刻的速度方向做匀速直线运动，即沿切线方向飞出． 一、对火车转弯问题的理解 1. 弯道的特点

在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即

R

m mg 20tan νθ=

，如图2－3－4所示，则θνtan 0gR =.

其中R 为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，

2－3－4

0ν为转弯处的规定速度．

2．明确圆周平面

虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．即火车的向心加速度和向心力均是沿水平面而指向圆心． 3．速度与轨道压力的关系

(1)当火车行驶速度ν等于规定速度0ν时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．

(2)当火车行驶速度ν与规定速度0ν不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：

①当火车行驶速度0νν>时，外轨道对轮缘有侧压力． ②当火车行驶速度0νν<时，内轨道对轮缘有侧压力．

特别提醒：汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向挤压． 二、对离心运动的理解 1．离心运动的实质

离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象．它的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线方向飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故．从某种意义上说，向

心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合外力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去．

2．物体做离心运动的条件：做圆周运动的物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动．

3．离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在．

4．合外力与向心力的关系(如图2－3－5)

(1)若r

m F 2ω=合或

r m

F 2

ν=合，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足

“需要”． (2)若

r

m F 2ω>合或

r m

F 2

ν>合，物体做半径变小的近心运动，即“提供过

度”，也就是“提供”大于“需要”． (3)若r m F 2

ω<合或r

m

F 2

ν<合，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而

做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”． (4)若0=合F ，则物体做直线运动．

特别提醒：(1)离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动． (2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动． 三、竖直面内的圆周运动 1．轻绳模型

如图2－3－6所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点

2-

时的临界状态为只受重力，则r

m

mg 2

ν=，则

gr =ν.在最高点时：

(1) gr =ν时，拉力或压力为零．

(2) gr >ν时，物体受向下的拉力或压力． (3) gr <ν时，物体不能达到最高点． 即绳类的临界速度为gr =临ν. 2．轻杆模型

如图2－3－7所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

(1) 0=ν时，小球受向上的支持力N ＝mg .

(2) gr <<ν0时，小球受向上的支持力0

(4) gr >ν时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大． 即杆类的临界速度为0=临ν.

特别提醒：对竖直平面内的圆周运动 (1)要明确运动的模型，即绳或杆．

(2)由不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源． 类型一：汽车过桥问题分析

【例1】 如图2－3－8所示，质量m ＝×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧

2－

半径均为60 m ，如果桥面承受的压力不得超过×105 N ，则： (1)汽车允许的最大速率是多少

(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少(g 取10 m/s 2

) 【思路点拨】 汽车在拱桥上运动时，对凹形桥的压力大于其重力，而对凸形桥则压力小于重力．由此可知，对凹形桥则存在一个允许最大速率，对凸形桥则有最小压力．可根据圆周运动知识，在最低点和最高点列方程求解．

【精讲精析】 汽车驶至凹面的底部时，合力向上，此时车对桥面压力最大；汽车驶至凸面的顶部时，合力向下，此时车对桥面的压力最小． (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力1N ＝×105

N ，根据牛顿第二定律r

m

mg N 2

1ν=-

即s m gr s m s m r g m N /610/310/60)1010

0.2100.3()(4

5

1=<=?-??=-=ν，故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为s m /310. (2)汽车在凸形桥面的顶部时，由牛顿第二定律得：

r

m

N mg 2

2-ν=，

则N N r

g m N 542

2100.1)60

300

10(100.2)(?=-

??=-

=ν 由牛顿第三定律得，在凸形桥面顶部汽车对桥面的压力为N 5100.1?. 【答案】 (1) s m /310 (2) N 5100.1?

【方法总结】 (1)过凹形桥最低点时，汽车的加速度方向竖直向上，处于超重状态，为使对桥压力不超出最大承受力，汽车有最大行驶速度限制．

(2)应用牛顿第二定律列方程时，应取加速度方向为正方向． (3)汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是作用力与反作用力．

【变式训练1】当汽车通过桥面粗糙的拱形桥顶点的速度为s m /10时，车对桥顶的压力为车重的3

4，如果要使汽车行驶至该桥顶时不受摩擦力作

用，则汽车通过桥顶的速度应为( ) A ．25 m/s B ．20 m/s C ．15 m/s D ．30 m/s 题型二：火车转弯问题分析

【例2】有一列重为100 t 的火车，以72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m ．(g 取 2/10s m ) (1)试计算铁轨受到的侧压力；

(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．

【思路点拨】 (1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力；(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力．

【精讲精析】(1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所

以有N N r m F 52

52

10400

2010=?=

=ν. 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于N 510. (2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图2－3－9所示， 则r

m mg 2tan νθ=

由此可得1.0tan 2

==

rg νθ.

【答案】 (1)N 510 (2)

2

【方法总结】 解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动，其次要找准物体做圆周运动的平面及圆心，理解向心力的来源是物体所受的合力．

【变式训练2】路基略倾斜，火车在拐弯时，对于向心力的分析，正确的是( )

A ．由于火车本身作用而产生了向心力

B ．主要是由于内外轨的高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力

C ．火车在拐弯时的速率小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力

D ．火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分 题型三：离心运动问题分析

【例3】如图2－3－10所示，高速公路转弯处弯道圆半径R ＝100 m ，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝.若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率m ν为多大当超过m ν时，将会出现什么现象(2/8.9s m g =)

【思路点拨】 明确向心力的来源和理解离心运动产生的原因是求解本题的关键．

2－3－10

【精讲精析】 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m ，最大静摩擦力可近似看做与滑动摩擦力相等，则

mg f m μ=，则有mg R

m

m

μν=2，gR m μν=，由2/8.9s m g =，可得

h km s m m /54/15=≈ν.当汽车的速度超过h km /54时，需要的向心力r

m 2

ν大

于最大静摩擦力，也就是说实际所受的摩擦力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故． 【答案】h km /54 汽车做离心运动或出现翻

【变式训练3】下列关于离心现象的说法正确的是( ) A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象

B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动

C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动

D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做曲线运动

题型四：竖直面内的圆周运动

【例4】长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量

kg m 2=.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图2

－3－11所示．在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力：

(1)A 的速率为1 m/s ；

2－3－11

(2)A 的速率为4 m/s.( 2/10s m g =)

【精讲精析】 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F ，则有

L

m

mg F 2

ν=+.

(1)代入数据s m /1=ν，可得

N N g L m F 16)105

.01(2)(2

2

-=-?=-=ν，

即A 受到杆的支持力为16 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力16 N ，方向竖直向下 (2)代入数据s m /4=ν，可得

N N g L m F 44)105

.04(2)(2

2

=-?=-=ν，

即A 受到杆的拉力为44 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力44 N ，方向竖直向上 【答案】 见精讲精析

【方法总结】 A 经过最高点时，杆对A 的弹力必沿杆的方向，但它可以给A 向下的拉力，也可以给A 向上的支持力．在事先不易判断该力是向上还是向下的情况下，可先采用假设法：例如先假设杆向下拉A ，若求解结果为正值，说明假设方向正确；若求解结果为负值，说明实际的弹力方向与假设方向相反．

【变式训练4】长m L 5.0=的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，桶中有质量kg m 5.0=的水(2/10s m g =)，求： (1)在最高点时，水不流出的最小速率是多少

(2)在最高点时，若速率s m /3=ν，水对桶底的压力为多大 一、选择题

1.若火车按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时( ) A.仅内轨对车轮有侧压力

B.仅外轨对车轮有侧压力

C.内、外轨对车轮都有侧压力

D.内、外轨对车轮均无侧压

力

2．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，则汽车拐弯的半径必须（ ）

A.减为原来的1/2倍

B.减为原来的1/4倍

C.增为原来的2倍

D.增为原来的4倍 3．如图2－3－12所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球，让它们在光滑水平面内做匀速圆周运动，其中O 为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比21:T T 为（ ）

A ．1∶1

B ．2∶1

C ．3∶2

D ．3∶1 4. 一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图2－3－13所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（ ）

A ．a 处

B ．b 处

C ．c 处

D ．d 处

5．一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s ，车对桥

顶的压力为车重的4

3，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为

（ ）

2－3－12

2－3－13

A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30

m/s

6．杂技演员在表演水流星节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运

动，当杯子到最高点时，里面水也不流出来，这是因为 ( )

A．水处于失重状态，不受重力的作用了 B．水受平衡力

作用，合力为零

C．水受的合力提供向心力，使水做圆周运动 D．杯子特殊，

杯底对水有吸力

7．一重球用细绳悬挂在匀速前进的车厢的天花板上，当车厢突然制动

时，则（）

A．绳的拉力突然变小 B．绳的拉力突然变大

C．绳的拉力没有变化 D．无法判断拉力如何变化

8．物体m用线通过光滑的水平板上的小孔与砝码M相连，并且正

在做匀速圆周运动，如图2－3－14所示，如果减小M的质量，则

物体的轨道半径r、角速度ω、线速度ν的大小变化情况是

2-3-（）

A．r不变，ν变小、ω变小 B．r增大，ω减小、ν不变

C．r减小，ν不变、ω增大 D．r减小，ω不变、ν变小

9.为满足我国经济迅速发展的需要，我国的铁路运输经过了多次提速；

当火车运行速度从120 km/h提高到200 km/h时，为使转弯处铁轨不受

侧压力，在对转弯处铁路改造时，下列做法可行的是( )

A．使内、外轨的高度差适当增大些 B．使内、外轨的高度差适当减小些

C．适当增加火车的质量 D．适当增大转弯的半径

10.物体做离心运动时，运动轨迹的形状为( )

A．一定是直线 B．一定是曲线

C．可能是直线也可能是曲线 D．可能是一个圆

11.如图2－3－15所示，用长为L的细绳拴着质量为

m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是

( )

A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

2－3－15 B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零

C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最

高点的速率为0

D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

二、计算题

12. 质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥的压力为多少若要使汽车对桥的压力为零, V 应该为多少若汽车以速度V通过半径为R的凹型桥面最低点时对桥的压力为多少

13. 如果汽车的质量为m，水平弯道是一个半径50m的圆弧，汽车与地面间的最大静摩擦力为车重的倍，欲使汽车转弯时不打滑，汽车在弯道处行驶的最大速度是多少( g取10 m/s2 )

14、如下图所示，自行车和人的总质量为m ，在一水平地面运动．若自行车以速度ν转过半径为r 的弯道．（1）求自行车的倾角应多大（2）自行车所受的地面的摩擦力多大

一、1.重力 支持力 2. （1）N mg -，R

m

mg 2

-ν，小于 （2）

mg N -,R

m mg 2

ν+,大于

二、1.拉力 2. αtan mg ，αsin l ，

αcos l g ，g l α

πcos 2，l

g 2ω，越大

三、1.限定方向 外轨 很大 略高于 2. 轨道半径 规定的行驶速度 重力 支持力

四、1.远离圆心 2.消失 3. 离心 疑难辨析

【变式训练1】B 【变式训练2】D 【变式训练3】C 【变式训练4】 (1) R

m mg 2

-ν (2) N 4

课后训练

12. R

m

mg 2

-ν,gR 13.s m /10 14.（1）gR

tg

2

1

να-=（2）

αtan mg f =