当前位置:文档之家› 函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究毕业论文
函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究

摘要:在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数,以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值,主要方法有:均值等式法,配方法,求导法等。求一元函数的最值,主要方法有:函数的单调性法,配方法,判别式法,复数法,导数法,换元法等。求二元函数极值,主要方法有:条件极值拉格朗日乘数法,偏导数法等。求二元函数最值,主要方法有:均值不等式法,换元法,偏导数法等。对于多元函数,由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性,求多元函数极值方法主要有:条件极值拉格朗日法, 等,对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有:向量法,均值不等式法,换元法,消元法,柯西不等式法,数形结合法等,

关键词:函数,极值,最值,极值点,方法技巧.

Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of

variables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,

Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques

引言

作为函数性质的一个重要分支和基本工具,函数极值和最值在数学与其他科学领域,如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。

不仅如此,函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性,并起着不可替代的数学工具作用,许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题,生活中遇到的实际问题,可以通过数学建模的方式,表示为函数形式,而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解,来为生产生活做保证!由此可见,研究函数极值和最值,是学习数学与其他学科的理论基础,是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助;同时,它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用,更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题,我们应有一个系统而简便的方法,巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决,都归结于对函数极值和最值的求解。下面,就让我们做一些简单的归纳,研究函数的极值和最值,诠释一些方法和技巧,并附上具体的例子加以说明,让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用!

目录

摘要 (1)

引言 (2)

1 函数极值 (4)

1.1 极值概述 (4)

1.2 极值判断条件 (5)

1.3 极值应用实例 (6)

1.4 求极值思想方法总结 (10)

2 函数最值 (11)

2.1 函数最值概

述 (11)

2.2 函数最值求法................................. . (14)

2.3 求函数最值思想方法总结.....................................(16)学习心得.. (17)

致谢辞 (18)

附录 (19)

附录一组员名单 (19)

附录二开题报告 (20)

参考文献 (21)

1 函数极值

1.1 极值概述

1.1.1 函数极值的引入

什么叫极值?在诠释这个概念之前我们引入一个定理--费尔马定理,下面给出他的定义:

(1)若函数)(x f y =在0x 的某邻域)(0x U 内满足:

)()(),(00x f x f x U x ≤∈? 则称函数)(x f y =在0x 点取极大值)(0x f ,0x 点称为极大值点.

(2)若函数)(x f y =在0x 的某邻域)(0x U 内满足:

)()(),(00x f x f x U x ≥∈? 则称函数)(x f y =在0x 点取极小值)(0x f ,0x 点称为极小值点.

极大值与极小值统称为极值,极值是函数的局部性质,即在某邻域)(0x U 内作比较而获得,而且曲线在极值点的切线是一条水平线如图1,这就是费尔马定理.

费尔马定理简单的描述就是:若函数)(x f y =在0x 点的某领域)(0x U 内有定义,且在0x 点可导,则0x 点为极值点0)(0'=?x f .他的实

x x

y O

图1

质就是可导与极值点的必要条件是稳定点,但非充分。

1.1.2 一元函数的极值

定义:若函数)(x f y =在0x 点可导,则有费尔马定理,0x 点为极值点0)(0'=?x f ,而此时)(0x f 就是所谓的极值。而)(0x f 是极大值还是极小值呢?现在从图2可以得到如下结论.

(1)在),(00x x δ-内,0)('≤x f ;在),(00δ+x x 内0)('≥x f 时,此时)(0x f 为极小值.

(2)在),(11x x δ-内,0)('≥x f ;在),(11δ+x x 内0)('≤x f 时,此时)(1x f 为极大值.

1.1.3 二元函数的极值

定义:设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某领域内有定义,对于该领域内异于),(00y x 的点),(y x ,若满足不等式),(),(00y x f y x f <,则称函数在),(00y x 有极大值;若满足不等式),(),(00y x f y x f >,则称函数在),(00y x 有极小值,极大值和极小值统称极值,使函数取得极值的点称为极值点。

1.2 极值判别条件

1.2.1 一元极值判别条件

(1)必要条件:费尔马定理 (2)充分条件

.第一充分条件

设函数)(x f y =在0x 点连续,在邻域),(00x x δ-和),(00δ+x x 内可导,则

(i)在邻域),(00x x δ-上,0)('>x f ,在邻域),(00δ+x x 上,0)('

x 1x 0x O y 图2

为极大点0x ?,处取得极大值。在0)(x x f

(ii)在邻域),(00x x δ-上,0)('x f ,为极小点0x ?,处取得极小值。在0)(x x f

由导数的符号可知函数的单调性,故结论成立。一般地,用极值的充分条件判别极值点时,常用列表法。 .第二充分条件

设函数)(x f y =在0x 点的某邻域),(0δx U 内一阶可导,在0x x =点二阶可导,且0)(0'=x f ,0)(''≠x f ,则为极小值点,00''0)(x x f ?>

为极大值点。

00''0)(x x f ?< 证明:由二阶泰勒公式得

))(())(()()(2

0200''2

1'x x o x x x f x f x f -+-+= =200'

'210))](1()([)(x x o x f f x f -++,所以为极小值点,00''0)(x x f ?> .0)(00''为极大值点x x f ?<

1.2.2 二元极值判别条件

(1)必要条件

设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点处偏导数必然为零.有),(),(0000y x f y x f y x =。

(2)充分条件

设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某领域连续,有一阶及二阶连续偏导数

又),(),,(0000y x f y x f y x ,令B y x f A y x f xy xx ==),(,),(0000,C y x f yy =),(00. 则),(y x f z =在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下:

(i)02>-B AC 时具有极值,当A>0时具有极大值,当A<0时具有极小值;

(ii)02<-B AC 时没有极值。

(iii)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值。

1.3 极值应用实例

前面介绍了极值和极值的判别,那到具体的应用中如何应用呢?理论要结合实践,那么我们结合一些经典题型说说到底如何求解极值的问题,来说明其方法和技巧.

1.3.1 极值的第一充分条件(列表法)

例1.3.1 求函数23)52()(x x x f -=的极值点与极值。 解:函数),,()52()(32∞-∞-=的定义域为x x x f 当

,1

310310310)(03'3

13

2x

x x x x f x -?=-=≠时,而可见

是不可导点是稳定点,01==x x 列表如下:

x

)0,(-∞ (0,1) ),1(+∞ )('x f + - + 单调性 ↑ ↓ ↑

所以x=0为极大值点,极大值为0,x=1为极小点,极小值为-3(如图1)

1.3.2 极值的第二充分条件

例1.3.2 求函数的极值点和极值。x

x x f 432

)(2+= 解:函数x x x f 432)(2+

=定义域为,0≠x 时,当0≠x 2'432

2)(x

x x f -=令得0)('=x f

x=6,.108)6(6,06)6(864

2)(''2''==>=+

=f x f x

x f 为极小点,极小值所以得又 如果点不能取到极值,在时,函数则00'''0'')(0)(,0)(x x f x f x f ≠=当

同第二判别法。

号来判别极值点,方法时,可以四阶导数的符0)(,0)(0)4(0'''≠=x f x f

1.3.3 极值的第一充分条件和极值的第二充分条件 例1.3.3 求函数的极值点和极值。34)1()(-=x x x f 解:7

4

,1,00)(),47()1)(('23'==--=x x f x x x x f 得令,

-3 y

x O 图(1)

)287)(1(6)(22''+--=x x x x x f ,得

0)0(,0)74(,0)1('''''=>=f f f ,823543

6912

)74(74-==f x 为极小点,极小值为所以又

),4306035(6)(23'''-+-=x x x x x f 有非极值点所以1,0)1(,0)0(''''''=>=x f f ;再.0)0(0,0)0()4(==

1.3.4 极值的第一充分条件

例1.3.4 由一宽为cm 24的长方形铁板,把它两边折起来做成一

断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面的面积最大? 解: 设折起来的边长为xcm ,倾斜角为α,那么梯形断面的下底长为x 224-,上底长为αcos 2224x x +-,高为αsin x ,则断面面积 ααsin )224cos 2224(2

1x x x x A ?-++-=

即 ααααcos sin sin 2sin 2422x x x A +-=, D :120<

π

α<≤,

下面是求二元函数),(αx A 在区域

D :120<

π

α<≤

上取得最大值的点),(αx 。

令 ???=-+-==+-=0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242

222ααααααααα

x x x A x x A x 由于0sin ≠α,0≠x 上式为

2

122cos 0(1)24cos 2cos (2cos 1)0(2)

x x x x αααα-+=??-+-=?将212

cos x x α-=代入(2)式得8x =,再求出1

cos 2

α=,则有0603

==π

α,于是方程组的

解是0603

==π

α,cm x 8=

在考虑边界,当2

π

α=

时,函数2224x x A -=为x 的一元函数,求最

值点,由0424=-='x A x ,得 6=x 。 所以722

sin

622

sin

624)2

,6(2=?-?=π

π

πA ,

833483

cos 3sin 83sin 823sin 824)3,8(22≈=+?-?=π

ππππA 。

根据题意可知断面面积的最大值一定存在,并且在区域D :

120<

α<

<内取得,通过计算得知2

π

α=

时的函数值比060=α,

cm x 8=时函数值为小,又函数在D 内只有一个驻点,因此可以断定,

当cm x 8=,060=α时,就能使断面的面积最大。

1.3.5 偏导数法

例1.3.5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费1x (万元)之间的关系有如下经验公式:

2

2

2

12121528261415x x x x x x R ---++= ,

广告费用无限的情况下,求最优广告策略,使所获利润最大。

解: 利润等于收入与费用之差,利润函数为:

)

()528261415(212

22

12121x x x x x x x x f +----++=

2

2

212121528251315x x x x x x ---++=

根据极值存在的必要条件,令???????=--=??=--=??0

1082504813212

121

x x x f x x x f

得12

351=

x ,612=x ,即为驻点)61

,1235(,利润函数在驻点处的Hesinn

矩阵???? ??----=?????

?

?

????????????=108842

2

2122

21221

2x f x x f x x f x f A ,

易验证Hesinn 矩阵A 为负定矩阵,所以f 在驻点)6

1,1235(处达到极大值,

也是最大值,即最优广告策略为:电台广告费用和报纸广告费用分别为12

35万元和6

1万元,此时可获得最大利润。

1.3.6 条件极值拉格朗日数乘法

用条件极值的方法,把问题转化为无条件极值,正确写出目标函数和约束条件。

例1.3.6 经过点(1,1,1)的所有平面中,哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小.并求此最小体积. 解:设所求平面方程为:

).0,0,0(,1>>>=++c b a c

z

b y a x 因为平面过点(1,1,1),所以该点坐标满足此平面方程,即有,11

11=++c

b a (1) 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为v,则ab

c v 6

1= (2)

原问题化为目标函数(2)在约束条件(1)下的最小值,作拉格朗日函数

).11

11(61),,(-+++=c

b a ab

c c b a L λ

求函数L 的各个偏导数,并令他们为0,得方程组:

,061,061,061222=-=-=-c

ab b ac a bc λ

λλ 解方程组得a=b=c=3,由于最小体积存在,函数又有唯一的驻点,故a=b=c=3为所求,即平面为:x+y+z=1,与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小.最小体积为

2

9

3613min =?=V 。

1.3.7 均值不等式法

用均值不等式求解问题的极值时,一定要注意自变量的要求:一正,二定,三能等的关系。

例1.3.7 当x 为何值时,函数y=2

24

69x x +

+取得极值。

解:

64

9)49(212222=?≥+x

x x x

124

922≥+

∴x

x 1846922≥++x

x

式子两边都是非负数,分别去算术平均根,得23184

692

2=≥+

+=

x x y 3

6

23min ±

==∴x y 此时

1.3.8 配方法

用配方法求解极值问题,可以将整个函数的极值问题转化为局部函数的最值问题来求解,使问题更加简单化。 例1.3.8 求函数的极值。3

cos cos 1

2

+-=

x x y 解:令=+-+-=+-=+-=34

14

1cos cos 3cos cos ,3cos cos 222x x x x u x x u 则

取最小值,

取极大值的条件是u u

y x 1

,411)21(cos 2=+-取最大值;

取极小值的条件是u u

y 1

= u u y 取极小值的条件是1=取最大值 ,51

,1cos )21(cos 2max 的极小值为则取最大值y x x u -=?-?

.11

4

,21cos 0)21(cos 2min 的极大值为则取最小值y x x u =?=-?

1.4 求极值思想方法总结.

(1)求解函数极值的问题,由以上的例题求解一元函数,二元函数,以及多元函数极值的解答方法来看,求取极值的方法很多,但一般极值问题能用多种方法求解,具体极值问题得看具体情况,可以根据自己对方法掌握的程度来选择,由于求解极值的方法很多,我这里只是其中一部分,大多数的思想一致,少数思想比较特别。通过前面的应用实例,不难看出求一元函数,二元函数,以及多元函数极值的思想和方法......

2 函数最值

2.1 最值概述.

提到函数,就不难会想到函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性、可导性等等,下面就对此进行简单说说.

2.1.1 函数最值的定义

一般地,若一元函数)

f在闭区间上[a,b]上连续,则函数在该

(x

区间上必取得最大值和最小值,函数的最大(小)值与函数的极值是有区别的,前者是指整个区间[a,b]所有函数值中的最大(小)值,因此最大(小)值是全局概念。但如果函数的最大(小)值在区间(a,b)取得,那么函数的最大(小)值也是极大(小)值。

一般地,对二元函数)

x

z 的最值问题定义而言,与一元函数

f

,

(y

类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最值。若函数在有界闭区域D上连续,则)

f在D上必取得最值,且函数最大值点和最小值

x

,

(y

点比在函数的极值点或边界点上。因此只需求出)

x

f在这个驻点或

(y

,

不可导点的函数值及在边界点上的最值。

推广到多元函数也是如此,其核心思想不变!但定义过程比较麻烦,求解更是如此。

2.1.2 初等函数与性质

2.1.2.1 有界性

函数的值域有上界称为函数的上界,有下界称为函数下界,函数值域有界称为函数有界.

定义:设)

(x

f是定义在X上的函数,D是X的子集,如果存在数

f在D上有界.

M,使得对于D中的任意x,则称)(x

2.1.2.2 单调性

如图1,当由小到大的变化时,函数值增加,而由大到小时,函数减小.

定义:设)(x f 是定义在X 上的函数,D 是X 的子集,如果对于D 中任意两点21,x x ,当21x x <时,)()(21x f x f <,则称)(x f 在D 上单调增,相反,单调减.

2.1.2.3 奇偶性

)(x f 为奇函数)()(x f x f --=?,其图像关于原点对称. )(x f 为偶函数)()(x f x f -=?,其图像关于y 轴对称. 2.1.2.4 周期性

在D 上,)(x f 为周期函数”“)()(,,0x f k x f D x k =+∈??>?? ,则k 为)(x f 的一个周期,显然周期并不唯一. 2.1.2.5 可导与连续

若函数)(x f y =在0x 点可导,则)(x f y =在0x 点连续

由此,可据函数的可导求极值点,进而讨论函数最值.

2.1.3 6种基本初等函数

2.1.

3.1 常数函数C y =.定义域为R ,图像平行于x 轴. 2.1.3.2 幂函数)(,为实数ααx y =. 2.1.3.3 指数函数x a y =,(1,0≠>a a ).奇图像如图2

O

y x 图1

2x y =

x

y =y x y = x O

1 O y x

2.1.

3.4 对数函数x y a log =,(1,0≠>a a ).图像如图3 2.1.3.5 三角函数 x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====

2.1.

3.6 反三角函数x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.

2

π 2π-

O

x y

O π- π π2 x y π- y O x π y O 2π x 2π

-

正切函数y=tanx

余切函数y=cotx 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx O 2

π x 1- 1 2

π-

y

y 1 π 1- x O

反正弦函数y=arcsinx 反余弦函数y=arccosx

2.2 函数最值求法

函数最值求法,其方法多种多样,下面我们列举出如下8中并结合例题来说明其数学思想

2.2.1 复数法

用复数方法求解函数的最值问题,就是运用复数的模以及绝对值的性质来求解,关键是构造复数。

例2.2.1 的最值求函数152)(22+++-=x x x x f 。

解:,)(,,2)1()2()1(522121222z z x f i x z i x z i x x x +=+=+-=--=+-设 =+≥+z z z z 121 103121=+=+++-i i x i x ,等号当且仅当

10)(3

1

121min 21===-x f x x x oz oz 时成立,故亦即同向,即

2.2.2 配方法

用配方法求解最值问题,可以将整个函数的最值问题转化为局部函数的最值问题来求解,使问题更加简单化。 例2.2.2 的最小值。求函数242x x y --=

解:,4)(,4)2()(),0)((4)(22的最大值为则配方得设x f x x f x f x x x f +--=≥+-=

即0min =y 为所求。

2.2.3 判别式法

用判别式法,可以将函数的最值问题化为一元二次函数的问题,进而化为判断一元二次函数判别式的问题,关键是二次项系数不为零。

O y x 2π

- 反正切函数y=arctanx O

y x π

反余切函数y=arccotx

例2.2.3 求函数的最值。1

223

222++--=x x x x y

解:由原函数可得关于x 的一个二次方程

4)1(4.,0)3()1(2)12(22-+=?≥?=+++--y x y y x y 即0必须有为使得方程有实数解1,4;14,0)1)(4(,0)3)(12max min =-=≤≤-≤-+≥+-y y y y y y y 即化简得。

2.2.4 导数法

用导数法是在,极值点,不可导点,端点中,通过对函数值的比较而得最值点,若函数在某区间只有极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值。若函数在整个区间都不连续的,就把它分为多连续的个区间,分别求出每个区间的极值,最后在求出最值。 例2.2.4 求函数上的最值。在]3,0[)2()1()(32--=x x x f 解:,8)0(.,2,1,0)(,)2)(75)(1()(57'2'-=====---=f x x x x f x x x x f 经计算得

得令 最小上的最大值是在所以,4]3,0[)(,4)3(,0)2(,035.0)5

7

(,0)1(x f f f f f ==-==.

值是-8.

2.2.5 函数的单调性法

当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值,若函数在该区间上是单调性的,那么函数在区间端点取得最值,若函数在该区间不是单调的,把该区间分成各个小区间,使得函数函数在每个区间上是单调的,在求出各个区间上的最值,在比较,最后求得整个区间上的最值。

例2.2.5 求函数的最值48148)(22----=x x x x x f 。 解:由题意得定义域 ,8604814,0822≤≤≥--≥-x x x x x 得又

增大,

增加时,且故当6],8,6[],8,6[,6

86)6)(8(-+∈-+-=

---x x x x x x x

x x x 在区间上减函数

,所以的增大而减小,即随减小,于是而)()(8x f x x f x - 32)6()(,0)8()(max min ====f x f f x f 。

2.2.6 换元法

用换元法求函数的最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用新元来代替,达到问题化难为易,化陌生为熟悉,

从而使原问题得到解答。换元法通有三角代换和代数代换两种。 例2.2.6 正数x,y,满足

.,,1的最小值为不相等的正常数,求其中y x b a y

b

x a +=+ 解:,0,,,>+=+=

u v u

v v y b v u u x a 其中令 bu av v

bu

u av ab b a v bu u av b a v u v b u v u a y x =+++≥+++=+++=

+即当且仅当则,,2)()(时上式取等号,故2min )()(b a y x +=+。

2.2.7 消元法

消元法是指通过消去变量(未知数)从而达到解题的目的。该方法是求多元函数最值最基本的方法。

例2.2.7.已知.)(2,92322的最值求y x s x y x +==+ 解:条件)39(2

19232222x x y x y x -==+知

8

81)29(21[2)]39(21[2)(222222+--=-+=+=x x x x y x s

又,0)39(2

122≥-=x x y

]3,0[,032∈∴≤-∴x x x

而00,18,3]3,0[],3,0[2

9

min max ====∴?s x s x s 时,当时当上是增函数,在函数。

2.3.8 柯西不等式法

柯西不等式:设≤++222112121)...(...,;,...,n n n n b a b a b a b b b a a a 均为实数,则有

)...3,2.,1()...)(...(2222122221n i b a b b b a a a i i n n ==++++++是常数,等号当且仅当λλ

时取得。

例2.2.8 的最小值。求且设z

y

x

u z y x z y x 941,1,0,,++==++>

解:由柯西不等式可得,≥??

?

???++++=++=z y

x

z y x z

y

x

u 941)(941

36)321(9412

2

=++=???

??????+?+?z z y y x x 由36,2

1,31,61194min 222

=====++==u z y x z y x z y x 故可得及。

2.3 求函数最值思想方法总结

求解函数的最值问题,涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等诸多数学重点知识,更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。掌握一元函数问题最值的求解,是求其它多元函数最值的关键。 求解二元函数最值,核心思想是化二元为一元——将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键,也是本质。通过消元或换元,将一个二元问题简化为一元函数问题,依托于学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。应用实例中叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时,求解多元函数最值问题时,联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义——利用数形结合的思想,将多元函数问题化归为二元函数和一元函数变换关系,通过观察图形的几何意义来解决问题,是此类问题其求解的又一宝。 此外,结合已知条件,利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想,求解函数最值问题的方法很多,这里我们只是研究了其中一些方法,通过多种求解最值方法我们得到一题可以用多种方法来求解,一种方法亦可以用于多种问题的思想。 学习心得

我们组的论文题目是函数极值与最值研究,从第四周选题后,经过开题、检索文献、整理分析文献、拟定写作方案, 小组进行分工、讨论等。通过此次论文写作使我们充分认识了函数极值和最值以及掌握其求解方法,求解函数的极值和最值问题,涉及到函数、不等式、复数、柯西不等式、向量等诸多高中数学重点知识,更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用,让我们感受到了数学的真正魅力,数学来源于生活,而又高于生活,生活中处处离不开数学,数学让我们明白只有理论与实际

相结合才能真正实现它的价值,我们才能用它来创造价值,满足我们的需要。时光飞逝,我们大三的生活即将结束,课程也差不多结束了,在此学校为我们开了数学分析研究这门课,对此老师安排了这次论文写作,它不仅是对我大学几年对数学知识学习成果的检验和总结,更是对能力的一种提升。

写作前,我们查阅了大量文献资料,进行整理分析,提取有用信息,对此我们真的学到好多新知识,提高了文献检索能力和分析问题能力;在写论文过程中,我们体会到了学习数学的乐趣,体现了团队合作的默契,虽然有些意想不到的问题出现,弄的我们很头疼,但通过大家的努力还是能解决,然而解决问题后看到大家的喜悦及成就感真的很棒,增强了我们学习的自信心,相信对以后的学习、工作、生活都将有着很深的影响,锻炼了逻辑思维能力,提高了动手能力,以及在word中绘数学图形的操作能力,还有培养了我们发现问题、分析问题、解决问题的能力。当然我们也发现了自身存在的很多问题,比如知识的储备不够,发现自己还有许多东西需要学习,认识到学习是一个长期积累的过程,在以后的学习工作生活中,都要做好准备,随时学习,时刻注意自身素质和能力的全面提高;在论文的写作过程中感触最深的是注意细节的重要性,写论文时,常常会遇到一些细小问题,如:字体、字间距、符号等,这些细节问题常常导致我们的论文一遍又一遍的修改,浪费了很多时间,造成很多麻烦,这也使我们意识到细节的重要性,使我们在以后的生活工作中更加的注意细节,有时往往就是一些细节问题决定了成败。

最后在写论文的过程中,得到了老师和同学们的帮助,在此,要感谢大家对我们的帮助和支持,谢谢!

致谢辞

这次论文在徐波老师的教导下完成的,X老师渊博的专业知识、严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严于律己、宽以待人的崇高风范,以及平易近人的人格魅力对我们影响深远。让我们树立了考研等学习目标、掌握了基本的研究方法,明白了

函数的单调性、极值与最值问题

函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围. 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a -2.

评分细则(1)函数求导正确给1分; (2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分; (3)求出最大值给2分; (4)构造函数g(a)=ln a+a-1给2分; (5)通过分类讨论得出a的范围,给2分.

跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2ln ln a ln a; (3)证明当a≥1e e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. (1)解由已知得h(x)=a x-x ln a, 则h′(x)=a x ln a-ln a. 令h′(x)=0,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: 所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). (2)证明由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a.由g′(x)= 1 x ln a,可得曲线y=g(x)在点

高等数学第九章多元函数极值典型问题

1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常 数a ,并确定极值的类型. 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小 值. 3(04研) 设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函 数,求(,)z z x y =的极值点和极值. 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=(其中,,,a x y z R + ∈)下的条 件极值.

1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型. 分析 这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题. 解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???, 因此有410a ++=,即5a =-. 因为 22 (1,1) 4f A x -?==?,2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??, 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?, 2242(2)40AC B ?=-=?--=>,40A =>, 所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值. 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值. 分析 这是多元函数求最值的问题.只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可. 解 由 20z x y x ?=-=?,20z y x y ?=-=?解得0x =,0y =,且(0,0)0z =. 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上, 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+, 它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ; 同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果. 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上, 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ; 第二步 求方程'()0f x =的根; 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ,求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1,无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令'()0f x =,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性,进而求出函数()f x 的极大值和极小值. 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则(2)f 等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 【答案】C 【解析】

试题分析:b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a .当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值. 当???-==11 4b a 时, )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ,0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ;0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意. 所以???-==114b a .181622168)2(=+-+=∴f .故选C . 考点:函数的单调性与极值. 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--,若1x =是()f x 的极大值点,则a 的取值范围为 ( ) A .()1,0- B .()1,-+∞ C .()0,+∞ D .()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点:函数的极值. 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值,则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析:因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= , 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+,由()'0f x =得2x =或1x m =-,又因为

函数的极值与导数教学设计一等奖

函数的极值与导数 作者单位:宁夏西吉中学作者姓名:蒙彦强联系电话: 一.教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化,又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础,起着承上启下的作用.就整个高中教学而言,函数是高中数学主要研究的内容之一,而导数又是研究函数的主要工具,同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二.教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念,体会极值是函数的局部性质; 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件; 3. 会用导数求函数的极值; 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力; 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性,体会导数的工具作用.三.重点与难点 重点是会用导数求函数的极值. 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四.学情分析 基于本班学生基础较差,思维水平参差不齐,所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受,又要考虑到其他同学视野的拓展,因此在本节课中我设置了许多的问题,来引导学生怎样学,以问答的方式来激发学生的学习兴趣,同时让更多的学生参与到教学中来.学生已经学习了函数的单调性与导数的关系,学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力,为了进一步培养学生的这种能力,体会导数的工具作用,本节进一步研究函数的极值与导数. 五.教具教法 多媒体、展台,问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六.学法分析 借助多媒体辅助教学,通过观察函数图像分析极值的特征后,得出极值的定义;通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究,归纳出极值与导数的关系;通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤. 七.教学过程 1.引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”,这就是数学上研究的函数的极值引出课题. 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣,让学生在愉快中知道学什么.

“图解法解二元函数的最值问题”

“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例 昌平区第一中学 回春荣

“图解法解二元函数的最值问题”教学课例 一、设计意图: 在新课程背景下的教学中,课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思,以“变”的方式诱导学生灵活善变,使整堂课有张有弛,真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上,利用不等式和直线的方程有关知识展开的,它是对二元函数的深化和再认识、再理解,是直线、圆和不等式的综合运用,同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用,所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识,熟练方法,理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用,这节课为学生提供了广阔的思维空间,对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题,创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示,学生动手操作,使学生在“做中学”,学生在实际操作中,既发展了学生的个性潜能,又培养了他们的合作精神。 二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图,学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组,目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程,提炼出解决这类问题的方法——以图定位,以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究,培养学生科学严谨的治学态度,勇于探索、敢于创新的学习精神,同时感受合作交流的快乐。 三、教学过程与教学资源设计 (一)、教学内容:图解法解二元函数的最值问题 (二)、教学设计流程图:

二次函数最值问题与解题技巧(个人整理)

一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1)首先表示出线段两个端点的坐标 2)用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3)得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴,又不平行于y轴的线段最值问题 1)以此线段为斜边构造一个直角三角形,并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2)根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3)根据“上减下,右减左”分别表示出两直角边长 4)根据勾股定理表示出斜边的平方(即两直角边的平方和) 5)得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7)根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1)一般会给出一点落在抛物线上,从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形,求其周长 最值 2)可先设此点坐标,点p到x轴、y轴的距离和再乘以2,即为周长 3)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1)首先判断图形中那些边是定值,哪些边是变量 2)利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边,并求其和的最小值 3)周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题(这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴,四边形必有一组对边平行于坐标轴) 1)首先表示出所需的边长及高 2)利用求面积公式表示出面积 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1)分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2)再分别表示出分割后的几个规则图形面积,求和 3)得到一个面积关于自变量的二次函数 4)将其化为顶点式,并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1)利用大减小,不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到

高二数学函数的极值

高二数学函数的极值 1.32课题:函数的极值(1) 教学目的: 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 教学重点:极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 对极大、极小值概念的理解,可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出,判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 教学过程: 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式:

;;;;;;; 2.法则1 法则2 ,法则33.复合函数的导数: (理科) 4. 函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内0,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 5.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数 f′(x). ②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间 二、讲解新课: 1.极大值:一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点 2.极小值:一般地,设函数f(x)在x0附近有定义,如果对 x0附近的所有的点,都有f(x)>f(x0).就说f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值请注意以下几点: ()极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: 1.二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点,难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件: 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值,则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件:设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数,且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00, B y x f xy =),('00,C y x f yy =),('00,则 当02<-AC B 且 A<0时,f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值; 02 >-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2-AC = 0时,函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 -2xy 的极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??, x y y z 22-=??. x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0,y z ??= 0,得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0,0)、),(3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论:

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ; 第二步求方程'()0f x =的根; 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ,求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1,无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令'()0f x =,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性,进而求出函数()f x 的极大值和极小值. 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则(2)f 等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析:b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a .当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值. 当???-==11 4b a 时, )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ,0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ;0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意. 所以???-==114b a .181622168)2(=+-+=∴f .故选C . 考点:函数的单调性与极值. 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--,若1x =是()f x 的极大值点,则a 的取值范围为 ( ) A .()1,0- B .()1,-+∞ C .()0,+∞ D .()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点:函数的极值. 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值,则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析:因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= , 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+,由()'0f x =得2x =或1x m =-,又因为

高中数知识讲解_函数的极值与最值提高

导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 (一)函数的极值的定义: 一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义, (1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作 )(0x f y =极大值; (2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 要点诠释: 由函数的极值定义可知: (1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义,否则无从比较. (2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. (二)用导数求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f ';

二元函数极值问题

二元函数极值问题

2

3

4

5 0x >时, 1,z x ?=? 0x <时,1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见,函数的极值点必为 f x ??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 3.2极值的充分条件 设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又 0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为 A y x f xx =),(00', B y x f xy =),(00', C y x f yy =),(00', AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值; (4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值. 4. 求二元函数的极值的步骤 要求函数的极值,首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点,然后讨论该点周围函数的变化情形,以进一步判断是否有极值,为此我们讨论f ?,若(,)f x y 的一切二阶导数连续,则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==,就有 222 000000200001(,)(,)((,)22(,)(,)) x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??. 由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续,记200(,)x A f x y =,00(,)xy B f x y =,200(,)y C f x y =,那就有

高中数学函数的极值典型例题

利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值: 1.x x x f 12)(3-=;2.x e x x f -=2)(;3..21 2)(2-+=x x x f 分析:按照求极值的基本方法,首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值. 解:1.函数定义域为R .).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ,得2±=x . 当2>x 或2-'x f , ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数; 当22<<-x 时,0)(<'x f , ∴函数在(-2,2)上是减函数. ∴当2-=x 时,函数有极大值16)2(=-f , 当2=x 时,函数有极小值.16)2(-=f 2.函数定义域为R .x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ,得0=x 或2=x . 当0x 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数; 当20<'x f , ∴函数)(x f 在(0,2)上是增函数. ∴当0=x 时,函数取得极小值0)0(=f , 当2=x 时,函数取得极大值2 4)2(-=e f . 3.函数的定义域为R . .) 1()1)(1(2)1(22)1(2)(22222++-=+?-+='x x x x x x x x f

令0)(='x f ,得1±=x . 当1-x 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数; 当11<<-x 时,0)(>'x f , ∴函数)(x f 在(-1,1)上是增函数. ∴当1-=x 时,函数取得极小值3)1(-=-f , 当1=x 时,函数取得极大值.1)1(-=f 说明:思维的周密性是解决问题的基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,注意各种条件 综合运用,方可实现解题的正确性.解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数 )(x f 在0x 处有极值的必要条件, 如果再加之0x 附近导数的符号相反,才能断定函数在0x 处取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误. 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值: 1.)5()(32-=x x x f ;2..6)(2--=x x x f 分析:利用求导的方法,先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定.在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”. 解:1..3)2(533)5(2)5(32 )(33323x x x x x x x x x f -=+-=+-=' 令0)(='x f ,解得2=x ,但0=x 也可能是极值点. 当0x 时,0)(>'x f , ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数; 当20<

函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义, (1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作 )(0x f y =极大值; (2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 要点诠释: 求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根; ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值;在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值

续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释: ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤: 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根; (3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一:利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程; 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三: 【变式1】设a 为实数,函数()22,x f x e x a x =-+∈R . (1)求()f x 的单调区间与极值;

第八节多元函数的极值及其求法

第八节 多元函数的极值及其求法 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。 重点:二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法,拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点:求最值实际问题建立模型,充分性判别法的证明。 作业:习题8-8(71P )3,5,8,9,10 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相 类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,先来讨论多元函数的极值问题. 一.多元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f . 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的 偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y . 证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值,依定义,在该点的邻域上均 有 ),(),(00y x f y x f <,),(),(00y x y x ≠ 成立. 特别地,取0y y =而0x x ≠的点,有000(,)(,)f x y f x y <也有成立.

高中数学讲义微专题17 函数的极值

微专题17 函数的极值 一、基础知识: 1、函数极值的概念: (1)极大值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x <,就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值,记作()0y f x =极大值,其中0x 是极大值点 (2)极小值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x >,就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值,记作()0y f x =极小值,其中0x 是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用: (1)极值点为单调区间的分界点 (2)极值点是函数最值点的候选点

4、费马引理:()f x 在0x x =处可导,那么0x x =为()f x 的一个极值点?()0'0f x = 说明:①前提条件:()f x 在0x x =处可导 ②单向箭头:在可导的前提下,极值点?导数0=,但是导数0=不能推出0x x =为 ()f x 的一个极值点,例如:3y x =在()0,0处导数值为0,但0x =不是极值点 ③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无关(例如:y x =在()0,0处不可导,但是0x =为函数的极小值点) 5、求极值点的步骤: (1)筛选: 令()' 0f x =求出()'f x 的零点(此时求出的点有可能是极值点) (2)精选:判断函数通过()' f x 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为 极值点,否则不是极值点 (3)定性: 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数,极值点是导函数的一些零点,所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系: (1)若()f x 为奇函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极小(极大)值点 (2)若()f x 为偶函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极大(极小)值点 二、典型例题: 例1:求函数()x f x xe -=的极值. 解:()()' 1x x x f x e xe x e ---=-=- 令()'0f x >解得:1x < ()f x ∴的单调区间为:

高一数学必修一函数的最值问题试题(1)

函数的最值问题(高一) 一.填空题: 1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。1 ()f x x =,[]1,3x ∈的最小值是 。 2. 函数y =的最小值是 ,最大值是 3.函数21 2810y x x =-+的最大值是 ,此时x = 4.函数[]23 ,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ,最大值是 5.函数[]3 ,2,1y x x x =-∈--的最小值是 ,最大值是 6.函数y=2-x -21 +x 的最小值是 。y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 . 8.函数()2 1f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。 9.函数y =x x 213+-(x ≥0)的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值 11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2,2]上的最大值和最小值 。 12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值 13.函数f (x )=)1(11x x --的最大值是 22225 1x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f (x )=x 2-6x +8,x ∈[1,a ]并且f (x )的最小值为f (a ),则a 的取值范围是 15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 16.已知f (x )=x 2-2x +3,在闭区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是 17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10,则a 的值为: 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 19. 已知f (x )=-x 2+2x+3 , x ∈[0,4],若f (x )≤m 恒成立,m 范围是 。 二、解答题 20.已知二次函数 在 上有最大值4,求实数 a 的值。 21.已知二次函数 在 上有最大值2,求a 的值。 []2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2

高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值

第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】: 1. 理解函数的极值的概念; 2. 掌握求函数的极值的方法; 3. 了解最大值和最小值的定义; 4. 掌握求函数的最值的方法; 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】: 1. 函数极值的第一充分条件,第二充分条件; 2. 导数不存在情况下极值的判定; 3. 函数最值的求解方法; 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】: 1. 导数不存在情况下极值的判定; 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点; 3. 区分极值点与极值,最值点与最值; 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】:2学时 【教学过程】: 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出,函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大;在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小,因此,给出函数极值的如下定义: 一般地, 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ,均有)()(0x f x f <,则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值,0x 称为极大值点;若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ,均有 )()(0x f x f >,则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值,0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点,但反过来是不成立的,即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ,则 (1)如果当x 取0x 左侧邻近的值时,0)(0>'x f ;当x 取0x 右侧邻近的值时, 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b

函数的极值与最值练习题

函数的极值与最值练习题 一、选择题 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时,则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时,则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数,在x =0处取得极值的函数是 ①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数y =216x x +的极大值为 A.3 B.4 C.2 D.5 4.函数y =x 3-3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为 A.e -1 B.0 C.-1 D.1 6.y =2x 3-3x 2+a 的极大值为6,那么a 等于 A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题 7.函数f (x )=x 3-3x 2+7的极大值为___________. 8.曲线y =3x 5-5x 3共有___________个极值. 9.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =-1时有极大值,在x =3时有极小值,则a=____,b=____. 10.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0,3]上的最小值是___________. 11.函数f (x )=sin2x -x 在[-2π,2 π]上的最大值为_____;最小值为____ 12.在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为______时,它的面积最大. 三、解答题 13.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =-1时,取得极大值7;当x =3时,取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值. 14.设y =f (x )为三次函数,且图象关于原点对称,当x = 2 1时,f (x )的极小值为-1,求函数的解析式.

浅谈多元函数的极值问题

浅谈多元函数的极值问题 摘要:最优化问题是近代应用数学的一个新的分支,是一门应用相 当广泛的学科,多元函数极值问题是一种简单的最优化问题,一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。 关键词:无约束极值、条件极值、汉森(Hessian )矩阵。 引言:极值问题分为两类:无约束极值问题和条件极值问题,无约 束极值问题又称为无条件极值问题。 例如 求函数61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值,就属于无条件极值的问题。但在实际中我们常会遇到这样的问题,如要设计一个容量为V 的开口长方体水箱,试问水箱的长、宽、高各等于多少时,用的材料最少?为此设水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ,则表面积为 S xy yz xz z y x ++=)(2),,( 依题意,上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求(0,0,0>>>z y x ),而且还必须满足条件 V xyz = 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题(不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题) 一:无约束极值与条件极值的关系 一些简单的条件极值可以转化成无条件极值,如引言中的条件 V xyz =,将z 用V 、x 、y 表示出来即xy V z = ,并将其代入表面积公式得 xy x V y V z y x S ++=)(2),,(

这样就把条件极值转化成了条件极值了,一些条件极值带有多个条件,按上面方法进行可得到一个多元函数方程组,将其转化成无条件极值,我们可以通过解方程组得到解答,但有一些方程组我们不容易解出,甚至解不出来,这就要利用下面将要的拉格朗日乘数法。 二:无约束极值 定义:设n 元函数u=f(X)定义在开集Ω?n R 上,如果存在的某邻域 U(0X ,δ)?Ω,恒有 f(X)≤f(0X ),则称点0X 为f 的极大值点; f(X)≥f(0X ),则称点0X 为f 的极小值点。 极大值、极小值统称为极值。函数取得极值的点称为极值点。 定理1 (极值点的必要条件) 如果n 元函数u=f(X)在 U(0X ,δ) 有定义,在0X 处取极值,且f 在0X 存在偏导数,则'i x f (0X )=0 (i=1,…,n ) 证明:若u=f(1x ,2x ,...,n x )在0X 取极值,则只随i x (i=1,...,n)而变 的函数f(01x ,...,0i x ,...,0 n x )在点0i x 有极值,于是由一元函数极值的 必要条件,可知有 i x f ??0 i x =0(i=1,...,n) 与一元函数类似,我们把u=f(1x ,2x ,…,n x )的一阶偏导数全为0的点称为f 的驻点(稳定点),定理1告诉我们多元函数的极值点必须在驻点处取得,但驻点并不一定能取得极值,有些函数在偏导数不存在处也可能取得极值。 下面引入汉森(Hessian )矩阵

相关主题
相关文档 最新文档