*欧阳光明*创编 2021.03.07
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高考极坐标参数方程(经典
39题)
1.
欧阳光明(2021.03.07)
2.在极坐标系中,以点(2,)2
C π
为圆心,半径为3的
圆C 与直线:()3
l R π
θρ=∈交于,A B 两点.
(1)求圆C 及直线l 的普通方程.
(2)求弦长AB .
2.在极坐标系中,曲线2:sin 2cos L ρθθ=,过点A (5,α)
(α为锐角且3
tan 4
α=)作平行于()4
R π
θρ=∈的直
线l ,且l 与曲线L 辨别交于B ,C 两点.
(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐
标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L
和直线l 的普通方程;
(Ⅱ)求|BC|的长.
3.在极坐标系中,点M 坐标是)2
,3(π,曲线C 的方程
为)4
sin(22
π
θρ+
=;
以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M .
(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求
||||MB MA ?的值.
4.已知直线l 的参数方程是)(242222
是参数t t y t x ???
???
?+==
,圆C
的极坐标方程为)4
cos(
2π
θρ+=. (1)求圆心C 的直角坐标;
(2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最
小值.
5.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
()为参数t t y t
a x ,3?
?
?=+=.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为θρcos 4=. (Ⅰ)求圆C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆C 与直线l 相切,求实数a 的值.
6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为
(2,
)
3
π
,半径r=1,P 在圆C 上运动。
(I )求圆C 的极坐标方程;
(II )在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O 为原点,以极轴为x 轴正半轴)中,若Q 为线段OP 的中点,求点Q 轨迹的直角坐标方程。
7.在极坐标系中,极点为坐标原点
O ,已知圆C 的
圆心坐标为
)
4,2(C π
,半径为2,直线l 的极坐标方程为
22
)4sin(=
θ+πρ. (1)求圆
C 的极坐标方程;
(2)若圆C 和直线l 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.
8.平面直角坐标系中,将曲线??
?==αα
sin cos 4y x (α为参数)
上的每一点纵坐标不变,横坐标变成原来的一半,
然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变成原来的2倍获得曲线1C .以坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线
2C 的方程为θ
ρsin 4=,求1C 和2C 公共弦的长度.
9.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程
是θρcos 4=,直线l 的参数方程是???
???
?=+-=. 21, 23
3t y t x (t 为
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参数).求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标;若
M 、N
辨别为曲线C 、直线l 上的动点,求MN 的最
小值。
10.已知极坐标系下曲线C 的方程为θθρsin 4cos 2+=,
直线l 经过点)4,2(π
P ,倾斜角3π
α=. (Ⅰ)求直线l 在相应直角坐标系下的参数方程;
(Ⅱ)设l 与曲线C 相交于两点B A 、,求点P 到B A 、两点的距离之积.
11.在直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为
4cos ()3sin x y ?
??=??
=?
为参数.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C
的极坐标方程为
sin()4
π
ρθ+=
(Ⅰ)辨别把曲线12C C 与化成普通方程和直角坐标方程;并说明它们辨别暗示什么曲线.
(Ⅱ)在曲线1C 上求一点Q ,使点Q 到曲线2C 的距离最小,并求出最小距离.
12.设点,M N 辨别是曲线2sin 0ρθ+=
和
sin()4
2
πρθ+=上的动点,求动点,M N 间的最小距离.
13.已知A 是曲线θρcos 3=上任意一点,求点A 到直线1cos =θρ距离的最年夜值和最小值.
14.已知椭圆C 的极坐标方程为θ
θρ222
sin 4cos 312
+=
,
点1F 、2F 为其左,右焦点,直线l 的参数方程为
)(222
2
2R t t t y t x ∈???
???
?=+
=为参数,. (1)求直线l 和曲线C 的普通方程; (2)求点1F 、2F 到直线l 的距离之和. 15.已知曲线:C 3cos 2sin x y θ
θ
=??
=?,直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=.
(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点P 在曲线C 上,求P 点到直线l 距离的最小值.
16.已知1O 的极坐标方程为4cos ρθ=.点A 的极坐标是(2,)π.
(Ⅰ)把1O 的极坐标方程化为直角坐标参数方程,把点A 的极坐标化为直角坐标;
(Ⅱ)点M (x y 00,)在1O 上运动,点(,)P x y 是线段
AM 的中点,求点P 运动轨迹的直角坐标方程.
17.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:
415315x t y t
?
=+???
?=--??
(t 为参数),若以O 为极点,x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为
24
π
),求直线l 被曲线C 所截的弦长.
18.已知曲线C
1
的极坐标方程为θρcos 4=,曲线C
2
的方程是4422=+y x , 直线l 的参数方程是:
???
?
??
?
+=+-=t y t x 135135为参数)t (. (1)求曲线C
1
的直角坐标方程,直线l 的普通方程;
(2)求曲线C 2上的点到直线l 距离的最小值. 19.在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为04=+-y x ,
曲线C 的参数方程为x 3cos y sin α
αα?=??
=??(为参数)
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的
长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)
中,点P 的极坐标为??
?
?
?2,4π,判断点P 与直线l 的位置
关系;
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的
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距离的最小值.
20.经过M (10,0)作直线l 交曲线C :??
?==θ
θsin 2cos 2y x (θ为参数)于A 、B 两点,若||MA ,||AB ,||MB 成等比数列,求直线l 的方程.
21.已知曲线1C 的极坐标方程是2=
ρ,曲线2C 的参
数方程是θπ
πθθ],2,6[,0(21sin 2,
1∈>??
???+==t t y x 是参数). (1)写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方
程;
(2)求t 的取值规模,使得1C ,2C 没有公共点. 22.设椭圆E 的普通方程为
2
213
x y += (1)设sin ,y θθ=为参数,求椭圆E 的参数方程;
(2)点(),P x y 是椭圆E 上的动点,求3x y -的取值规模. 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为
极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过
点()2,4P --的直线l 的参数方程为
:22,4x y ?
=-+
???
?=-+??
直线l 与曲线C 辨别交于,M N
(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;
(2)若||PM ,||MN ,||PN 成等比数列,求a 的值.
24.已知直线l 的参数方程是)(242
2
22是参数t t y t x ???
???
?+==
,圆C 的极坐标方程为)4
cos(2πθρ+=. (I )求圆心C 的直角坐标;
(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值.
25.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程
为cos()24π
ρθ-=,曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=??=?
(α
为对数),求曲线C 截直线l 所得的弦长. 26.已知曲线C1:2cos 2sin x y θθ
=??
=?,
(θ为参数),曲线C2:
313x t y t
?=+??=??,(t 为参数). (1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍,辨别获得曲线12C C '',.写出12C C '',的参数方程.1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同?说明你的理由.
27.求直线415
(315x t t y t
?
=+????=--??
为参数)
被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长. 28.已知圆的方程为
2226sin 8cos 7cos 80y y x x θθθ-+-++=
求圆心轨迹C 的参数方程;点(,)P x y 是(1)中曲线C 上的动点,求2x y +的取值规模.
29.在平面直角坐标系xOy
中,圆C 的参数方程为
4cos 4sin x y θ
θ
=??
=?(θ为参数),直线l 经过点(2,2)P ,倾斜角3
π
α=
.
(I )写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程; (Ⅱ)设直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||||PA PB ?的值.
30.已知P 为半圆C :??
?==θ
θ
sin cos y x (θ为参数,πθ≤≤0)
上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧
的长度均为3
π
。
(I )以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
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求点M 的极坐标;
(II )求直线AM 的参数方程。
31.在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为
3,2
2x y t ?=-
???
?=??(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴
正半轴为极轴)中,圆C 的方程为θρsin 52=. (Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C 与直线l 交于点A ,B .若点P 的坐标为(3
,
),求PA PB +与PA PB
-.
32.已知A,B 两点是椭圆14
92
2
=+y
x 与坐标轴正半轴的两个交点.
(1)设2sin ,y αα=为参数,求椭圆的参数方程; (2)在第一象限的椭圆弧上求一点P ,使四边形OAPB
的面积最年夜,并求此最年夜值. 33.已知曲线C 1:4cos ,
3sin ,x t y t =+??
=-+?
(t 为参数), C 2:
2cos ,
4sin ,
x y θθ=??
=?(θ为参数)。 (Ⅰ)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们辨别暗示什么曲线;
(II )若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=,Q 为C 2上
的动点,求PQ 中点M 到直线3:270C x y --=(t 为参数)距离的最年夜值。
34.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为
)(sin 22cos 2为参数ααα
?
?
?+==y x ,M 是曲线C1上
的动点,点P 满足OM 2OP =
(1)求点
P 的轨迹方程C2;
(2)以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,
射线3
π
θ=与曲线C1、C2交于不合于极点的A 、B
两点,求|AB|.
35.设直线l 经过点)1,1(P ,倾斜角6
π
α=,
(Ⅰ)写出直线l 的参数方程;
(Ⅱ)设直线l 与圆422=+y x 相交与两点A ,B.求点P 到A 、B 两点的距离的和与积.
36.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标
为(,)4
π
,曲线C 的参数方程
为
1,
(x y ααα
?=+??
=??为参数). (Ⅰ)求直线OM 的直角坐标方程;
(Ⅱ)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值. 37.在直角坐标系xOy 中, 过点
)
23
,23(
P 作倾斜角为α
的直线l 与曲线
1:2
2=+y x C 相交于不合的两点N M ,. (Ⅰ) 写出直线l 的参数方程; (Ⅱ) 求
PN
PM 11+ 的取值规模.
38.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
??
???-=+=t x t y 2
23225(t 为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴
正半轴为极轴)中,圆C
的方程为ρθ=。
(1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ,若点P
的坐标为
,求|PA|+|PB|。
39.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为
?
?
?==??
sin cos b y a x (0>>b a ,?为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线1C 上的点)2
3
,
1(M
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对应的参数3π?=,射线3
π
θ=与曲线2C 交于点
)3
,1(π
D .
(I )求曲线1C ,2C 的方程;(II )若点),(1θρA ,
)2
,(2π
θρ+
B 在曲线1
C 上,求
2
2
2
11
1
ρρ+
的值.
参考谜底
1.(1)22
(2)9y +-=圆方程x ∴
直线0l y -=
(2) AB ==
【解析】(1)圆C 在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为2
2
(2)9y +-=x .直线l 由于过原点,并且倾斜角为3
π
,所以其方
程为0y y =-=.
(2)因为圆心C 到直线的距离为1,
然后利用弦长公式||AB =可求出|AB|的值
(1)∵(0,2)C 圆心,半径为322
(2)9y +-=∴圆方程x …….4分
∵
3
l π
过原点,倾斜角为,
∴直
线
0l y y =-=方程:……….8分
(2) 因为2
(0,2)12
C l d -==圆心到直线的距离 所
以AB ==2.(Ⅰ)1-=x y (Ⅱ)621212
=-+=x x k BC 【解析】
(I)先把曲线方程化成普通方程,转化公式为
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==.
(II)直线方程与抛物线方程联立消y 之后,借助韦达定理和弦定公式求出弦长即可
(Ⅰ)由题意得,点
A 的直角坐标为
()3,4
(1分)
曲线L 的普通方程为:
x y 22=
(3分) 直
线
l
的
普
通
方
程
为
:
1-=x y
(5分)
(Ⅱ)设B (11,y x )C (22,y x )
??
?-==1
22x y x y 联立得0142
=+-x x 由
韦
达
定
理
得
4
21=+x x ,
121=?x x
(7分)
由弦长公式得621212
=-+=x x k BC
3.解:(1)∵点M 的直角坐标是)3,0(,直线l 倾斜角是 135, …………
(1分)
∴直线l 参数方程是???+==
135sin 3135cos t y t x ,即??
?
????+=-=t y t x 22322, ………(3分)
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)4
sin(22π
θρ+=即2(sin cos )ρθθ=+,
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+,曲线C 的直角坐标方程 曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ;………………(5分)
(2)??
?
????+=-=t y t x 22322代入02222=--+y x y x ,得03232=++t t
∵06>=?,∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ,………(7分) 设03232
=++t t 的两个根是21t t 、,321=t t , ∴||||MB MA ?3||21==t t .………………(10分) 【解析】略
4.(I )θθρsin 2cos 2-= ,
θρθρρsin 2cos 22-=∴, …………
(2分)
02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆, …………
(3分)
即1)2
2()22(2
2=++-
y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为.…………(5分)
(II )办法1:直线l 上的点向圆C 引切线长是
6224)4(4081)242
222()2222(
2222≥++=++=-+++-t t t t t ,
…………(8分)
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62…………(10分)
办法2:024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………(8分)
圆心C 到l 直线距离是
52
|2422
22|
=++,
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- 【解析】略
5.(Ⅰ)由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=,…………2分 结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ
=??=?得22
4x y x +=,
即2
2
(2) 4.x y -+=…………5分
(Ⅱ)由直线l
的参数方程()x a t y t ?=??
=??
为参数化为普通方程,
得,0x a -=. …………7分
结合圆C 与直线l 相切,得2213
a -=+,
解得26a =-或. 【解析】略
6.解:(Ⅰ)设圆上任一点坐标为),(θρ,由余弦定理得
)
3cos(2221222π
θρρ-?-+=
所以圆的极坐标方程为
3)3
cos(42=+--π
θρρ…………………
(5分)
(Ⅱ)设),(y x Q 则)2,2(y x P ,P 在圆上,则Q 的直角坐标方程为
41
)23()21(22=
-+-y x ………………… (10分)
【解析】略 7.
【解析】略
8.解:曲线???==α
sin y α
cos x 4(α为参数)上的每一点纵坐标不变,
横坐标变成原来的一半获得???==α
y α
x sin cos 2,
然后整个图象向右平移1个单位获得???=+=α
y αx sin 1cos 2,
最后横坐标不变,纵坐标变成原来的2倍获得???=+=α
y αx sin 21
cos 2,
所以1C 为4)1(22=+-y x , 又2C 为θρsin 4=,即y y x 42
2=+,
所以
1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x , 所以)0,1(到
0342=+-y x 距离为25
, 所以公共弦长为11
4542=-.
【解析】略
9.(1)极坐标为)3
2,23(πP
(2)2
1min =
-=r d MN 【解析】解:(1)由直线的参数方程消去参数t 得l :033=+-y x , 则l 的一个标的目的向量为)3,3(=,
设)21,233(t t P +
-,则)2
1
,233(t t +-=, 又⊥,则023)233(3=++-t t ,得:32
3
=t , 将32
3
=
t 代入直线l 的参数方程得)343,43(-P ,化为极坐标为
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)3
2
,23(πP 。 (2)θρρθρcos 4cos 42
=?=,
由2
2
2
y x +=ρ及θρcos =x 得4)2(2
2
=+-y x , 设)0,2(E ,则E 到直线l 的距离2
5=d , 则2
1
min =
-=r d MN 。 10.(Ⅰ))(231211为参数t t y t x ???
?
??
?+=+= (Ⅱ):
C 5)2()1(22=-+-y x ,∴0432
=--t t ,421=t t 【解析】
11.
,
【解析】
1221
【解析】略
13.最年夜值为2,最小值为0
【解析】将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cosθ即:x2+y2=3x,(x -
32)2+y2=9
4
3′ ρcosθ=1即x=1 6′
直线与圆相交。 所求最年夜值为2, 8′ 最小
值
为
。
10′
14.(1)22
143
x y +
=(2)22【解析】(Ⅰ)直线l 普通方程为
2y x =-; ………………………………3分
曲线C 的普通方程为22
143x y +
=. ...............6分 (Ⅱ)∵1(1,0)F -,2(1,0)F , (7)
分
∴点1F 到直线l
的距离1,2
d =
=
…………………8分 点2F 到直线l
的距离22
d =
= ………………9分
∴12d d += ……………10分
15.⑴2120x y --=(2
)5
【解析】:⑴2120x y --= ⑵设P (3cos ,2sin )θθ,
∴d
=
)12θ?=+-(其中,34
cos ,sin )55
??==
那时cos()1θ?+=
,min
5
d =,
∴P 点到直线l
的距离的最小值为5
。 16.(Ⅰ)1O 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=,A 的直角坐标为
(-2,0)
(Ⅱ)P 运动轨迹的直角坐标方程是22
1x y +=.
【解析】以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(Ⅰ)由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=,将cos x ρθ=,2
2
2
x y ρ=+代入可得
224x y x +=.1O 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=,
1O 的直角坐标参数方程可写为22cos ,
2sin .
x y αα=+??=?点A 的极坐标是
(2,)π,
由cos x ρθ=,sin y ρθ=知点A 的直角坐标为(-2,0).
(Ⅱ)点M (x y 00,)在1O 上运动,所0022cos ,
2sin .
x y αα=+??=?
点
(,)P x y 是线段
AM 的中点,所以
02222cos cos 22x x α
α-+-++=
==, 0002sin sin 22
y y αα++===,
所以,点P 运动轨迹的直角坐标参数方程是cos ,
sin .x y αα=??
=?
即点P 运动轨迹的直角坐标方程是2
2
1x y +=.
*欧阳光明*创编 2021.03.07
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17.75
【解析】
试题阐发:将方程415315x t y t ?=+????=--??
(t 为参数)化为普通方程得,3x+4y+1=0,………3分 将方程24
π
)化为普通方程得,x2+y2x+y=0, ……………6分 它暗示圆心为(
12,12
),半径为22的圆, …………………………9分
则圆心到直线的距离d=1
10
, ……………………………10分
弦长为221172
21005
r d -=-=. ……………………12分 考点:直线参数方程,圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系
点评:先将参数方程极坐标方程转化为普通方程
18.解: (1) 052=+-y x ;(2)到直线l 距离的最小值为
2
10
。 【解析】 试题阐发:(Ⅰ)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x ,ρsinθ=y ,ρ2=x2+y2,进行代换即得C 的直角坐标方程,将直线l 的参数消去得出
直线l 的普通方程. (Ⅱ)曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(c osθ,2sinθ),利用点到直线距离公式,建立关于θ的三角函数式求解. 解: (1) 曲线C
1
的方程为4)2(2
2=+-y x ,直线l 的方程是:
052=+-y x
(2)设曲线C 2
上的任意点)sin 2,(cos θθ, 该
点
到
直
线
l 距离
2
|
)sin(552|2
|
52sin 2cos |?θθθ+-=
+-=
d .
到直线l 距离的最小值为
2
10
。 考点:本题主要考查了曲线参数方程求解、应用.考查函数思想,三角函数的性质.属于中档题.
点评:解决该试题的关键是对椭圆上点到直线距离的最值问题,一般用参数方程来求解获得。
19.(1)点P 在直线l 上;(2)那时1)6
cos(
-=+
π
α,d 取得最小值,
且最小值为2。 【解析】
试题阐发:(1)由曲线C 的参数方程为 x 3y sin ?=α
??
=α
??,知曲线C 的普
通方程,再由点P 的极坐标为(4, 2π),知点P 的普通坐标为(4cos 2
π
,4sin
2
π
),即(0,4),由此能判断点P 与直线l 的位置关系. (2)由Q 在曲线C :
x y sin ?=α?
?
=α
??上,(0°≤α<360°),知
Q(
cosα,
sinα)到直线l :xy+4=0的距离d= |2sin(α+θ)+4|,(0°≤α<360°),由此能
求出Q 到直线l 的距离的最小值 解:(1)把极坐标系下的点??
?
?
?2,
4πP 化为直角坐标,得P (0,4)
。 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程04=+-y x , 所以点P 在直线l 上,
(2)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(
)
ααsin ,cos 3,
从而点Q 到直线l 的距离为
2cos()4
)6d π
απα++===++
由此得,那时1)6
cos(
-=+
π
α,d 取得最小值,且最小值为2
考点:本试题主要考查了椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用,解题时要认真审题,注意参数方程与普通方程的互化,注意三角函数的合理运用.
点评:解决该试题的关键是参数方程与普通方程的互化以及对点到直线距离公式的灵活运用求解最值。
20.103+±=y x
【解析】
试题阐发:把曲线的参数方程化为普通方程,由|AB|2=|MA|?|MB|,可得|AB|即是圆的切线长,设出直线l 的方程,求出弦心距d ,再利用弦长公式求得|AB|,由此求得直线的斜率k 的值,即可求得直线l 的方程.
解:直线l 的参数方程:???=+=α
α
sin cos 10t y t x (t 为参数),…………①
曲线C :??
?==θ
θsin 2cos 2y x 化为普通方程为42
2=+y x ,…………②
将①代入②整理得:06)cos 10(22
=++t t α,设A 、B 对应的参
数辨别为21,t t ,
??
?==+6
cos 102-2121t t t t α
,由MB AB MA ,,成等比数列得:21221)t -t t =, 624-cos 402=∴α,23cos ±=α,3
3
±=k ,
直线l 的方程为:103+±=y x
考点:本题主要考查把参数方程化为普通方程的办法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,属于基础题.
点评:解决该试题的关键是把曲线的参数方程化为普通方程,由|AB|2=|MA|?|MB|,可得|AB|即是圆的切线长,利用切割线定理获得,
*欧阳光明*创编 2021.03.07
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并结合勾股定理获得结论。
21.(1)曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ,曲线2C 的普通方程
是)21
221(1+≤≤+
=t y t x ; (2)2
1
410>< 【解析】本试题主要是考查了极坐标方程和曲线普通方程的互化,以及 曲线的交点的求解的综合运用。 因为根据极坐标方程与直角坐标方程的互化获得普通方程,然后,联立方程组可知满足没有公共点时的t 的规模。 解:(1)曲线1C 的直角坐标方程是22 2 =+y x , 曲线2C 的普通方程是)2 1 221(1+≤≤+ =t y t x …………5分 (2)当且仅当?? ? ??<+>?????>+>121 20 1210t t t t 或时,1C ,2C 没有公共点, 解得2 1 410>< (1)sin x y θ θ?=??=??(θ为参数) (2)?-? 【解析】(1)由22 13 x y +=,令2222cos ,sin 3x y θθ==可求出椭圆E 的参 数方程。 (2)根据椭圆的参数方程可 得 π3sin 3x y θθ?? ?-=+=+ ? ? ?,然后易 得 3x y ?-∈-?. 解: (1)sin x y θ θ ?=??=??(θ为参数) (2)π3sin 3x y θθ?? ?-=+=+ ?? ? 3x y ?∴-∈-? 23.(1)22,2y ax y x ==- (2)1a = 【解析】(1)对直线l 两式相减,直接可消去参数t 获得其普通方程, 对曲线C ,两边同乘以ρ,再利用2 2 2 ,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可求得其普通方程. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程可知, 212212112||||||,||||,||||PM PN t t MN t t t t t t ==--=,借助韦达定理可 建立关于a 的方程,求出a 的值. 24.(I );(Ⅱ ) 【解析】(I)把圆 C 的极坐标方程利用 222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化成普通方程,再求其圆心坐标. (II )设直线上的点的坐标为+,然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可. 解:(I )θθρsin 2cos 2-= , θρθρρsin 2cos 22 -=∴, ………(2 分) 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆, ………… (3分) 即1)2 2()22(2 2=++- y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为.…………(5分) (II ):直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)2422 22()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(8分) ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62…………(10分) ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-…………(10分) 25 【解析】(1)先把直线l 和曲线C 的方程化成普通方程可得20x y +-=和 2 214 x y +=, 然后联立解方程组借助韦达定理和弦长公式可求出弦长. 解:由cos()4 π ρθ- =20x y +-= 参数方程为2cos sin x y α α =??=?(α为对数)可化为直角坐标方程2214x y += 联立(1)(2)得两曲线的交点为64 (2,0),(,)55 所求的弦长5 = =…………13分 26.(1) C1是圆,C2是直线。C2与C1有两个公共点(2)C1′:2 2 1416 x y +=,C2′:22x y =+。有两个公共点,C1与C2公共点个数相同 【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的转 化,以及直线与椭圆的 位置关系的运用。 (1)结合已知的极坐标方程和参数方程,消去参数后获得普通方程,然后利用直线与圆的位置关系判定。 (2)拉伸后的参数方程辨别为C1′:2cos 4sin x y θθ=?? =? , θ为参数); *欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 C2′ :1x y ?=+??=??,(t 为参数)联立消元得2 2230x x --=其判别式 442(-3)280=-??=>, 可知有公共点。 解:(1)C1是圆,C2是直线.C1的普通方程为2 2 x y 4+=, 圆心C1(0,0),半径r=2.C2的普通方程为xy1=0. 因为圆心C1到直线xy+ 1=0 的距离为22 <, 所以C2与C1有两个公共点. (2)拉伸后的参数方程辨别为C1′:2cos 4sin x y θθ =?? =?, θ为参数);C2′ : 1x y ?=+?? =??, (t 为参数) 化为普通方程为:C1′: 22 1416 x y +=,C2′:22x y =+ 联立消元得2 2230x x --=其判别式442(-3)280=-??=>, 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然有两个公共点,和C1与C2公共点个数相同 27 .弦长为75 ==。 【解析】本试题主要是考查了直线与圆的 相交弦的长度问题的运用。 将参数方程化为普通方程,然后利用圆心到直线的距离公式和圆的半 径,结合勾股定理获得结论 28.(1)圆心轨迹的参数方程为4cos ,(3sin , x y θθθ=? =为参数) (2 )2x y ?+?的取值范围是 【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程与一般式方程的互换,以及运用参数方程求解最值的问题。 (1)因为圆的方程整理得2 2 (4cos )(3sin )1x y θθ-+-=,设圆心坐 标为(,)x y ,则可得圆心轨迹的参数方程为4cos ,(3sin , x y θθθ=?=为参数) (2)因为点P 是曲线C 上的动点,因此设点4cos ,3sin )P θθ(,那么 8 28cos 3sin tan )3 x y θθθ??∴+=+=+=)(其中,结合 三角函数的性质获得最值。 29.(Ⅰ )12222 x t y ?=+?? ??=+??(t 为参数);(Ⅱ)=8PA PB ? 。 【解析】(1)方程消去参数θ得圆的标准方程为2 2 16x y +=,由直线方程的意义可直接写出直线l 的参数;(2)把直线l 的参数方程代入 2216x y +=,由直线l 的参数方程中t 的几何意义得||||PA PB ?的值. 解:(Ⅰ)圆的标准方程为2 2 16x y +=…… 2分 直线l 的参数方程为2cos 32sin 3x t y t π π?=+????=+??, 即 12222 x t y ?=+??? ?=+??(t 为参数) …… 5分 (Ⅱ )把直线的方程1222x t y ?=+????=??代入22 16x y +=, 得22 1(2)(2)162t +++ = ,21)80t t +-=……8分 所以128t t =-,即=8PA PB ?…… 10分. 30.(Ⅰ)(3π,3π). (Ⅱ )1(1)6x t y π?=+-?? ??=?? (t 为参数) 【解析】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极 坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. (1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x ,ρsinθ=y ,ρ2=x2+y2,进行代换即得. (2)先在直角坐标系中算出点M 、A 的坐标,再利用直角坐标的直线 AM 的参数方程求得参数方程即可 解:(Ⅰ)由已知,M 点的极角为3π,且M 点的极径即是3 π , 故点M 的极坐标为( 3π,3 π ). (Ⅱ)M 点的直角坐标为(, 6 6 π ),A (0,1),故直线AM 的参数方程为 1(1)6x t y π? =+-?? ? ?=?? (t 为参数) 31. (Ⅰ)5)5(5)552(2 222=-+?=+-+y x y y x . (Ⅱ) |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|=23222=+ .PA PB -= 【解析】此题考查学生会将极坐标方程和参数方程辨别化为直角坐标方程和普通方程,掌握直线参数方程中参数的几何意义,是一道中档题 (I )圆C 的极坐标方程两边同乘ρ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程,最后再利用三角函数公式化成参数方程; (Ⅱ)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得A,B 坐标,进而获得结论。 解:(Ⅰ)由 sinθ,得 ,∴ 所以5)5(5)552(2 222=-+?=+-+y x y y x . (Ⅱ)直线的一般方程为03553=-+-?-=-y x y x ,容易知道 高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________ 4. 若直线过点00(,)M ρθ,且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:_____________ 若圆心为00(,)M ρθ,半径为r 的圆方程为:__________________________________ 二、课堂合作探究 例1:按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点,倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程. 极坐标与参数方程题型二:最值问题 13.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程; (2) 设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标. 14、已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :? ????x =2+t ,y =2-2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值. 15、以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点()y x P ,在该圆上,求y x +的最大值和最小值. 16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=,直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=, 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系; (1)求曲线l C 与直线的直角坐标方程. (2)若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点,求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??(t 为参数),曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?(θ为参数)。(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4, )3π,判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数,πα<<0),曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求AB 的最小值. 参数方程极坐标系 解答题 1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. +=1 , , 的距离为 则 取得最小值,最小值为 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:(α为参数). (I)写出直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 的极坐标方程为: cos= ∴ y+1=0 ( d= 的距离的最大值. 3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. :(化为普通方程得:+ t=代入到曲线 sin =,),﹣ 4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C 上不同于A,B的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB面积的最大值. 的极坐标方程为,把 ,利用三角形的面积计算公式即可得出. 的极坐标方程为,化为= 把 ∴圆心极坐标为; (t , = 距离的最大值为 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是( ). A .21(0,)(,0)5 2 、 B .11(0,)(,0)5 2 、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5(0,)(8,0)9 、 2.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( ). A .1 21 2x t y t -?=???=? B .sin 1sin x t y t =???=?? C .cos 1cos x t y t =???=?? D .tan 1tan x t y t =???=?? 3.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数,则直线的斜率为( ). A . 23 B .23- C .32 D .32 - 4.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的( ). A .内部 B .外部 C .圆上 D .与θ的值有关 5.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是( ). A .一条直线 B .两条直线 C .一条射线 D .两条射线 6.两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是( ). A .内切 B .外切 C .相离 D .内含 7 .与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为( ). A .22 14 y x + = B .22 1(01)4y x x +=≤≤ C .22 1(02)4y x y +=≤≤ D .22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤ 一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点的直角坐标为,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标为( ) A . B . C . D . 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解. 极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题(每小题5分,共25分) 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π,,下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π, 2、直线:3x-4y-9=0与圆:? ??==θθ sin 2cos 2y x ,(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x (t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数值分别为t 1、 t 2,则线段BC 的中点M 对应的参数值是( ) 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数),则曲线是( ) A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 +2y 2 =6x ,则x 2 +y 2 的最大值为( ) A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题(每小题5分,共30分) 1、点()22-, 的极坐标为 。 2、若A ,B ?? ? ? ? -64π, ,则|AB|=___________,___________。(其中O 是极点) 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。 6、直线l 过点()5,10M ,倾斜角是 3 π ,且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为 。 三、解答题(第1题14分,第2题16分,第3题15分;共45分) 1、求圆心为C ,半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=, (1)写出直线l 的参数方程。 (2)设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ,求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x )之间距离的最小值,与定点(上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题:1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题:1、??? ? ?-422π, 或写成?? ? ? ? 4722π,。 2、5,6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==,即,它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为P ( ),则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=,, ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中, 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解:(1)直线的参数方程是是参数)t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= (2)因为点A,B 都在直线l 上,所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解,从而t 1t 2=-2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|=|-2|=2。 3、(先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系) 高考极坐标参数方程(经典39题) 1.在极坐标系中,以点(2,)2 C π 为圆心,半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. (1)求圆C 及直线l 的普通方程. (2)求弦长AB . 2.在极坐标系中,曲线2 :sin 2cos L ρθθ=,过点A (5,α) (α为锐角且3tan 4α= )作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ,且l 与曲线L 分别交于B ,C 两点. (Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直 角坐标系,写出曲线L 和直线l 的普通方程; (Ⅱ)求|BC|的长. 3.在极坐标系中,点M 坐标是)2 , 3(π ,曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =;以 极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M . (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ?的值. 4.已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ,圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=. (1)求圆心C 的直角坐标; (2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 5.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为θρcos 4=. (Ⅰ)求圆C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆C 与直线l 相切,求实数a 的值. 6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ,半径r=1,P 在圆C 上运 动。 (I )求圆C 的极坐标方程; (II )在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O 为原点,以极轴为x 轴正半轴)中,若Q 为线段OP 的中点,求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7.在极坐标系中,极点为坐标原点O ,已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π,半径为2,直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. (1)求圆C 的极坐标方程; (2)若圆C 和直线l 相交于A ,B 两点,求线段AB 的长. 8.平面直角坐标系中,将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x (α为参数)上的每一点纵坐标不变, 横坐标变为原来的一半,然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C .以坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=,求1C 和2C 公共弦的长度. 极坐标与参数方程高考精练(经典39题) 1.在极坐标系中,以点(2,)2C π为圆心,半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.(1)求圆C 及直线l 的普通方程.(2)求弦长AB . 2.在极坐标系中,曲线2:sin 2cos L ρθθ=,过点A (5,α)(α为锐角且3tan 4α= )作平行于()4R π θρ=∈的直线l ,且l 与曲线L 分别交于B ,C 两点. (Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标 系,写出曲线L 和直线l 的普通方程;(Ⅱ)求|BC|的长. 3.在极坐标系中,点M 坐标是)2,3(π,曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=;以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率是1-的直线l 经过点M . (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ,并求||||MB MA ?的值. 4.已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==,圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=. (1)求圆心C 的直角坐标;(2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值. 5.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系(与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方 程为θρcos 4=. (Ⅰ)求圆C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆C 与直线l 相切,求实数a 的值. 6.在极坐标系中,O 为极点,已知圆C 的圆心为(2,)3π ,半径r=1,P 在圆C 上运动。 (I )求圆C 的极坐标方程;(II )在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极 点O 为原点,以极轴为x 轴正半轴)中,若Q 为线段OP 的中点,求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7.在极坐标系中,极点为坐标原点O ,已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π,半径为2,直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若圆C 和直线l 相交 于A ,B 两点,求线段AB 的长. 8.平面直角坐标系中,将曲线???==ααsin cos 4y x (α为参数)上的每一点纵坐标不变,横坐标变 为原来的一半,然后整个图象向右平移1个单位,最后横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C .以坐标原点为极点,x 的非负半轴为极轴,建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=,求1C 和2C 公共弦的长度. 9.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=,直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x (t 为参数)。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标;若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点,求MN 的最小值。 极坐标与参数方程题型和方法归纳 极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一:极坐标(方程)与直角坐标(方程)的相互转化,参数方程与普通方程相互转化,极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下: {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参(代入法、加减法、sin +cos 等)圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? (t 为参数) 以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二:三个常用的参数方程及其应用 (1)圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是: cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 (2)椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是: cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 (3)过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为: 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对(3)注意: P 点所对应的参数为0 t =,记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ,则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -??, ③1 212 PA PA t t t t ?=?=? 2、在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为 cos 2sin x a t y t =?? =? (t 为参数,0a > )以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? (Ⅰ)设P 是曲线C 上的一个动点,当2a =时,求点P 到直线l 的距离的最小值; 高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1.在直角坐标系xoy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数) .以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的极坐标方程; (2)直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长. 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=,又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标,则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标,则有 由于12θθ=,所以,所以线段PQ 的长为2. 2.已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? (t 为参数),在直角坐标系xOy 中,以O 点为极 点, x 轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-. (1)求圆M 的直角坐标方程; (2)若直线l 截圆M a 的值. 解:(1)∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=, ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=;(5分) (2)把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? (t为参数)化为普通方程得:34340 x y a +-+=, ∵直线l截圆M所得弦长 为,且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=,∴ 37 6 a=或 9 2 a=.(10分)3.已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数),以直角坐标系原点为极点,Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求曲线c的极坐标方程 (2)若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1,求直线l被曲线c截得的弦长。 解:(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得: ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4.已知曲线C: 2 21 9 x y += ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= (1)写出曲线C的参数方程,直线l的直角坐标方程; (2)设P是曲线C上任一点,求P到直线l的距离的最大值. 极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理,14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ-π4=2,点A 的极坐标为A ????22,7π 4,则点A 到直线l 的距离为________. [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离,属于容易题.解答本题先进行极直互化,再求距离. 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为:14622=+y x ,因为1cos sin 2 2=+x x ,令???==α αcos 2sin 6y x ,则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22,最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4.(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为? ??x =t -1t , y =t + 1t (t 为参数),l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |=________. 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化为直角坐标方程为3x -y =0,曲线C 的参 数方程? ??x =t -1t ,y =t + 1t 两式经过平方相减,化为普通方程为y 2-x 2=4,联立? ??? ?3x -y =0,y 2-x 2=4 解得???x =-22,y =-322或? ??x =2 2, y =32 2 . 所以点A ????-22,-322,B ???? 22,322. 所以|AB |= ????-22-222+??? ?-322-3222=2 5. 选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ,y ) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<,则点P 的极坐标为( ) A .3(32, )4π B .5(32,)4π- C .5(3,)4π D .3(3,)4 π- 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 1.(2019江苏)在极坐标系中,已知两 点3, ,42A B ππ??? ????? ,直线l 的方程为sin 34 ρθπ?? += ?? ? . (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. 2.(2018江苏)在极坐标系中,直线l 的方程为π sin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=, 求直线l 被曲线C 截得的弦长. 3.(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为82 x t t y =-+?? ?=??(t 为参数),曲线C 的参数方程为2 2x s y ?=??=??(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直 线l 的距离的最小值. (Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 4.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ? =+?? ??=??为参数, 椭圆C 的参数方程为()cos , 2sin ,x y θθθ=??=? 为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线 段AB 的长. 5.(2015江苏)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404 π ρθ+--=,求圆C 的半径. 答案部分 1、解:(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3, 4π),B ,2 π ), 由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为 34 π. 又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin( )242 ππ ?-=. 2、因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ,所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过(4,0)A ,倾斜角为π 6, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ,则∠OAB =π 6 . 连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA = π2 , O l 所以π 4cos 6 AB ==l 被曲线C 截得的弦长为 3.直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上,设2(2,)P s , 从而点P 到直线l 的的距离22d = =, 当 s = min 5 d = . 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值 5 . ! 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是( ) A 、???+==1 22 2 t y t x (t 为参数) B 、???+=-=1412t y t x (t 为参数) C 、 ???-=-=121 t y t x (t 为参数) D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x (t 为参数) 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ,022cos 83=+-y y ,则=+y x 2( ) A .0 B .1 C .-2 D .8 3.已知??? ? ? -3,5πM ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中,下列各点与点P (ρ,θ)(θ≠k π,k ∈Z )关于极轴所在直线 对称的是( ) A .(-ρ,θ) B .(-ρ,-θ) C .(ρ,2π-θ) D .(ρ,2π+θ) 5.点() 3,1-P ,则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? (θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是( ) Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的? 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系? 答:将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为(x ,y ),在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立: ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线? 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么? 5、 极坐标系的定义是什么? 答:取一个定点O ,称为极点,作一水平射线Ox ,称为极轴,在Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ,又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了,则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径,θ叫做P 点的极角,),(θρ叫做P 点的极坐标(规定ρ写在前,θ写在后)。显然,每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么? Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点(1) { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 (2) { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程 (),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??(为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-, 即有22 4y x -=,又注意到 202222t t t y ->+≥=≥,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥().显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B 极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()2 2 2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I )求12,C C 的极坐标方程. (II )若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN ? 的面积. 解:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==,∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. (Ⅱ)将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得 240 ρ-+=,解得1ρ=, 2ρ,|MN|=1ρ-2ρ,因为2C 的半径为1,则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ,直线???-=+=t y t x l 222:(t 为参数) (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值. 解:(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ,, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32(. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中,直线Ci : x = — 2,圆C 2: (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程; n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”,求厶C 2MN 的面 积. 解:(1)因为x = pcos 0 , y = pin 0,所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2, C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0,得 p 2 — 3 2 p + 4= 0,解得 p i = 2 2,p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁,23, 10分,中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标 变为 原来的2倍,得曲线C. (1) 写出C 的参数方程; (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解:(1)设(X 1, y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x , y),依题意,得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1,所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2. 极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ,由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.点O 称为极点,Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径,θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点,其直角坐标为(,)x y ,极坐标为(,)ρθ,由图16-31和图16-32可知,下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? (对0ρ<也成立). 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心,r 为半径的圆; 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线,0(0)θθρ=≥为射线; 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-,其中tan (k αα=为直线的倾斜角),代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立,故直线的参数方程为 、选择题1.直线y A 、 C 、极坐标与参数方程习题 2x 1的参数方程是( 2 X t ( t为参数) y 2t2 1 爲11(t为参数) 2.已知实数x,y满足x3cosx 2 0, 8y3 A. 0 C . 3.已知M A、5, x 2t y 4t cos2y -2 1 (t为参 数) sin 2si n 笃,下列所给出的不能表示点的坐标的是 B 、 4 5込 C 5,- 3 4.极坐标系中,下列各点与点P (p, 0 ) (0^k n, 在直线 对称的是() A. (- p,B) B. (- p, -0) C . (p, 2 n- 0) 0) 5?点P1, 3,则它的极坐标是( A、2,3 B 、 4 2,13 6.直角坐标系xoy中,以原点为极点, (t为参 数) 1 2y D . k€Z)关于极轴所 D . (p, 2 n + x轴的正半轴为极轴建极坐标 系,设点A,B分别在曲线G:x 3 cos(为参数)和曲线C2: 1 y sin 上,则 AB的最小值为 (). A.1 B.2 C.3 D.4 1 7.参数方程为x t t (t为参数)表示的曲线是() y 2 A. —条直线B .两条直线C .一条射线 D .两条射线 x 1 2t 8.若直线X ' t为参数与直线4x ky 1垂直,则常数k () y 2 3t A.-6 B. 1 6 C.6 D. 1 6 9.极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是() A. (x 2)2 y2 4 B. x2y2 4 C. x2 (y 2)2 4 D. 2 2 (x 1) (y 1) 4 10.柱坐标(2, 2, 3 1)对应的点的直角坐标是(). A.( 1, 3,1) B.( 1, 3,1) C.( .3, 1,,1) D.( .3,1,1) 11.已知二面角 1 的平面角为,P为空间一点,作PA PB ,AB为垂足,且PA 4 , PB 5,设点A、B到二面角I 的棱I的距离为别为x, y .则当变化时,点(x, y)的轨迹是下列图形中的(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
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