指数函数、对数函数及幂函数
Ⅰ.指数与指数函数
1.指数运算法则：（1）r s r s
a a a
+=； （2）()
s
r rs a
a =； （3）()r
r r ab a b =；
（4）m
n m
n
a a =；
（5）m n
n
m
a
a
-
=
（6）,||,n n a n a a n ?=?
?奇偶
2. 指数函数：
【基础过关】
类型一：指数运算的计算题
此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根
指数函数 0 a>1 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增 式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ，求：413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=，其中1,0x y ><，则y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、 2x - 4、=则实数a 的取值范围是………………………………( ) A 、2a < B 、1 2 a ≤ C 、12 a > D 、任意实数 类型三：复合函数 ○ 1形如02=+?+c a b a x x 的方程，换元法求解 ○ 2函数)(x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 ○ 3先确定)(x f 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定) (x f a y =的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定 义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减” （1）外函数是二次函数，内函数是指数函数 1、求函数 2391x x y =++的值域 2、当10x -≤≤时，函数2 2 34x x y +=-的最大值是______________，最小值是__________ 3、已知x [-3,2]∈，求f(x)=11 142x x -+的最大值是______________，最小值是______________ （2）外函数是指数函数，内函数是二次函数 1、函数y=(1 3)2281 x x --+ (-31x ≤≤)的值域是______________，单调递增区间是__________ 2、已知函数y=(1 3)225 x x ++，求其单调区间_____________________及值域_______________ 类型四：奇偶性的判定 利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分 1、函数x x a a x f -?+=2)1()(是……………………………………………( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、既奇且偶函数 2、已知函数f(x)=1 (1)1x x a a a ->+ (1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。 3、设a ∈R,f(x)= 22 ()21x x a a x R ?+-∈+，试确定a 的值，使f(x)为奇函数 类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用 1、已知0a >，且1a ≠，解不等式 2 6 5x x a a -> 2、已知f(x)=2231 x x a -+,g(x)=225 x x a +- (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,1x ≠使得f(x)＞ g(x). Ⅱ.对数与对数函数 1、对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2对数函数： 【基础过关】 类型一：对数的基本运算 此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意 ○ 1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为N lg ○ 2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为N ln ○ 3零和负数没有对数，且1log ,01log a ==a a 1、(1)、 9 lg 2lg 008 .0lg 31 81.0lg 212+++ (2)、()20lg 5lg 2lg 2?+ 对数函 数 0 图 象 表达式 log a y x = 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 过定点 (1，0) 单调性 单调递减 单调递增 (3)、())2log 2(log )5log 5(log 3log 3log 2559384+?+?+ 2、已知2log =x a ,3log =x b ,6log =x c 求 x abc log 的值． 类型二：指数，对数的混合运算 指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象与性质 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________ 2、若1a >且01b <<，则不等式log (3) 1b x a ->的解集为________ 3、已知35,a b A ==且11 2a b +=，则A 的值是________ 4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是…………………………( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 【能力提升】 类型三：对数函数的定义域与解析式 注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数 )(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。 1 、函数y = ____________ 2、已知2 35 (log ())22x f x ++=，则(0)f =___________ 3、已知 6 2()log f x x =，那么(8)f =____________ 类型四：对数函数的值域 注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数 )(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。 1. 函数 212 log (617) y x x =-+的值域是________ 2. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1 2，则 a =___________ 3. 函数 ()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 _______________ 类型五：对数函数的单调性、奇偶性 1、函数lg y x =的单调递增区间是_______ ; 函数212log (32) y x x =-+的递增 区间是_______________ 2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( ) A. 12 log (1) y x =+ B. 2log y = C. 3 1log y x = D.213log (43) y x x =-+ 3、函数 2lg 11y x ??=- ? +??的图像关于………………………………………………………( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 4 、函数 )()lg f x x =是 （奇、偶）函数。 5、已知函数 1010()1010x x x x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。 类型六：对数中的不等关系 比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小 1、设 0.724log 0.8log 0.9log 5 a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______ 2 、设 2 lg ,(lg ),a e b e c ===,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3 log 15m <，那么m 的取值范围是______ 4、如果 log 3log 30 a b >>，那么,a b 的关系是…………………………………………( ) A. 01a b <<< B. 1a b << C. 01b a <<< D. 1b a << 5、已知2log (1)log (24)0 a a x x +<+<，则不等式解集为_______ 6、若 ()log a f x x =在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________ 类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数） 1、设2()lg() 1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是________ 2、已知集合 {}2 log 2,(,) A x x B a =≤=-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是(,)c +∞， 其中c = ______. 3、若 1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+2)1(log 2-x =5, 1x +2x ＝………………………( ) A.52 B.3 C. 7 2 D.4 幂函数 一、幂函数图象的作法： 根据幂函数k x y =的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为m n x y =或m n x y -=（m 、* ∈N n ，2≥m ，m 、 n 互质）的形式，先化为m n x y =，或m n x y 1 = 的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、 单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况） y=x y=x o (x ≠0)o -1 1 y x o 非奇非偶函数 m 是偶数， n 是奇数 y=x - 12 -1 1 y x o y=x 1 2 -11 y x o y=x 3 2 -1 1 y x o 三、幂函数图象特征： （1）当0 （2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线； （3）当10< （4）当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线； （5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限； （7）当0>k 时，幂函数k x y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1） （8）如果幂函数k x y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ； （9）如果幂函数 m n p x y )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过 第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数. 四、幂函数典型问题： 1．概念问题： 【例1】1．已知幂函数 ，当时为减函数，则幂 函数__________． 【变式】当m 为何值时，幂函数y=(m 2-5m+6)的图象同时通过点(0，0) 和(1，1). 2．定义域问题： 【例2】函数05 32 1)2(--+=- x x x y 的定义域为 【变式】.求函数y= 的定义域. 3．单调性问题： 【例3】已知5 35 3) 21()3(- - +<-a a ，求实数a 的取值范围. 【变式1】讨论函数的单调性. 【变式2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性． 4．图象问题： 【例4】若函数)(3 22 Z m x y m m ∈=--的图象与坐标轴没有交点，且关于y 轴对称，求函数 )(x f 的解析式. 【例5】利用函数的图象确定不等式的解集： （1） 不等式)1(3 2 -> x x 的解集为 （2） 不等式3 14 x x ≥的解集为 说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集 5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题： 说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到 x y 1= ；x y 1-=；)1,0(≠>=k k x k y ；)1,0(≠>-=k k x k y 【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间. （1）12--= x x y （2）x x y --=21 （3）14-= x y ，)5,2[)1,( -∞∈x （4）1 1 2--=x x y ，),0[+∞∈x （5）x y +=11 （6）3 1 )2(--=x y 【例7】已知幂函数)(x f y =是偶函数，且在区间),0(+∞上单调递增，若 )12()1(22++<-a a f a f ，则实数a 的取值范围是 . 6.比较幂函数值大小 【例8】．比较 ， ， 的大小. 【例9】．已知幂函数， ， ， 在第一 象限内的图象分别是C 1，C 2，C 3，C 4，(如图)，则n 1，n 2，n 3，n 4，0，1的大小关系?
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