专题六 数列
第十五讲 等差数列
2019年
1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则
A ．25n a n =-
B ．
310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2
122
n S n n =
- 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列*
{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若
25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .
4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10
D ．12
2．（2017新课标Ⅰ）记n S 错误!未找到引用源。为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，
648S =，则{}n a 错误!未找到引用源。的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
3．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，
则{}n a 前6项的和为
A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8 4．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是
“465+2S S S >”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a
A ．100
B ．99
C ．98
D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
7．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比
数列，则
A ．140,0a d dS >>
B ．140,0a d dS <<
C ．140,0a d dS ><
D ．140,0a d dS <>
8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a
为递减数列，则
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
10．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =
A ．5
B ．8
C ．10
D ．14
11．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，
则m ＝ A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??????数列是递增数列；
{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
A ．12,p p
B ．34,p p
C ．23,p p
D ．14,p p
13．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S
A ．58
B ．88
C ．143
D ．176
15．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，
则1a =
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
16．（2011安徽）若数列}{
n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--++
+=则
A ．15
B ．12
C ．-12
D ．-15
17．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为
{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为
A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110
18．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64 二、填空题
19．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．
20．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 21．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前错误!未找到引用源。
n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1
1
n
k k
S
==∑ ．
22．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 23．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时
{}n a 的前n 项和最大．
24．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8
=n
时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．
25．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的
最小值为____.
26．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 27．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若11
2
a =
，23S a =， 则2a = ；n S = .
28．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则
55a b +=___________．
29．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2
324a a =-，则n a =____．
30．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，
则k =_________． 三、解答题
31．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．
(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．
32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???，
其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．
（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，
n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．
33．（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且
1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 34．（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*
N n ∈，
n b 是n a 和1n a +的等差中项．
(Ⅰ)设2
2
*
1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设
()
22*
11
,1,N n
k
n k
k a d T b n ===
-∈∑，求证：2111.2n
k k
T d =<∑
35．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{
}n a 的前n 项和n T ，求得1
|1|1000
n T -<成立的n 的最小值。 36．(2015湖北)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已
知11b a =，22b =，q d =，10100S =． (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)当1d >时，记n
n n
a c
b =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 37．（2014新课标1）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根．
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和． 38．(2014新课标1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其
中λ为常数．
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．
39．（2014浙江）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，
2336S S ?=．
（Ⅰ）求d 及n S ；
（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++
+=．
40．（2013新课标1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2121
1
{
}n n a a -+的前n 项和．
41．（2013福建）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ．
（Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围．
42．（2013新课标2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比
数列．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++???+．
43．（2013山东）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ,且12
n n n
a T λ++
=（λ为常数），令2n n c b =（*
n ∈N ）．求数列{}n c 的前n 项和n R ．
44．（2011福建）已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．
45．（2010浙江）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，
满足56S S +15=0．
（Ⅰ）若5S =5，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围．