二次函数与相似
相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探究两个三角形
相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。
如果已知∠A=∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边分别表示出来，按照对应边成比例，
分和两种情况列方程。
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。
还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个一个直角三角形的锐角三角比
是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。
1.(河南倒一)如图，直线与轴交于点A(3,0)，与轴交于点B，抛物线经过点A，B.
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），
则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.
2.（武汉倒一）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个
单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．
3.（淄博倒一）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（1.5,0），在第一象限内与
直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（海南倒一）抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM⊥x轴,分别与x 轴和直线CD交与点M、N.
①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
5.（2017·山东莱芜）抛物线y=ax2+bx+c过A（2,3）、B（4,3）、C（6，-5）三点.
（1）求抛物线的表达式
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标. （3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线⊥AB，若点P在直线上运动，点Q在轴上运动，是否存在这样
的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由.
6.已知,抛物线y=a x2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=1/2.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=1/2S△ACD ,求点P的坐标;
(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.
7.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落
在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
1.【答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.
试题解析：
（1）直线与轴交于点，
∴，解得c=2
∴B（0，2），
∵抛物线经过点，
∴，∴b=
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，M（m，0），∴N()
①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2
∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，
若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，
分两种情况讨论如下：
（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，
BC=
∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，来源学|科|网
∴∠BNC=∠ABO，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA
∴,即，解得m=0（舍去）或m=∴M（，0）；
考点：二次函数综合题.
3【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表
达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C 点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB
和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，
由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD?OE+CD?BF=（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．
设MB交y轴于点N，如图1，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+，
把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线BN的解析式为y=x+，
联立直线BN和抛物线解析式可得，解得或，
∴M（﹣，），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2，OC=，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M（﹣，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）．
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 图15.1 C D O B A x y
轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经 第25题图
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么
1.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）以 O， A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此 时点 P 的坐标．
2. 在直角坐标系 xoy 中， A(0, 2) 、 B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . （1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，
若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，求此时点 P 的坐标；（3）现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值.
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，且经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y＝mx＋n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；⑶设点 P 为抛物线的
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ） （2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。 解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.
例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j） （2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2
二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ．
二次函数与相似的结合 题型一：动点在线段上 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴 分别交于点A 、C 两点，二次函数2 y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积； （3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标； 如图，抛物线2 2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点 (0,3)C -，抛物线的顶点为M ； （1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值； （3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为 顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
如图，已知抛物线2 y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值； （3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧）， 当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1 2 a = . ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3 2 c =- . ∴抛物线的表达式为213 22 y x x = --.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b =+??-=+? ，∴2, 4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4. x y A B E C O （第24题图）
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
二次函数与相似 例1 抛物线y=ax 2-3ax+b 经过A(-1,0),C(0,2),交x 轴于另一点B. (1) 求此抛物线的解析式； (2) 点M 为y 使AN 平行且等于BM 的一半？若存在，请求出点N 的坐标； 若不存在，请说明理由； (3) 若点P 为抛物线上一点，ta n ∠ACP=3,求出点P 的坐标。 ① 一般相似： 1 、 如图，在坐标系中，把抛物线2 x y =平移，平移所得到的抛物线与x 轴交于A （-3,0）、B （ 1,0）两点，与y 轴交于C 点。 （1） 求平移后的抛物线的解析式； （2）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似，若存在，求出点M 的坐标。 ②直角相似： 2、P 为抛物线322++-=x x y 上一动点，以AC 为斜边构造直 角三角形，使直角顶点P 落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标． （若无斜边的指定） ③K 型相似：
3、如图，在直角坐标系中，抛物线32 ++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OB=OC=3OA 。 （1）求此抛物线的解析式； （2）过C 点作C D ⊥y 轴交抛物线于D 点，连接AC 、BD ，E 为BD 上一点，DE:BE=7：3，P 为线段AB 上一点，若∠CPE=∠CAP ，求P 点的坐标； （3）如图2，将（1）中抛物线沿x 轴正方向平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，与x 轴的右交点为E 点，G 为AC 中点，延长GO 交EF 于点H ，是否存在这样的抛物线，使得G H ⊥EF ，若存在，求平移后的抛物线的解析式，若不存在，请说明理由。 专题训练 1、抛物线y=ax 2+2ax+b 与x 轴交于A(-4,0)、B 两点，与y (1) 求抛物线的解析式； (2) P 的抛物线上一点且P C ⊥BC,Q 是PC 延长线上一点，QC=3 1 将抛物线向右平移m 个单位后恰好经过点Q ，将原抛物线 向下平移n 个单位后与线段PQ 只有一个公共点，请求出m n （3）在（2）的条件下，原抛物线上是否存在一点M,使得S △若存在，请求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由。
二次函数专题复习 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
专题训练：二次函数与相似三角形 例1、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例2、已知：如图，抛物线22 1 412-+= x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线2 2(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。 （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线2 2y ax ax c =++的解析式； （3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标． 图1 O A B y x O A B y x 图 2 B' A'O B A y x
例3、已知：矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()6,0A ，()0,3C ，直线 3 4 y x = 与BC 边交于D 点． （1）求D 点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A 、D 两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 是对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求出符合条件的点P ．
例4、已知抛物线c bx x y ++=2 4 3与坐标轴交于点A,B,C 三点，A 点的坐标为)0,1(-，过点C 的直线343 -= x t y 与x 交于点,Q 点P 是线段BC 上的一个动点，过点P 作OB PH ⊥于点H ，若)10(,5<<=t t PB ，请回答下面的问题； （1）、求出抛物线的解析式 （2）、求线段QH 的长，（用含有t 的式子表示） （3）、根据P 点的变化，是否存在t 的值，使得以点Q H P ,,为顶点的三角形与COQ ?相似？若存在，求出所有的t 的值，若不存在，说明理由；
二次函数练习题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交 x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C. D. 二、填空题： 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的 情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式； 二次函数与相似 相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探究两个三角形 相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。 如果已知∠A=∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边分别表示出来，按照对应边成比例， 分和两种情况列方程。 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个一个直角三角形的锐角三角比 是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。 1.(河南倒一)如图，直线与轴交于点A(3,0)，与轴交于点B，抛物线经过点A，B. （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N， ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）， 则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值. 2.（武汉倒一）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE； （3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个 单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值． 课题二次函数与相似三角形 教学目标知识与 技能 根据条件寻找或构造相似三角形，从而得出点的坐标。 过程与 方法 通过复习，掌握中考题型中二次函数的综合应用。 情感态 度与价 值观 培养学生的参与意识和探索精神。 教学重点根据条件寻找或构造相似三角形 教学难点根据条件寻找或构造相似三角形 教学准备课件，活页练习 教学课时1课时 教学过程个案修改 （手写）一、导入： 我们已经学完了二次函数的基础知识，从今天开始我们要学习二次函 数与其他知识的综合应用。首先，我们来学习中考中最常见的一种—— 二次韩数与相似三角形。 二、复习提问： 1、二次函数的一般形式是 2、如何确定一条抛物线与X轴和y轴的交点坐标？ 3、抛物线的顶点坐标如何确定？ 4、相似三角形的判断方法有哪些？ 三、例题讲解： .如图，已知抛物线y=–(x–2)2+1 的图像与x轴交于A、B 两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）求点A，点B，点C的坐标; （2）若点D是抛物线的顶点，DH垂直于x轴，垂足为H，试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？说明理由． （3）若点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴， 垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△AOC相似。若存在，求出M 点坐标；若不存在，说明理由。 分析： （1）第一步是基础知识，可由学生自己解决，只对个别不会的学生加以辅导，可以由B号学生帮助解决 （2）第二步要判断两个直角三角形相似，可以证明夹着直角的四条边成比例；另外，还要注意强调格式——先回答问题，再书写证明过程（3）第三步要先设出点M的坐标，进一步表示出MG和AG的长度，然后再分两种情况利用四条线段成比例得方程，从而解得点M的坐标。另外，题目中“点M在抛物线上且在x轴上方”能给我们 什么信息，需要注意什么？ 教学组织： （1）学生自己分析题意，找出不会的地方； （2）小组内讨论，初步解决 （3）汇总不能解决的问题，教师分析解决 （4）书写第（3）问解答过程，A号展示 四、变式练习： 上题中，若点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在x轴上方， 二次函数与菱形 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理 由． 2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标； （3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F为顶点的四边形能否为菱形若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ，求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、 B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线的解析式； （2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大最大值为多少 （3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为 第二十二章 二次函数 专项综合测试卷 求二次函数解析式 类型一 利用“一般式”求二次函数解析式 1.（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）. （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上. 2.（2020广东惠州博罗期中）已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0，2），B （4，0）， C （5，-3）三点，当x ≥0时，图象如图所示. （1）求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线2y ax bx c =++在y 轴左侧的部分. 3.（2019广东广州越秀月考）已知抛物线2y ax bx c =++过点A （-1，1），B （4，-6）， C （0，2）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是__________； （3）选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线. 类型二 利用“顶点式”求二次函数解析式 4.（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线3x =，y 的最大值为-5，且与212 y x =的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为（ ） A. 21(3)52y x =-++ B. 21(3)52 y x =--- C. 21(3)52y x =++ D. 21(3)52y x =-- 5.（2020山东济宁任城期中）已知一个二次函数有最大值4.当x >5时，y 随x 的增大而减小，当x <5时，y 随x 的增大而增大，且该函数图象经过点（2，1），求该函数的解析式. 6.（2020浙江宁波鄞州期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C （3，0）. （1）求该二次函数的解析式； （2）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （3）当3y x ≤-+时，直接写出x 的取值范围. 东升学校九年级上数学导学稿（编号：813） 班级 姓名 组 号 时间 年 月 日 课题：二次函数与相似问题 课型：新授 主备 严光华 审核 九年级数学组 例1.已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ， 是否存在点P 使得以点P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2.把抛物线 向左平移1个单位，再向下平移4个单位， 得到抛物线 所得抛物线与轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h,k 的值；（2）判断 的形状，并说明理由； （3）在线段AC 上是否存在点，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 例3.抛物线 与X 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0）， 过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H . （1）直接填写：a= ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标. 2y x =2()y x h k =-+ACD △32++=bx ax y 例4.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由． 练习一 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2． （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由 （3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 练习二 如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，设E是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长 （3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与相似
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