章末检测
一、填空题
1． 下列推理错误的是________．
①A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α?l ?α
②A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β?α∩β＝AB
③l ?α，A ∈l ?A ?α
④A ∈l ，l ?α?A ∈α
2． 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于________．
3． 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．
4． 一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占 底面圆周长的14
，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是 ________．
5． 下列命题正确的是________．
①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；
②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；
③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．
6． 在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，
GH 交于一点P ，则下列结论正确的是________．
①P 一定在直线BD 上；
②P 一定在直线AC 上；
③P 一定在直线AC 或BD 上；
④P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上．
7． 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为
________．
8． 下列四个命题：
①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；
②若a ∥α，b ?α，则a ∥b ；
③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；
④若a ∥α，a ∥b ，b ?α，则b ∥α.
其中正确命题的序号是________．
9．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
10．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是______．
11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为
1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为
________．
12．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
13．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为________．
13题图14题图
14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
二、解答题
15．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝
5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体
的表面积及体积．
16．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是
AB、BD的中点．
求证：(1)EF∥面ACD；
(2)面EFC⊥面BCD.
17．ABCD与ABEF是两个全等的正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.
求证：MN∥平面BCE.
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
19．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：P A∥面BDE；
(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
答案
1．③
2．90°
3．24π
4．14－12π 5．③ 6．②
7．43π
8．④
9．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)
10．90°
11.26
12．9
13.105
14．a >6
15．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2
＝(42＋60)π.
V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2＝1483
π. 16．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，
∵EF ?面ACD ，AD ?面ACD ，∴EF ∥面ACD .
(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .
∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，
∴CF ⊥BD .
又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .
17．证明 方法一 如图所示，连结AN ，延长交BE 的延长线于P ，连
结CP .
∵BE ∥AF ， ∴FN NB ＝AN NP ， 由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB .
∴FN NB ＝AM MC .∴AM MC ＝AN NP
， ∴MN ∥PC ，又PC ?平面BCE .
∴MN ∥平面BCE .
方法二 如图，作MG ⊥AB 于G ，连结GN ，转证面MNG ∥面CEB . ∵MG ∥BC ，只需证GN ∥BE .
∵MG ∥BC ，
∴AM AG ＝MC GB
. 又AM ＝FN ，AC ＝BF ，
∴AM AG ＝FN AG ＝NB GB
.∴GN ∥AF ∥BE . ∴面MNG ∥面BCE .
又MN ?面MNG ，∴MN ∥面BCE .
18．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .
又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD .
因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，
所以三角形PCD 的面积为12
×2×23＝2 3. (2)如图，取PB 中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或 其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．
在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，连结AC ，因为PC ＝4，在Rt △P AC
中，AE ＝12
PC ＝2，所以EF 2＋AF 2＝AE 2，所以△AEF 是等腰直角 三角形，
所以∠AEF ＝45°.
因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°.
19．(1)证明 连结OE ，如图所示．
∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，
∴OE ∥P A.
∵OE ?面BDE ，P A ?面BDE ，
∴P A ∥面BDE .
(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD .
在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，
又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC .
又∵BD ?面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE .
(3)解 取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，
∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .
又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD .
∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .
∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.
在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝6
12a ，
∴OP ＝2EF ＝6
6a .
∴V P －ABCD ＝1
3×a 2×6
6a ＝6
18a 3.
20．(1)证明 因为底面ABCD 为菱形，
所以BD ⊥AC .
又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .
如图，设AC ∩BD ＝F ，连结EF .
因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，
故PC ＝23，EC ＝23
3，FC ＝2，
从而PC
FC ＝6，AC
EC ＝ 6.
因为PC
FC ＝AC
EC ，∠FCE ＝∠PCA ，
所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .
因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，
所以PC ⊥平面BED .
(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．
因为二面角A －PB －C 为90°，
所以平面P AB ⊥平面PBC .
又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，
故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .
因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，
故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，
所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，
PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.
设D 到平面PBC 的距离为d .
因为AD ∥BC ，且AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，
故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，
则sin α＝d PD ＝12
. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.