高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
１．前ｎ项和法（知n S 求n a ）??
?-=-11
n n n S S S a )
2()1(≥=n n
例1、已知数列}{n a 的前n 项和2
12n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122
-=,求数列|}{|n a 的前ｎ项和n T
练习：
１、若数列}{n a 的前n 项和n
n S 2=,求该数列的通项公式。答案：???=-12
2n n a )2()
1(≥=n n
2、若数列}{n a 的前n 项和32
3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n
n a 32?=
3、设数列}{n a 的前ｎ项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2
2n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式.
4.n S 为{n a }的前n 项和，n S ＝3（n a －1）,求n a (n ∈N +） ５、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3，求数列{}n a 的通项公式(作差法） 2。形如)(1n f a a n n =-+型（累加法)
（１）若f(ｎ）为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+。 （２)若ｆ(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111
1≥+==--n a a a n n n ，证明2
1
3-=n n a
例2．已知数列{}n a 的首项为1，且*
12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
例３.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。
3。形如
)(1
n f a a n
n =+型(累乘法) （1）当f(ｎ)为常数,即：q a a n
n =+1(其中q 是不为0的常数）,此数列为等比且n a =1
1-?n q a 。
(2)当f(n ）为n 的函数时，用累乘法． 例1、在数列}{n a 中111
,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式.答案:12+=n a n
练习：
1、在数列}{n a 中111
1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。答案:)1(2
+=n n a n
２、求数列)2(1
232,111
≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。
4。形如s
ra pa a n n n +=
--11
型（取倒数法)
例１. 已知数列{}n a 中,21=a ，)2(1
211
≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习:１、若数列}{n a 中，11=a ，131+=
+n n n a a a ，求通项公式n a 。答案：2
31
-=n a n
2、若数列}{n a 中,11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案:1
21
-=n a n
５.形如0(,1≠+=+c d ca a n n ，其中a a =1）型（构造新的等比数列）
（1)若c=1时,数列｛n a }为等差数列；(2）若d ＝０时，数列{n a ｝为等比数列；
(３)若01≠≠且d c 时，数列{n a ｝为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下:设)(1A a c A a n n +=+
+,利用待定系数法求出Ａ
例1．已知数列}{n a 中,,2
1
21,211+==+n n a a a 求通项n a ． 练习：1、若数列}{n a 中,21=a ，121-=+n n a a ,求通项公式n a 。答案:121
+=-n n a
2、若数列}{n a 中,11=a ，1321+=+n n a a ，求通项公式n a 。答案：1
)3
2(23-?-=n n a
6。形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列)
(1)若b kn n f +=)(一次函数（ｋ，ｂ是常数,且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。
例题。 在数列{}n a 中,2
3
1=a ,3621-+=-n a a n n ,求通项n a 。
解：原递推式可化为b n k a b kn a n n
+-+=++-)1()(21
比较系数可得：ｋ=－6，b ＝9，上式即为12-=n n b b
所以{}n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为2
1
． 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996?=+-，故96)2
1
(9-+?=n a n n .
练习:1、已知数列{}n a 中，31=a ,2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
（2）若n
q n f =)(（其中q 是常数，且ｎ≠0,1）
①若ｐ=１时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时,即：n
n n q a p a +?=+1，后面的待定系数法也用指数形式.
两边同除以1
+n q 。 即：
q
q a q p q a n n n n 11
1+?=
++, 令n
n
n q a b =
,则可化为q b q p b n n 1
1+?=
+。然后转化为类型5来解, 例1． 在数列{}n a 中，52
1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--。求通项公式n a
1、已知数列{}n a 中，211=a ,n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a .答案：12
1
++=n n n a
2、已知数列{}n a 中，11=a ,n n n a a 2331?+=+,求通项公式n a 。答案：n
n n a 23371?-?=-
题型二 根据数列的性质求解（整体思想)
１、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ; 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，
327++=n n T S n n ,则=5
5b a ．
3、设n S 是等差数列{}n a 的前ｎ项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 5、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=，则35a a +=__＿＿＿__。 6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ,602=n S ，则=n S 3 。 7、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ) ８、在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a a
b +=，则99100a a += ． 题型三：证明数列是等差或等比数列 A ）证明数列等差
例1、已知数列{a n ｝的前n 项和为S ｎ，且满足a n +２S n ·S n －1=０（n ≥2)，ａ1=2
1
.求证：｛n S 1｝是等差数列；
Ｂ)证明数列等比
例１、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； 题型四：求数列的前ｎ项和 基本方法：A ）公式法, Ｂ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S 。
2.)12()1(7531--+?++-+-=n S n
n
3.若数列｛ａｎ}的通项公式是a n ＝（－1)n
·(３n —2），则a 1＋a 2+…+a １0=( ） A ．15 B ．12 Ｃ.-１2 Ｄ．—15 4.求数列1，２+
21,3+41，4+81，…,12
1-+n n 5。已知数列｛a n ｝是3＋2－1，6+2２
－1，9+23
—1,12＋2４
－1,…，写出数列｛ａｎ｝的通项公式并求其前n 项和
S ｎ.
C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++11
1
；
例1、求和:S =1+
n
+++++
+++++ 3211
3211211 例２、求和:n
n +++++++++11341231121 。 D)倒序相加法,
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求:).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ Ｅ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(?-=,求此数列的前n 项和n S .
2.2
1123(0)n n S x x nx x -=+++
+≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑)
题型五：数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中,492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n 。 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值；
例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S 。已知1a a =,13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ)设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ）若1n n a a +≥,*
n ∈N ,求a 的取值范围。
题型六：总结规律题 1． 已知数列{}n a 满足),2(5
2
5*11N n n a a a n n n ∈≥--=
--，且{}n a 前2０1４项的和为4０３，则数列{}1+?n n a a 的前
201４项的和为？
2． 数列｛a ｎ｝满足a n ＋1+（－１）n
ａn ＝2n －１，则{ａn }的前６0项和为？ 常见练习
1．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（ ）
Ａ。3 B ．2± Ｃ. Ｄ。2 2、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =
A.342n ??? ??? Ｂ．243n ??
? ???
C.1
342n -??? ?
?? D.1
243n -??
? ?
??
3．一个有限项的等差数列,前４项之和为４0，最后４项之和是8０，所有项之和是210,则此数列的项数为（ ) A.12 B.14 C.16 D ．18 4．｛a n }是等差数列，10
110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是( )
A ．5
B 。6 C.７ Ｄ.８ 5。若数列2
2
3
3
1,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（ ）
A. ()3
k k Z π
π±
∈ B. 2()3
k k Z π
π±
∈ C. 22()3
k k Z π
π±
∈ D ．以上的答案均不对 6。设２a
=３,２b
＝6,2c
=１2,则数列ａ，ｂ，c 成
A 。等差 Ｂ．等比 C ．非等差也非等比 D 。既等差也等比 7．如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ )
(A)14 （Ｂ)２1 (C)28 （D ）３５
8.设数列{}n a 的前n 项和3
S n n =，则4a 的值为( ）
（A ） 15 (Ｂ) 37 （Ｃ） 27 （D)6４
9.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ,则
4
2
S a =（ ) A ．2 ?B ．4??C 。
215??D 。2
17 １0。设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） （A)3 (B ）4 （C)5 （D)6 11．已知}{n a 是等比数列,22a =，51
4
a =
,则12231n n a a a a a a ++++=( )
A 。
32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- Ｄ。32
(14)3
n -- 12.若数列}{
n a 的通项公式是(1)(32)n
n a n =--，则1220a a a ++???+= （ )
(A)3０ ?（B ）２9 ?（Ｃ）—30 (D ）—29
１3。已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n
n a a n -?=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -+++=（ ）
A. (21)n n - B 。 2
(1)n + Ｃ。 2n D 。 2
(1)n - １4．巳知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x 。若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m 的值为( ）
A.
B ．
?Ｃ.
Ｄ．
１5．已知等比数列{a n ｝的前n 项和S n =t ·5
ｎ—2
-错误!,则实数t 的值为（ )．
A ．4 ?
B.5 ???
C.＼ｆ(4，5) ??
D 。错误!
1６．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，ａ4＋a 7+a 10=９,Ｓ14﹣S 3=７７,则使S ｎ取得最小值时n 的值为（ ） A ． 4
Ｂ． 5
C 。 6
Ｄ． 7
17．若{a ｎ｝是等差数列，首项a 1〉０,公差d 〈０，且ａ2 013(a 2 012+ａ2 01３） <０，则使数列｛ａn ｝的前n 项和S n >０成立的最大自然数ｎ是( )
A.4 027 B ．4 0２6 C 。4 025 D ．4 ０24
１8.已知数列满足：a １=1,ａn +1＝错误!,（n ∈Ｎ＊
），若b n +1=（n －λ)错误!，b 1＝-λ,且数列{ｂｎ}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为
?（ ）
A 。λ＞２
B ．λ>3 Ｃ。λ〈2 D 。λ<3 １9、由正数构成的等比数列{a n },若13
2423249a a a a a a ++=，则23a a +=
．
20.已知数列{}n a 的前n 项和为2
,n S n =某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ．
２１、给定(1)log (2)n n a n +=+(ｎ∈N＊),定义乘积12k a a a ???为整数的k(ｋ∈Ｎ＊)叫做“理想数"，
则区间［1，
2008］内的所有理想数的和为 ．
22.设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和为n S ，满足34150S S +=，则d 的取值范围为 ．
２3。设正整数数列{}n a 满足:24a =，且对于任何*
n ∈N ,有11111122111
n n n n
a a a a n n ++++
<<+-+，则10a = 24。已知{}
n a 为等比数列，472a a +=,568a a =-,则110a a +=_＿_____＿.
2５．设等差数列{}n a 的公差d 不为０，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k =______．
26、已知函数()f x 是一次函数,且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，（n N *∈)（1)求1n
i i a =∑；
（2）设2n n
b =，求数列{}n n a b 的前ｎ项和n S 。
２7、已知数列{}n a 中，12a =,23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）.(1）求数
列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n a
n n n b λλ-=+-?为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,
都有n n b b >+1成立．
２８．已知数列｛n a }中122152
1,4,.33
n n n a a a a a ++===-满足
（I ）设1n n n b a a +=-，求证数列{n b ｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛n a }的通项公式．
２9．已知等差数列{}n a 满足：14,9625=+=a a a . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ)若n
a n n q a
b +=（0>q ），求数列{}n b 的前n 项和n S ．
３０。已知数列{}n
a
的前n 项和为n S ，且11,4
a
=*
1()16n n t a S t +=+∈n N ,为常数. I ()若数列{}n a 为等比数列，求t 的值;II ()若14,lg n t b a +>-=n ，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当n=6时n
T 取最小值，求实数t 的取值范围．
31． 是一个公差大于0的等差数列，521,,a a a 成等比数列,1462=+a a 。（Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列
和数列
满足等式:
=
，求数列
的前n 项和
３２。已知数列{}n a 满足1111,14n n
a a a +==-
,其中n ∈N ＊．（Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列,
并求出{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ)设41
n
n a c n =
+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得1
1n m m T c c +<
对于n ∈Ｎ*
恒成立,若存在,求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.
3３． 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且
n n S a ,,2
1
成等差数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若n
b n
a )2
1(2
=，设n n n a b c =,求数列{}n c 的前n 项和n T 。
34．一个等比数列{}n a 中,14232812a a a a +=+=，，求这个数列的通项公式.
35．有四个数:前三个成等差数列，后三个成等比数列.首末两数和为16，中间两数和为12。求这四个数。 ３6．已知等差数列{}n a 满足：25a =，5726a a +=，数列{}n a 的前ｎ项和为n S ．
（Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)设{}n n b a -是首项为1,公比为３的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .
3７。设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =,324a a =+。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列
{(21)}n n a +的前n 项和S n 。
3８．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n
S
n n
??
?
??
在直线11122y x =+上. (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13
(211)(211)
n n n b a a +=
--，求数列{}n b 的前ｎ项和为n T ，并求使不等式
20
n k
T >
对一切*n ∈N 都成立的最大正整数k 的值。