2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期末考试
数学试题
一、选择题
1．直线10x -=的倾斜角是（ ） A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
【答案】D
【解析】试题分析：斜率
k ==，所以33
tan -=α，因为),0(πα∈，所以6
5π
α=
，故选D ． 【考点】直线方程的一般式、直线的斜率的概念． 2．不等式2320x x -+-≥的解集是（ ） A ．{}|21x x x ><或 B ．{}
|21x x x ≥≤或 C ．{}|12x x ≤≤ D ．{}|12x x << 【答案】C
【解析】试题分析：原一元二次不等式可转化为0232≤+-x x ，解得21≤≤x ，所以
不等式2
320x x -+-≥的解集是{}|12x x ≤≤，故选C ．
【考点】一元二次不等式的解法．
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
A ．y =
B ．2(1)y x =-
C ．2x y -=
D ．0.5log y x =
【答案】A
【解析】试题分析：A 中，函数在[)+∞,0上为增函数；B 中，函数在[)+∞,1上为增函数； C 中，函数在R 上为减函数；D 中，函数在()+∞,0为减函数．故选A ． 【考点】幂函数、指数函数、对数函数的单调性．
4．设l 为直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,//l αβα，则//l β C ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥
试卷第2页，总11页
D ．若,//l αβα⊥，则l β⊥ 【答案】C
【解析】试题分析：A 中，由//,//l l αβ可知可能βα∥，也可能α与β相交；B 中，由//,//l l αβ可知可能//l β，也可能β?l ；D 中，由,//l l αβ⊥可知可能β?l 也可能l 与β相交．故选C ． 【考点】线面平行、垂直．
5．已知两直线12:40,:(1)320l x mx l m x my m ++=-++=．若12//l l ，则m 的值为（ ）
A ．4
B ．0或4
C ．-1或
12 D ．12
【答案】B
【解析】试题分析：分两种情况：一、斜率不存在，即0=m 此时满足题意；二、斜率存在即0≠m ，此时两斜率分别为m
k 1
1-
=，m m k 312--=，因为两直线平行，所以
11
3m m m
--
=-，解得4=m 或0=m (舍)，故选B ． 【考点】由两直线斜率判断两直线平行．
6．若方程
22
0x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m <
B ．1
2
m > C ．1m < D ．1m > 【答案】A
【解析】试题分析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知：
()04112
2>-+-m ，解得2
1
<
m ，故选A ． 【考点】圆的一般方程．
7．函数1()()22
x
f x x =-+的零点所在的一个区间是（ ）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3) 【答案】D
【解析】试题分析：因为0)1(>-f ，0)0(>f ，0)1(>f ，0)2(>f ，0)3( 8．在空间直角坐标系中，给定点(2, 1.3)M -，若点A 与点M 关于平面xOy 对称，点 B 与点M 关于x 轴对称，则AB =（ ） A ．2 B ．4 C ． ． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知： ()3,1,2--A ，()3,1,2-B ，则 AB =[]2)3()3()11()22(2 22=---+--+-，故选A ． 【考点】空间两点间的距离公式． 9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A ． 38663cm π B ．35003cm π C ．320483cm π D ．313723 cm π 【答案】B 【解析】试题分析：可设球的半径为R ，可得组合体的截面图形，建立等式： 2224)2(+-=R R ，得5=R ，所以球的体积3 5005343ππ=?=V ，故选B ． 【考点】球的体积公式． 10．00(,)M x y 为圆222 0)x y a a +=>（外一点，则直线200 x x y y a += 与该圆的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．相切或相离 【答案】C 【解析】试题分析：圆心为)0,0(，半径为a ，因为点M 在圆外，所以2 2 02 0a y x >+， 因此圆心到直线的距离a a a y x a d =< += 2 22 2 02，所以相交，故选C ． 【考点】点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系． 【易错点晴】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、不等式的性质，属于中等题．由点在圆外可得不等式2 2020a y x >+，由圆心到直线的距公式来判断直线与圆的位置关系，本题又转化成距离与半径的大小比较，当圆心到直线的距离小于半径时，可判定直线与圆相交，只是在运用不等式的性质时要注意不等号的变化． 11 ．若2156,(),log ,2 x x P Q x R <<=== ,,P Q R 的大小关系是（ ） A ．Q P R << B ．P Q R << C ．Q R P << D ．P R Q << 【答案】D 【解析】试题分析：x P )21 (= 在)6,5(上为减函数，所以 32 1641< Q ，1>R ，本题转化成比较Q 、R 的大小．令t x 22=，则t Q 2=， t R 2=以上两函数图 试卷第4页，总11页 象交于1=t 和2=t 处，由图象可知：当1 R 2=的下方，当 21< 方，又t 满足21< 【考点】对数函数的定义和性质、指数函数的性质、幂函数的性质． 【思路点晴】本题考查对数函数与指数函数的单调性、直线的图象与函数值的关系，难点在于Q 、R 的大小比较，考查构造函数，通过指数函数与一次函数的图象与性质分析解决问题，考查学生综合分析与解决问题的能力．本题有两个问题需要着重解决一是构造函数一是比较一次函数与指数函数图象的位置．属于难题． 12． 设函数()f x =对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()g f x f x K f x K f x K ≥?=? ， 若对于函数()f x =x ，恒有()()g f x f x =，则（ ） A ．K 的最小值为1 B ．K 的最大值为1 C ．K 的最小值为．K 的最大值为【答案】B 【解析】试题分析：令4 522+ +-= x x t ，可得230≤≤t ，所以2221≤≤t ，即 ()f x =的最小值为1，因为(),()(),()g f x f x K f x K f x K ≥?=? ，()()g f x f x =，所 以对任意的x 恒有K x f ≥)(，即K 的最大值为1，故选B ． 【考点】指数函数的性质、分段函数． 【方法点晴】本题是一个综合类的题，考查比较全面：一次的值域、复合函数的值域、分段函数的定义以及如何解决恒成立问题．解题要注意复合函数求值时底数对函数单调性的影响，恒成立对K 的影响，以及分段函数中)(x f 的范围对函数的影响．本题在函数的考查中是比较综合类的题，难点是恒成立的分析． 二、填空题 13．P 为圆 221x y +=的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最大值为________． 【答案】3 【解析】试题分析：圆心)0,0(到直线34100x y --=的距离 2d = =， 圆与直线相离，所以圆上的点到直线的最大距离为312=+．故答案为：3． 【考点】点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系． 14．已知直线21y kx k =-+与圆 22 (2)(1)3x y -+-=相交于,M N 两点，则MN 等于__________． 【答案】 【解析】试题分析：由题意可知，直线恒过圆心)1,2(，所以MN 为圆的直径 【考点】含参直线恒过点问题． 15．若函数()log (1)(0,1)a f x x m a a =-+>≠且恒过定点(,2)n ，则m n +的值为________． 【答案】4 【解析】试题分析：由题意可知，函数()f x 恒过点),2(m ，所以2=m ，2=n ．故得4=+n m ． 【考点】对数函数的性质． 【方法点晴】本题属于容易题，要求掌握对数函数恒过定点的性质，通过已知条件可以得出函数)(x f 恒过定点，又因为条件给出函数()f x 过定点(),2n ，由此可以得出 2=m ，2=n ，最后得到所以要求的结果．本题只要掌握对数函数过定点的性质即可．本 题考查的知识点比较单一，属于容易题． 16．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1 ()4x f x a +=-（a 为常数），则(1) f -的值为________． 【答案】－12 【解析】试题分析：由函数在R 上为奇函数可得()040f a =-=，解得4=a ，所以 11(1)(1)(44)f f +-=-=-- 12=-． 【考点】函数的奇偶性． 【方法点晴】本题考查函数的奇偶性定义以及性质．()f x 为定义在R 上的奇函数，可 知0)0(=f ，由给定的函数解析式 1 ()4x f x a +=-可知4=a ，进而可以求出1244)1(11=-=+f ，再由奇函数的性质可知)1()1(f f =-，最后得出12)1(-=-f ．本 题考查的知识点比较单一，题型也是常见题，属于容易题． 三、解答题 17．设函数()2)(01)f x a = <<的定义域为集合A ，已知集合 {}|13B x x =<<， {}|C x x m =≥，全集为R ． （1）求()R C A B ； 试卷第6页，总11页 （2）若()A B C φ≠ ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|12x x <≤；（2）3m ≤． 【解析】试题分析：（1）由()f x 的解析式可得A 的范围，进而求出A 在R 中的补集，最后与B 相交求解；（2）先求A 与B 的并集，由与C 相交不为空得m 的范围． 试题解析：（1）因01a <<，由l o g (2)0a x -≥得021x <-≤， 所以{}|23A x x =<≤ {}|23R C A x x x =≤>或 {}{}{}()|23|13|12R C A B x x x x x x x =≤><<=<≤ 或 （2）由（1）知{}|23A x x =<≤，因{}|13B x x =<<， 所以{}|13A B x x =<≤ 又{}|C x x m =≥， ()A B C φ≠ ， 所以3m ≤， 【考点】集合的交集、并集、补集． 18．直线l 经过点(5,5)P ，且和圆 22 :25C x y += 相交，截得弦长为l 的方程． 【答案】250x y --=或250x y -+=． 【解析】试题分析：由圆的半径和弦长可得圆心到直线的距离，排除直线斜率不存在的情况，可以设出点斜式方程，利用圆心到直线的距离解出斜率k ，最后得到直线的方程． 试题解析：知直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为5(5)y k x -=- 圆 22 :25C x y +=的圆心为(0,0)， 半径5r =，圆心到直线l 的距离， d = ∴由222(55)251k k -+=+，可得2 2520k k -+=，∴2k =或12k = l 的方程为250x y --=或250x y -+= 【考点】直线方程的点斜式、直线与圆的位置关系． 19．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，,M N 分别是,AC AD 的中点，BC CD ⊥． （1）求证：//MN 平面BCD ； （2）求证：平面ABC ⊥平面ACD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由,M N 分别是,AC AD 的中点得//MN CD ，利用线面平行的判定定理可得结论；（2）由AB ⊥平面BCD 得AB ⊥CD ，再由BC CD ⊥利用直线与平面垂直的判定定理可得结论． 试题解析：（1）因为,M N 分别是,AC AD 的中点，所以//MN CD ． 又MN ?平面BCD 且CD ?平面BCD ，所以//MN 平面BCD （2）∵AB ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ， ∴AE CD ⊥，又∵BC CD ⊥．且AB BC B = ，∴CD ⊥平面ABC ， 又∵CD ?平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD 【考点】直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理． 20．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1,2AA AD a AB a ===， E 为11C D 的中点． （1）求证：DE ⊥平面BEC ； （2）求三棱锥C BED -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 3 a ． 【解析】试题分析：（1）由已知条件很容易得出BC DE ⊥，再由在CDE ?满足勾股定理得EC DE ⊥，由直线与平面垂直的判定定理得DE ⊥平面BEC ；（2）利用等体积转化：三棱锥C BED -体积等于三棱锥BCD E -的体积，很容易求出BCD ?的面积，最后求出点E 到平面BCD 的距离即可． 试题解析：（1）证明：∵BC ⊥侧面11CDD C ，DE ?侧面11CDD C ， ∴DE BC ⊥ 在CDE ?中，2,CD a CE DE ===，则有222 CD CE DE =+， ∴0 90DEC ∠=，即DE EC ⊥ 又∵BC EC C = ，∴DE ⊥平面BCE （2）∵BC ⊥侧面11CDD C 且CE ?侧面11CDD C ， ∴CE BC ⊥ 则21 122BCE S BC CE a ?== ?= ， 又∵D E ⊥平面BDE ，DE 就是三棱锥E BCD -的高， 则 2 11 333 C BE D E BCD D BCE BCE a V V V DE S ---? ===== 【考点】直线与平面垂直、等体积法求几何体体积． 【易错点晴】第一问考查与平面垂直的判定定理，只要满足三个条件即可，属于容易题；求几何体的体积一般情况下难在高的得出，即点的面的距离，求法不唯一，可得用线到面的距离，也用点到面的距离，而用点到面的距离能过作图作出高是有难度的，而利用等体积的方法来求三棱锥的体积是常见一种方法，难度适中． 21．已知圆 22 :4 O x y +=，圆O与X轴交于,A B两点，过点B的圆的切线为,l P是圆上异于 ,A B的一点，PH垂直于X轴，垂足为H，E是PH的中点，延长, AP AE 分别交l于 ,F C． （1 ）若点 (1 P，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上； （2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切． 【答案】（1 ）圆的方程为22 4 (2)( 33 x y -+-=，且P在圆上；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知点A、P的坐标，可求出直线AP的方程，可求出点F的坐标，由圆的方程可知点B的坐标，可求出以FB为直径的圆的方程，将点P的坐标代入圆的方程，得在圆上；（2）要证明结论，需证明PC OP⊥，可先设点P坐标，可求点E坐标，进而可求点C坐标，得OP与PC斜率，得PC OP⊥得结论． 试题解析：（1 ）由 (1(2,0) P A-，∴直线AP 的方程为(2),(1,) 32 y x E =+，令2 x=， 得(2, 3 F，由(1,) 2 E，(2,0) A-,则直线AE 的方程为2) 6 y x =+，令2 x= ，得C，∴C为线段FB的中点，以FB为直径的圆恰以C为圆心， ， 所以，所求圆的方程为22 4 (2)( 3 x y -+=，且P在圆上， 试卷第8页，总11页
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