概率分布以及期望和方差
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上课教师:
上课重点 : 掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布
及其期望和方差
上课规划:解题技巧和方法
一两点分布
知识内容
⑴两点分布
如果随机变量X 的分布列为
X10
P p q
其中 0 p 1 , q 1 p ,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为 1,不合格记为 0 ,已知产品的合格率为 80% ,随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果,则 X 的分布列满足二点分布.
X 10
P 0.80.2
两点分布又称 0 1分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试
验,所以这种分布又称为伯努利分布.
(2)典型分布的期望与方差:
二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在 n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np .
典例分析
,针尖向上;
1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令X1,如果针尖向上的
,针尖向下 .
概率为 p ,试写出随机变量 X 的概率分布.
2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的
,当取到白球时,
白球个数”,即
X
,当取到红球时, ,求随机变量 X 的概率分布.
3、若随机变量 X 的概率分布如下:
X
1
P
2
3 8C
9C C
试求出 C ,并写出 X 的分布列.
3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一
面的点数 )
1, (当第一次向上一面的点
数等于第二次向上一面
的点数 )
试写出随机变量 的分布列.
4、篮球运动员比赛投篮,命中得
1 分,不中得 0 分,已知运动员甲投篮命
中率的概率为 P .
⑴ 记投篮 1次得分 X ,求方差 D ( X ) 的最大值;
⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时,甲投 3 次篮,求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期望与方差.
二
超几何分布
知识内容
将离散型随机量X 所有可能的取x i与取的概率p i (i 1, 2, L , n)列表表示:
X x1x2 P p1p2?
?
x i
p i
?
?
x n
p n
一般地,有数 N 件的两物品,其中一有 M 件,从所有物品中任取 n 件 ( n ≤N ) , n 件中所含物品件数X是一个离散型随机量,它取 m 的概率
P( X m)C M m C n N m M
(0≤ m≤ l ,l n 和M中小的一个 ) .
C n N
我称离散型随机量X 的种形式的概率分布超几何分布,也称X 服从参数 N , M ,n的超几何分布.在超几何分布中,只要知道 N , M 和n,就可以根据公式求出 X 取不同的概率P( X m),从而列出 X 的分布列.超几何分布的期望和方差:若离散型随机量 X 服从参数N,M,n的超几何分布,
()nM
, D ( X )n(N n)( N M )M .
E X N N2 (N 1)
典例分析
例:一盒子内装有 10 个球,其中 3 个旧的,7 个新的,从中任意取 4 个,取到新球的个数的期望是.
1. 某人参加一次英口考,已知在的10道中,能答其
中的 6 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试,每题分数为20分,求他得分的期望值.
练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会,求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差.
练习 3. 在12个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次任取一个,并且取出不再放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数.求
,的期望值及方差.
三二项分布
知识内容
若将事件 A 生的次数X ,事件 A 不生的概率q 1 p ,那么在 n 次独立重复中,事件 A 恰好生k 次的概率是P( X k )C k n p k q n k,其中k 0, 1, 2, L , n .于是得到X 的分布列
X01?k?n
P C0n p 0q n C1n p1q n 1?C k n p k q n k?C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1 L C k n p k q n k L C n n p n q0
各的,所以称的散型随机量X 服从参数n,p 的二分布,
作 X ~ B(n , p) .
二分布的均与方差:
若离散型随机量X 服从参数n和 p 的二分布,
E ( X ) np , D (x) npq (q 1 p) .
二分布:若离散型随机量X 服从参数n和 p 的二分布,E( X ) np ,D ( x) npq (q 1 p) .
典例分析
二分布的概率算
例:已知随机量服从二分布,12) 等于.
~ B(4 , ) , P(
3
1. 甲乙两人行棋比,比采取五局三制,无哪一方先三局
比束,假定甲每局比的概率均2,甲以 3:1 的比分的
3
概率()
A.8B.64C.4D.8 278199
2. 某球运在三分投球的命中率是1,他投球 10次,恰好投
2
3 个球的概率.(用数表示)
3. 某人参加一次考,4道中解3道及格,已知他的解正确率 0.4 ,他能及格的概率_________(保留到小数点后两位小数)
接种某疫苗后,出反的概率0.80,有 5 人接种了疫苗,至
少有 3 人出反的概率.(精确到 0.01)
例题 : 从一批由 9 件正品, 3 件次品组成的产品中,有放回地抽取 5 次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率(结果保留 2 位有效数字).
练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ,有四台这种型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是()
A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728
练习 2. 设在 4 次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至少发生一次的概率等于65 ,求事件A在一次试验中发生的概率.
81
例题:某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每
位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的
概率都是1.若某人获得两个“支持”,则给予 10万元的创业资助;若只获2
得一个“支持”,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求:
⑴ 该公司的资助总额为零的概率;
⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.
练习 1. 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6 ,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200 元;若顾客采用分期付款,商场获
得利润 250 元.
⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
⑵求3位位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
练习 2. 某万国家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费1000元,便
可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为 1 ,若中奖,则家具城返还顾客
5
现金 200 元.某顾客消费了3400 元,得到3张奖券.
⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;
⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率.
例题:设飞机 A 有两个发动机,飞机 B 有四个发动机,如有半数或半数以
上的发动机没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率
p 是t的函数p 1 e t,其中t为发动机启动后所经历的时间,为正的常数,试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全?(这里不考虑其它故障).
练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P ,且各发动机
互不影响.如果至少 50% 的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行.问对于多大的 P 而言,四发动机飞机比二发动机飞机更安全?
练习 2. 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 1 .
3
⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数,求的分布列;
⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数,求的分布列;
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
二项分布的期望与方差
精选文库
例题 : 已知X ~ B(10,0.8),求E( X )与D ( X ).
练习 1. 已知X ~ B(n,p ),E( X )8 , D ( X ) 1.6 ,则 n 与p的值分别为()A.10和0.8 B .20和0.4C. 10 和 0.2D. 100和 0.8练习 2. 已知随机变量X服从参数为 6 ,0.4的二项分布,则它的期望E ( X ),方差 D( X ).
练习 3. 已知随机变量X服从二项分布,且E() 2.4 , D ( ) 1.44 ,则二项分布的参数 n ,p的值分别为,.
练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球,其中3个旧的,7个新的,每次取一球,
取后放回,取 4 次,则取到新球的个数的期望值是.
1 ,2,1.
例题:甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是
352
⑴现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率;
⑵用表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望.
练习 1. 抛掷两个骰子,当至少有一个 2 点或 3点出现时,就说这次试验成功.
⑴ 求一次试验中成功的概率;
⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差.
练习 2. 某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4% .问:寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少
应准备多少礼品?
四正态分布
知识内容
概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直
方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据
看作随机变量 X ,则这条曲线称为 X 的概率密度曲线.
曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是 1,而随机变量 X 落在指定的两个数 a,b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.
2.正态分布
⑴定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素
所引起的,而且每一个偶然因素在总体的变化中都只
是起着均匀、微小的作用,则表示这样的随机现象的
随机变量的概率分布近似服从正态分布.
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正
态变量.
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
1( x)
2
f (x) e 22, x R ,其中,是参数,且0 ,
2π
y
x= μ
O x
.
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为、标准差为的正态分布通常记作 N ( , 2 ) .
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.
⑵标准正态分布:我们把数学期望为 0 ,标准差为 1的正态分布叫做标准正
态分布.
①正态变量在区间(,) , ( 2 , 2 ) , ( 3 ,3) 内,取值的概率分别是 68.3% , 95.4% , 99.7% .
②正态变量在 ( ,) 内的取值的概率为 1 ,在区间( 3, 3 ) 之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内,这就是正态分布的 3 原则.
若 ~ N (,2 ) , f ( x) 为其概率密度函数,则称 F (x)P( ≤ x)x f (t )dt 为概率
,2x1t2
分布函数,特别的,( x) e 2 dt为标准正态分布函数.
~ N (0 1 ) ,称π
2
P(x) ( x
) .
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.
典例分析
(一)正态曲线(正态随机变量的概率密度曲线)
1. 下列函数是正态分布密度函数的是()
2
1( x r )
A. f ( x ) e 2
π
2
C.f ( x )1
( x 1) 2π
e4
22
2 πe x
2 B. f ( x )2
2 πD. f ( x )
1x 2
e 2
π
2
2. 若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2
(x R) ,下列判断正确的是()
π e
2
2
A.有最大值,也有最小值B.有最大值,但没最小值
C.有最大值,但没最大值D.无最大值和最小值
x2
3. 对于标准正态分布N 0,1的概率密度函数 f x1 e 2,下列说法不正确
2π
的是()
A.f x 为偶函数
B.f x 最大值为1
2 π
C.f x 在x 0时是单调减函数,在 x ≤ 0 时是单调增函数
D.f x 关于x1对称
4. 设的概率密度函数为 f ( x)1( x1) 2
2,则下列结论错误的是()
π
e
2
A.P(1)P(1)B.P( 1≤≤ 1) P(11)
C.f ( x)的渐近线是x 0D. 1 ~ N(0 ,1)
(二 ) 求,的取值以及概率
例题:设 X ~ N ( ,2 ) ,且总体密度曲线的函数表达式为:1x2 2 x 1
f (x) e 4,
2π
x R .
⑴求,;⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值.
练习 1. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分
布,其密度函数为 f ( x)1( x 80)2
200,则下列命题中不正确的是()
e
102
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C.分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D.该市这次考试的数学标准差为10
(三)正态分布的性质及概率计算
精选文库例题 : 设随机变量服从正态分布 N (0 ,1) ,a 0,则下列结论正确的个数是
____ .
⑴ P(| | a )P(| |a)P(|| a)
⑵ P(| | a )2P(a)1
⑶ P(| | a ) 1 2P(a)
⑷ P(| | a ) 1 P(| | a)
练习 1.已知随机变量 X 服从正态分布N (3,a2),则P( X 3)()
A.1B.1C.1D.1
5432
练习 2.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N 1,20,若 X 在0,1内取值的概率为0.4,则 X 在0,2内取值的概率为.
练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布N (2,2),P( X≤4)0.84 ,则 P( X ≤ 0) A.0.16B. 0.32 C .0.68D.0.84
练习 4.已知 X ~N(1,2 ) ,若 P( 3≤ X ≤ - 1)0.4 ,则 P( 3≤ X ≤ 1)()A.0.4B.0.8C.0.6D.无法计算
加强训练:
1 设随机变量服从正态分布N (2,9),若P (c2) P( c 2) ,则c_______.
2 设~ N (0 ,1) ,且 P(| | b ) a(0 a 1 ,b 0) ,则 P(≥ b)的值是_______(用a表示).
3 正态变量X ~ N(1,2),c为常数,c0 ,若P(c X 2c) P(2 c X 3c)0.
4 ,求P( X ≤ 0.5) 的值.
4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ,4) ,则不属于区间( 4 ,4) 这个尺寸范围的零件约占总数的.
(四)正态分布的数学期望及方差
例题 : 如果随机变量~ N (,2),E D1,求 P( 11) 的值.
( 五)正态分布的3原则
例题 : 灯泡厂生产的白炽灯寿命(单位:h),已知~ N (1000 ,302 ) ,要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为99.7% ,则灯泡的最低使用寿命应控制在
_____ 小时以上.
练习 1. 一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差
为4.4 小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少?
练习 2. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80 ,标准差为 10,理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______.
杂题(拓展相关:概率密度,分布函数及其他)
练习 3.以 F x 表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率,若随机变量
服从正态分布 N,2,则概率 P等于()
A.F F B. F 1 F1
1
C.F
D. 2F
练习 4. 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10 道题中,甲
能答对其中的 6 题,乙能答对其中的8 题.规定每次考试都从备选题中随
机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格.
⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差;
⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
课后练习
1、一个袋子里装有大小相同的3个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个数的数学期望是_________.(用数字作答)
2.、同时抛掷 4 枚均匀硬币 80 次,设 4 枚硬币正好出现 2 枚正面向上, 2 枚反面向上的次数为,则的数学期望是()
A.20B.25C.30D.40
3、某服务部门有n个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若
每个服务对象一天中需要服务的可能性是 p ,则该部门一天中平均需要服
务的对象个数是()
A.np(1p)B.np C. n D. p (1 p)
4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次,设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上, 2 枚反面向上的次数为,则的数学期望是()
A、20B. 25C. 30D. 40
5、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸
出 1个球,得到黑球的概率是 2 ;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白
5
球的概率是7.
9
⑴若袋中共有 10 个球,从袋中任意摸出 3 个球,求得到白球的个数的数学
期望;
⑵求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于7 .并
10
指出袋中哪种颜色的球个数最少.
5. 某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续
取出 2 件,求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率.
某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 5 和4,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株
65
大树中:
⑴至少有 1 株成活的概率;
⑵两种大树各成活 1 株的概率.
6.一个口袋中装有 n 个红球(n≥5且n N *)和5个白球,一次摸奖从中摸
两个球,两个球颜色不同则为中奖.
⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ;
⑵若 n 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;
⑶记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当n取多少时,P 最大?
7. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率
是1,从 B 中摸出一个红球的概率为p .
3
⑴从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.
①求恰好摸 5 次停止的概率;
②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布.⑵若 A ,
B 两个袋子中的球数之比为1: 2,将 A ,B 中的球装在一起后,从中摸出一个
红球的概率是2,求 p 的值.
5
8、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次,正面向上恰为 1次的可能性不为0 ,而且与正面向上恰为 2 次的概率相同.令既约分数i 为硬币在5次抛掷中有3
j
次正面向上的概率,求i j .
9、某气象站天气预报的准确率为80% ,计算(结果保留到小数点后面第2位)
⑴5 次预报中恰有2次准确的概率;
⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率;
⑶5 次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;
10、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20 层可以停靠.若该
电梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均
为1,求至少有两位乘客在20 层下的概率.
3
11、10 个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率.
12、已知甲投篮的命中率是0.9,乙投篮的命中率是0.8,两人每次投篮都不受影响,求投篮 3 次甲胜乙的概率.(保留两位有效数字)
13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5,求投篮n次甲胜乙的概率.( n N ,n ≥ 1 )
14、省工商局于某年3 月份,对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,
结果显示,某种刚进入市场的x 饮料的合格率为80% ,现有甲,乙,丙 3 人聚会,选用 6 瓶x饮料,并限定每人喝 2 瓶,求:
⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率;
⑵甲,乙,丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01).
15、在一次考试中出了六道是非题,正确的记“√”号,不正确的记“×”号.若某考生随手记上六个符号,试求:⑴全部是正确的概率;
⑵正确解答不少于 4 道的概率;
⑶至少答对 2 道题的概率.
17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛,校队的实力比系
队强,当一个校队队员与系队队员比赛时,校队队员获胜的概率为0.6 .现在校、系双方商量对抗赛的方式,提出了三种方案:
⑴双方各出 3人;
⑵双方各出 5 人;
⑶双方各出 7 人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:
对系队来说,哪一种方案最有利?
18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再
就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加
培训,已知参加过财会培训的有60% ,参加过计算机培训的有75% ,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.
⑴任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率;
⑵任选 3 名下岗人员,记为 3 人中参加过培训的人数,求的分布和期望.
19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5 ,购买乙种商品的概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布及期望.
20、某班级有n人,设一年365天中,恰有班上的m(m≤n)个人过生日的天数为 X ,求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.
21、购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保
常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算:()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度:()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。(参见P66~72) 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质: ⑴、是变量x ,y 的非降函数; ⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x ,y 有:(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续; ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立: 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为:2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布: 边缘概率密度: ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数: ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性:若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ,Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列:A;超几何分布:A;条件概率及相互独立事件:A; n次独立重复试验的模型及二项分布:B;离散型随机变量的均值与方差:B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一:基础知识 1. 随机变量: 1) 定义: _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法:。 2. 随机变量分布列的定义: 假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列,简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下: 4. 分布列的性质: 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ,则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为: 其中丨min{ M , n},且n N,M N,n,M,N N .称分布列
常见分布得期望与方差 ?概率与数理统计重点摘要 1、正态分布得计算:。 2、随机变量函数得概率密度:就是服从某种分布得随机变量,求得概率密度:。(参见P66~72) 3、分布函数具有以下基本性质: ⑴、就是变量x,y得非降函数; ⑵、,对于任意固定得x,y有:; ⑶、关于x右连续,关于y右连续; ⑷、对于任意得,有下述不等式成立: 4、一个重要得分布函数:得概率密度为: 5、二维随机变量得边缘分布: 边缘概率密度: 边缘分布函数:二维正态分布得边缘分布为一维正态分布、 6、随机变量得独立性:若则称随机变量X,Y相互独立、简称X与Y独立。 7、两个独立随机变量之与得概率密度:其中Z=X+Y
8、两个独立正态随机变量得线性组合仍服从正态分布,即。 9、期望得性质:……(3)、;(4)、若X,Y 相互独立,则。 10、方差: 。 若X,Y 不相关,则,否则, 11、协方差:,若X,Y 独立,则,此时称:X 与Y 不相关。 12、相关系数:,,当且仅当X 与Y存在线性关系时,且 13、k 阶原点矩:,k 阶中心矩:。 14、切比雪夫不等式:{} {}2 2 () () (),()1D X D X P X E X P X E X εεε ε -≥≤ -<≤- 或、贝努利大数定律:。 15、独立同分布序列得切比雪夫大数定律:因,所以。 16、独立同分布序列得中心极限定理: (1)、当n 充分大时,独立同分布得随机变量之与得分布近似于正态分布。 (2)、对于得平均值,有,,即独立同分布得随机变量得均值当n 充分大时,近似服从正态分布、 (3)、由上可知:{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞ <≤=Φ-Φ?<≤≈Φ-Φ。 17、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设m就是n次独立重复试验中事件A 发生得次数,p 就是事件A 发生得概率,则对任意, , 其中。 (1)、当n 充分大时,m 近似服从正态分布,。 (2)、当n充分大时,近似服从正态分布,。 18、参数得矩估计与似然估计:(参见P 200) 19 20、关于正态总值均值及方差得假设检验,参见P243与P 248。
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果,则X 的分布列满足二点分布. X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np . 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令10X ?=? ? ,针尖向上; ,针尖向下.,如果针尖向上的 概率为p ,试写出随机变量X 的概率分布. 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”,即???=,当取到红球时, ,当取到白球时, 01X ,求随机变量X 的概率分布. 3、若随机变量X 的概率分布如下: X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ,并写出X 的分布列. 3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列. 4、篮球运动员比赛投篮,命中得1分,不中得0分,已知运动员甲投篮命中率的概率为P . ⑴ 记投篮1次得分X ,求方差()D X 的最大值; ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时,甲投3次篮,求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差. 二 超几何分布
概率分布以及期望和方差 上课时间 : 上课教师: 上课重点 : 掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布 及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一两点分布 知识内容 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X10 P p q 其中 0 p 1 , q 1 p ,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为 1,不合格记为 0 ,已知产品的合格率为 80% ,随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果,则 X 的分布列满足二点分布. X 10 P 0.80.2 两点分布又称 0 1分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试 验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在 n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np . 典例分析 ,针尖向上; 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令X1,如果针尖向上的 ,针尖向下 . 概率为 p ,试写出随机变量 X 的概率分布. 2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的
,当取到白球时, 白球个数”,即 X ,当取到红球时, ,求随机变量 X 的概率分布. 3、若随机变量 X 的概率分布如下: X 1 P 2 3 8C 9C C 试求出 C ,并写出 X 的分布列. 3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 ) 试写出随机变量 的分布列. 4、篮球运动员比赛投篮,命中得 1 分,不中得 0 分,已知运动员甲投篮命 中率的概率为 P . ⑴ 记投篮 1次得分 X ,求方差 D ( X ) 的最大值; ⑵ 当⑴中 D ( X ) 取最大值时,甲投 3 次篮,求所得总分 Y 的分布列及 Y 的期望与方差. 二 超几何分布
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5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算:()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度:()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。(参见P66~72) 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质: ⑴、是变量x ,y 的非降函数; ⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x ,y 有:(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续; ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立: 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为:2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布: 边缘概率密度: ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数: ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
第10章 第9节 一、选择题 1.(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( ) A .100 B .200 C .300 D .400 [答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”,则ξ~B (1 000,0.1),所以E (ξ)=1 000×0.1=100,而X =2ξ,故E (X )=E (2ξ)=2E (ξ)=200,故选B. 2.设随机变量ξ的分布列如下: 其中a ,b ,c 成等差数列,若E (ξ)=1 3,则D (ξ)=( ) A.49 B .-19 C.23 D.59 [答案] D [解析] 由条件a ,b ,c 成等差数列知,2b =a +c ,由分布列的性质知a +b +c =1,又E (ξ)=-a +c =13,解得a =16,b =13,c =12,∴D (ξ)=16×????-1-132+13????0-132+12????1-132=5 9 . 3.某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测,经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302),若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107,则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( ) A .100人 B .125人 C .150人
[答案] C [解析] 由条件知,P (ξ>620)=P (ξ<280)=0.107,1400×0.107≈150. 4.(2010·山东济南模拟)下列判断错误的是( ) A .在1000个有机会中奖的号码(编号为000~999)中,有关部门按照随机抽取的方式确定后两位数字是09号码为中奖号码,这是用系统抽样方法确定中奖号码的; B .某单位有160名职工,其中业务人员120名,管理人员24名,后勤人员16名.要从中抽取容量为20的要本,用分层抽样的方法抽取样本; C .在正常条件下电子管的使用寿命、零件的尺寸,在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积的产量等一般都服从正态分布; D .抛掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5,则某人抛掷10次硬币,一定有5次出现“正面向上”. [答案] D 5.(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为6 7 ( ) A .3 B .4 C .5 D .2 [答案] A [解析] 设白球x 个,则黑球7-x 个,取出的2个球中所含白球个数为ξ,则ξ取值0,1,2, P (ξ=0)=C 7-x 2 C 72=(7-x )(6-x )42, P (ξ=1)=x ·(7-x )C 72=x (7-x ) 21, P (ξ=2)=C x 2C 72=x (x -1) 42, ∴0× (7-x )(6-x )42+1×x (7-x )21+2×x (x -1)42=6 7 , ∴x =3. 6.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获利50元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利( ) A .39元 B .37元
概率与统计 知识点一:常见的概率类型与概率计算公式; 类型一:古典概型; 1、 古典概型的基本特点: (1) 基本事件数有限多个; (2) 每个基本事件之间互斥且等可能; 2、 概率计算公式: A 事件发生的概率()A P A = 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数 ; 类型二:几何概型; 1、 几何概型的基本特点: (1) 基本事件数有无限多个; (2) 每个基本事件之间互斥且等可能; 2、 概率计算公式: A 事件发生的概率()A P A = 构成事件的区域长度(或面积或体积或角度) 总的区域长度(或面积或体积或角度) ; 注意: (1) 究竟是长度比还是面积比还是体积比,关键是看表达该概率问题需要几个变量,如 果需要一个变量,则应该是长度比或者角度比;若需要两个变量则应该是面积比;当然如果是必须要三个变量则必为体积比; (2) 如果是用一个变量,到底是角度问题还是长度问题,关键是看谁是变化的主体,哪 一个是等可能的; 例如:等腰ABC ?中,角C= 23 π ,则: (1) 若点M 是线段AB 上一点,求使得AM AC ≤的概率; (2) 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转,且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ,求 使得AM AC ≤的概率; 解析:第一问中明确M 为AB 上动点,即点M 是在AB 上均匀分布,所以这一问应该是长度 之比,所求概率: 13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动,所以角度的变化是均匀的,所以这一问应该是角度之比的问题,所以所求的概率:2755 = =1208 P ?; 知识点二:常见的概率计算性质; 类型一:事件间的关系与运算; A+B (和事件):表示A 、B 两个事件至少有一个发生; A B ?(积事件) :表示A 、B 两个事件同时发生; A (对立事件) :表示事件A 的对立事件;
常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算:()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度:()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。(参见P66~72) 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质: ⑴、是变量x ,y 的非降函数; ⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x ,y 有:(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续; ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立: 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为:22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布: 边缘概率密度:()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数:()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性:若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ,Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
离散型随机变量的数学期望和方差 知识点 一、离散型随机变量的数学期望 1.定义 一般地,如果离散型随机变量的分布列为 则称n n i i p x p x p x p x X E +++++=ΛΛ2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。 2.意义:反映离散型随机变量取值的平均水平。 3.性质:若X 是随机变量,b aX Y +=,其中b a ,是实数,则Y 也是随机变量,且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义 一般地,如果离散型随机变量的分布列为 则称∑=-= n i i i p X E x X D 1 2 )) (()(为随机变量的方差。 2.意义:反映离散型随机变量偏离均值的程度。 3.性质:)()(2 X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差 如果),(~p n B X ,则np X E =)(,)1()(p np X D -=。
题型一离散型随机变量的均值 【例1】设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a-b=() A.0.2 C.-0.2 D.0.4 【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子,则所得点数ξ的数学期望为() A.0.6 B.1 C.3.5 D.2 【例3】某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________. 【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差 1.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答对的概率都为,则该学生 在面试时得分的期望值为分. 2.随机变量ξ服从二项分 布ξ~B( n, p),且 Eξ =300, Dξ =200,则 P 等于. 3.设随机变量 X~ B( 6,),则 P( X=3) = . 4.口袋中装有大小质地都相同、编号为1, 2, 3,4, 5, 6 的球各一只.现从中一次性随 机地取出两个球,设取出的两球中较小的编号为X,则随机变量X 的数学期望是.5.随机变量ξ的分布列如下: ξ﹣1 0 1 P a b c 其中 a,b, c 成等差数列,若.则 Dξ的值是. 6.已知某随机变量ξ的概率分布列如表,其中x> 0, y>0,随机变量ξ的方差 Dξ=,则 x+y= . ξ 1 2 3 P X y x 7.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得3 分,设得分为随机变量ξ,则 P(ξ≤ 7) = . 8.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个球,则其中含红球个数的数学期望是. 9.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲 袋装有 4 个红球、 2 个白球,乙袋装有 1 个红球、 5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机 抽取 1 个球,记抽取到红球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望 Eξ= . 10.有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红球和 5 个黄球,一次摸出 5 个,若颜色相同则得 100 分,若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得50 分,其他情况不得分.小张摸一次得 分的期望是分. 11.为参加 2012 年伦敦奥运会,某旅游公司为三个旅游团提供了a, b,c, d 四条旅游线路,每个旅游团可任选其中一条线路,则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= .12.随机变量 X 的分布列如下:若,则 DX 的值是. X ﹣ 1 0 1 P a c
常见分布的期望和方差 5
5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算:()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度:()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。(参见P66~72) 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质: ⑴、是变量x ,y 的非降函数; ⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x ,y 有:(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续; ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立: 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为:2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布: 边缘概率密度: ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数: ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
圆梦教育离散型随机变量的分布列、期望、方差专题 姓名:__________班级:__________学号:__________ 1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为,,,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望. 2.已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的. (1) 第一小组做了三次实验,求实验成功的平均次数; (2) 第二小组连续进行实验,求实验首次成功时所需的实验次数的期望; (3)两个小组分别进行2次试验,求至少有2次实验成功的概率. 3.一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其中出现“○”的概率为,出现“×”的概率为.若第次出现“○”,则a=1;出现“×”,则a=.令S=a+a+…+a. (1)当时,求S2的概率;(2)当,时,求S=2且S≥0(i=1,2,3,4)的概率.
4.在一个有奖问答的电视节目中,参赛选手顺序回答三个问题,答对各个问题所获奖金(单位:元)对应如下表: 当一个问题回答正确后,选手可选择继续回答下一个问题,也可选择放弃.若选择放弃,选手将获得答对问题的累计奖金,答题结束;若有任何一个问题回答错误,则全部奖金归零,答题结束.设一名选手能正确回答的概率分别为,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率均为,且各个问题回答正确与否互不影响. (Ⅰ)按照答题规则,求该选手回答正确但所得奖金为零的概率; (Ⅱ)设该选手所获奖金总数为,求的分布列与数学期望. 5.某装置由两套系统M,N组成,只要有一套系统工作正常,该装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块T1,T2,T3组成(如图所示已知T1,T2,T3正常工作的概率都是,且T1,T2,T3能否正常工作相互独立.(注:对每一套系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.) (I )分别求系统M,N正常工作的概率; (II)设该装I中两套系统正常工作的套数为,求的分布列和期望.
1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X. (1)求随机变量X 的分布列; (2)求随机变量X 的数学期望和方差. 解 (1)P (X=0)= 33 A 2= 3 1 ; P (X=1)= 33 13A C = 21;P (X=3)=33 A 1 =61; ∴随机变量X 的分布列为 (2)E (X )=1×21+3×6 1 =1. D (X )=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求: (1)X 的分布列; (2)X 的均值. 解 (1)X 的所有可能取值为0,10,20,50,60. P (X=0)=3 109?? ? ??=0001729; P (X=10)=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P(X=20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P(X=50)=109 ×210 1=00019; P(X=60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为
(2)E (X )=0× 0001729+10×0001243+20×000 118+50×00019+60×00011 =3.3(元). 3(本小题满分13分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y 的含 (1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175,且y ≥75时,该产品为优 等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产 品中优等品数ξ的分布列极其均值(即数学期望)。 解:(1) 98 7,573514 =?=,即乙厂生产的产品数量为35件。 (2)易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的 优等品2,5 故乙厂生产有大约2 35145 ? =(件)优等品, (3)ξ的取值为0, 1,2。 211 23323222 555331 (0),(1),(2)10510 C C C C P P P C C C ξξξ?========= 所以ξ的分布列为
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差 一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2 N ,求(1))8.56.1(<≤-X P ;(2))56.4(≥X P . 解:(1))4.22 1 3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤ -=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2))78.12 1 78.2(1)56.4(1)56.4(<-< --=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=-- 二、已知某种机械零件的直径X (mm )服从正态分布)6.0,100(2 N .规定直径在2.1100±(mm ) 之间为合格品,求这种机械零件的不合格品率. 解:设p 表示这种机械零件的不合格品率,则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p . 而)26 .0100 2()6.02.16.01006.02.1( )2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-?= 故0456.09544.01=-=p . 三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度 3200 )20(22401)(-- = x e x f π 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率. 解:三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为 }30{}30{}30{>?>?>=ξξξD 第三次第二次第一次 因为)40,20(~2 N ξ,所以由事件的相互独立性,有 31 ,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有 86975.013025.01)(1}30{=-=-= 概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X的分布列为 X 10 P p q 其中01 p <<,1 q p =-,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果,则X 的分布列满足二点分布. X 10 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X的期望取值为p,在n次二点分布试验中,离散型随机变量X的期望取值为np. 知识内容 典例分析 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令10X ?=? ?,针尖向上; ,针尖向下. ,如果针尖向上的 概率为p ,试写出随机变量X 的概率分布. 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的白球个数”,即???=,当取到红球时, ,当取到白球时, 01X ,求随机变量X 的概率分布. 3、若随机变量X 的概率分布如下: X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ,并写出X 的分布列. 3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列. 4、篮球运动员比赛投篮,命中得1分,不中得0分,已知运动员甲投篮命 2021年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差测理 一、填空题:请把答案直接填写在答题卡相应的位置 ........上(共10题,每小题6分,共计60分).1. 已知离散型随机变量X的分布列为 则X的数学期望E(X)= . 【答案】 【解析】 3313 123 510102 EX=?+?+?=. 2. 设随机变量的分布列如表所示,且EX=1.6,则a×b= . X0 1 2 3 P0.1 a b 0.1 【答案】0.15 3. 随机变量X的分布列如下: X-1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,若EX=,则DX的值是. 【答案】 4.若随机变量X ~B (100,p ),X 的数学期望EX =24,则p 的值是 . 【答案】 【解析】∵X ~B (100,p ),∴EX =100p . 又∵EX =24,∴24=100p ,p ==. 5. 若ξ~B (n ,p )且E (ξ)=6,D (ξ)=3,则P (ξ=1)的值为 . 【答案】3·2 -10 【解析】E (ξ)=np =6,D (ξ)=np (1-p )=3?p =12,n =12,P (ξ=1)=C 112? ????1212 =32 10. 6. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为 . 【答案】1.2 【解析】∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布,即X ~B (3,0.4),∴E (X )=3×0.4=1.2. 7. 利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是 . 自然状况 方案 盈利 概率 A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 0.25 50 70 -20 98 S 2 0.30 65 26 52 82 S 3 0.45 26 16 78 -10 【答案】A 3 【解析】方案A 1,A 2,A 3,A 4盈利的期望分别是: A 1:50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7; A 2:70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5; 概率分布期望方差总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2 3 1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X . (1)求随机变量X 的分布列; (2)求随机变量X 的数学期望和方差. 解 (1)P (X =0)= 33 A 2= 3 1 ; P (X =1)= 33 13A C = 21;P (X =3)=33 A 1 =61; ∴随机变量X 的分布列为 X 0 1 3 P 3 1 2 1 6 1 (2)E (X )=1×21+3×6 1 =1. D (X )=(1-0)2 · 31+(1-1)2·21+(3-1)2 ·6 1=1. 2 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求: (1)X 的分布列; (2)X 的均值. 解 (1)X 的所有可能取值为0,10,20,50,60. P (X =0)=3 109?? ? ??=0001729; P (X =10)=101×2 109??? ??+10 9×12C × 101×109=0001243; P (X =20)= 101×12C × 10 1×109=000118; P (X =50)=109 ×210 1=00019; P (X =60)= 3 101 = 000 11 . 故X 的分布列为 1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1, 2 , 3的三个座位,每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生的个数是 X. (1) 求随机变量X 的分布列; (2) 求随机变量X 的数学期望和方差. 解(1)P ( X=0)= _L =1 - A 33 ; P ( X=1)=-C3 = 1 ; P ( X=3)= 2 =丄; A 3 2 A 3 6 (2) E (X ) =1 X 丄 +3 X 丄=1. 2 6 D (X ) =(1-0) 2 1 +(1-1) 2 丄+(3-1) 2 1 =1. 3 2 6 2某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次 随机地摸岀一个球,记下颜色后放回,摸岀一个红球可获得奖金 10元;摸岀两个红 球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次,令X 表示 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求: (1 ) X 的分布列; (2) X 的均值. 解 (1 ) X 的所有可能取值为0,10,20,50,60. 9 1 9 P(X=50)= X =- 10 102 1 000 1 1 P(X=60)= 3 = . ' 103 1 000 故X 的分布列为 P (X=0 ) @ 1 = 729 10 = 1 000 P ( X=10)」X 「2 X C 2 X 丄 10 〔0 丿 10 10 9 X 一 = 243 1 000 P(X=20)= 丄 X C 2 X 丄 X ?= 10 10 10 18 1 000 729 243 18 9 (2 ) E ( X ) =0 X +10 X -243+20 X 18+50 X — +60 X 1 000 1 000 1 000 1 000 1 =3.3(兀). 1 000 ' ' 3 (本小题满分13分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含 (1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x》175 ,且y》75时,该产品为优等 品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值(即数学期望)。 & 98 解:(1)7,5 7=35,即乙厂生产的产品数量为35件。 14 (2)易见只有编号为 2 , 5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中概率分布以及期望和方差
2021-2022年高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差测理
概率分布期望方差总结
概率分布期望方差汇总