第三章习题详解
1． 沿下列路线计算积分
?
+i
dz z 30
2。
1) 自原点至i +3的直线段；
解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3
()()()??
+=??????+=+=+1
3
1
0332330
233
13313i t i dt t i dz z i
2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；
解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =
33
033
2
3
2
33
131=???
???==
?
?
t dt t dz z
连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =
()()()33
1
031
02
33
233133
13313-+=??????+=+=??
+i it idt it dz z i
()()()3
3331
02
3
0230233
133********i i idt it dt t dz z i
+=-++=
++=
∴???
+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =
()()31
031
2
02
3
131i it idt it dz z i
=??????==??
连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =
()()()33
1
031
02323113
131i i i t dt i t dz z i
i
-+=??????+=+=??
+
()()3
333320
230
213
13113131i i i i dz z dz z dz z i
i
i
i
+=-++=
+=
∴?
?
?
++ 2． 分别沿x y =与2
x y =算出积分
()?++i
dz iy x
10
2
的值。
解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2
2
()dx i dz +=∴1
()()()()()???
??++=?????
???? ??++=++=+∴
??
+i i x i x i dx ix x i dz iy x i
213112131111
0231
0210
2 2
x y =Θ ()2
2
2
2
1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴
()()()()()?
????
??++=?????
???? ??++=++=+∴
+1
1
043210
2
2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x
i
而()i i i i i 656121213
1
3121311+-=-++=???
??++
3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问()[]0=?
C
dz z f Re ，
()[]0=?C
dz z f Im 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如：()z z f =，?
i e z C =：，π?<≤0
()[]()i i d dz z f C
π???π
=+=?
?sin cos cos Re 20
()[]()π???π
-=+=
?
?sin cos sin Im i d dz z f C
20
4． 利用在单位圆上z z 1
=
的性质，及柯西积分公式说明i dz z C
π2=?，其中C 为正向单位圆周1=z 。 解：01
1-==
z z z Θ ()i f dz z dz z C
C
ππ2020
1
==-=∴?
? 5． 计算积分
?
C
dz z
z
的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；
解：在2=z 上，?
i e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i C
π??π
ππ??
42222
2202020====???
-
2) 4=z
解：在4=z 上，?
i e z 4=
()[]i i id e d e dz z z i i C
π??πππ?
?84444
4202020====???
-
6． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向的圆周1=z 。
1)
?
-C
z dz
2
解：()21
-=
z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-?C
z dz 2)
?
++C
z z dz
4
22
解：()()2221421+=++=
z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0422=++?C
z z dz
3)
?C
z dz
cos 解：()z z f cos 1
=
在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?C
z dz cos 4)
?
-C
z dz 2
1
解：()1=z f 在C 内解析，210=
z 在C 内，i if z dz C ππ22122
1=???
??=-? 5)
?C
z
dz ze
解：()z
ze z f =在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=?
C
z
dz ze
6)
()
?+??? ?
?-C
z i z dz
22 解：()()21+=
z z f 在C 内解析，20i
z =在C 内，()22122222i i
i if z i z dz C +=???
??=+??
? ??-
?ππ 7． 沿指定曲线的正向计算下列各积分： 1)
?
-C
z
dz z e 2
，C ：12=-z 解：2=z 在C 内，()z
e z
f =在C 解析，根据柯西积分公式：222ie dz z e C
z
π=-?
2)
?
-C
a
z dz
2
2，C ：a a z =- 解：a z =在C 内，()a z z f +=
1
在C 解析，根据柯西积分公式：i dz a z a
z a z dz C
C
π=-+=-?
?2
22
2
1
3)
?
+C
iz
dz
z e 1
2，C ：232=-i z 解：i z =在C 内，()i z e z f iz +=在C 解析，根据柯西积分公式：?
?=-+=
+C
iz
C iz
e
dz i z i z e dz z e π1
2
4)
?
-C
dz z z
3
，C ：2=z 解：3=z 不在C 内，()3-=
z z
z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=-?C
dz z z 5)
()()?--C z z dz
1
132，C ：1<=r z 解：()()()111
32--=z z z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：()()01132=--?C
z z dz 6)
?C
zdz z
cos 3
，C ：为包围0=z 的闭曲线
解：()z z z f cos 3
=在C 解析，根据柯西—古萨定理：03
=?
C
zdz z cos
7)
()()?++C
z z dz 4122，C ：23
=z 解：i z =在C 内，()()()41
2++=
z i z z f 在C 解析，根据柯西积分公式：()()?++C z z dz 4
122 8)
?C
dz z z
sin ，C ：1=z 解：0=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据柯西积分公式：
002==?sin sin i dz z z
C
π 9)
??
??
?
?
-C
dz z z
2
2πsin ，C ：2=z
解：2
π=
z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据高阶导数公式：
02
222
==?
??
?
?
-?π
ππ'
sin sin i dz z z
C
10) ?C z
dz z
e 5，C ：1=z
解：0=z 在C 内，()z
e z
f =在C 解析，根据高阶导数公式：()()!!4204245i
f i dz z e C
z ππ=
=? 8． 计算下列各题： 1)
?-i
i
z
dz e
ππ32
解：()02
121263232=-=??????=---?i i i
i z i
i
z
e e e dz e ππππππ
2)
?06
3i
zdz ch π
；
解：3203133130
6
6
i i sh z sh zdz ch i i -=??? ??-=???
???=?πππ
3)
?-i
i
zdz ππ2
sin
；
解：πππππππππ222412212212
sh i i z i dz z zdz i
i
i
i i
i -=??????-?=-=---??sin cos sin
4)
?
1
zdz z sin ；
解：[]???
+-=+-=-=1
1
1
1
11sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z
5)
()?--i
z
dz e i z 0
； 解：
()()()[
]()i i i i
z
i
z
i
z i
z ie e e i dz e
e i z de i z dz e i z -------=--=+--=--=-???10
00
6)
?+i
dz z tgz
121cos （沿1到i 的直线段）
。 解：()1211212111221
2112tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz z tgz i
i i
--+=??????
+=+=+??cos 9． 计算下列积分： 1)
???? ?
?+++C dz i z z 2314
，（其中C ：4=z 为正向）； 解：()i i dz i z dz z dz i z z C
C
C ππ1434223
142314=+=+++=???
?
?+++??
? 2)
?
+C
dz z i
1
22，（其中C ：61=-z 为正向）； 解：()()()()()()022*******=???
? ??
-++=-+++-=-+=+-==????i z i z C C
C C i z i i z i i dz i z i z i
dz i z i z i
dz i z i z i
dz z i π 3)
?+=2
13C C C dz z z
cos ，（其中1C ：2=z 为正向，2C ：3=z 为负向）； 解：()3z z z f cos =
在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213=?+=C C C dz z
z cos
4)
?
-C
i z dz ，C ：1=z （其中C 为以2
1±，i 56
±为顶点的正向菱形）； 解：在所给区域内，()i z z f -=
1
有一孤立奇点，由柯西积分公式：i i z dz C
π2=-? 5) ()
?-C z
dz a z e 3
，（其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z 为正向）。 解：当a z ≥，()()3a z e z f z -=在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：()03
=-?C z
dz a z e 当a z ≤，()z
e z
f =在所给区域内解析，根据高阶导数公式：()
i e e i dz a z e a a
C z ππ==-?!223
10． 证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，
01
2
=?
C
dz z 。 证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：
01
2
=?
C
dz z ； 当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：
()00212
==?
'
if dz z
C
π； 11． 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1)
?=2z dz z z
2)
?=4
z dz z z 解：1）022220
2
==?
?-=π
??
?
?d ie e
e dz z z
i i i z ； 2）044420
4
==?
?-=π
??
?
?d ie e
e dz z z i i i z 由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为()z
z z f =在复平面上处处不解析。
12． 设区域D 为右半平面，z 为D 内圆周1=z 上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与
z ，证明41102
π
ζζ=??
????+?z d Re 。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周1=z 到z 的曲线作为C 。
证明：因为()2
11ζζ+=f 在D 内解析，故积分?+z d 0211
ζζ与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从1
沿圆周1=z 到z 的曲线作为C ，则：
????
++=+++=+?????
??ζζ
0210021
020
2
1111111
d e ie arctgx de e dx x d i i i i z
??
+=++=
-??
????π
?π
00
2414
d i d
e e i i i sec 4
1102πζζ=??????+∴?z d Re 13． 设1C 和2C 为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为1B 与2B 。1B 与2B 的公共
部分为B 。如果()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，证明：()()??
=
2
1
C C dz z f dz z f 。
证明：如图所示，()z f 在B B -1与B B -2内解析，在1C 、2C 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：
()01=?N
NOMP dz z f ()02=?M
MRNP dz z f ?()()??=M
MRNP N
NOMP dz z f dz z f 21
()()()()????+=+∴
M
NP MRN
N
MP NOM
dz z f dz z f dz z f dz z f 21
?
()()()()????-=-N
MP MRN
M
NP NOM
dz z f dz z f dz z f dz z f 12
?
()()()()????+=+M
NP MRN
N
MP NOM
dz z f dz z f dz z f dz z f 12 ? ()()??=1
2
C C dz z f dz z f
14． 设C 为不经过α与α-的正向简单闭曲线，α为不等于零的任何复数，试就α与α-跟C 的不同位
置，计算积分
?
-C
dz z z
2
2α
的值。 解：分四种情况讨论：
1） 如果α与α-都在C 的外部，则()2
2α-=
z z
z f 在C 内解析，柯西—古萨基本定理有
02
2=-?
C
dz z z
α
2） 如果α与α-都在C 的内部，由柯西积分公式有
()()()()i i dz z z z
dz z z z
dz z z
C
C
C
πααααααπααααα222
2=??? ??++---=-+++-=-???
3） 如果α在C 的内部，α-都在C 的外部，则()α
+=
z z
z f 在C 内解析，由柯西积分公式有
()()i i dz z z z
dz z z
C
C
πα
ααπααα=+=-+=-??
22
2
4） 如果α在C 的外部，α-都在C 的内部，则()α
-=
z z
z f 在C 内解析，由柯西积分公式有 ()()i i dz z z z
dz z z
C
C
πα
ααπααα=---=+-=-??
22
2
15． 设1C 与2C 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明
???=????????-+-??内时。
在，当内时，
在，当200102
00022121C z z C z z dz z z z dz z z z i C C sin sin π 证明：因为1C 与2C 为两条互不包含，也不相交，故1C 与2C 只有相离的
位置关系，如图所所示。 1） 当0z 在1C 内时，()0
z z z
z f -=
sin 在2C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式： [
]
2
020020221
210
21z iz i
dz z z z dz z z z i z z C C =+=????????-+-=??πππsin
2） 当0z 在2C 内时，()0
2
z z z z f -=在1C 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
[]
00020
212021
21z z i i dz z z z dz z z z i z z C C sin sin sin =+=???
?????-+-=??πππ ???=????????-+-∴??内时。
在，当内时，在，当200102
00022121C z z C z z dz z z z dz z z z i C C sin sin π 16． 设函数()z f 在10< 必需在0=z 处解析？试举例说明之。 解：不一定。例如：()21 z z f = 在0=z 处不解析，但01 12=?<=r z dz z 。 17． 设()z f 与()z g 在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D 。如果 ()()z g z f =在C 上所有的点处成立，试证在C 内所有的点处()()z g z f =也成立。 证明：设z 是C 内任意一点，因为()z f 与()z g 在C 及C 内解析，由柯西积分公式有： ()()?-= C d z f i z f ζζζπ21，()()?-=C d z g i z g ζζζπ21 又()()ζζg f =在C 上所有的点处成立，故有：()()??-=-C C d z g d z f ζζζζζζ 即()()z g z f =在C 内所有的点处成立。 18． 设区域D 是圆环域，()z f 在D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周1K 与2K ，2K 包含1K ，0 z 为1K ，2K 之间任一点，试证()14.3仍成立，但C 要换成21K K +- 。 证明： 19． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线。问积分 ()() ? C dz z f z f '是 否等于零？为什么？ 解：因为()z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，又解析函数()z f 的导数()z f ' 仍然是解析函数，故 ()()z f z f '在B 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有()()0=?C dz z f z f ' 20． 试说明柯西—古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？ 解：如C 不是简单闭曲线，将C 分为几个简单闭曲线的和。如21C C C +=，则1C ，2C 是简单闭曲线。 ()()()0002 1 =+=+=???C C C dz z f dz z f dz z f 21． 设()z f 在区域D 内解析，C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D 内但不在C 上的任 意一点0z ，等式()()() ??-=-C C dz z z z f dz z z z f 2 00'成立。 证明：分两种情况： 1） 如果0z 在C 的外部，()0z z z f -'和()0z z z f -在C 内解析，故()()() 02 00=-=-??C C dz z z z f dz z z z f ' 2） 如果0z 在C 的内部，在C 内解析的函数()z f ，其导函数()z f ' 仍是C 内的解析函数，根据柯 西积分公式有：()()()00 220z if z if dz z z z f z z C '''ππ==-=? 由高阶导数公式有： ()() ()()020220 z if z if dz z z z f z z C ' 'ππ==-=? ()()() ??-=-∴C C dz z z z f dz z z z f 200' 22． 如果()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而x y s ψ?-=， y x t ψ?+=，那末it s +是iy x +的解析函数。 证明：x y s ψ?-=Θ xx yx x s ψ?-=??∴ ，xy yy y s ψ?-=?? y x t ψ?-=Θ yx xx x t ψ?+=??∴ ，yy xy y t ψ?+=?? 又()y x ,?和()y x ,ψ都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即xy yx ??=，yx xy ψ ψ=。 ()y x ,?和()y x ,ψ满足拉普拉斯方程：0=+yy xx ??，0=+yy xx ψψ y t x s xx yx ??=-=??∴ ψ?，x t y s xy yy ??-=-=??ψ? 故it s +是iy x +的解析函数。 23． 设u 为区域D 内的调和函数及y u i x u f ??-??= ，问f 是不是D 内的解析函数？为什么？ 解：设it s f +=，则x u s ??= ，y u t ??-= 22x u x u x x s ??=??? ??????=??，x y u x u y y s ???=??? ??????=??2 y x u y u x x t ???-=???? ????-??=??2，22y u y u y y t ??-=??? ? ????-??=?? 因为u 为区域D 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程 y t x s ??=??∴ ，x t y s ??-=?? ? f 是D 内的解析函数。 24． 函数y x v +=是y x v +=的共轭调和函数吗？为什么？ 解：1=??x u Θ ，1=??y u ，1=??x v ，1=??y v y v x u ??=??∴，x v y u ??-≠?? 故函数y x v +=不是y x v +=的共轭调和函数。 25． 设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那末u 也是v 的共轭调和函数。这句话对吗？ 为什么？ 解：这句话不对。 如果v 是u 的共轭调和函数，则()iv u z f +=是解析函数，满足柯西—黎曼方程： y v x u ??=??，x v y u ??-=?? ? ()y u y u x v ?-?=??-=??，()x u x u y v ?-?-=??=?? 即u -是v 的共轭调和函数，u 就不是v 的共轭调和函数。 26． 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。 证明： 27． 如果()iv u z f +=是一解析函数，试证： 1) ()z f i 也是解析函数； 证明： 2) u -是v 的共轭调和函数； 证明： 3) ()()()() 2 222 2 22 2 244z f v u y z f x z f x x ' =+=??+ ??。 证明： 28． 证明；2 2 y x u -=和2 2y x y v += 都是调和函数，但是iv u +不是解析函数。 证明 29． 求具有下列形式的所有调和函数u ： 1) ()by ax f u +=，a 与b 为常数； 解： 2) ?? ? ??=x y f u 。[提示：1)l 令by ax t +=，因0=+yy xx u u ，从而有()0=t f " ；2)令x y t =。] 解： 30． 由下列各已知调和函数求解析函数()iv u z f +=。 1) ()( )2 2 4y xy x y x u ++-=； 解： 2) 2 2y x y v +=，()02=f ； 解： 3) ()y x u 12-=，()i f -=2； 解： 4) x y arctg v =，0>x 。 解： 31． 设y e v px sin =，求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数()iv u z f +=。 解： 32． 如果()y x u ,是区域D 内的调和函数，C 为D 内以0z 为中心的任何一个正向圆周：r z z =-0，它 的内部全含于D 。试证：[提示：利用平均值公式()353..。] 1) () y x u ,在 () 00y x ,的值等于 ()y x u ,在圆周C 上的平均值，即 ()()? ++= π ???π 20 000021d r y r x u y x u sin ,cos ,； 证明： 2) ()y x u ,在 () 00y x ,的值等于()y x u ,，在圆域00r z z ≤-上的平均值，即 ()()?? ++=0 20 002 001 r dr rd r y r x u r y x u π ???πsin ,cos ,。 证明： 33． 如果()iv u z f +=在区域D 内处处解析，C 为D 的正向圆周：R z =，它的内部全含于D 。设z 为 C 内一点，并令z R z 2=~，试证()()02=-=-??C C d R z f z d z f ζζζζζζ~。 证明： 34． 根 据柯西积分公式与习题33的结果，证明 ()()( ) ()()( ) ??---=??????-+-=C C d z R z f z z R i d f z R z z i z f ζζζζπζζζζπ2 2221121，其中C 为R z =。 证明： 35． 如果令? ζi Re =，?i re z =，验证 ()()()() ()222 2r Rr R id z z d z R z d +--=--=--κ??ζζ ζ ζζζcos 。并由34题的结果，证明()()()()? +---= π ??κ?π20 2 222 221 d r Rr R f r R z f i cos Re 。取其实部，得 ()()()()()? +---= =π ?κ???π ??20 2222 221 d r Rr R r r u r R r r u y x u cos sin ,cos sin ,cos ,。这个积分称为泊松积分。通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。 证明： 36． 设()z f 在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数，n 为正整数 1) 试用柯西积分公式证明：()[]()[]?-=C n n d z f i z f ζζζπ21。 证明： 2) 设M 为()ζf 在C 上的最大值，L 为C 的长，d 为z 到C 的最短距离，试用积分估值公式()1013..于1)中的等式，证明不等式：()n d L M z f 12?? ? ??≤π。 证明： 3) 令+∞→n ，对2)中的不等式取极限，证明：()M z f ≤，这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明： 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos 0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay 复变函数练习题第三章复变函数得积分 系专业班姓名学号 §1 复变函数积分得概念§4原函数与不定积分 一.选择题 1.设为从原点沿至得弧段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 2、设就是,从1到2得线段,则[ ] (A) (B) (C) (D) 3.设就是从到得直线段,则[ ] (A) (B)(C)(D) 4.设在复平面处处解析且,则积分[ ] (A) (B) (C) (D)不能确定 二.填空题 1．设为沿原点到点得直线段,则 2 。 2．设为正向圆周,则 三.解答题 1.计算下列积分。 (1) (2) (3) (4) 2.计算积分得值,其中为正向圆周: (1) (2) 3.分别沿与算出积分得值。 解:(1)沿y=x得积分曲线方程为 则原积分 (2)沿得积分曲线方程为 则原积分 1 20 1 1 3224300 [()](12)3112 [32(1)][()]2.2233I i t it it dt t t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+?? 4.计算下列积分 (1) ,C:从到得直线段; C 得方程: 则原积分 (2) ,C:上沿正向从1到。 C 得方程: 则原积分 复变函数练习题 第三章 复变函数得积分 系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理得推广－复合闭路定理 一、选择题 1． 设在单连通区域内解析,为内任一闭路,则必有 [ ] (A) (B) (C) (D ) 2.设为正向圆周,则 [ ] (A) (B ) (C) (D) 3.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分 [ ] (A) (B) (C ) (D)不能确定 二、填空题 1.设为正向圆周,则 2.闭曲线取正方向,则积分 0 。 三、解答题 利用柯西积分公式求复积分 (1)判断被积函数具有几个奇点; (2)找出奇点中含在积分曲线内部得, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零; 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式; 若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式、 1.计算下列积分 (1) 、 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题： 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简 p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d = [0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z 理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0< 7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。复变函数试题及答案
复变函数试题与答案
复变函数经典例题
第三章 复变函数得积分(答案)
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