一、选择题
1. （2019江苏省无锡市，8，3）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ） A.20° B.25° C.40° D.50°
第8题图 第8题答图 【答案】B 【思路分析】本题考查切线的性质，连接OA ，先利用切线性质求∠AOP ，再借助等边对等角求∠B .
【解题过程】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ． 【知识点】切线的性质
2. （2019四川省自贡市，12，4分）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线
x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）
A .
B.
C.
D.
【答案】B. 【解析】
解：∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900
， ∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴AB = ，∠OBA =450
， 取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时， ∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线， ∴DH =
CF =10，
故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动， 当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小. 在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13, ∴AD = .
∵∠AOE =∠ADH =900
，∠EAO =∠HAD ， ∴△AOE ∽△ADH ， ∴
，即
，
x y O
-6O
O
O B C
A A
B
B
A
P
E F
∴OE=，
∴BE=OB-OE=.
∵S△ABE=BE·OA=AB·EG，
∴EG=.
在Rt△BGE中，∠EBG=450，
∴BG=EG=，
∴AG=AB-BG=.
在Rt△AEG中，
tan∠BAD=.
故选B.
【知识点】勾股定理，锐角三角函数，圆的切线.
3. (2019浙江台州,7题,4分)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,
则 O的半径为( )
A. B.3 C.4 D.4-
第7题图
【答案】A
【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,
∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝
故选A.
第7题答图
【知识点】切线的性质,角平分线的判定,三角函数,勾股定理
4. （2019重庆市B 卷，4，4）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C
＝40°则∠B 的度数为（ ） A.60° B.50° C.40° D.30°
【答案】Ｂ
【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ． 【知识点】切线定义，三角形内角和 .
5. （2019重庆A 卷，4，4）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结
OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
【答案】C
【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ． 【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
6.（2019广东广州，5，3分）平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O
的切线条数为
第4题图
A
（ ） A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．无数条
【答案】C
【解析】解：∵⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，∴d ＞r ，∴点P 与⊙O 的位置关系是：P 在⊙O 外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C ． 【知识点】切线的性质
7. （2019湖北荆门，12，3分）如图，△ABC 内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是（ ）
A ．DI ＝D
B B ．DI ＞DB
C ．DI ＜DB
D ．不确定
【答案】A
【解析】解：连接BI ，如图， ∵△ABC 内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6， ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5， 即∠4＝∠DBI ， ∴DI ＝DB ． 故选：A ．
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
8. （2019台湾省，23，3分）如图，有一三角形ABC 的顶点B 、C 皆在直线L 上，且其内心为I ．今固定C 点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形A B C ''的顶点A '落在L 上，且其内心为I '．若A B C ∠<∠<∠，则下列叙述何者正确？( )#JY
A ．IC 和I A ''平行，II '和L 平行
B ．I
C 和I A ''平行，II '和L 不平行 C ．IC 和I A ''不平行，II '和L 平行
D ．IC 和I A ''不平行，II '和L 不平行 【答案】C
【解析】解：作ID BA '⊥于D ，IE AC ⊥于E ，I F BA ''⊥于F ，如图所示：则//ID I F '，
ABC ?的内心为I ，△A B C ''的内心为I '，
ID IE IF ∴==，12ICD ACB ∠-∠，1
2
I A C B A C ''''∠=∠，
∴四边形IDFI '是矩形，
//II L '∴， A B C ∠<∠<∠， A B C ''∴∠<∠<∠， ICD I A C ''∴∠>∠， IC ∴和I A ''不平行，
故选：C ．
【知识点】三角形的内切圆与内心；旋转的性质；平行线的判定
9.（2019台湾省，19，3分）如图，直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，根据图中标示的长度与角度，求AD 的长度为何？( )
A ．32
B ．
52
C ．
43 D ．53
【答案】D
【解析】解：设AD x =，
直角三角形ABC 的内切圆分别与AB 、BC 相切于D 点、E 点，
1BD BE ∴==，
1AB x ∴=+，4AC AD CE x =+=+，
在Rt ABC ?中，222(1)5(4)x x ++=+，解得53
x =， 即AD 的长度为5
3
．
故选：D ．
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
10. （2019浙江嘉兴，7，3分）如图，已知O 上三点A ，B ，C ，半径1OC =，30ABC ∠=?，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为( )
A ．2
B
C
D ．
12
【答案】B
【解析】解：连接OA ，
30ABC ∠=?，
260AOC ABC ∴∠=∠=?，
过点A 作O 的切线交OC 的延长线于点P ，
90OAP ∴∠=?， 1OA OC ==，
tan 601AP OA ∴=?=
故选：B ．
【知识点】切线的性质；圆周角定理
二、填空题
1. （2019湖南省岳阳市，16，4分）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB ； ②AM 2=AC ·AB ；
③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为
3
π；
④若AC=3，BD=1，则有CM=DM．
【答案】①②④
【思路分析】①连接OM，运用平行线的性质和等腰三角形的性质进行证明；②连接BM，证明△AMC∽△ABM，则结论可证；③分别求出圆心角和半径，利用弧长公式进行计算；④先运用平行线等分线段定理证明CM=DM，再证明△ACM∽△MDB，利用比例式进行计算．
【解题过程】连接OM，BM
∵PE是⊙O的切线，
∴OM⊥PE．
∵AC⊥PE，
∴AC∥OM．
∴∠CAM＝∠AMO．
∵OA＝OM，
∴∠AMO＝∠MAO．
∴∠CAM=∠MAO．
∴AM平分∠CAB．选项①正确；
∵AB为直径，
∴∠AMB=90o=∠ACM．
∵∠CAM=∠MAO，
∴△AMC∽△ABM．
∴AC AM AM AB
=．
∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，
∴∠MOP=60°．
∵AB=4，
∴半径r=2．
∴
6022
1803
BM
l
π
π
?
==．选项③错误；
∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ， ∴CM =MD ．
∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°， ∴∠CAM ＝∠BMD ．
∵∠ACM =∠BDM =90°， ∴△ACM ∽△MDB ． ∴
AC CM
DM BD
=． ∴CM ·DM =3×1=3．
∴CM =DM
．选项④正确；
综上所述，结论正确的有①②④．
【知识点】圆的基本性质，切线的性质，弧长计算，相似三角形的判定和性质
2. （2019江苏省无锡市，17，2）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，
若
O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为
10
3
，则△ABC 的周长为__________.
第17题图
【答案】25
【思路分析】本题考查动圆与三角形的边动态相切问题，由于Rt △ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，故可以通过两个内切圆半径的差为1来求△ABC 的周长.
【解题过程】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，
∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=
103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=13
3
，连接A O 1 与C O 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt
△ABC 与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223
122313
O O O O O O O O O O ?++
=
23，ED =1，∴ID = IE + ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ?++=2m =53
，解得m =
5
6
，△ABC 的周长=30m =25. 【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形内心的性质，直角三角形的内切圆
3. （2019山东省济宁市，14，3分）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相
切于点D ，交OA 于点E ，已知BC
AC ＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
【解析】在Rt △ABC
中，∵tan 3
BC A AC =
=，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ． 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r
A OA r
=
=-，解得r
，
∴阴影的面积是S ＝60
360×π×
(32
)2＝6－334π．
【知识点】锐角三角函数，扇形面积格式，圆的切线的性质
4. （2019四川省眉山市，17，3分）如图，在Rt △AOB 中，
OA =OB =O 的半径为2，点P 是
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为
．
【答案】
【思路分析】连接OQ ，由PQ 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OQ 与PQ 垂直，利用勾股定理列出关系式，
A
C
由OP 最小时，PQ 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PQ 的最短值.
【解题过程】解：连接OQ ，如图所示，
∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，
∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB = 12OA?OB=12AB ?OP ，即OP=OA OB AB
?=4，
∴PQ=
．故答案为：
【知识点】勾股定理，等积法，最短距离问题
5. (2019浙江宁波,17题,4分)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段
AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.
第17题图
【答案】
13
2
或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:
①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;
②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴
AP ＝113=22
AD ;
③当
P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽
△ABC,∴
PF AC AP AB
=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ∴AP ＝
综上所述,AP 的长为13
2
或
【知识点】切线性质,中位线,相似三角形,勾股定理
6.（2019湖北鄂州，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C （3，4），以点C 为圆心的圆与y 轴相切．点A 、B 在x 轴上，且OA ＝OB ．点P 为⊙C 上的动点，∠APB ＝90°，则AB 长度的最大值为 ．
【答案】16
【解析】解：连接OC 并延长，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最大， ∵C （3，4）， ∴OC 5，
∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切． ∴⊙C 的半径为3， ∴OP ＝OA ＝OB ＝8， ∵AB 是直径， ∴∠APB ＝90°， ∴AB 长度的最大值为16， 故答案为16．
【知识点】坐标与图形性质；圆周角定理；切线的性质
7. （2019江苏连云港，16，3分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相
切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则AP
AT
的最大值是 ．
【答案】3
【解析】解：如图，
过点P 作//PE BD 交AB 的延长线于E ，
AEP ABD ∴∠=∠，APE ATB ??∽，
∴
AP AE
AT AB
=
， 4AB =，
4AE AB BE BE ∴=+=+，
∴
14
AP BE
AT =+
， BE ∴最大时，
AP
AT
最大， 四边形ABCD 是矩形，
3BC AD ∴==，4CD AB ==，
过点C 作CH BD ⊥于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ，
BD 是C 的切线，
90GME ∴∠=?，
在Rt BCD ?中，5BD =，
90BHC BCD ∠=∠=?，CBH DBC ∠=∠， BHC BCD ∴??∽，
∴BH CH BC
BC DC BD ==
， ∴
3
345
BH CH ==， 95BH ∴=，125
CH =，
90BHG BAD ∠=∠=?，GBH DBA ∠=∠， BHG BAD ∴??∽，
∴
HG BG BH
AD BD AB
==
， ∴9
5
354
HG BG ==，
2720HG ∴=
，94
BG =， 在Rt GME ?中，33
sin 55
GM EG AEP EG EG =∠=?=，
而94
BE GE BG GE =-=-
， GE ∴最大时，BE 最大， GM ∴最大时，BE 最大， 27
20
GM HG HM HM =+=
+， 即：HM 最大时，BE 最大，
延长MC 交C 于P '，此时，HM 最大2425
HP CH '===， 123
4
GP HP HG ''∴=+=
， 过点P '作//P F BD '交AB 的延长线于F ，
BE ∴最大时，点E 落在点F 处，
即：BE 最大BF =，
在Rt △GP F '中，123
41
43sin sin 45
GP GP FG F ABD ''====∠∠，
8BF FG BG ∴=-=，
∴
AP AT 最大值为8
134
+=， 故答案为3．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
8. （2019江苏南京，14，2分）如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝ ．
【答案】219°
【解析】解：连接AB，
∵P A、PB是⊙O的切线，
∴P A＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠P AB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠P AD+∠C＝∠P AB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
【知识点】圆周角定理；切线的性质
9.（2019江苏宿迁，15，3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．【答案】2
【解析】解：直角三角形的斜边13，所以它的内切圆半径2．
故答案为2．
【知识点】三角形的内切圆与内心
10.（2019山东菏泽，14，3分）如图，直线y x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．
【答案】（，0）或P（，0）．
【解析】解：∵直线y x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P 与直线AB 相切于D ， 连接PD ，
则PD ⊥AB ，PD ＝1，
∵∠ADP ＝∠AOB ＝90°，∠P AD ＝∠BAO ， ∴△APD ∽△ABO ， ∴
，
∴
，
∴AP
，
∴OP
或OP
，
∴P （
，0）或P （
，0）， 故答案为：（
，0）或P （
，0）．
【知识点】一次函数的图象；切线的判定与性质; 相似三角形的判定和性质
11. （2019浙江温州，14，5分）如图，O 分别切BAC ∠的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧()EDF 上，若66BAC ∠=?，则EPF ∠等 度．
【答案】57
【解析】解：连接OE ，OF
O 分别切BAC ∠的两边AB ，AC 于点E ，F OE AB ∴⊥，OF AC ⊥
又66BAC ∠=?
114EOF ∴∠=? 2EOF EPF ∠=∠ 57EPF ∴∠=?
故答案为：57?
【知识点】切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
三、解答题
1. （2019浙江省金华市，21，8分）如图，在Y OABC 中，以O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点B ，与OC 相交于点D .
（1）求?BD 的度数；
（2）如图，点E 在⊙O 上，连结CE 与⊙O 交于点F .若EF =AB ，求∠OCE 的度数.
（第21题图）
【思路分析】本题考查了切线的性质；垂径定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊
角的锐角三角函数的综合运用.
（1）连结OB ，利用切线的性质；平行四边形的性质证△AOB 是等腰直角三角形得∠ABO ＝45°．利用平行线的性质得∠BOC ＝45°．由圆心角的弧度就是所对弧的度数得出结论．
（2）连结OE ，作OH ⊥EC ．设EH ＝t ，先利用垂径定理，平行四边形的性质证得CO ＝2t ，再利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求得OH ＝t ，最后利用特殊角的锐角三角函数求出∠OCE 的度数. 【解题过程】解： 1）连结OB ． ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥BC ，
∵四边形OABC 是平行四边形 ∴OA ∥BC ，∴OB ⊥OA ． ∴△AOB 是等腰直角三角形． ∴∠ABO ＝45°． ∵OC ∥AB ，
∴∠BOC ＝∠ABO ＝45°． ∴BD 的的度数为45°；
C
（2）连结OE ，过点O 作OH ⊥EC 于点H ，设EH ＝t ，
∵OH ⊥EC ，
∴EF ＝2HE ＝2t ，
∵四边形OABC 是平行四边形 ∴AB ＝CO ＝EF ＝2t ，
∵△AOB 是等腰直角三角形． ∴⊙O 的半径OA
．
∴在R t △EHO 中，OH
＝t
在R t △OCH 中，∵OC ＝2OH ，∴∠OCE ＝30°．
【知识点】切线的性质；垂径定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形的判定；勾股定理；特殊角的锐角三角函数
2. （2019浙江湖州，23，10）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1分别交x 轴和y 轴于点A (－3，0)、B (0，
3)．
（1）如图1，已知⊙P 经过点O ，且与直线l 1相切于点B ，求⊙P 的直径长；
（2）如图2，已知直线l 2：y ＝3x －3分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线l 2上的一个动点，以Q
为圆心，
为半径画圆．
①当点Q 与点C 重合时，求证：直线l 1与⊙Q 相切；
②设⊙Q 与直线l 1相交于点M ，N ，连结QM ，QN ．问：是否存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
C
【思路分析】（1）连接PO 、PB ，由切线的性质得AB ⊥BP ，再由∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，得到∠OBA ＝∠OAB ＝45°，进而得到△OPB 是等腰直角三角形，由三角函数易求⊙P 的直径．（2）第①个问题利用圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，计算点C 到直线AB 的距离与半径
比较即可；②分两种情况讨论：若点Q 在CF 上，由等腰直角三角形的锐角为45°，加上∠BAC ＝45°，得∠AGN ＝90°，利用设点Q 的坐标并结合直线解析式，得到N 的坐标，从而建立关于点Q 的横坐标的一元方程解之即可．另一种情况利用中心对称性质，结合上种情况将两点坐标交换一下，就轻松锁定答案． 【解题过程】（1）如答图1，连接PO 、PB ．
∵⊙P 与直线l 1相切于点B ， ∴AB ⊥BP ．
∵A (－3，0)、B (0，3)， ∴OA ＝OB ＝3． 又∵∠AOB ＝90°，
∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°． ∴∠PBO ＝45°． ∵PB ＝PO ，
∴∠OPB ＝90°．
在Rt △POB 中，由sin ∠PBO ＝
PO
OB
，得PO ＝OB ?sin ∠PBO ＝3×sin45
°＝2．
∴⊙P 的直径为
．
图1
第23题图
（2）①如答图2，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．易知C (1，0)，从而AC ＝3＋1＝4．
在Rt △ACE 中，由sin ∠CAE ＝
CE
AC
，得CE ＝AC ?sin ∠CAE ＝4×sin45°＝
． ∵⊙Q 的半径为
，且点Q 与点C 重合， ∴⊙Q 与直线l 1相切．
②假设存在符合条件的等腰直角三角形，令直线l 1、l 2相交于点F ． 易求直线AB 的解析式为y ＝x ＋3． 分两种情况讨论如下：
若点Q 在线段CF 上，如答图3，由∠MNQ ＝∠NAG ＝45°，得∠AGN ＝90°，从而点
Q 、N 两点的横坐标相等，不妨令Q (m ，3m －3)，则N (m ，m ＋3)，于是由NQ ＝
，得(m ＋3)－(3m －3)＝
，解得m ＝3
，故Q (3
，6－
)．
若点Q 在线段CF 的延长线上，如答图4，由可知(3m －3)－(m ＋3)＝
，解得m ＝3
第23题答图4
1
第23题答图3
第23题答图1
，故Q (3，6＋)．
综上，存在符合条件的点Q 有两个：Q 1(3，6－)，Q 2(3，6＋)．
【知识点】圆的切线性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形的判定与性质；三角函数；一次函数；动点问题；分类思想；数形结合思想．
3. （2019天津市，21，10分）已知PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B ，∠APB=80°，C 为⊙O 上一点， (1)如图①，求∠ACB 的大小；
(2)如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.
【思路分析】(1)如图，由于PA,PB 分别是切线，所以连接OA,OB 可得∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形内角和
可求∠AOB,根据圆周角和圆心角的关系可求∠ACB 的大小。
（2）如图，连接CE ，由于AE 是直径可知∠ACE=90°，由（1）知∠ACB=50°，可求得∠BCE=40°，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠BAE=∠BCE=40°，根据AB=AD ，从而∠ADB=70°，△ACD 中，∠ADB 是外角，所以∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°
【解题过程】解：（1）如图，连接OA,OB ∵PA,PB 分别是切线 ∴OA ⊥PA,OB ⊥PB, 即∠PAO=∠PBO=90° ∵∠APB=80°
∴在四边形OAPB 中，∠AOB=360°-90°-90°-80°=100° ∴∠ACB=
2
1
∠AOB=50°
（2）如图，连接CE, ∵AE 为直径， ∴∠ACE=90°，
由（1）知，∠ACB=50°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°， ∴∠BAE=∠BCE=40°，