当前位置:文档之家› 高考理科数学分类汇编——函数与导数大题(每题后附详细解析)

高考理科数学分类汇编——函数与导数大题(每题后附详细解析)

高考理科数学分类汇编——函数与导数大题(每题后附详细解析)
高考理科数学分类汇编——函数与导数大题(每题后附详细解析)

高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目(每题后附详细解析) 1.(北京卷18题)(本小题共13分)

设l 为曲线C :ln x

y x

=在点(1,0)处的切线. (I)求l 的方程;

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方

2.(安徽卷20题)(本小题满分13分)

设函数22222

()1(,)23n n

n x x x f x x x R n N n

=-+++++∈∈ ,证明: (Ⅰ)对每个n

n N

∈,存在唯一的2

[,1]3

n x ∈,满足

()0n n f x =;

(Ⅱ)对任意n

p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n

+<-<

。 【解析】 (Ⅰ) 224232224321)(0n

x x x x x x f n x y x n

n n +++++++-=∴=> 为单调递增的时,当是

x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.

010)(,321>>>≥=?n n n n x x x x x f x ,且满足存在唯一

x x x x x x x x x x x x x f x n n n -?

++-<--?++-=++++++-≤∈-11

4111412

2221)(,).1,0(2122232322 时当

)1,3

2

[0)23)(2(1141)(02

∈?≥--?-?++-≤=?n n n n n n n n x x x x x x x f

综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2

[,1]3

n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)

(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n

x x x x x x f x x n

n

n n n n n n p

n n

0)()

1(4

3

2

1)(2

2

12

2

4

2

3

2

2

=+++++

+

++

+

+

+-=+++++++++++p n x n x n

x x x x x x f p n p

n n p

n n

p n p n p n p n p n p n p n 上式相减:

2

2

1

224

23

22

224

23

22

)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p

n p

n n p

n n

p

n p

n p n p

n p n n

n

n n n n ++++++++++=++++++++++++++ )(

)(2

2

12

2

4

4

2

3

32

2

2)

()

1(-4

-3-2

--p n x n x n

x x x x x x x x x x p n p

n n p

n n

n

n p n n

p n n

p n n

p n p n n ++

++++

++

+

=+++++++++

)1

11()111()

(1)1(1)()1(2

22

2

1

p n p n n n p n n p n x n x p

n p

n n p

n +--++++-<++++<

++

++<++++ n

x x n p n n p n n 1

-111

3.(福建卷17题)(本小题满分13分)已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈

(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.

本小题主要考查函数.函数的导数.不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.分类与整合思想,数形结合思想.化归与转化思想.满分13分. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-a f x x

. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2

()1(0)'=->f x x x ,

(1)1,(1)1'∴==-f f ,

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,

即20+-=x y . (Ⅱ)由()1,0-'=-=

>a x a

f x x x

x

可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;

(0,)∈ x a 时,()0'f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.

综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值

当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.

4.(广东卷21题).(本小题满分14分)

设函数()()2

1x f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ) 当1,12k ??

∈ ???

时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .

【解析】(Ⅰ) 当1k =时,

()()2

1x

f x x e x =--,()

()()1222x x x x

f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:

f x 0,ln 2,0-∞)ln 2,+∞.

(Ⅱ)()

()()1222x x x x

f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2

g k k k =-,则()1110k g k k k -'=

-=>,所以()g k 在1,12?? ???

上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈

所以当()()0,ln 2x k ∈时,

()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>;

所以()(){}(){}3

max 0,max 1,1k

M f f k k e k ==---

令()()3

11k

h k k e k =--+,则

()()3k

h k k e k '=-, 令()

3k

k e k ?=-,则()330k k e e ?'=-<-< 所以()

k ?在1,12?? ?

??上递减,而()()1313022e ??????=-< ????

?

所以存在01,12x ??∈ ??

?

使得()00x ?=,且当01

,2

k x ??∈ ??

?

时,()0k ?>,

当()0,1k x ∈时,()0k ?

<,

所以()k ?在01,2x ??

??

?

上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17

028

h ??=> ?

??

,()10h =, 所以()0h k ≥在1

,12?? ???

上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.

综上,函数

()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.

5.(广西卷22题).(本小题满分12分)

已知函数()()()

1=ln 1.1x x f x x x

λ++-

+(I )若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;; (II )设数列{}21111

1,ln 2.234n n n n a a a a n n

=+++???+-+

>的通项证明:

6.(全国新课标二卷21题)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=e x-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0

相关主题
相关文档 最新文档