高考理科数学分类汇编——函数与导数大题目(每题后附详细解析) 1.(北京卷18题)(本小题共13分)
设l 为曲线C :ln x
y x
=在点(1,0)处的切线. (I)求l 的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方
2.(安徽卷20题)(本小题满分13分)
设函数22222
()1(,)23n n
n x x x f x x x R n N n
=-+++++∈∈ ,证明: (Ⅰ)对每个n
n N
∈,存在唯一的2
[,1]3
n x ∈,满足
()0n n f x =;
(Ⅱ)对任意n
p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<
。 【解析】 (Ⅰ) 224232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n +++++++-=∴=> 为单调递增的时,当是
x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(,321>>>≥=?n n n n x x x x x f x ,且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -?
++-<--?++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122232322 时当
)1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈?≥--?-?++-≤=?n n n n n n n n x x x x x x x f
综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2
[,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)
(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x x x x x x f x x n
n
n n n n n n p
n n
0)()
1(4
3
2
1)(2
2
12
2
4
2
3
2
2
=+++++
+
++
+
+
+-=+++++++++++p n x n x n
x x x x x x f p n p
n n p
n n
p n p n p n p n p n p n p n 上式相减:
2
2
1
224
23
22
224
23
22
)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p
n n p
n n
p
n p
n p n p
n p n n
n
n n n n ++++++++++=++++++++++++++ )(
)(2
2
12
2
4
4
2
3
32
2
2)
()
1(-4
-3-2
--p n x n x n
x x x x x x x x x x p n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++
)1
11()111()
(1)1(1)()1(2
22
2
1
p n p n n n p n n p n x n x p
n p
n n p
n +--++++-<++++<
++
++<++++ n
x x n p n n p n n 1
-111<+-=+
3.(福建卷17题)(本小题满分13分)已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.
本小题主要考查函数.函数的导数.不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.分类与整合思想,数形结合思想.化归与转化思想.满分13分. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-a f x x
. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2
()1(0)'=->f x x x ,
(1)1,(1)1'∴==-f f ,
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,
即20+-=x y . (Ⅱ)由()1,0-'=-=
>a x a
f x x x
x
可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;
(0,)∈ x a 时,()0'
()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.
综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值
当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.
4.(广东卷21题).(本小题满分14分)
设函数()()2
1x f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当1,12k ??
∈ ???
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
【解析】(Ⅰ) 当1k =时,
()()2
1x
f x x e x =--,()
()()1222x x x x
f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
f x 0,ln 2,0-∞)ln 2,+∞.
(Ⅱ)()
()()1222x x x x
f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2
g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12?? ???
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈
所以当()()0,ln 2x k ∈时,
()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>;
所以()(){}(){}3
max 0,max 1,1k
M f f k k e k ==---
令()()3
11k
h k k e k =--+,则
()()3k
h k k e k '=-, 令()
3k
k e k ?=-,则()330k k e e ?'=-<-< 所以()
k ?在1,12?? ?
??上递减,而()()1313022e ??????=-< ????
?
所以存在01,12x ??∈ ??
?
使得()00x ?=,且当01
,2
k x ??∈ ??
?
时,()0k ?>,
当()0,1k x ∈时,()0k ?
<,
所以()k ?在01,2x ??
??
?
上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17
028
h ??=> ?
??
,()10h =, 所以()0h k ≥在1
,12?? ???
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.
综上,函数
()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.
5.(广西卷22题).(本小题满分12分)
已知函数()()()
1=ln 1.1x x f x x x
λ++-
+(I )若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;; (II )设数列{}21111
1,ln 2.234n n n n a a a a n n
=+++???+-+
>的通项证明:
6.(全国新课标二卷21题)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=e x-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0