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线性代数课本第三章习题详细答案

第三章课后习题及解答

将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：

1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T

21T

--=--=--===αααααT

2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα

解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得

14321=+++k k k k

24321=--+k k k k

14321=-+-k k k k

14321=+--k k k k

解得.4

,41,41,454321-=-===

k k k k 所以43214

414145ααααα--+=

. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得

02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，

0342=-k k ，1421=-+k k k .

解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T

1===ααα

4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T

2T 1==-=βββ，

解：

3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即

???

??=++=++=+0650320321

32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零，故321,,ααα线性相关.

4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即

??????

?=++=++=+-=+0

142407203033213212

131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.

解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性

无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是

0=α.

6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，

假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，

则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾，所以该命题成立.

7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.

证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，

整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，

因为21,αα线性无关，所以??

?=-=+0

2121k k k k ，可解得021==k k ，

故2121,αααα-+线性无关.

方法二，因为=-+）（2121,αααα???

??-1111,21）（αα，又因为

021

1≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，

故2121,αααα-+线性无关.

8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中

,13121111???????? ??=k a a a a α,3222122???????? ??=ks a a a a α ,,321???????

? ??=ks s s s s a a a a α

s βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21

),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：

(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.

证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.

证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.

(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.

9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.

证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）???

? ??110011101

因为321,,ααα线性无关，且021

100111

01≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3

所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.

方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.

设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，

0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k

因为321,,ααα线性无关，所以

???

??=+=+=+0

0032

2131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，

假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且

23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛

盾，故321,,ααα线性无关.

方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得

0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得

）

（）（）（3213321232112

1,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，

0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k

因为321,,βββ线性无关，所以???

??=+-=++-=-+0003

21321321k k k k k k k k k

可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.

10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：

（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设???

??=???? ??=???? ??=111001321ααα，，，

321,,ααα两两线性无关，而321,,ααα线性相关.

（2）m ααα,,,21 ）

（2>m 线性相关的充分必要条件是有1-m 个向量线性相关；解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设???

??=???? ??=???? ??=111001321ααα，，，

321,,ααα线性相关，而俩321,,ααα两两线性无关.

(3) 若21,αα线性相关，21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得

02211=+ααk k 且02211=+ββk k ，从而使得0222111=+++）

（）（βαβαk k ，故2211βαβα++，线性相关.

解：不正确，因为21αα，线性相关和21ββ，线性相关，不一定存在同一组不全为零的数

21,k k ，使得02211=+ααk k 和02211=+ββk k 成立；或者说存在两组不全为零的数

21,k k 和21,t t 使得02211=+ααk k 和02211=+ββt t 成立.

(4). 若321,,ααα线性无关，则133221,,αααααα---线性无关.

解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得

0133221=-+-+-）（）（）（αααααα，所以133221,,αααααα---线性相关.

(5) 若4321,,,αααα线性无关，则14433221,,,αααααααα++++线性无关；

解：不正确，因为14433221,,,αααααααα++++线性相关，由9题，n 为奇数个时，线性无关，n 为偶数时，线性相关.

(6). 若n αααα,,,,321 线性相关，则113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相关；

解：正确，因为n αααα,,,,321 线性相关，所以n αααα,,,,321 中至少有一向量可由剩余的1-n 个向量线性表示，则113221,,,,αααααααα++++-n n n 也可由那剩余的

1-n 个向量线性表示，再因为1->n n ，

所以113221,,,,αααααααα++++-n n n 线性相关.

11.如果4321,,,αααα线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数4321,,,k k k k ，使得044332211=+++ααααk k k k .

证：因为4321,,,αααα线性相关，所以存在不全为零的常数4321,,,k k k k ，使得

044332211=+++ααααk k k k ，假设01=k ，则0443322=++αααk k k ，

得432ααα，，线性相关与题设矛盾.故01≠k ；同样方法可证得432,,k k k 都不为零.

所以该命题成立.

12.若r ααα,,,21 线性无关，证明：r αααβ,,,,21 线性无关的充分必要条件是β不能由r ααα,,,21 线性表示.

证：必要性，假设β能由r ααα,,,21 ，则r αααβ,,,,21 线性相关与

r αααβ,,,,21 线性无关矛盾，故β不能由r ααα,,,21 线性表示.

充分性，设存在r k k k k ,,,,210 使得03322110=+++++r r k k k k k ααααβ ，

若00≠k ，则β能由r αααα,,,,321 线性表出，矛盾，所以00=k ，

因此，0332211=++++r r k k k k αααα ，又因为r ααα,,,21 线性无关，

所以021====r k k k ，故，r αααβ,,,,21 线性无关.

13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：

（1） ;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),

2,9,1,4,6(4321-=--=-==αααα

（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321-====-=ααααα;

（3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321-====αααα

解：（1）

()

T T T T

321,,,αααα

????

? ??----3224216390921140

47116→→ ???

???

??-000000001000

05100101

所以，向量组的秩为3，421,,ααα为一个极大线性无关组，2135ααα-=.

（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，

421,,ααα为一个极大线性无关组，且2133ααα+=，2145αααα--=.

（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，321,,ααα为一个极大线性无关组，

312435αααα--=.

14.设向量组：

6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321=-====-=ξξξξξξ（1）证明21ξξ，线性无关；

（2）求向量组包含21ξξ，的极大线性无关组.

（1）证：设存在21,k k ,使得02111=+T

T k k ξξ，求得021==k k ，所以21ξξ，线性无关；

（2）解， (

)

?→→???????

??--=000001100010110

10301601424527121103121

301

,,,,T

4321 ξξξξξT T T T ,

所以，421,,ξξξ为包含21ξξ，的一个极大线性无关组.

15.设B A ,皆为n 阶矩阵，n B r n A r ≤≤)(,)(，证明：

（1）秩)()(00B r A r B A +=???

??; （2）秩)()(0B r A r B C A +≥???

??，C 为任意n 阶矩阵. 证：（1）设21)(,)(r B r r A r ==，则存在n 阶可逆矩阵Q P ,,'',Q P ,

使得,0001

????

??=r E PAQ ,0002''???

?=r E BQ P 从而 ,00

000000000000000002

1''??????

?=???? ?????? ?????? ?

?r r E E Q Q B A P P

则秩=???? ??B A 00秩).()(00000021''B r A r r r Q Q B A P P +=+=???

? ?????? ?????? ??

（2）因为秩())(A r C A

≥,所以秩)()(0B r A r B C A +≥???

??.

16.证明))(),(min()(B r A r AB r ≤.

证：设B A ,分别为s n n m ??,矩阵，将A 按列分块，则有

()n AB ααα 2

1=?????

??ns n n s s b b b b b b

b b b

212222111211的列向量组s γγ,,1 可由A 的列向量组 n ααα,,,21 线性表示，故AB AB r =)(的列秩A ≤的列秩=)(A r ，同样，将B 按行分块，

得)()(B r AB r ≤，因此，该命题成立.

1. 设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，且m n <，

证明：齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.

证：由m n B r A r AB r <≤≤))(),(min()(，所以0=AB ，故齐次线性方程组0)(=X AB 有非零解.

18.设A 是一个n s ?矩阵，B 是由A 的前m 行构成的n m ?矩阵.证明：若A 的行向量组的秩为r ，则s m r B r -+≥)(.

证：设,,,2,1),,,,(21s i a a a in i i i ==α ???????

? ??=+s m m

A αααα 11，????? ??=m

B αα 1. 设p B r =)(，于是，B 的行向量组的极大线性无关组

{}

p i i i αα

α,,,2

含p 个向量。因此，

A 的行向量组的一个极大线性无关组是向量组{}

s m i i i p ααααα,,,,,,121 +的一个子集，所以它所含向量个数)(m s p -+≤，即)()(m s p r A r -+≤=，

从而，s m r p B r -+≥=)(.

求下列（19—22题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：

19. ??

?----12100400003210054321

解：??

??----→

→???????

?----0000020000

32100

342112100400003210054

所以，矩阵的秩为3。

044

3105

31≠-=--为一个最高阶的非零子式。

20. ??

??----10030116030242201211. 解： ??

?----10030116030242201211→→ ??

??--0000

0040001003

001

112341

所以，矩阵的秩为3。

0120

1031

11≠=--为一个最高阶的非零子式。 21. ???

??------16554313

1223123. 解：????? ??------16554313

1223123→→ ???

? ??-------213200917137039431 所以，矩阵的秩为3。

0145

3121

23≠-=---为一个最高阶的非零子式。 22.??

??1200112001120011

解：????

??-→→???????

??10000100011

0001

11200112001120011 所以，矩阵的秩为4。

011

200112001120

011≠-=为一个最高阶的非零子式。

23.设A 是一个n m ?矩阵，证明：存在非零的s n ?矩阵B ，使得0=AB 的充要条件是 n A r <)(.

证：设齐次线性方程组0=AX ，()021≠=s B βββ ，则由0=AB ，可得s j A j ,,2,1,0 ==β，由于，()021

≠=s B βββ ，至少有一个0≠j β，

再由0=AX 有非零解的充要条件是n A r <)(，故，s j A j ,,2,1,0 ==β，

至少有一个0≠j β的充要条件是n A r <)(.

24.设B A ,是同形矩阵，证明：A 与B 相抵的充要条件是)()(B r A r =.

证：设B A ,是n m ?矩阵，p B r r A r ==)(,)(，则存在可逆矩阵2121,,,Q Q P P ，

使得???? ?

?=00

011r

E AQ P ，????

??=00022p E BQ P ，充分性，因为)()(B r A r =，所以，???? ?

?=00

011r

E AQ P =???

?=00022p

E BQ P ，

B Q AQ P P =--121112)(,令Q Q Q P P P ==--1

21112,)(,故，B PAQ =

因此，A 与B 相抵.

必要性，因为A 与B 相抵，所以，存在可逆矩阵Q P ,,使得B PAQ =，

因此，)()(B r A r =.

25.设A 是n m ?矩阵）

（n m <，m A r =)(，证明：存在m n ?矩阵B 使得m I AB =. 证：因为m A r =)(，所以，存在可逆矩阵Q P ,,使得()0m

I PAQ =，所以有

()01m I P AQ -=,

())0(01

1--==P I P AQ m

, (1)

（1）右端乘m n ?阶矩阵???

??=0P T ,得m I AQT =，令B QT =,

故，m I AB =.

26.证明：若n 阶方阵A 的秩为r ，则必有秩为r n -的n 阶方阵B ，使得0=BA . 证：因为n 阶方阵A 的秩为r ，所以T

A 的秩为r ，则0=X A T

的基础解系含有r n -个线

性无关的解向量，取这r n -个线性无关的解向量r n X X -,,1 为T

B 的列向量，则

)()(B r r n B r T =-=.因此，该命题得证.

27.证明：任何秩为r 的矩阵可以表示为r 个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于r 个秩为1的矩阵之和.

证：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵Q P ,使得???

??=000r

E PAQ ，

所以，1111111111)(000--------++=++=???

??=Q B P Q B P Q B B P Q E P A r r r

，其中r B B ,,1 为秩为1的矩阵

因此，任何秩为r 的矩阵可以表示为r 个秩为1矩阵之和.

后部的证明，（反证法）假设A 为秩为r 的矩阵，能表示为少于r 个秩为1的矩阵之和，不妨设A 能表示为p 个秩为1的矩阵之和，其中，r p <，设),(1p B B A ++= 其中

p B B ,,1 是秩为1的矩阵.r p B r B r A r p <=++≤)()()(1 ，与r A r =)(矛盾.

28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：

（1）???????=+-+=++-=+-+=-+-0

7930830320

5432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x

解：??????

??-----7931181332111511→→ ???????

0000

000022710

1230

1 取43,x x 为自由未知量，令0,143==x x 和1,043==x x ，得原方程组的一个基础解系为

T T X X )1,0,2,1(;

)0,1,2

,23(21--=-=，

因此，一般解为2211X k X k X +==?

???? ??--+?????

? ??-102101272321k k ，其中21,k k 为任意常数.

(2). ???????=+-+-=-+-+=+---=++-+0

3162505341211027322028354321543215

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

解：???

???? ??------316251534121112732212813→→ ????

? ?

?----00

0000001

01218

25872

183819 取543,,x x x 为自由未知量，令0,0,1543===x x x ，0,1,0543===x x x 和

1,0,0543===x x x ，得原方程组的一个基础解系为

,)0,0,1,87,819(1T X = ,)0,1,0,825,83(2T X -= ,)1,0,0,2

,21(3T X -=

因此，一般解为?????

??? ??-+???????

? ??-+???????? ??=++=1000100012121382583

2878191332211k k k X k X k X k X ，其中，3

21,,k k k 为任意常数.

29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：

（1）???

??=+++=+++=+++2

749422536

3724321

43214321x x x x x x x x x x x x

解：????? ??246714922531372→→ ????

??---01080000151100491

取32,x x 为自由未知量，令032==x x ，得方程组的一个特解：T X )10,0,0,8(0-=，

再令0,132==x x 和1,032==x x ，得其导出组的一个基础解系：

T T X X )5,1,0,4(,)11,0,1,9(21-=-=.

所以，方程组的一般解为22110X k X k X X ++=，其中21,k k 为任意常数.

（2）??

?????=-+++=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

解：???????

?---12232713345622103112311111→→ ??

??----002316000000000062210

51101

取,,,543x x x 为自由未知量，令0543===x x x ，得方程组的一个特解：

T X )0,0,0,23,16(0-=；

再取0,0,1543===x x x ，0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个

基础解系：T

T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-==-=

所以，方程组的一般解为3322110X k X k X k X X +++=，其中321,,k k k 为任意常数. 30.讨论q p ,取何值时，下列线性方程组有解、无解，有解时求其解.

(1) ???

??=++++=+-+=+++3

)3()1(32)1(2)3(321321321x p px x p p x x p px p x x x p

解：?????

?++-+323)1(31

p p p p

p p p p →→ ????? ??+-++---++-+91536300)1(303213232

22p p p p p p

p p p p p

所以，0=p 或1=p 时，该方程组无解，

0≠p 且1≠p 时，

????

? ??+-++---++-+91536300)1(303213232

22p p p p p p p p p p p →→ ?????

-+-+--++---+)

1(9

153)1(91234)

1(912223223230011

000

10p p p p p p p p p p p p p p 有唯一解是

)1(91532231-+-+=p p p p p X ，)1(9122

32--+=p p p p X ，)1(912342233--++-=p p p p p X （2）???????=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325

432154321334536223231

解：???????

?--q p 3113345622103112311

111→→ ??

??-231000000000062210

11111q p 所以，当0≠p 或2≠q 时，方程组无解；

当0=p 且2=q 时，方程组有无穷多解，

??????? ??003100000000006221011111

??----→

00320000000000

62210

51101

取543,,x x x 为自由变量，令0543===x x x ，得方程组的一个特解：T

X )0,0,0,3,2(0-=；

再取0,0,1543===x x x ，0,1,0543===x x x 和1,0,0543===x x x 得其导出组的一个

基础解系：T T T X X X )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(,)0,0,1,2,1(321-=-=-=

所以，方程组的一般解为?????

? ??-+???????? ??+???????? ??-+???????? ??-=10065010210012100032321k k k X ，其中321,,k k k 为任意常

数.

（3）???????+=-+++-=++=---=-++3)2(233721

243214324

3214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x

解：???

???? ??+------333122111072111211q q q q p →→ ??

?? ?

?+------2211100

03200321

11q q q q p

所以，当2≠p 且1≠q 时，方程组有唯一解。

当1=q 时，方程组无解；

当2=p 时，???????

??+-----2211100030003210

q q q q →→ ??

??---q 4211000010003210

1211 所以，当2=p 且4=q 时，方程组有无穷多解，()()T

k 0,1,2,02,0,7,10--，其中k 为任意常数。

当2=p 且4≠q 时，方程组无解。

31.设A 是n m ?矩阵，证明：若任一个n 维向量都是0=AX 的解，则0=A .

证：因为任一个n 维向量都是0=AX 的解，则n 维向量T

i )0,,0,1,0,,0( =ε（第i 个分

量为1其余分量均为0的列向量）满足0),,(),,(11==n n A A A εεεε ，即0=AI ,其中

I 是n 阶单位方阵，因此，0=A .

32. 设A 是一个s m ?矩阵，B 是n s ?矩阵.X 是n 维列向量.证明：若0)(=X AB 与

0=BX 是同解方程组，则)()(B r AB r =.

证：因为若0)(=X AB 与0=BX 是同解方程组，所以，0)(=X AB 的基础解系所含解向量的个数与0=BX 的基础解系所含解向量的个数相等. 即)()(B r n AB r n -=-，因此，)()(B r AB r =.

33. 设A 是n m ?矩阵, B 是s n ?矩阵，证明：若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(.

证：设),,(1s B ββ =，其中s ββ,,1 是一组列向量，由0=AB 得，

s j A j ,,1,0 ==β.若r A r =)(，则0=AX 的基础解系含有r n -个线性无关的解向量，

而s ββ,,1 为0=AX 的解向量，则s ββ,,1 可由0=AX 的基础解系线性表示，

所以，)()(A r n r n B r -=-≤.

故，n B r A r ≤+)()(.

34.设*

A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，证明：

（1）??

???-<-===*

1)(,01)(,1)(,)(n A r n A r n A r n A r

（2） 1

=n A

A .

证：（1）由于I A AA =*，当n A r =)(时，0≠A ，所以0≠*

A ，得n A r =*

)(；

线性代数第3章习题解答(rr)

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立，则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。解：不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解：设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数第三章练习题

一、单项选择题 1．若四阶方阵A 的秩为3，则（） A ．A 为可逆阵 B ．齐次方程组Ax =0有非零解 C ．齐次方程组Ax =0只有零解 D ．非齐次方程组Ax =b 必有解 2．若线性方程组???=λ+-=+-21 2321 321x x x x x x 无解，则λ等于（） 3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（） A.???? ? ??000000111 B. ????? ??300110111 C. ???? ? ??000432111 D. ???? ? ??333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n D ．R(A)

三、计算题 1．设矩阵A =????? ??? ??-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b. 2．求齐次线性方程组??? ??=+++=+++=--+0 23203220 4321 43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 3．求线性方程组?? ? ??=++=+++=+++3220231 43243214321x x x x x x x x x x x 的通解. 4. 判断线性方程组123412341 34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=?? --+=??-+=-?是否有解，有解时求出它的解. 5．给定线性方程组 ??? ??-=++-=++-=++2 23 321 321321ax x x x ax x a x x x （1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解. 6．当a 为值何时，方程组??? ??=+++=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 43214321432132322221 有解在有解时，求出它的通解.

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组： ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解？二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----????

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

修订版-线性代数习题三答案

第三章线性方程组一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解：化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换

线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章习题与答案习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性

线性代数测试题(第三章)

线性代数测试题（第三章）一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量()()12243221αβ==-，，则 2α－3β =__________。 2. 一个含有零向量的向量组必线性。 3. 设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。 4. 设12303206A t ?? ??=-?????? ，当t = 时，R (A ) = 2。 5. 已知A 是m × n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为12,,,s ηηηL 。如R （A ）= k ，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）: 1. 设有4维向量组 α1 , …, α6，则（）。 A R (α1 , …, α6) = 4 B R (α1 , …, α6) = 2 C α1 , α2 , α3 , α4必然线性无关 D α1 , …, α6中至少有2个向量能由其余向量线性表示 2. 已知????? ???????-------=4322351521215133A 则R （A ）为 A 1 B 2 C 3 D 4 3. 设s ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且秩12(,,,),s R r ααα=L 则( )。 A 该向量组中任意r 个向量线性无关 B 该向量组中任意 1+r 个向量线性相关 C 该向量组存在唯一极大无关组 D 该向量组有若干个极大无关组 4. 若1234,,,X X X X 是方程组AX O =的基础解系，则1234X X X X +++ 是AX O =的（）。 A 解向量 B 基础解系

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算22 1 12312231315 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ? 3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A

4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ???? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+ 2.设00021000531 23004580034600A ?? ??? ? ??=?? ?????? ，求1.A - 二、讨论抽象矩阵的可逆性 1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -

线性代数第三章(答案)

第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题 1、设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题