2015年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)
数 学(理科)
命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝
沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 主审：沈阳市教育研究院 王恩宾
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3. 考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．)
1．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z 的共轭复数z =
A ．i +-1
B ．i --1
C ．i +1
D ．i -1
2．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合{5，6}等于
A ．M ∪N
B ．M∩N
C ．
3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2
40y ax
a =≠的焦点坐标是
A. ()0,a
B. (),0a
C. 10,16a ?
? ???
D.
1,016a ??
???
5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
(
)
M (
)
N D ． ()
M ()
N
7. 已知实数,x y 满足约束条件11y x x y y ≤??
+≤??≥-?
，则2z x y =+的最大值为
A.3
B.
32 C.3
2
- D. 3- 8. 若执行右面的程序框图，则输出的k 值是
A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 由曲线2,y x y ==
A ．
16 B ．13 C ．2
3
D ．1 10. 在△ABC 中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC
E
F +=-==为
BC 的
三等分点，则AE AF ?=
A.
89 B.109
C.259
D. 26
9 11. 函数1
y x
=-的图象按向量(1,0)a =平移之后得到的函
数图
象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫
坐标
之和等于
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式3
()1x f x e
>+(e 为自然对数的底数)的解集为
A ．()0,+∞
B ．()
(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()3,+∞
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)
13. 若双曲线E 的标准方程是2
214
x y -=，则双曲线E 的渐近线方程是 . 14. 数列{}n a 是等比数列，若22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a a a ++++= . 15.若直线:
l 1(0,0)x y
a b a b
+=>>经过点()1,2，则直线l 在x 轴和y
轴的截距之和的最小值是 . 16. 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠A =
3
π
，AC =4，M 为AA 1中点，点P 为BM 中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q =3QC ，则异
面直线PQ 与AC 所成角的正弦值 .
三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对
应位置.） 17．（本小题满分12分）已知函数()2sin sin()6
f x x x π
=+
.
（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（II ）当0,2x π??
∈????
时，求函数()f x 的值域.
18. (本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方
形，
SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且
()01DE a λλ=<≤.
（I ）求证：对任意的(]0,1λ∈，都有AC ⊥BE ；
1
B
（II ）若二面角C-BE-A 的大小为120，求实数λ的值.
19．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖. 甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张. 每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
1
3
，且三人投票相互没有影响. 若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.
（I ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（II ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望.
20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆
C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，其中12e =，焦距为2，过
点M （4，0）的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，点B 在AM 之间. 又
点A ，B
的中点横坐标为4
7
，且AM MB λ=.
（1）求椭圆C 的标准方程 ； （II ）求实数λ的值.
21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x a x =(0a >)，e 为自然对数的底数.
（I ）过点()()
2,2A f 的切线斜率为2，求实数a 的值； （II ）当0x >时，求证：1()(1)f x a x
≥-；
（III ）在区间(1,)e 上10x a
a
e e x -<恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答．．．．．．区域指定位置答题．．．．．．．．，并用．．2B ．．铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．．．．．．．．．．．．．．．．．.注意所做题目的题号必须与所．．．．．．．．．．．．．涂题目的题号一致．．．．．．．．
. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两个点，
CE AB ⊥于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF FG =．
（I ）求证：C 是劣弧BD 的中点；（II ）求证：BF FG =．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数），直线l 经过点P （1，
2），倾斜角6
π
α=
.
（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；
（II ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PA PB ?的值.
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式f (x )>0；
（II ）若f (x )+43-x >m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．
2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学（理科）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 12y x =±
14. 32
(14)3
n --
15. 3+
16. 三、解答题：本大题共70分. 17.解：（I
）11
()2sin (
cos )sin 2222
f x x x x x =+=+ …………2分
sin(2)32
x π=-+. …………4分
函数()f x 的最小正周期为T =π. …………6分
因为222,2
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+解得5
12
12
k x k π
πππ-
+≤≤
+，Z ∈k ， 所以函数()f x 的单调递增区间是5
[,
],12
12
k k k π
πππ-
++∈Z . …………8分
2()0,,2II ,,sin(2)23333x x x πππππ????
??∈-∈--∈????????????
， …………10分
()0,1f x ?∈+???
. …………12分
18.（I ）证明：如图建立空间直角坐标系O xyz -，
则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D E a λ，
()(),,0,,,AC a a BE a a a λ=-=--， …………3分
∴0AC BE ?=对任意(]0,1λ∈都成立，
即AC ⊥BE 恒成立. …………5分
(II)解： 设平面ABE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，
∵()()0,,0,,0,AB a AE a a λ==-，
∴1111
1111000000n AB y y ax az x z n AE λλ??===?
???????-+=-=?=????，
取1
1z =，则1x λ=，()()1111,,,0,1n x y z λ==. …………7分
设平面BCE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，
∵()(),0,0,0,,BC a CE a a λ=-=-，
∴22222222000000n BC x x ay az y z n CE λλ??===????????-+=-=?=?
???，
取2
1z =，则2y λ=，()()2222,,0,,1n x y z λ==， …………9分
∵二面角C -AE -D 的大小为120， ∴(]12122
12
11
cos ,,0,1112
n n n n n n λλλ?=
=
=∈?=+， ∴1λ=为所求. …………12分
10. 解：（I ）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为3
1
，且三
人投票相互没有影响， ∴??
? ???
?? ??=
3231)(223C A P ＋.277313
33=?
?? ??C ……………………6分
(II)所含“获奖”和“待定”票数之和X 的值为0，1，2，3.
()2713103=??? ??==X P ; ()276313212
13=??? ????? ??==C X P ; ()271231322223=??? ?????
??=
=C X P ; ()2783233
=??
?
??==X P . ……8分
因此X 的分布列为
…………10分
所以X 的数学期望为()
27
612710?
+?
=X E .2278
327122=?+?+ . ……12分 （亦可X 服从二项分布B （n ,p ）同样给分）（12分）
20.解：（I ）由条件可知，1,2c a ==， …………2分
故2
2
2
3b a c =-=，
椭圆的标准方程是
22
143
x y +=. …………4分 (II)由AM MB λ=，可知,,A B M 三点共线，设1122(,),(,)A x y B x y 点点. 若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意. …………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-.
由22(4)143
y k x x y =-???+
=??消去y 得()2222343264120k x k x k +-+-=. ①
由①的判别式24222
324(43)(6412)144(14)0k k k k ?=-+-=->，解得214
k <
. 21222
1223243
641243k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?
， …………7分 由2122164437k x x k +==+，可得2
18k =
，如图4
k =. …………9分
将2
18
k =
代入方程①，得2
7880x x --=，
1,2
x 又因为),4(11y x --=,),4(22y x -=，MB AM λ=，
所以124,4x x λλ-=
=
-所以 …………12分 21.解答：（I ） ()a f x x '=
，(2)22
a
f '==，4a =. …………2分 (Ⅱ)令21
11
()(ln 1),()()g x a x g x a x x x
'=-+=-
. ………4分 令()0g x '>，即2
11
()0a x x -
>，解得1x >， 所以()g x 在(0，1)上递减，在(1,)+∞上递增.
所以()g x 最小值为(1)0g =，所以1()(1)f x a x
≥-. ………6分
(Ⅲ) 由题意可知1x a
a
e e x <，化简得
1ln x x a -<，a ＞x
x ln 1
-. …………８分 ,ln 1)(令x x x h -=()()
2
ln 11ln )('x x x x x h --=则，
()().ln 1
1ln '2
x x x x h +
-=
∴ …………9分
由（Ⅱ）知，在(),01
1ln ，
,1>+-∈x
x e x 时 ()()()上单调递增，即e x h x h ,1,0'在>∴
()().1-=<∴e e h x h ………………11分
.
1-≥∴e a ………………12分
22.解：（I ） CF =FG ，FCG CGF ∠=∠∴.
AB 圆O 的直径，2
π
=
∠=∠∴ADB ACB .
CE AB ⊥，2
π
=
∠∴CEA .
CAB ACE CAB CBA ∠-=
∠∠-=
∠2
,2
π
π
，ACE CBA ∠=∠∴.
DGA CGF ∠=∠ ，,2
2
,ABC DGA ABC DGA ∠-=
∠-∴
∠=∠π
π
DAC CAB ∠=∠∴，的中点为劣弧BD C ∴. …………5分
(II) GCF FCB CGB GBC ∠-=
∠∠-=
∠2
,2
π
π
，
FCB GBC ∠=∠∴，FB CF =∴，.FG BF =∴ …………10分
23．解：（I ）圆的标准方程为2
2
16x y +=. …………2分
直线l 的参数方程为1cos 62sin 6x t y t ππ?=+????=+??
，即1122
x y t
?=+????=+??（t 为参数）. …………5分
（Ⅱ）把直线的方程12122
x y t ?=+???
?=+??代入2216x y +=，
所以1211t t =-，即=11PA PB ?． …………10分
24.解：（I ）当x 4≥ 时， f (x )=2x +1-(x -4)=x +5>0，得x >-5，所以x 4≥成立. 当42
1
<≤-
x 时，f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0，得x >1，所以1 1 - (II)f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x . 当时等号成立或2 14-≤≥x x ，所以m <9. …………10分
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