初中几何常见基本图形
AOC=BOＤ
AOD=BOC
OD OE
①BAD=C CAＤ=
Ｂ
②ＡD2=BD·CD
③AB2=ＢＤ·BＣ
④AC2=CＤ·BC
P＝A＋B＋Ｃ
A+Ｂ＝C+D
B=D
P=90+Ａ/2
Ｐ=A/2
Ｐ=90-A/2
①AC平分BAD
②AB=CB
③BC∥AD
AP平分BＡＣ
PB＝PＣ
①AB=AC
②BD=CD
③AD
BC
几何基本图形
1、如图,正三角形ＡBC 中，AE=CD ，AD 、B Ｅ交于F ：
①△ＡE Ｂ≌△A ＤC ②∠B ＦD ＝600 ③△ＡEF ∽△ＡＢE ２、如图,正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为ａ: ①AF ：ＤF:AD ＝2:１：3 ②内切圆半径DF=
a 63 ③外接圆半径AF ＝a 3
3 3、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90０
，∠B=３0０
，AC=ａ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为
a 2
1
3 ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中,∠C=９0０
,ＡB=AC ＝a ,D 是AC 上的点：
F
E
D
B
A
F
E
D
C
B A
D
C
B
A
D
C
A
45
A
B C a 2
5
； ②当ＢD 是角平分线时,ＢD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时,BD 长为
5、如图,如图R ｔ△ＡＢC 中,∠B ＡC=９00，A Ｂ=A Ｃ＝a ，Ｅ、Ｄ是BC 、ＡＣ上的点,且∠
ＡE Ｄ=4５0：①△ABE ∽ECD ②设BE=ｘ,则C Ｄ=a
x
ax 2
2-。
6、如图A Ｂ=AC,∠A ＝36０
，则:BC ＝
2
1
5-ＡB 。 ７、如图ＡＢ＝A Ｃ，D 是BC 上一点，AE=AD,则:
2
1
∠BAD=∠ＥD Ｃ。 8、 如图,D 、E 是△ABC 边BC 上两点,ＡC=CD,B Ｅ=ＢA,则当:①∠ＢA Ｃ＝1000时，∠ＤAE ＝400;②当∠BAC=x 0时,∠D ＡE=2
180x -０
。
9、如图,△BC Ａ中，Ｄ是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠B ＤC=
21
∠Ａ;②当点D 是内心时,∠BDC=2
180A ∠+ 1０、如图，∠AC Ｂ=９００
，DE 是AB 中垂线，则①ＡE=B Ｅ,若ＡC=３,BC=４,设AE=ｘ，
有()2
22
34x x =+-； ②△ＢED ∽△ＢAC 。
１1、如图，Ｅ是正方形A ＢＣD 对角线ＢD 上一点,ＡE 交BC 延长线于点F ，Ｈ是FG 中点：①△ADE ≌△ＣＤE ； ②△ＥGC ∽EC Ｆ； ③EC ⊥C Ｈ； ④EC 是以ＢG 为直径的圆的切线。
12、如图，AB ＣD 、CGFE 是正方形:①△DCG ≌CBCE; ②ＢE ⊥DG 。
?
C
B
A
300
A
B
C
E
A
B C
E
D A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F G
H
A
B
C
D E
F
G
A B C D E F
1３、如图，正方形ＡBCD 对角线交于O,E 是OB 上一点,E Ｆ∥BC ： ①△A ＯE ≌△B ＯF ； ②AE ⊥BF 。
1４、如图，Ｅ是正方形ABC Ｄ对角线上一点,ＥF ⊥CD ，EG ⊥ＢC ： ①ＡE=FG ；②A Ｅ⊥FG 。
1５、如图，将矩形ABC Ｄ顶点B 沿某直线翻折可与Ｄ点重合:
①EF 是BD 中垂线; ②ＢE=D Ｅ,若AB=３,AD=5，设DE=x ，则()2
2
253x x =-+。
16、将矩形ＡBCD 顶点Ａ沿ＢD 翻折，A 落在E 处,如图:
①BD 是AE 中垂线,ＡＢ=ＢＥ；②△BE Ｆ≌△D ＣF;③ＢＦ=DF 。
1７、如图，B 是直线ＤF 上一点,∠
ABC=Rt ∠,过A 、C 做直线的垂线，D 、E 是垂足:①△A ＢD ∽△BCE ； ②当AB=BC 时,△A ＢD ≌△B ＣE 。
１８、如图,以△A ＢC 两边向形外作正方形ABED,ACFG ，H 是B Ｃ中点: ①A Ｈ=
2
1
DG;②E 、Ｆ到B Ｃ所在直线的距离和等于A 到直线B Ｃ的距离；③当∠ＢAC=R ｔ∠时,H Ａ⊥ＤG ；
19、如图,E 是正方形对角线上一点，Ｆ是BC 边上一点∠AEF=900:则E Ｆ=ＣE 。
20、如图，H 是矩形对角线ＢD 上一点Ｅ、Ｆ是矩形两边上的点,∠EHF=90０
，则过Ｈ作ＨM ⊥B Ｃ，HN ⊥AD,就有17题基本图形。
２1、如图，AD 是△A ＢC 角平分线,BE ⊥AD,作出常用辅助线（延长B Ｅ与AC 相交即可),并体会结果。利用角平分线翻折。
２2、如图，E 是AC 中点，F 是B Ｅ中点,当ＡD=８时:则D Ｆ=2。注：可作多种辅助线，有利于提高转比能力。
2３、如图，Ｄ是△ＡBC 边上一点，ＢD:D Ｃ=1：2，E 是AD 中点: ①AF ：FC=１：3 ②B Ｅ：EF=2：１ ③S CDEF ：S A ＢC ＝7：12
２4、如图，D 是B Ｃ中点，E 是AB 上一点AE:EB=３：2:①AF ：ＦＤ=3:１ ②ＥＦ：CF=3：5 ③S ＡEF :ＳEFD Ｂ=9：1１。
A B C
D E
F O
A B C D E F G A B C D
E F O
B F
E
D C A
G
H A B C D E
F A B C
D E F H
A E
A
E
F E A F
E A F
25、如图:梯形A ＢCD 中，AD ∥ＢC ，AC=BD,则ＡB=CD,可利用①平移——过D 作DM ∥AC 交BC 延长线于M ；②分割——过Ａ、D 作BC 垂线。
26、如图为对角线相等的四边形ＡBC Ｄ（例如矩形),则连结四边中点形成的四边形是菱形。 ２7、如图为对角线互相垂直的四边形ＡB ＣＤ(例如菱形),则该四边形中点围成的四边形是矩形。
２８、如图,对边AB,ＣＤ相等的四边形中，Ｅ、Ｈ、F 是边对角线中点，则△ＥHF 是等腰三角形。
29、如图Rt △ABC 中,∠B ＡＣ=９00，AD ⊥BD ，则①A Ｂ2:AD 2=BC:CD ；②
2
221
11AD
AB AC += 30、如图，F 是正方形边CD 中点，ＣＥ=
4
1
ＢC:则 ①AF 2=AD ·AE;②CF 2=CE ·BC 。
31、如图,CD 、BE 是△ABC 高线:①ＢＣ中点在D Ｅ中垂线上；②△ADE ∽△ＡC Ｂ;③当∠Ａ=6００
时，ＤE ＝
2
1。 ３2、如图Ｄ是BC 中点,AC=2CD ；①△CAD ∽C ＢA ；②AC
CD
BC AC AB AD =
=
33、如图，Ｄ是Ｒt △ABC 直角边上中点，CE ⊥AD 则：△DBE ∽△ＤAB 。 3４、如图，梯形ABCD 中,AD ∥BC,已知A Ｄ:BC ＝２:３;①S △AD Ｅ：Ｓ△BEC =４:9 ②S ＡDE :S ＤＥＣ=２:3;③S ＡD Ｅ:S ABCD ＝4：25。
３５、如图,梯形ABC Ｄ中，ＡD ∥BC,ＥF 是中位线,已知A Ｄ：B Ｃ=２：３;①ＥG=FH ②G Ｈ：BC ＝1:6； ③Ｓ△ＯGH ：S ABCD =１：１０0。
36、如图，E 是平行四边形边ＢＣ上一点，BE:CE=3：1，则ＳＤFEC :S △ABCD =19：5６。
A B C
D A
B
D O
A
B
D O
E A
B
C
D
F H
D
C B
A
F
E D
C
B
A E
D
C
B
A
D
C
B
A
C
D
A
D
A
A
D
3７、如图，直角梯形AB ＣＤ中,A Ｂ⊥AD,ＡＤ∥ＢＣ，ＣD=ＡD+BC,E 是AB 中点:①ＤE 、CE 是角平分线 ②∠DEC ＝R ｔ∠。
38、如图，Rt △ＡB Ｃ中，∠BCA ＝９０0，点O 在直角边A Ｃ上，当以Ｏ为圆心的圆与ＢＣ、ＡB 相切时：①BE=BC ②AE 2=AF ·AC ③△AEO ∽ＡＣB ；④当BC ＝3，A Ｃ＝4时,⊙O 半径为
2
3
；⑤当∠A ＝3０0，BC=a 时。AF ＝ＯＦ=ＯC=a 33。 ３9、如图,∠C=Rt ∠,O 是斜边上一点，以O 为圆心的圆与A Ｃ、BC 相切,r 是⊙Ｏ半径：①
1=+BC r AC r ;②当AC=4，BC=３时,ｒ＝7
12
。 ４0、如图,∠C=Rt ∠，O 是斜边上一点,以O 为圆心的圆过点B ，且与A Ｃ相切，r 是⊙O 半径:①ｔg Ａ＝
AD OD AC BC =
; ②当AC=4,ＢC=3时，ＯA=r 35，ＡF=r 3
2
，A Ｄ2=AF ·AB 。
41、如图⊙O 是Rt △ABC 内切圆，①AE=ＡD ，BD ＝ＢＦ,C Ｅ=CF ，2
c
b a r -+=
42、如图，⊙O 切Rt △A ＢC 直角边AC 与斜边AB 于C 、D ，ＤF ⊥B Ｃ，CH 、ＥF 是ＡB 垂线,KE ⊥BC:①△DGE ≌△D ＦＥ ；②△DF Ｃ≌△ＤHC ;③∠ＢDE=∠FDE ；④ＤF 是G Ｅ、ＣH 比例中项；⑤O Ｄ是KE 、AC 比例中项；⑥△DOK ≌△E ＯK ；⑦△ＡOD ≌△AO Ｃ……
43、如图，以AB 为直径的⊙O 切C Ｄ于E ，ＡC 、BD 是CD 垂线：①CE=D Ｅ;②CD ＢF 是矩形。
4４、如图,以ＡＢ为直径的⊙Ｏ中，A Ｃ、ＢD 是弦ＥF 的垂线:①C Ｅ＝DF;②ＣDB Ｇ是矩形；③连结AE ，ＧＦ，∠EAG=∠ＧＦＥ＝∠ＢＥD ……
B A
B
C
D
O
E F
G
H k
B C
45、如图，ＡＢ在直径所在直线上,AB ⊥CD:①∠A=∠F ＣO ；②△CFO ∽△ＡFE ∽△A ＣO ∽△A ＯD 。
4６、如图,⊙O 是△ABC 外接圆，AE ⊥BC,CD ⊥AB,OE ⊥BC:①AH ＣG 是平行四边形；②ＯF=
2
1
AH 。 A
B
C
D
E
A
B
C
O E
F
G F
E
O
D
C
B
A
B
47、如图AB 是⊙O 切线,C 是ＡＢ中点,CED 是割线,则△ＡCE ∽△DCA 。
４８、如图,AD ∥ＢC ，AC 、B Ｄ交于Ｏ,ＥF ∥AD ，则O Ｅ＝Ｏ
F ，
OE
BC AD 1
11=
+。
A
B
C
D O E
F G
H
A
B
C
D
O
E
F
G
H A
C D
A B
C
D
O
E F
４9、如图,点B 在⊙O 上，以B 为圆心的圆与⊙A 的公切线是DE,切点是D 、E ，若ＤE 交AB 于C ；当⊙B 半径是⊙A 的一半时;①∠C=300；
5０、如图,两圆内切于P,大圆弦PC 、ＰＤ交小圆于A 、B ，则AB ∥C Ｄ。 51、如图，⊙O 与⊙O 1内切于P,⊙O 的弦ＡB 切⊙O 1于C ，连结PC 交⊙O 于D ，则:ＰＡ?PB=ＰC?P Ｄ。
52、已知⊙Ａ的圆心在⊙Ｏ上，⊙O 的弦B Ｃ与⊙A 切于Ｐ,若两圆半径为Ｒ,r,则ＡB ?AC =２Rr 。
5３、如图,⊙O １与⊙O 2内切于Ａ,⊙Ｏ1的弦BC 经过O ２，交⊙O 2于D 、E ，若⊙O 1的直径为６，BD:DE:CE=３:4:2，则可设BD=3k ，在利用相交弦定理求⊙Ｏ2半径。
5４、如图，半圆Ｏ与⊙Ｏ1内切于E,⊙O １与半圆直径AB 切于Ｄ，连结ＤO １交半圆于C ，若A Ｂ=３２,⊙O 1直径为12,可将半圆补全，利用相交弦定理求ＣD 长。
55、如图，两圆相交于A 、B,一直线分别交⊙O 1,⊙O 2于Ｄ、E 、F 、G,与AB 交于C ，则DE:ＥC=GF ：ＦC 。 56、如图⊙Ｏ与⊙A 交于B 、C,过点A 作直线交⊙O 于Ｅ,交⊙A 于D,交BC 于F ，则:AD 2=AF ?A Ｅ。
A
57、如图，两圆外切于Ａ,?BC 是两圆公切线，①∠BAC ＝９０0；②∠CAO 2＝∠B,∠BAO 1=∠Ｃ。
5８、如图，两圆外切于A ， ＢＣ是两圆公切线，B Ｄ、CE 是直径,①
DAC 在同一直线上;BAE 在同一直线上;②B Ｃ2=BD ?ＣＥ；③BC ２
＝R ?r ；
④若过点D 作⊙O 2的切线，则该切线长等于BD 。
５9、如图,两圆外切于A, ＢC 是两圆公切线,B Ｃ与O １O
２交于P ，①△ＰＣA ∽△PA Ｂ；②当R:r=3：1时，∠Ｐ
=3０0，∠B=30０
。
60、如图，两圆外切于A ， ＢＣ是⊙O １的切线，①△ＢＡＥ∽△D ＢE ；②∠ＢAC+∠ＢA Ｅ=18０0
;③AB ２＝AC ?AD
增补:
61、如图△ＡB Ｃ中,BE ＝ＢD,CF=DC ，①当∠A=４０0时，∠ED Ｆ=700，②当∠A ＝x 0时，∠E ＤＦ=
2
180x
-。 62、如图△ABC 中，DE=BD,DF=D Ｃ，①当∠A=４０0时，∠E ＤF=10０0,②当∠Ａ=x 0时，∠ED Ｆ= x 2180-。
63、如图,△ABC 边ＡB 、AC 中垂线交BC 于Ｄ、E ，①当∠ＢAC=1０００
时,∠DAE=200；②当∠B ＡC=x 0(x>900)时，∠ＤＡE=２x –1８０0。 ６4、如图,DE ＦG 是△ＡBC 内接矩形,则
BC
DE
AH AK =
；当△ＡB Ｃ是直角三角形时,经常用AB
BD
AH DG =
。
D
B D F
E
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
A
B
C
H D
F
E
G K A
B
2.（2015?甘孜州）如图所示的几何体，从正面看的平面图形是（A ） 3.（2015-通辽）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体 , < D ） 5.下面的图形'是由A 、B 、C 、D 中的哪个图旋转形成的 （A ） 第四章《几何图形初步》章末专题训练 类型1:立体图形的三种视图及展开图 1.（2015-黄石）下列四个立体图形中'从左面看为长方形的是（B ） S ? A 3 ①正方体 ②球 ③国锥 ④国柱 A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ B C. B. 4?在下面的图形中是正方体的展开图的是（B ） B. C.
6.（2015-茂名）如囹是一个正方体的平面展开图，折盏成正方体后与“建”字所在面 相对的面的字是（C ） A-创 B.教 C.强 D.市 7.如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm 的小正方体堆成一个几何体. （1）这个几何体由10个小正方体组成. （2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的赧，则在所有的小正方体中，有1个正方 体只有一个面是黄色，有2个正方体只有两个面是黄色，有3个正方体只有三个 <3）这个几何体喷糠的面积为3200 cm2. 8.（2015-随州）如图是一个长方体的三视图（单位：cm）,根据图中数据计算这个长方体 的体积是24 cm3. 9.以长为24皿，赏为10cm的长方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成一个圆柱.贝U这个圆柱的底面半径是24或10 cm. 10.（2015-牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视 图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是7个. 主视图俯视图类型2：线段的和、差、倍、分的计算 1?如图，点C为线段局的中点'点D为线段AC的中点、已知AB=8,则BD= （ C ）
432 1F E D C B A 432 1F E D C B A F E D C B A H G F E D C B A c b a C B A D C B A F E D C B A C B A 初中数学几何基本图形 1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。） ∴∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补。） 2． 平行线的判定： （1）∵∠1=∠2（已知） ∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知） ∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。） （3）∵∠1+∠4=180o （已知） ∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知） ∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。） 4． 两条平行线间距离： ∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH （平行线间距离处处相等。） 5． 三角形的性质： （1）∠A+∠B+∠C=180o （三角形内角之和为180o 。） （2）a+b ＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个 外角等于与它不相邻的两个外角之和。） 6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知） ∴AD ⊥BC 即∠ADC=900（三角形高的意义） （2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） ∴AF=FC=12 AC （AC=2AF=2FC ）（三角形中线的意义） （3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知） ∴∠ACE=∠BCE= 1 2 ∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 6． 等腰三角形的性质和判定： （1）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、
初中几何基本图形及证明 说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1 结论：如图，若P点是B和C 的平分线的交点，则P和A的数量关系 1为： P 90 A 2 基本图形2 结论：如图，若P点是FBC的平分线和ECB 的平分线的交点，则P与 A 的数量关系为：P 1 90 A 2 基本图形3 如图，若P是ABC 的角平分线和ACB的外角平分线的交点，则P与A 的数量关系为：P 1 A 2
二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形 4 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，D 点与C 点分别在 AB 两侧，且 AD BD ， 基本图形 5 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 D 与C 在 AB 同侧，且 AD BD ，形 三：线段和最短与轴对称 基本图形 6 两定点一动点 如图，A ，B 为直线l 同侧两定点， P 为直线l 上一动点， A 和A 1关于l 成轴对 形成共斜边的两个直角三角形。结论： AD BD 2CD 延长 DA 使 EA BD ) AD BD 2CD B （截取 AE BD ） E B 成共斜边的两个直角三角形。结 论：
称，连接A1B交直线l于P点。结论：PA PB最短 A1 基本图形7 一定点两动点 如图P为AOB内一点，点P1与P关于OB成轴对称，P2与P关于OA成轴 对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F 点。结论：△ PEF 的周长最短 P2 基本图形8 两定点两动点 如图，A ，B为直角坐标系中的两定点，A1与A关于y轴对称，B1与B关于x 轴对称，连接A1B1分别交x轴、y轴于C、D两点，连A，B，C，D 结论：
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力． 几何图形的定义： 1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素． （1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置． （2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点． （3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有 尽头． （4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸 （5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点． （6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交． （7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边． （8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角． 教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大． （9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点． 边 边 顶点 直角锐角钝角 顶角顶角 边边 角 角 角顶角 边 知识点拨
（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫 斜边． （11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外 的一条边叫”底”． （12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形． （13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)． （14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角． （15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角． （16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． （17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等． （18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下 底，相等的两边叫腰． 直角边 斜边 直角边 腰 腰 底 直角边 直角边 斜边 腰腰 底边边 边 角 角 角 腰 腰 下底 上底
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O （1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数. （2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论. （3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由. 【答案】（1）解：∵ 而 同理： ∴ ∴ （2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为： （3）解：仍然成立. 理由如下：∵ 又∵ ∴
【解析】【分析】（1）先计算出 再根据 （2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据 即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°． 2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。 （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。 【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD． 证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠BAC的角平分线时， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED=∠C，ED=CD， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED=∠B+∠EDB， ∴∠B=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CD， ∴AB=AE+DE=AC+CD.
初中几何常见基本图形 AOC=BOD AOD=BOC OD OE ①BAD= C CAD= B ②AD2=BD·CD ③AB2=BD·BC ④AC2=CD·BC P=A+B+C A+B=C+D B=D P=90+A/2 P=A/2
P=90-A/2 ①AC平分BAD ②AB=CB ③BC∥AD AP平分BAC PB=PC ①AB=AC ②BD=CD ③AD BC
几何基本图形 1、如图，正三角形ABC 中，AE=CD ，AD 、BE 交于F ： ①△AEB ≌△ADC ②∠BFD=600 ③△AEF ∽△ABE 2、如图，正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为a ： ①AF ：DF ：AD=2：1：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF=a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=a ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3 ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中，∠C=900，AB=AC=a ，D 是AC 上的点：
F E D B A F E D C B A D C B A D C A 45 A B C 为 a 2 5 ； ②当BD 是角平分线时，BD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时，BD 长 5、如图，如图Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=a ，E 、D 是BC 、AC 上的点，且∠ AED=450：①△ABE ∽ECD ②设BE=x ，则CD=a x ax 2 2-。 6、如图AB=AC ，∠A=360，则：BC= 2 1 5-AB 。 7、如图AB=AC ，D 是BC 上一点，AE=AD ，则： 2 1 ∠BAD=∠EDC 。 8、 如图，D 、E 是△ABC 边BC 上两点，AC=CD ，BE=BA ，则当：①∠BAC=1000时，∠DAE=400；②当∠BAC=x 0时，∠DAE=2 180x -0 。 9、如图，△BCA 中，D 是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠BDC= 21 ∠A ；②当点D 是内心时，∠BDC=2 180A ∠+ 10、如图，∠ACB=900，DE 是AB 中垂线，则①AE=BE ，若AC=3，BC=4，设AE=x ， 有()2 22 34x x =+-； ②△BED ∽△BAC 。 11、如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，AE 交BC 延长线于点F ，H 是FG 中点：①△ADE ≌△CDE ； ②△EGC ∽ECF ； ③EC ⊥CH ； ④EC 是以BG 为直径的圆的切线。 12、如图，ABCD 、CGFE 是正方形：①△DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。 C B A 300 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G
几何图形初步专项训练 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD 的值（ ） A ．35 B ．34 C ．45 D ．67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：12 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ， ∴AC ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝37 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12 AB ，
∴3 6717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE =90°，∠A =45°，∠E =60°，点F 在CB 的延长线上．若DE ∥CF ，则∠BDF 等于（ ） A ．30° B ．25° C ．18° D ．15° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 3．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）
初中几何常见基本图形
C
F E D C B A F E D C B A D C A 几何基本图形 1、如图，正三角形ABC 中，AE=CD ，AD 、BE 交于F ： ①△AEB ≌△ADC ②∠BFD=600 ③△AEF ∽△ABE 2、如图，正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为a ： ①AF ：DF ：AD=2：1：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF=a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，AC=a ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3- ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中，∠C=900，AB=AC=a ，D 是AC 上的点： 为 a 2 5； ②当BD 是角平分线时，BD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时，BD 长 C B A 300
D C A 45 A B C 5、如图，如图Rt △ABC 中，∠BAC=900，AB=AC=a ，E 、D 是BC 、AC 上的点，且∠AED=450： ①△ABE ∽ECD ②设BE=x ，则CD=a x ax 22-。 6、如图AB=AC ，∠A=360，则：BC= 2 1 5-AB 。 7、如图AB=AC ，D 是BC 上一点，AE=AD ，则： 2 1 ∠BAD=∠EDC 。 8、 如图，D 、E 是△ABC 边BC 上两点，AC=CD ，BE=BA ，则当：①∠BAC=1000时，∠DAE=400；②当∠BAC=x 0时，∠DAE=2 180x -0 。 9、如图，△BCA 中，D 是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠BDC= 21 ∠A ；②当点D 是内心时，∠BDC=2 180A ∠+ 10、如图，∠ACB=900，DE 是AB 中垂线，则①AE=BE ，若AC=3，BC=4，设AE=x ，有 ()22234x x =+-； ②△BED ∽△BAC 。 11、如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，AE 交BC 延长线于点F ，H 是FG 中点： ①△ADE ≌△CDE ； ②△EGC ∽ECF ； ③EC ⊥CH ； ④EC 是以BG 为直径的圆的切线。 12、如图，ABCD 、CGFE 是正方形：①△DCG ≌CBCE ； ②BE ⊥DG 。 13、如图，正方形ABCD 对角线交于O ，E 是OB 上一点，EF ∥BC ： ①△AOE ≌△BOF ； ②AE ⊥BF 。 14、如图，E 是正方形ABCD 对角线上一点，EF ⊥CD ，EG ⊥BC ： ①AE=FG ；②AE ⊥FG 。 15、如图，将矩形ABCD 顶点B 沿某直线翻折可与D 点重合： ①EF 是BD 中垂线； ②BE=DE ，若AB=3，AD=5，设DE=x ，则()2 2 253x x =-+。 16、将矩形ABCD 顶点A 沿BD 翻折，A 落在E 处，如图： ①BD 是AE 中垂线，AB=BE ；②△BEF ≌△DCF ；③BF=DF 。 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G
第一章基本的几何图形 §1.1我们身边的图形世界 【学习重点与难点】 重点：了解几何体、多面体、面、平面图形的特征. 难点：培养提高学生的观察力、想象力、和创新能力. 【学习过程】 导入新课 看P4页美丽海滨城市图片，你看到哪些熟悉的图形？小组讨论回答看谁说的多？ 一、新知学习： 1.几何体的认识 （1）你熟悉下面的立体图形吗？用线把图形和它们的名称连起来 球正方体圆柱圆锥长方体 （2）像长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是（）简称为体（）和（）的面都是平的，像这一类几何体也叫多面体.（）（）（）的面有曲的面. 2、平面的学习 （１）数学上的“平面”是 ,平面没有，没有， 是 . （2）正方体由个面围成，圆柱是由个面和个面围成，圆锥是由个面和个面围成，球是由个面围成 §1.2点、线、面、体 重点：点线面体如何形成的. 难点：对几何图形本质特征的正确认识. 【学习过程】 一、导入新课：请同学们自己看课本P8页上的图画，你有什么发现？.
二、新知学习： 1、点线面体如何形成？ 从课本P8页上的图中你发现了：点动成，线动成，面动成 2、几何图形 （1）都是几何图形。 （2）几何图形分为平面图形和立体图形 如果，那么这样的几何图形叫做平面图形。 如果，那么这样的几何图形叫做立体图形。 你能举出你学过、见过的平面图形吗？ 你能举出你学过、见过的立体图形吗？ 3. 几何图形的本质特征 （1）观察圆柱和长方体，正方体，我们发现面与面的交接处是，线可以是直的，也可以是曲的。 在长方体和正方体中，相邻两个面的交接处是一段直的线，我们把它叫做。 （2）线与线的交接处是。 在长方体或正方体中，棱与棱的公共点叫做长方体或正方体的。 注意：1.点是组成几何体的基本元素。 2.点没有大小，线没有粗细，面没有厚薄。 2.动动手：你一定能从中发现数学的美妙！ 请同学们自己做一个正方体纸盒. 1.观察立方体的形状它是有几个面组成的？这些面的大小和形状都相同吗？ 2.两个面的相接处是什么图形？ 3.棱和棱的相接处是什么图形？ 4.数一数立方体有几条棱？几个顶点？ 5.把正方体纸盒剪开得到一个什么图形？如果展开的 方法不同，得到的图形相同吗？ 动手做一做你能得到多少种平面图形？与同学交流.
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形：
几何中常见的基本图形(1) 若AC=BD则AB=CD 若AB=CD则AC=BD 若∠1=∠2，则∠BAD=∠ CAE； 若∠BAD=∠CAE，则∠1=∠2。 如左图箭头形状： ∠BPC=∠A+∠B+∠C
如左图蝶形所示 ∠BAC +∠DBA =∠BDC +∠ DCA 如左图所示 点A 、O 、B 在一条直线上， 线段OE 平分∠BOC ,OD 平分∠COA ,则OD ⊥OE 或∠EOD =90° A 线段BP 平分∠CBA ，PC 平分∠ACB 则∠BPC =90°+1 2 ∠BAC B
①AC 平分∠DAB ；②AD =CD ；③CD //AB 以上3个结论“有二可推另一个 ” A 若AP 平分∠CAB ，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，则PB =PC ； 相反，若PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，PB =PC ，则AP 平分∠CAB 。 A AB //DC ， 则∠ABE +∠EDC +∠BED =360°或∠ABE +∠EDC =360°-∠BED AB //DC ， 则∠BED =∠ABE +∠EDC A B C
点A、O、B在一条直线上， 若OC⊥ OD， 则∠1+∠2=90°或∠1和∠2互余A B AB// ED//FG，BC//EF， ∠CBA=∠FED；∠CBA+∠GFE=180° 一个角的两边分别平行于另一个角 的两边，则这两个角相等或互补。 B C E 如左图1,∠POQ内一点C，CA⊥QO于A， CB⊥OP于B，则∠POQ+∠ACB=180°； 如左图2,∠POQ外一点C，AC⊥OQ于 A， CB⊥OP于B，则∠ POQ=∠BCA。 一个角的两边分别垂直于另一个角的两 边，则这两个角相等或互补。 图1 P O 直线a//b，点C、D、E都在直线a上， 则SΔCAB=SΔDAB=SΔEAB 结论：夹在平行线间同底的三角形面积相等。 或：等底等高的三角形面积相等。
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含答案)
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七年级期末总复习图形的初步专项 1．如图，该几何体的展开图是( ) A. B. C. D. 2．左图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （S） 3．下面的四个图形中，每个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（） A. B. C. D. 4．如图所示的几何体是由以下四个图形中的哪一个图形绕着虚线旋转一周得到的（） A. B. C. D. 5．用一副三角尺画角，不能画出的角的度数是（） A. 15o B. 75o C. 145o D. 165o 6．n棱柱的棱数与面数之和等于( ) . A. 3n B. 4n+2 C. 3n+2 D. 2n+2
7．将正方体展开后，不能得到的展开图是（ ）. A. （A ） B. （B ） C. （C ） D. （D ） 8．如图，是由几个相同的大小的正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，该几何体最多是用（ ）个小正方体搭成的. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．一个正方体的平面展开图如图所示，则正方形3的对面是正方形_________． 10．一个棱柱有21条棱，则它有_______个面． 11．如图，该图中不同的线段共有_______条. 12．如图，AB∥CD，∠1=64°，FG 平分∠EFD，则∠2=___________度． 13．如图， B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知8.9cm AE =， 3cm BD =，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为_______ cm ． 14．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是______________．
初中几何常见基本图形 AOC=BOＤ AOD=BOC OD OE ①BAD=C CAＤ= Ｂ ②ＡD2=BD·CD ③AB2=ＢＤ·BＣ ④AC2=CＤ·BC P＝A＋B＋Ｃ A+Ｂ＝C+D B=D P=90+Ａ/2 Ｐ=A/2
Ｐ=90-A/2 ①AC平分BAD ②AB=CB ③BC∥AD AP平分BＡＣ PB＝PＣ ①AB=AC ②BD=CD ③AD BC
几何基本图形 1、如图,正三角形ＡBC 中，AE=CD ，AD 、B Ｅ交于F ： ①△ＡE Ｂ≌△A ＤC ②∠B ＦD ＝600 ③△ＡEF ∽△ＡＢE ２、如图,正三角形ABC 中，F 是△ABC 中心，正三角形边长为ａ: ①AF ：ＤF:AD ＝2:１：3 ②内切圆半径DF= a 63 ③外接圆半径AF ＝a 3 3 3、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90０ ，∠B=３0０ ，AC=ａ，D 是AC 上的点： ①内切圆半径为 a 2 1 3 ②外接圆半径为a 4、如图Rt △ABC 中,∠C=９0０ ,ＡB=AC ＝a ,D 是AC 上的点：
F E D B A F E D C B A D C B A D C A 45 A B C a 2 5 ； ②当ＢD 是角平分线时,ＢD 长为a 224-。 ①当D 是AC 中点时,BD 长为 5、如图,如图R ｔ△ＡＢC 中,∠B ＡC=９00，A Ｂ=A Ｃ＝a ，Ｅ、Ｄ是BC 、ＡＣ上的点,且∠ ＡE Ｄ=4５0：①△ABE ∽ECD ②设BE=ｘ,则C Ｄ=a x ax 2 2-。 6、如图A Ｂ=AC,∠A ＝36０ ，则:BC ＝ 2 1 5-ＡB 。 ７、如图ＡＢ＝A Ｃ，D 是BC 上一点，AE=AD,则: 2 1 ∠BAD=∠ＥD Ｃ。 8、 如图,D 、E 是△ABC 边BC 上两点,ＡC=CD,B Ｅ=ＢA,则当:①∠ＢA Ｃ＝1000时，∠ＤAE ＝400;②当∠BAC=x 0时,∠D ＡE=2 180x -０ 。 9、如图,△BC Ａ中，Ｄ是三角形内一点， ①当点D 是外心时，∠B ＤC= 21 ∠Ａ;②当点D 是内心时,∠BDC=2 180A ∠+ 1０、如图，∠AC Ｂ=９００ ，DE 是AB 中垂线，则①ＡE=B Ｅ,若ＡC=３,BC=４,设AE=ｘ， 有()2 22 34x x =+-； ②△ＢED ∽△ＢAC 。 １1、如图，Ｅ是正方形A ＢＣD 对角线ＢD 上一点,ＡE 交BC 延长线于点F ，Ｈ是FG 中点：①△ADE ≌△ＣＤE ； ②△ＥGC ∽EC Ｆ； ③EC ⊥C Ｈ； ④EC 是以ＢG 为直径的圆的切线。 12、如图，AB ＣD 、CGFE 是正方形:①△DCG ≌CBCE; ②ＢE ⊥DG 。 ? C B A 300 A B C E A B C E D A B C D A B C D E A B C D E F G H A B C D E F G
专题训练（一）巧解时钟问题 1. 同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题： (1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度； (2)7点25分时，时针与分针所夹的角是______度； (3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？ [解析] (1)看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°，3×30°＝90°；(2) 方法同(1)，25 12 ×30°＝72.5°；(3)时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可． 解： (1)90 (2)72.5 (3)设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则 6x－0.5x＝2×90，5.5x＝180，x＝360 11 . 24×60÷360 11 ＝24×60× 11 360 ＝44(次)． 答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次． 2. 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？ [解析] 2点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针(重叠)，即在相同的时间内，分针比时针多跑60°(如图4－T－14)．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离(60°)．
图4－T －14 解： 设2点x 分时，时钟的时针和分针重叠，x 分钟内，时针转过0.5x °，分针转过6x °. 则6x －0.5x ＝60， 解得x ＝120 11 . 答：2点120 11 分时，时钟的时针和分针重叠． 3. 在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？ [解析] 在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转 动? ?? ??112°.依据这一关系列出方程，可以求出． 解： 设8点x 分时，时针与分针重合，则x －112x ＝40，解得x ＝48011.即8点480 11分时 出门． 设2点y 分时，时针与分针方向相反，则y －112y ＝10＋30，解得y ＝480 11，即下午2点 480 11 分时回家． 14点 48011分与8点48011 分相差6小时． 答：共用了6个小时． 4. 纪璇同学晚上6点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后， 她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？(精确到分) [解析] 6点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240°(如图4－T －15)．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240°.
八年级（上）几何基本图形及结论 基本图形一、蝶形（对顶三角形） 如图1，AB 、CD 交于O ，则：∠A+∠C=∠B+∠D ； 若∠A=∠D ，则∠C=∠B 基本图形二、 如图2，△ABC 中，AD 为高，AE 为角平分线， 则∠DAE = 1 2 （∠B-∠C ） 基本图形三、 (1)如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于P 点，则∠P=_____________. (2)如图，在△ABC 中，∠B 、∠ACB 的外角平分线相交于P 点，则∠P=_____________. (3) 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于P 点，则∠P=_____________. 基本图形四、“垂直且相等” （1）如图①、②，AC ⊥BC ，且AC=BC ，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，则ＡＤ－ＢＥ＝ＤＥ或 ＡＤ＋ＢＥ＝ＤＥ； 图1 图2 （2）如图③、④，AC ⊥BC ，且AC=BC ，BP ⊥MN 于P ，CQ ⊥MN 于Q ，过C 点向BP 作CD ⊥BP 于D ，则AP-BP=2PQ 或AP+BP=2PQ 。 图3 图4 O B D A P (2)D C P B A (1)P C B A M
基本图形五、角平分线、垂直平分线 （1）AD 平分∠BAC ，O E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则AD 垂直平分EF 。 （2）AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，则CO 平分∠ACB 。 （3）三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心），这点到三角形三个顶点的距离相等。 （4）如图，CD 垂直平分AB ，则AC=BC ，进一步∠A=∠B ，即“垂直平分线” 得“等腰三角形”得“等边对等角”。 （5）如图，AC=BC ，CD ⊥A Ｂ，则AD=BD ，CD 平分∠ACB （三线合一） （6）如图，AC ⊥BC ，AC=BC ，CD ⊥AB ，则AD=CD=BD 。 C B
初一数学《基本的几何图形》测试题 一选择题（每题3分，共45分） 1、平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（） A．1条直线 B．4条直线 C．6条直线 D．1条或4条或6条直线 2、点C是线段AB上一点，点D是BC的中点，若AD=5cm，则AC+AB等于( ) A、8cm B、10cm C、12cm D、不确定 3、过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为（） A． B． C． D． 4、若AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则（） A．点N在线段AB上，点M在线段AB外；B．点M、N均在线段AB上； C．点M、N均在线段AB外； D．点M在线段AB上，点N在线段AB外 5、下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（） A B C D 6、2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、 武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车票． A．6 B．12 C．15 D．30 7、已知线段AB=10cm,在AB直线上有一点C,BC=4cm,M是线段AC的中点,则AM的长是（） A、3cm B、7cm C、3cm或7cm D、6cm 8、把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表 如下．现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体，如图所示，那么长方体的下底面共有（）朵花．
A．15 B．16 C．21 D．17 9、李强同学用棱长为L的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面 被他染成红色的面积为（） A．37 B．33 C．24 D．21 10、长方形剪去一个角后还有（）个角 A、3个 B、4个 C、5个 D、以上都有可能 11、如图所示的正方体的展开图是（） A． B． C． D． 12、有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的结果如图．如 果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为（） A．3 B．7 C．8 D．11 13、如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为（） A．4 B．6 C．8 D．12 14、图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、 第5格，此时这个正方体朝上一面的字是（） A．我 B．的 C．梦 D．中
9 2 初 中 几 何 常 见 基 本 图 形 序号 1 基 本 图 形 A C D B 基 本 结 论 2 3 子母型 ① ② 2· C B 4 ③ 2· ④ 2· 5 C C A 6 D B D 7 D 8 90 + 2 A P B C D
16（）/2 ∥∥18 AD D E ∥ 20AD AE DE == AB AC BC 1090-2 11①平分 ② ③∥ “二推一” ⊕⊕→⊕ 12 13为中线 1:3:2 平分 14 A 12 B D C A ① “二推二” ② ③⊕⊕→⊕⊕ ④1= 15D E D、E为中点2 ∥ B C A D E、F为中点E F 17 B H D C E、F、G、H A为中点 G E B F C 四边形为平行四边形 A型A AE AD AE DE === BD CD AB AC BC 19 B C X型E D A ∥AD AE AD AE DE === BD CD AB AC BC B C 假A型 A E D B C
d B ④ O∠90° 25 AD P A PD == BC PC PB O 26 P A PD AD PC PB BC P 29 ∠∠ ∠∠180°假子母型A 21D2· B B C 221:1:2 A C C ①过圆心二推三 23 A O R E a/2 ②垂直于弦 ③平分弦 平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 ⊕⊕→⊕⊕⊕ R22+(2)2 24A D C为直径 B 蝶型 D A P B C 规型 A B == O D C 27A型 A O B D P · PB PD BD == PC P A AC C A 28O D B AB BC AC == BD AB AD 2· C D A O 30 B C E ①过圆心“二推一” O②过切点 ③垂直于切线 A C B