最美丽的数列------斐波那挈数列
数学科学院宋博文1100500163
在原理课上,我们了解了斐波那挈数列,在课余生活中,我再读小说<达芬奇密码>时,提到了斐波那挈数列,它是被一个艺术家当作线索留给他人的,当时不知道他为什么被艺术家这么看重,以至于可以上升到生命的高度,因此我对斐波那挈数列产生了浓厚的兴趣,所以我结合了老师上课讲的东西,以及自己课下的了解,对斐波那挈数列有了一些认识,现在总结在这里,展示自己学到了什么.
在课上老师讲了斐波那挈数列是由意大利数学家,斐波那挈发明的.当时他是用一个形象的故事为例子而引入的斐波那挈数列.
兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*[(1+√5/2)^n-(1-√5/2)^n]（n=1,2,3.....）
因此斐波那挈数列又叫做兔子数列,我想这个例子真的让我感到数学源于生活,生活的需要是我们不段地通过现象发现数学问题,而不是为了学习而学习,我想斐波那挈不可能真的是通过兔子来发现的这个问题,但他是伟大的数学家,他想告诉我们这种数学问题的本质.
回到正体,提到了斐波那挈的伟大,现在我们在了解一下斐波那挈,我再课下了解到他竟叫做列昂纳多斐波那挈,与列昂纳多达芬奇,并被誉为比萨的列昂纳多.我想数学家有艺术家的称号,并不是一件简单的事.
直观的讲斐波那挈数列1、1、2、3、5、8、13、21、……从第三项开始,每一项都等于前两项之和,有趣的是这样的完全是自然数的数列,竟然可以用无理数来表达的,我记得老师当时好像讲过这一点但是当时好像并不太在意这一点,因为觉得这没什么,但是当我了解到,随着数列项的增加,前一项与后一项之比愈来愈逼近黄金分割的数值0.618时我却是被震惊到了,因为数学可以表达美,我想这是我们不得不赞叹的地方,当数学创造了好多的奇迹时,我想可能会很少人注意到我们数学本质是可以回归到自然的,这样的事例还有很多, 在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的
位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
现在让我们细细的分析斐波那挈数列, 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。普通方法
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
说实话,这个证明是我看到的所有证明中最懂的但是我还是不知道他是如何想到这种证法的,而且也不是十分的懂.
但是斐波那挈的其他证法更多,不难看出学术界很看重这个数列,确实这个数列也被运用到其他问题,先说实际问题,腾讯公司在招收员工时曾考过用编成程序,来解答斐波那挈数列,当时难住了好多应试者,但是本人实在是看不懂编程所以只得作罢. 斐波那挈的运用是我找到的一些例子
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。这样的例子还有很多,向日葵的种子,也就是瓜子的圈数与子数的个数同样有着这样的特性.
这就是我在学习斐波那挈数列所学到的,我真的觉得他是数学美丽的存在.就像黄金分割,这是自然的列,这是智慧的美丽.
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程： 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流，解决问题。 二、合作探究，解决问题 1、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律? ①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列 为斐波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
高中数学竞赛数列问题 一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系 1．因式分解降次。例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次） 2．两边取对数降次。例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n 三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2， 且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有 a n =c 1x 1n +c 2x 2n ，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即 ???+=+=2 222112 2 2111x c x c a x c x c a 或由???+=+=22111 2 10x c x c a c c a 得到。（见训练及考试题） 定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有 a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。 例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的 通项公式 2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(32 1 1≥+= --+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式 3，.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。 4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列 {}n a 的通项公式 四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点1 0--= a b x 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），
高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）01 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ C）。 (2.5分) A．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 B．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程C．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已D．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 第2题 (单选题)在美国，教育技术作为一个新兴的实践和研究领域而出现始于下列选项内容的是（ A）。 (2.5分) A．视听运动 B．计算机辅助教育 C．程序教学法 D．网络技术应用 第3题 (单选题)"教师不应一味以传统集体传授教学的方式进行教学，而应使用能够让学生进行操作或进行社会活动的方式来学习"，这反映的是（ A ）的学习观。 (2.5分) A．建构主义 B．人本主义 C．行为主义 D．认知主义 第4题 (单选题)在视听教学运动背景下，对教育技术基本内涵表述不恰当的是（ C）。 (2.5分) A．在教学过程中所应用的媒体技术手段和技术方法 B．在教学过程中所应用的媒体技术和系统技术 C．在教学过程中所应用的媒体技术 D．在教学过程中所应用的媒体开发和教学设计 第5题 (单选题)关于教学方法的选择，下列选项中说法正确的是（ C ）。 (2.5分) A．教学方法的选择不涉及学习者特征方面因素
高中数学竞赛讲义（五） ──数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2,a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式 a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m 为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B 至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.
定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n 项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。 定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是 人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
最美丽的数列------斐波那挈数列 数学科学院宋博文1100500163 在原理课上,我们了解了斐波那挈数列,在课余生活中,我再读小说<达芬奇密码>时,提到了斐波那挈数列,它是被一个艺术家当作线索留给他人的,当时不知道他为什么被艺术家这么看重,以至于可以上升到生命的高度,因此我对斐波那挈数列产生了浓厚的兴趣,所以我结合了老师上课讲的东西,以及自己课下的了解,对斐波那挈数列有了一些认识,现在总结在这里,展示自己学到了什么. 在课上老师讲了斐波那挈数列是由意大利数学家,斐波那挈发明的.当时他是用一个形象的故事为例子而引入的斐波那挈数列. 兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。 斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*[(1+√5/2)^n-(1-√5/2)^n]（n=1,2,3.....） 因此斐波那挈数列又叫做兔子数列,我想这个例子真的让我感到数学源于生活,生活的需要是我们不段地通过现象发现数学问题,而不是为了学习而学习,我想斐波那挈不可能真的是通过兔子来发现的这个问题,但他是伟大的数学家,他想告诉我们这种数学问题的本质. 回到正体,提到了斐波那挈的伟大,现在我们在了解一下斐波那挈,我再课下了解到他竟叫做列昂纳多斐波那挈,与列昂纳多达芬奇,并被誉为比萨的列昂纳多.我想数学家有艺术家的称号,并不是一件简单的事. 直观的讲斐波那挈数列1、1、2、3、5、8、13、21、……从第三项开始,每一项都等于前两项之和,有趣的是这样的完全是自然数的数列,竟然可以用无理数来表达的,我记得老师当时好像讲过这一点但是当时好像并不太在意这一点,因为觉得这没什么,但是当我了解到,随着数列项的增加,前一项与后一项之比愈来愈逼近黄金分割的数值0.618时我却是被震惊到了,因为数学可以表达美,我想这是我们不得不赞叹的地方,当数学创造了好多的奇迹时,我想可能会很少人注意到我们数学本质是可以回归到自然的,这样的事例还有很多, 在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的
数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,
竞赛辅导 数列(等差数列与等比数列) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{a n}的第n项a n与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列{a n}的通项公式为： 前n项和公式为： 从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列{ }中，等差中项：且任意两项的关系为： 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出： 若 二、等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表示。等比数列{a n}的通项公式是： 前项和公式是：
在等比数列中，等比中项： 且任意两项的关系为 如果等比数列的公比满足0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出： 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则{}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 三、范例 例1．设a p，a q，a m，a n是等比数列{a n}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n， 求证： 证明：设等比数列{}的首项为，公比为q，则 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积， 即：a1+k·a n-k=a1·a n 对于等差数列，同样有：在等差数列{ }中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：a1+k+a n-k=a1+a n 例2．在等差数列{}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得 5a8=120，a8=24 而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及容对照讨论如下： 性质1：若K K ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么K K ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。 性质2：若}{n a 为等差数列，且 ∑∑===k l l k l l j i 11 ，那么 ∑∑===k l j k l i l l a a 1 1 （脚标和相同则对应的 项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===k l l k l l j i 1 1 ，那么l l j k l i k l a a 1 1 ===ππ（脚标和相同则对 应的项的积相同）。 性质3：若}{n a 为等差数列，记K K ,,,,1 )1(1 2 1 1∑∑∑=-+=+==== k i k m i m k i k i k i i a S a S a S ，那么 }{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记K K ,,,,)1(1 1 21 1k m i k l m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ， 那么}{m P 仍为等比数列。 性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则q a S n n -= ∞ →1lim 1 。 例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 1 32+=n n T S n n ， 则=∞→n n n b a lim （ ）A.1 B. 36 C. 32 D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A.130 B. 170 C. 210 D.260 例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若 3 3131 3++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。
详解由递推公式求斐波那契数列的通项公式 武汉市黄陂区第四中学 蔡从江 斐波那契数列的递推公式是121==a a ，11-++=n n n a a a （2≥n 且N n ∈），那么它的通项公式是怎样的呢？不少同学经常问到这个问题。 下面详细解答用待定系数法构造过渡数列求其通项公式。 由递推公式11-++=n n n a a a ，可设)(11-++=+n n n n a a a a λμλ，比较得1=-λμ且1=μλ，即012=-+λλ，解得251±-= λ。若251+-=λ，则251+=μ；若251--=λ，则2 51-=μ。 先以2 51+-=λ，251+=μ求解， 此时)2)(2 15(21521511≥-++=-+-+n a a a a n n n n ， 所以)2()215()215()215(2151211≥+=-++=-+ -+n a a a a n n n n ， 即)2()2 15(2511≥++-=+n a a n n n ， 再另)2]()215([251)215( 11≥+--=+-++n x a x a n n n n 即n n n x x )2 15()215(215)215(1+=+-+++， 所以12 15215=-++x x 即55=x ， 所以 ])215(55[251)215(5511n n n n a a +--=+-++， )2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ，
所以)2]()2 15(551[)251()215(552111≥+--=+--++n a n n n ， )2]()251()251[(5 1])215(551[)251()215(55112111≥--+=+--++=++-++n a n n n n n 所以)3]()251()251[(5 1≥--+=n a n n n ， 又121==a a 适合上式，故 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 同理可得251--=λ，2 51-=μ时，*)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=， 因此斐波那契数列的通项公式是 *)]()251()251[(51N n a n n n ∈--+=
高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾!
斐波那契数列 斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 定义 斐波那契数列指的是这样一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 自然中的斐波那契数列 这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契，生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 通项公式 递推公式 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式
斐波那契数列 每一对兔子过了出生第一个月之后，每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？ 先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律： 不难发现，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 对兔子。 若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当 n 大于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一个古怪的式子： (1) Fn看似是无理数，但当 n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，因为F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。 利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途，因为不能保证兔子真的每月只生
第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n = d n n na a a n n 2 ) 1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有 a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数 列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a n n =+1 ，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时， S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即 b 2=a c (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极 限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为 q a -11 （由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程
用初等数学方法求斐波那契数列的通项公式 斐波那契 (Fibonacci) 数列是着名的数列，有很高的实用价值。多年来，学者们一直在探究它的通项公式的求解方法，已经涌现出了多种方法。但据笔者们所知，这些方法大都需要比较高深的数学知识，例如组合数学的方法、概率的方等等，让人比较难理解，不容易接受。基于此，研究给出了一种简易的初等数学方法，先探求它们的特征多项式，然后通过求解线性方程组的思想，得出它们的通项公式。这种方法深入浅出，有一定的实用价值。 1.斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道着名的兔子繁殖问题. 问题是这样的: 如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+1=3对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契，将这个兔子数列称为斐波那契数列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 2.斐波那契数列的定义 定义:数列F1,F2,… ,Fn,…如果满足条件121==F F ,21--+=n n n F F F (对所有的正整数n ≥ 3),则称此数列为斐波那契(Fibonacci)数列。