2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00?9:40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是()
(A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)?
2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是()
(A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z
(C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z
3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()
(A)(B)(C)3(D)6
4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0()
(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是()
(A)(B)(C)(D)
6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是()
(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0
(C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________．
2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________.
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.
4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．
2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
3．已知C0：x2+y2=1和C1：+=1(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
2000年全国高中数学联赛二试题
（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四
边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．
二．（本题满分50分） 设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，a 1=4，a 2=49，且
n=0，1，2，…… 证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数． 三．（本题满分50分） 有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一
次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3k 次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x |≤0}，B={x |10=10x }，则A ∩?R B 是()
(A ){2}(B ){?1}(C ){x |x ≤2}(D )?
解：A={2}，B={2，－1}，故选D ．
2．设sin ?＞0，cos ?＜0，且sin ＞cos ，则的取值范围是()
(A )(2k ?+，2k ?+)，k ?Z (B )(+，+)，k ?Z
(C )(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z (D )(2k ?+，2k ?+)∪(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z
解：满足sin ?＞0，cos ?＜0的α的范围是(2k ?+，2k ?+π)，于是的取值范围是(+，+)，
满足sin ＞cos 的的取值范围为(2k ?+，2k ?+)．故所求范围是(2k ?+，2k ?+)∪(2k ?+，2k ?+?)，k ?Z ．选D ．
3．已知点A 为双曲线x 2?y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是()
(A )(B )(C )3(D )6 解：A (－1，0)，AB 方程：y=(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，)， ∴S=3．选C ．
4．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ?q ，若p ，a ，q 是等
比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2?2ax +c=0()
(A )无实根(B )有两个相等实根(C )有两个同号相异实根(D )有两个异号实根 解：a 2=pq ，b +c=p +q ．b=，c=；
△=a 2－bc=pq －(2p +q )(p +2q )=－(p －q )2<0．选A ．
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x +
的距离中的最小值
A
B C D E F M
N
是()
(A)(B)(C)(D)
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．
6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是()
(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0
(C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0
解：ω5+1=0，故?，?3，?7，?9都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2
－x+1)=0．选B．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________.
解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．
2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…
+))=________.
解：a n=3n－2C．∴==，故填18．
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.
解：q=====．填．
4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点
为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2．Array故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°．
或由b2=a2－c2=a2=ac，得解．
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的
棱长为a，则这个球的体积是________.
解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，
AE=BE=a，
AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH．
OH==a．V=πr3=πa3．填πa3．．
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}；
(2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
解：a、c可以相等，b、d也可以相等．
⑴当a、c相等，b、d也相等时，有C=6种；
⑵当a、c相等，b、d不相等时，有A+A=8种；
⑶当a、c不相等，b、d相等时，有CC+C=8种；
⑷当a、c不相等，b、d也不相等时，有A=6种；共28种．填28．
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设S n =1+2+3+…+n ，n ?N *，求f (n )=的最大值．
解：S n =n (n +1)，f (n )==≤．(n=8时取得最大值)．
2．若函数f (x )=－x 2+在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．
解：⑴若a ≤b <0，则最大值为f (b )=－b 2+=2b ．最小值为f (a )=－a 2+=2a ．即a ，b 是方程x 2+4x －13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．
⑵若a <0
当x=a 或x=b 时f (x )取最小值，①f (a )=－a 2+=2a 时．a=－2±，但a <0，故取a=－2－．由于|a |>|b |，从而f (a )是最小值．②f (b )=－b 2+==2a >0．与a <0矛盾．故舍．
⑶0≤a
∴－b 2+=2a ．－a 2+=2b ．相减得a +b=4．解得a=1，b=3．
∴[a ，b ]=[1，3]或[－2－，]．
3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：+=1(a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么
条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行
四边形？并证明你的结论．
解：设PQRS 是与C 0外切且与C 1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即PQRS 是菱形．于是OP ⊥OQ ．
设P (r 1cos θ，r 1sin θ)，Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则在直角三角形POQ 中有r 12+r 22=r 12r 22(利用△POQ 的面积)．即+=1．
但+=1，即=+， 同理，=+，相加得+=1．
反之，若+=1成立，则对于椭圆上任一点P (r 1cos θ，r 1sin θ)，取椭圆上
点Q (r 2cos(θ+90°)，r 2sin(θ+90°)，则=+，，=+，，于是+=+=1，此时PQ 与
C 0相切．即存在满足条件的平行四边形．
故证．
第二试
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．
证明：连MN ，则由FM ⊥AM ，FN ⊥AN 知A 、M 、F 、N 四
点共圆，且该圆的直径为AF ．又?AMN=?AFN ，但?FAN=?MAD ，
故?MAD +?AMN=?FAN +?AFN=90?．∴MN ⊥AD ，且由正弦定理知，
MN=AF sin A ． ∴S AMDN =AD ·MN=AD ·AF sin A ． 连BD ，由?ADB=?ACF ，?DAB=?CAF ，得⊿ABD ∽⊿AFC ．
∴AD ∶AB=AC ∶AF ，即AD ·AF=AB ·AC ．
A B C D E M N F
∴S AMDN=AD·AF sin A=AB·AC sin A=S ABC．
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n}满足a0=1，a1=4，a2=49，且
n=0，1，2，……
证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．
证明⑴×7：7a n+1=49a n+42b n－21，
⑵×6：6b n+1=48a n+42b n－24．
两式相减得，6b n+1－7a n+1=－a n－3，即6b n=7a n－a n－1－3．
代入⑴：a n+1=14a n－a n－1－6．故a n+1－=14(a n－)－(a n－1－)．
其特征方程为x2－14x+1=0，特征方程的解为x=7±4．
故a n=α(7+4)n+β(7－4)n+,现a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．
∴a n=(7+4)n+(7－4)n+=(2+)2n+(2－)2n+
=[(2+)n+(2－)n]2．
由于[(2+)n+(2－)n]是整数，故知a n是整数的平方．即为完全平方数．三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．解：由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3k次，共有C=C个n－2人组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C=C个n－2人组，即每次通话都被重复计算了C次．即总通话次数应为·3k次．
由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n?3k．
若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0．
由n－2|3k，n=3m+2，(m为自然数，且m≤k)，此时
·3k=·3k=[3m+4+]·3k－m，即3m－1|6．
∴m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．
又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求．
∴n=0，5．
1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
2017高一数学竞赛试题 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《2017高一数学竞赛试题》的内容，具体内容：在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你!一、选择题：(本大... 在我们的学习生活中，考试试卷的练习是我们的重要学习方式，我们应该认真地对待每一份试卷!下面是有我为你整理的2017高一数学竞赛试题，希望能够帮助到你! 一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的) 1.已知 , 为集合I的非空真子集，且 , 不相等，若，则 ( ) A. B. C. D. 2.与直线的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为 () A. = 32 B. =32 C. =32 D. =-32 3. 已知过点和的直线的斜率为1，则实数的值为 ( ) A.1 B.2 C.1或4 D.1或2 4. 已知圆锥的表面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 ( ) A. B.2 C. D.
5. 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为 () ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直; ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥; ③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l; ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线; A.3 B.2 C.1 D.0 6. 已知函数定义域是，则函数的定义域是 ( ) A. B. C. D. 7. 直线在同一坐标系中的图形大致是图中的 ( ) 8. 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 ( ) A. B. C. D. 9.设函数，如果，则的取值范围是 ( ) A. 或 B. C. D. 或 10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是 () A. B. C. D. 11.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有 .则 ( ) A. B. C. D. 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各个面中，直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.
最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且
上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1
二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A
浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（....） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....） A. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- . C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 012 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 ... C. 24 . D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 ... C. 7 .D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A. . .. 9. 设函数234()(1)(2)( f x x x x x =--()f x = A.0x = B. 1x = . C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x 正视图：上下两个 2
高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程11522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<
数学竞赛典型题目（一） 1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1. 令S 是一个整数集,具有性质: （1）),,2,1(n i S a i =∈ （2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同 （3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈- 证明：S 为全体整数的集合。 2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明： 3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+- 3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。 4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件： （1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0； （2）2004能整除n . 5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。 6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+) ,( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。 8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈?? ????+-是 偶数。 9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：
2015年高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ?=，则a 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是． ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.5 0.320.5,log 0.4,cos 3 a b c π -===，则 A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a << 4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为 A . 1 B . 2 C . 0或2 D . 0，1或2 5．函数()s i n ()f x A x ω?=+（其中0,||2 A π ?><）的图象如图所 示，为了得到()c o s 2 g x x =的图像，则只要将()f x 的图像 A ．向右平移 6π个单位长度 B ．向右平移12π 个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12 π 个单位长度 6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =?=≠，则i j a 不同取值的个数为 A ．6 B ．5 C ．3 D ．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则 m = . 8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++= ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含 点B ）的动点Q 满足DP BQ = ,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ? 的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{} (,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
高中数学竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 43 55 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 13 4 B 4 C 2 D 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设 ,i j 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且
全国高中数学联赛 （10月4日上午8：00—9：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2 +2=0,x ∈R}的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000 ， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． （A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）3 2001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= 2 3 -I,则z 1z 2= 。 9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 。
2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ） ． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈ 答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()()2220x y a x y ++-=表示曲线是三条交于原点的直线． 反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a = 2.函数()234sin sin 2sin cos 2 2x x f x x x ??=-+- ???的最小正周期为（ ）． （A ）2π （B ） 2π （C ）23π （D ）π 答案：（C ） 解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3 π2 3.设双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形， 则双曲线的离心率为（ ）． （A ）12 （B 1 （C ）12 （D 1 答案；(D) 解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF FF =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22 222.a c c +=解得 1.c a = 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） （A ）10 （B ）15 （C ）15 （D ）15 答案：（D ） 解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点
2017年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式3 10 (1)(2)x x -+的展开式中6 x 的系数为 ． 2.已知 3)5a -=,则实数a = ． 3.设2 ()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则2 2a b -的取值范围为 ． 4.设x ,y R ∈,且 222222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+,则x y -= ． 5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数 2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围 为 ． 6.设S 是5 (0,)8中所有有理数的集合，对简分数 q S p ∈，(,)1p q =， 定义函数1()q q f p p +=，则2 ()3 f x = 在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆2 2 (1)(2)1x y -+-=和圆2 2 (3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ． 8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ． 9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ?=r r ，则|(1)|a b c λλ---r r r 所有取不到的值的集合为 ． 10.已知2 2,0, ()1,0, x x f x x x -
全国高中数学联赛试题 一、填空题 1、若正数b a ,)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则b a 11+的值为__________ 2、设集合}21|3{≤≤≤+ b a b a 中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________ 3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______ 4、数列}{n a 满足)(1 )2(2,211?+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________ 5、已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________ 6、设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________ 7、设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。若点P 满足1=PI ，则ABC ?与APC ?的面积之比的最大值为__________ 8、设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2 1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________ 二、解答题 9、平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点， 满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直。设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,， （1）证明：R 是一个顶点 （2）球 | |||QR PQ 的最小值
1． 设()442x x f x =+，求和122006200720072007f f f ??????+++ ? ? ??????? ． 2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论． 3．已知2()f x x px q =++，求证(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 4．已知0ab ≠，解函数方程()()(1)af x bf x c x +-=+． 5．设()c bx ax x f ++=2，c b a ,,为实数，如果对于所有适合11≤≤-x 的x 值，都有()11≤≤-x f 成立，则对这些x 的值有424≤+≤-b ax ． 6．证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2． 7．已知, a b 为非零的不共线向量，设条件M ：() b a b ⊥- ；条件N ：对一切x R ∈不等式a xb a b -≥- 恒成立．则M 成立是N 成立的什么条 件？证明你的结论． 8．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并 且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根． 9．设1110()k k k k P x a x a x a x a --=+++ ，式中各系数(0,1,,)j a j k = 都是整数．今设有4个不同的整数1234,,,x x x x 使()(1,2,3,4)i p x i =都等于2．试证明对于任何整数,()x p x 必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个． 10．已知数列{}n a 满足12211,n n n a a a a a ++===+，求数列的通项． 11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档； 其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A B C D 解： 令6,y x = ≤≤ 则2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤∴实数 。选D 。 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 解：注意到,9711301132 2 2 2 +==+由于,0 =+++则2 2 DA == -=?+?+?+++=++22222)(2)(AB CD BC AB +++-=?+?+?+++CD BC AB BC CD BC (2)(22222 22 ),()+?即CD AB BC AD ?∴=--+=?,022222只有一个值得0，故选 A 。 3．ABC ?内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。则 C B A C CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos 111++?+?+?的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222 A A B C B C AA B ++=+ =+-
高中数学竞赛赛题精选 一、选择题（共12题） 1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］ B ．［m-1,n-1］ C ．［)1(),1(--n f m f ］ D ．无法确定 解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A. 2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-39 2 1a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-39 2 n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C. 3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ． 4．已知关于x 的一元二次方程() 02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-a Ｃ．12<<-a Ｄ．2-a 解：令f(x)= () 2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 () 211122-+?-+a a ＜0， 整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ． 5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα5 3 )cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54 x 153y 2<<+--= C ．)5 3x (0 x 54x 153y 2<<--- =
全国高中数学联赛试卷 及答案 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
二○○一年全国高中数学联合竞赛题 （10月4日上午8：00—9：40） 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2 π ）上单调递增的偶函数是 （A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ）k=83 （B ）0 2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(-- -= 的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中 3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα +=n n b a log ， 则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线x y 62 =上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且 421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3 2 1 5 2a a a r r r .2010年全国高中数学联赛试题及答案
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