计算方法实验指导书
河北大学电子信息工程学院
2007年9月
目录
计算方法实验教学计划…………………………………………………………２
实验一MAＴＬAB基本操作……………………………………………………、、3
实验二插值法…………………………………………………………………、、5
实验三线性方程组得直接解法………………………………………………、、７
实验四线性方程组得迭代方法………………………………………………１0
实验五函数逼近与曲线拟合……………………………………………、…、12
计算方法实验教学计划
指导教师:李昆仑
学时数:10学时周4学时２次实验，共3周6次实验，第7—9教学周,
每次实验2学时
所用仪器设备：MＡTLAB7、０实验软件系统
实验指导书:Matｌab实验指导书自编
实验参考书：
《计算方法》, 徐萃薇等编著,高等教育出版社,2０03、7
《数值分析与实验》,薛毅编著，北京工业大学出版社,2005、３
实验项目:
A，MATLAB基本操作
内容:矩阵操作，基本数学函数,逻辑函数操作等;
要求:完成一些基本练习题
B，插值法
内容：Ｌagｒange插值、分段线性插值、三次样条在计算机上用ＭATLＡB软件实现
要求:完成一些基本练习题
C, 线性方程组得求解——直接解法
内容:高斯消元法，列主元素法及其误差分析等在计算机上用MAＴＬAB软件实现。
要求:用实例在计算机上计算与作图。
D，线性方程组得求解——迭代法
内容:向量与矩阵得范数,雅可比迭代法,高斯-赛德尔迭代法及其收敛性等在计算机上用MATL ＡB软件实现。
要求：用实例在计算机上计算。
E, 函数逼近与曲线拟合
内容:曲线拟与与最小二乘方法在计算机上用MＡTLAB软件实现,并用实例在计算机上计算与作图。
要求:用实例在计算机上计算。
实验一ＭAＴLAＢ基本操作
实验目得
熟悉ＭATＬＡＢ得使用方法及特点;学会建立MAＴＬAB搜索路径;熟悉MATLAB工作空间、MATLＡＢ集成环境、命令窗口;掌握MATLAＢ得通用命令、管理命令与函数、管理变量与工作空间得使用方法；
掌握MATＬAＢ基本操作及矩阵基础知识,包括:输入矩阵、矩阵得转置、矩阵元素求与、矩阵下际、矩阵连接、矩阵行列删除、矩阵产生与操作、逻辑与关系运算、操作符与特殊字符、
基本矩阵与矩阵操作、基本矩阵与阵列;掌握特殊变量与常数;掌握基本数学函数。
二、实验内容
利用基本矩阵产生3x3与15x8得单位阵,全１阵,全0阵,均匀分布得随机阵([－1，1]之间),正态分布随机阵(方差4，均值1)
2.利用diａｇ()函数与ｒot90()产生下列矩阵:
0 0 8 2 0 4
ａ= 0 -7 5 b= 0 5 ０
2 3 0 ７０8
然后求解ａ阵得逆矩阵ａa及ｂ阵得特征值与对应特征向量,并利用reshａpｅ将aa阵变换成行向量。
产生一均匀分布在(-5,５)随机阵（5０x２),精确到小数点后一位。
4.编程实现当α∈[－π,π],间隔为１o时，求解正弦与余弦得值，并利用plot（)函数绘制正弦,余弦曲线。
5.利用ｒand函数产生(0,1)间均匀分布得10ｘ１0随机矩阵a,然后统计a中大于等于０、6得元素个数。
6.利用randn函数产生均值为０，方差为１得1０ｘ１０正态分布随机阵,然后统计其中大于－０、5,小于0、5得元素个数。
7.编程实现下表功能:
aｂ
ｂ<=０、5
ｂ＞0、５
a<1
显示‘ｃase 1’
显示‘ｃasｅ2’
a>=1
显示‘caｓｅ３’
显示‘error’
８.有一矩阵a,找出矩阵中其值大于1得元素,并将她们重新排列成列向量b。
9．在一保定市区9月份平均气温变化测量矩阵tｅｍp＿Ｂaoｄing_sｅｐ中(４8x30)，存在有奇异值(大于4２o C,小于０o C)，编程实现删除奇异值所在得行。
10.在给定得100x1０0矩阵中,删除整行内容全为０得行，删除整列内容全为0得列。
三、实验要求
要求在实验前必须预习,将实验内容事先准备好,否则不允许上机。
上机过程中由指导老师检查结果后方可做其她内容。每次实验结束后完成实验报告并在下次实验之前由学委统一交给指导教师。
实验二插值法
一、实验目得与要求
(1）学会Lanｇraｎgｅ插值、Newtｏn插值与Herｍite插值等基本插值方法.
(2)学会Matlab提供得插值函数得使用方法,会用这些函数解决实际问题
(３) 按照题目要求完成实验内容、写出相应得Maｔlａｂ程序给出实验结果.
(4)对实验结果进行分析讨论.
(5)写出相应得实验报告.
实验内容
1、Ｌagranｇe插值公式、
Ｍatｌａb程序:
按照Ｌagrange插值公式编写Matlaｂ程序(函数名:Ｌagｒange、ｍ)
funｃtｉon yi=agranｇe(ｘ,y,xi)
％Lagrange插值多项式,其中，
％x为向量,全部得插值节点;
%y为向量，插值节点处得函数值;
％xi为标量,被估计函数得自变量:
％yi为ｘi处得函数估计值.
n=lengｔh（ｘ);m=1ｅｎgth(y）;
%输入得插值点与它得函数值应有相同得个数
ifn~＝m
ｅrror('The lenｇｔh of X mｕst be equal!')；
return;
end
p=ｚerｏｓ（1,n);
for k＝1：n
t=ones(1，ｎ);
ｆor j=1:ｎ
iｆj~=ｋ
％输入得插值节点必须互异
if abs（x(ｋ）—x(j))< eps
error('the DAＴA iｓeｒrｏe!'）;
rｅturｎ;
end
end
ｐ(ｋ)=prod(t)；
enｄ
yi=ｓｕm(y、*p);
练习１:已知，,,利用Ｌagｒangｅ插值法求得值。
练习2:已知,,，利用Newton插值法求得值，并与上题得结果进行比较。
三、实验要求
要求在实验前必须预习,将实验内容事先准备好,否则不允许上机。
上机过程中由指导老师检查结果后方可做其她内容。每次实验结束后完成实验报告并在下次实验之前由学委统一交给指导教师。
实验三线性方程组得直接解法
实验目得
(１）学会用Gaｕｓs消去法与Matab函数求线性方程组解。
(2)学会对矩阵进行各种分解,如LＵ分解、Cｈolskey分解等,并研究相应得Maｔlab函数。(３）按照题日要求完成实验内容,写出相应得Mａｔlａb程序,给出实验结果.对实验结果进行分析讨论.写出相应得实验报告.
二、实验内容
1、按照Ｇaｕss列主元消去法得算法写出其Matlab程序(Gaｕss、m)。
Maｔlab程序
funcｔion[x,ｄet，ｉｎdex]=Gａｕｓs(A,ｂ）)
％求线性方程组得列主元Gaｕss消去法,其中,
% A为方程组得系数矩阵;
% ｂ为方程组得右瑞项;
％x为方程组得解;
％det为系数矩阵A得行列式得值;
% inｄex为指标变量, indｅｘ=0表示计算失败，iｎdｅｘ＝1表示计算成功、[n，ｍ]=size（A);ｎb=ｌength（ｂ);
%当方程纽行与列得维数不相等时，停止计算,并输出出错信息、
ｉｆｎ~ = m
errｏｒ('Thｅｒows and columns ｏf ｍatrix A must bｅequal');
reｔuｒn
eｎd
%当方程组与右瑞项得维数不匹配时,停止计算,并输出出错信息
if m~ = ｎb
error('Thｅcolｕｍns ｏf A muｓｔbｅequal ｔhｅleｎgｔｈｏf b!'）;
returｎ;
enｄ
%开始计算,先赋初值
inｄex=1;det=1;x＝ｚeｒoｓ(n，１）;
foｒk=1：ｎ-1
％选主元
ａ＿mａx=0
ｆor i=ｋ:n
if ａbs(Ａ（ｉ,k))＞a_max
a_ｍax＝ａbｓ（A(i,ｋ))；ｒ=i;
eｎd
end
ｉｆa_ｍax＜1e-10
indｅx=０;rｅtuｒn;
end
%交换两行
if r>k
for j＝k:n
z=Ａ(k，j）；A(ｋ，j)=A(r,j）;Ａ（r，j)＝z；
end
％消元过程
forｉ=k＋11：H
ｍ＝A(i，ｋ)／Ａ（ｋ,L）；
for i＝k十1:n
m＝Ａ(i,k)/A(k,k);
fｏr j=k+1:n
Ａ(i，j）＝Ａ(i,j)-m*A(k,j)；
end
b(i)=b（i)-ｍ*b(k);
ｅnd
det=dｅｔ*A（k,k）;
end
deｔ=dｅt*A（n，ｎ)；
% 回代过程
if abs(A(ｎ,n))＜1ｅ-10
iｎdex＝0；ｒeturn；
end
ｆｏｒｋ＝n:－１：1
for j=k+1:ｎ
ｂ(k)=b（k)－A(k,ｊ）*x(j）
ｅｎd
ｘ(ｋ)=b(k)/Ａ(k,k）
ｅnd
练习题1:用列主元法求解线性方程组
注意：在Matｌaｂ函数中，求解线性方程组得命令非常简单。只需使用矩阵除法。如X＝A\b,或利用矩阵得逆X＝inv(A)*b。而求行列式得函数为det(A)、请同学自行比较计算结果。练习题2:编写Ｍａｔｌａb程序，求列矩阵得LU分解。
三、实验要求
要求在实验前必须预习，将实验内容事先准备好,否则不允许上机。
上机过程中由指导老师检查结果后方可做其她内容。每次实验结束后完成实验报告并在下次实验之前由学委统一交给指导教师。
实验四线性方程组得迭代解法
实验目得
(1) 学会用Jａcoｂi迭代法、Gaｕss- Seiｄｅｌ迭代法与超松弛迭代法求线性方程组解
(2) 学会对各种迭代法作收敛性分析,研究求方程组解得最优迭代方法．
(3）按照题目要求完成实验内容,写出相应得Matlab程序,给出实验结果．
(4）对实验结果进行分析讨论.
（5) 写出相应得实验报告．
二、实验内容
1、熟悉Jａｃobi迭代法,并编写Mａｔlab程序
matlab程序
按照算法(Ｊａcoｂi迭代法)编写Matｌab程序(Jａcobi、m)
ｆunction［x,ｋ,inｄex］=Jacobi(A,ｂ,ｅp,it_max)
% 求解线性方程组得Ｊａcobi迭代法，其中,
％A为方程组得系数矩阵;
% b为方程组得右端项；
% ep为精度要求,缺省值1e-5;
％it_max为最大选代次数,缺省值１0０；
％x为方程组得解;
% k为迭代次数;
% index为指标变量index=1表示迭代收敛到指定要求,
%, inｄeｘ=0表示迭代失败、
ｉf nargiｎ<4 it_max=100；eｎd
if narｇin<3 ep=1e-5;ｅnd
ｎ=lenｇth(A)；k=0;
x=zeros（ｎ,１);ｙ=ｘ;index=1;
ｗhｉle l
for i=1:n
y(i）=b(i)
ｆor j=1：n
ｉf j = i
y(i)＝y(i)-Ａ(i,j）*x(j);
eｎd
ｅnｄ
iｆａbs(A(i,i))<1e-10｜k=＝iｔ_max
index=0；return；
enｄ
ｙ(i)=y(ｉ)/A(i，ｉ)；
end
if nｏrｍ(y-ｘ,inｆ)＜eｐ
brｅak；
end
ｅ=y;k=k+1;
ｅnｄ
2、熟悉Gauss-Ｓeiｄｅl迭代法,并编写Mａtlab程序
３、练习
练习题1、用Jacobi迭代法求方程组
得解。
练习题2、用Gausｓ－Sｅidel迭代法求解上题得线性方程组，取。
三、实验要求
要求在实验前必须预习,将实验内容事先准备好,否则不允许上机。上机过程中由指导老师检查结果后方可做其她内容。每次实验结束后完成实验报告并在下次实验之前由学委统一交给指导教师。
实验五函数逼近与数据拟合
实验目得
(1) 学会函数得最佳平方逼近,理解最佳平方逼近得意义.
(2）学会数据得最小二乘拟合.
（3）按照题目要求完成实验内容,写出相应得Maｔlab程序，给出实验结果.
(4）对实验结果进行分析讨论.
（5)写出相应得实验报告.
二、实验内容
1.最小二乘算法Matlab程序
算法:
（１) 输入数据与权系数选择函数逼近系。
（２) 求解法方程组。
(３)求出最小二乘逼近。
Ｍaｔｌab程序:
编写成Matlab程序（函数名:squaｒe_leaｓt、m）计算数据最小二乘拟合系数、function S=ｓｑuａｒe_ｌeaｓt(ｘ,y，n,ｗ)
%数据得最小二乘拟合,其中
%ｘ,y为数据得(x,ｙ)坐标;
%n为数据拟合得次数,缺省时n=1；
%w为权值，缺省值w=1;
%S为数据拟合得系数；
％需要另写得外部函数、
%phi(ｘ)为基函数，通常为多项式1,ｘ,x^2,、、、
globaｌ;gｌoｂａl；
ｉf naｒgｉn< 4ｗ= 1; end
if nargin <3n＝１;end
phｉ2＝zeｒoｓ(n+1);
foｒｉ=０:n
for i=0:ｎ
phi２（i＋1,j+1)=sｕm（w、* ｐhi_ｋ(x,ｉ）)、*phi_ｋ(x,j)；
eｎｄ
eｎｄ
phiF= zerｏs(n+1,1);
end
S=phi＼ｐhiF
1.数据得最小二乘拟与
假定某天得气温变化记录如表所示
时间(t）
1
2
3
4
5
６
7
8
9
1０
11
12
温度(ｘ(t))
15
1４
14
14
14
15
１6
１8
2０
22
2３
25
2８
时间(t)
1３
14
15
16
1７
18
19
20
2１
22
２3
2４
温度（x（t)）
３1
３２
31
29
27
2５
2４
2２
20
１8
１7
16
试用最小二乘法确定这一天得气温变化规律。
三、实验要求
要求在实验前必须预习,将实验内容事先准备好,否则不允许上机。
上机过程中由指导老师检查结果后方可做其她内容。每次实验结束后完成实验报告并在下次实验之前由学委统一交给指导教师。