§1.1.2余弦定理
●教学目标
知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入 C
如图1.1-4,在?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b 和∠C ,求边c b a
A c B
(图1.1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?
用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知,所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1.1-5,设CB a =,CA b =,AB c =,那么c a b =-,则 b c
()()
222 2 2c c c a b a b
a a
b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a B
从而 2222cos c a b ab C =+- (图1.1-5)
同理可证 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
222
cos 2+-=b c a A bc 222
cos 2+-=a c b B ac 222
cos 2+-=b a c C ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?
(由学生总结)若?ABC 中,C=090,则cos 0=C ,这时222=+c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1.在?ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A
⑴解:∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-?cos 045
=2121)+-
=8
∴=b
求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
⑵解法一:∵cos 2221,22+-==b c a A bc ∴060.=A
解法二:∵sin 0sin sin45,=a A B b
>2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,?=
∴a <c ,即00<A <090,
∴060.=A
评述:解法二应注意确定A 的取值范围。
例2.在?ABC 中,已知134.6=a cm ,87.8=b cm ,161.7=c cm ,解三角形
(见课本第7页例4,可由学生通过阅读进行理解)
解:由余弦定理的推论得: cos 222
2+-=b c a A bc
22287.8161.7134.6287.8161.7+-=?? 0.5543,≈
05620'≈A ; cos 222
2+-=c a b B ca
222134.6161.787.82134.6161.7+-=?? 0.8398,≈
03253'≈B ;
0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1(1)、2(1)题。
[补充练习]在?ABC 中,若222a b c bc =++,求角A (答案:A=1200)
Ⅳ.课时小结
(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 Ⅴ.课后作业
①课后阅读:课本第8页[探究与发现]
②课时作业:第11页[习题1.1]A 组第3(1),4(1)题。
教学准备 教学目标 1. 知识目标:理解并掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解斜三角形;技能目标:理解用向量方法推导正弦定理的过程,进一步巩固向量知识,体现向量的工具性情感态度价值观:培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; /难点教学重点2. 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC.与边的等式关系。如图11-2,在Rt中,设角三角函数中正弦函数的定义,有 . ,又,则,中,ABC从而在直角三角 形.
思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: ,根上的高是CDABC1(证法一)如图.1-3,当是锐角三角形时,设边AB CD=据任意角三角函数的定义,有,则. . 同理可得,从而
是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后ABC类似可推出,当自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 ] 理解定理[)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系 数为同1 ( ;使一正数,即存在正数k,,
等价于2(),,。从而知正弦定理的基本作用为: ;①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 . 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。. 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 2(1)题。)、(页练习第第随堂练习[]511
1.1.2 从容说课 课本在引入余弦定理内容时,首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角 形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题, 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实 基础上,使学生能够形成良好的知识结构.设置这样的问题,是为了更好地加强数学思想方法的教学.比 如对于余弦定理的证明,常用的方法是借助于三角的方法,需要对三角形进行讨论,方法不够简洁,通过 向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法,发挥了向量方法在解决问题中的威力. 在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个思考问题“勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系, 如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”.还 要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理,能运用正、余弦定理解三角形,并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论,学生展示,熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点:正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题: (1)是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 (2)是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 (3)是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理:在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有 = = = 2、三角形面积公式:C S ?AB = = = 3、余弦定理:C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力:代数运算能力,分类整合,方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷](小组讨论,熟悉定理公式的应用) 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE=1,连接EC 、ED 则sin∠CED=_______(尝试多法) 解3:等面积法 解4:观察角的关系,两角和正切公式 解5:向量数量积定义 练1:在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是( ) A.? ????0,π6 B.??????π6,π C.? ????0,π3 D.???? ??π3,π 解1:由正弦定理a 2≤b 2+c 2-bc ,由余弦定理可知bc ≤b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,即1C D E C D E C D =?==1解:中,, 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解:, sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
著名数学定理 15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(John Horton Conway ,1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理,内容为:如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1,2,3,5,6,7,10,14,15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2),该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理 黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子,三位数的黑洞数为495.简易推导过程:随便找个数,如297,三个位上的数从小到大和从大到小各排一次,为972和279,相减,得693.按上面做法再做一次,得到594,再做一次,得到495.之后反复都得到495.再如,四位数的黑洞数有6174. 阿贝尔-鲁菲尼定理 定理定义:阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值,但数学家也关心根的精确值,以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如, 任意给定二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0),它的两个解可以用方程的系数来表示:a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数,通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式,称为其代数解.三次方程,四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是:任意给定一个五次或以上的多项式方程:()0,500111≠≥=++???++--n n n n n a n a x a x a x a ,那么不存在一个通用的公式(求根公式),使用 n a a a ,,,10??? 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说,当n 大于等于5时,存在n 次多项式,它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说,存在这样的实数或复数,它满足某个五次或更高次的多项式方程,但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程,都 无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦 给出,因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说,某多项式方程有代数解,等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次,三次和四次方程,它们对应的伽罗瓦群是二次,三次和四次对称群: 432,,σσσ ,它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ,这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时,情况也是如此. 阿贝尔二项式定理 二项式定理可以用以下公式表示:()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中,()!!!r n r n C r n -= ,又有 ??? ? ??r n 等记法,称为二项式系数,即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系. 艾森斯坦因判别法 艾森斯坦判别法是说:给出下面的整系数多项式 ()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ,使得p 不整除a n ,但整除其他a i (i=0, 1,...,n -1);p2 不整除a 0 ,那么f (x )在有理数域上是不可约的. 奥尔定理 离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足:G 的 任意两个点u 和v 度数之和至少为n ,即deg (u )+deg (v )≥n ,那么G 必然有哈密顿回路 . 阿基米德折弦定理
1.1.2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标:在创设的问题情境中,引导学生发现余弦定理的内容,推证余弦定理,并简单运用余弦定理解三角形; 能力目标:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出余弦定理,培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力,能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题 转化为代数问题; 情感目标:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,调动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,培养学生学习数学兴趣 和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点:探究和证明余弦定理的过程;理解掌握余弦定理的内容;初步对余弦定理进行应用。难点:利用向量法证明余弦定理的思路;对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点,也是本节课的难点。学生已经具备了勾股定理的知识,即当∠C=900时,有c2=a2+b2。作为一般的情况,当∠C≠900时,三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形,尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系;用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的,原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发,鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明,这样既能开拓学生的视野,加强学生对余弦定理的理解,又能培养学生形成良好的思维习惯,激发学生学习兴趣,这是本节课教学的重点,也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际应用问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,实现了“边”和“角”的互化,从而使“三角”与“几何”有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论依据,同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式,指出了“已知三角形的两边和夹角,无法用正弦定理去解三角形”,进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系,然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程,教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理,最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上,教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子,学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题,从而引发学生的学习兴趣,引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时,考虑到它比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和引导,让学生进行思考,通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜想,获得命题,再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时,学生可能会遇到证明思路上的困难,教师可以适当的点拨。 四、教学过程
【中考数学二轮核心考点讲解】 第15讲非常规思维问题 一、轴对称/翻折的性质 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形; 2. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线; 3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等; 4. 若对应线段或对应线段的延长线相交,则交点一定在对称轴上. 二、梯形常见辅助线的作法 三、圆幂定理
四、正弦定理与余弦定理 五、阿基米德折弦定理
【例题1】(1)如图1,四边形ABCD是菱形,∠BAD=∠BCD=60°,当AC=12时,则△BCD的周长=______. (2)如图2,若四边形ABCD不是菱形,∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°,AC=12,判断△BCD的周长是否发生变化,并说明理由。 (3)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°,AC=12,求△BCD的周长。
【归纳,本题重点巧用作轴对称/翻折的方法进行解题】 【变式1】已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°. (1)探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系; (2)已知:如图(2),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数. 图(1) 图(2) 【解析】(1)DE2=BD2+EC2; (2)当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. 如图,与(2)类似,以CE为一边,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB, 可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA. ∴AD=DF,EF=BE.∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°. 若使△DFE为等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE, ∴当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,且顶角∠DFE为120°.
《余弦定理》教案 (一)教学目标 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题, 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 (二)教学重、难点 重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 (三)学法与教学用具 学法:首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具:直尺、投影仪、计算器 (四)教学设想 [创设情景] C 如图1.1-4,在?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ,求边c b a (图1.1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知,所以较难求边c 。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1.1-5,设CB a =u u r r ,CA b =u u r r ,AB c =u u r r ,那么c a b =-r r r ,则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1.1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
北京市海淀区2018年中考一模数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分) 1.用三角板作ΔABC 的边BC 上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( ) 2.图1是数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方块,它由四个及四个以内大小相同的立方体 以面相连接构成的不规则形状组件组成. 图2不可能... 是下面哪个组件的视图( ) 3.若正多边形的一个外角是120°,则该正多边形的边数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 4.下列图形中,既是中心对称图形,也是轴对称图形的是( ) 5.如果1a b -=,那么代数式2222(1)b a a a b -?+的值是( )A.2 B.2- C.1 D.1- 6.实数a ,b ,c ,d 在数轴上的对应点的位置如图所示. 若0b d +=,则下列结论中正确的是( ) A.0b c +> B. 1c a > C.ad bc > D.a d > b c a d
7.在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源. 下面的统计图反映了我国在线教育用户 规模的变化情况. (以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》) 根据统计图提供的信息,下列推断 一定不合理... 的是( ) A .2015年12月至2017年6月,我国在线教育用户规模逐渐上升 B .2015年12月至2017年6月,我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持 续上升 C .2015年12月至2017年6月,我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万 D .2017年6月,我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70% ※8.如图1,矩形的一条边长为X ,周长的一半为y. 定义〔X ,y 〕为这个矩形的坐标. 如图2,在平面直角坐标系中,直线X=1, y=3将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中. 则下面叙述中正确的是( ) A. 点A 的横坐标有可能大于3 B. 矩形1是正方形时,点A 位于区域② C. 当点A 沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小 D. 当点A 位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等 2015-2017年中国在线教育用户规模统计图 6月 12月 6月 12月
余弦定理 【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决解三角形问题. 【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法;余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾: 正弦定理及其所解决的问题: 二.课题导入 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢? 三.讲授新课 余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍. 公式表达: 2a = ;2b = ;2c = . 推论: cos A = ;cos B = ;cos C = . 定理理解:(1)与勾股定理的关系: (2)余弦定理及其推论的基本作用为: 【典型例题】 例1、在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知3a =,1b =,60C =?. (1)求c ; (2)求sin A . 变式训练1:在ABC ? 中,若a =5b =,30C =?,则(c = ) A B .C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =,4b = ,c =ABC 的最大内角. 变式训练2:有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ,1m +,2m +,则实数m 的 值为( ) A .1 B . 3 2 C .2 D . 52 例3、在△ABC 中,已知3b = ,c =,0 30B =,求边a . 变式训练3:△ABC 中,0 120A =,5c =,7a =,则sin sin B C =____________. A B C b c a
例4、在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,如果(a 2+b 2)sin(A -B )= (a 2-b 2)sin(A +B ),试判断该三角形的形状. 变式训练4-1:在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,试判断三角形的形状. 变式训练4-2:在△ABC 中,已知()()3a b c a b c ab +++-=,且2cos sin sin A B C ?=, 确定△ABC 的形状. 例5、在△ABC 中,a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,且cos cos 2B b C a c =- +. (1)求B 的大小; (2 )若b =,4a c +=,求a 的值. 变式训练5-1:在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C =. (1)求cos C ; (2)若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ,且9a b +=,求c . 变式训练5-2:在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ,已知c =2,C =π 3 . (1)若△ABC 的面积等于3,求a ,b ; (2)若sin B =2sin A ,求△ABC 的面积.