第3课时任意角的正弦函数、
余弦函数的定义与周期性
1.理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义.
2.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义,能利用角α的终边与单位圆的交点坐标写出正弦函数值与余弦函数值.掌握特殊角的正弦、余弦函数值.
3.理解并掌握终边相同的角的正弦、余弦函数值相等.
4.了解周期函数的定义,并能简单应用.
在初中由于学习的知识不够深入和认知的差异,为了便于理解锐角三角函数的概念,我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形,利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数),但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义,这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质是什么?并能对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义.
问题1:一般地,在直角坐标系中(如图),对任意角α,它的终边与圆交于点P(a,b),则比
值叫作角α的,记作:sin α=;比值叫作角α的,记作:cos
α=,r= .
当r=1时,任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b),点P 的纵坐标b是的函数,称为函数,记作:;点P的横坐标a是的函数,称为余弦函数,记作:.
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为,正弦函数值有时也叫正弦值;将余弦函数表示为,余弦函数值有时也叫余弦值.
问题2:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值,即若β=α+2kπ(k∈Z),则sin αsin β,cos αcos β.
问题3:正、余弦函数值的符号
(1)表格表示
问题4:周期函数的有关概念
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在常数T,对定义域内的任意一个x值,都有,我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的.
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数,为正弦函数、余弦函数的周期.如-2π,2π,4π等都是它们的周期.其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为.
1.若sin α<0,cos α>0,则α的终边(不含端点)在().
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知角α的终边经过点(-6,8),则cos α的值为().
A.-
B.
C.-
D.
3.若点P在角的终边上,且|OP|=2,则点P的坐标是.
4.在时钟钟面上,分针从如图位置开始顺时针走动,当分针走过1125°时,求分针针尖到分针起始位置OA的距离(即A'到OA的距离,设分针长为r cm).
判断正弦、余弦函数值的符号
判断下列各式的符号.
(1)cos(-345°);
(2)sin 175° cos 248°.
周期函数的证明
已知f(x+2)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
利用正弦函数、余弦函数的定义求值
已知角α的终边在直线y=-x上,求cos α-的值.
若角α的终边落在直线y=-x上,求+的值.
若函数f(x)是以为周期的奇函数,且f()=1,求f(-)的值.
已知角α的终边经过点P(x,-) (x≠0),且cos α=x,求sin α+的值.
1.等于().
A.±
B.
C.-
D.
2.已知cos θ2sin θ<0,那么角θ是().
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角
3.求下列式子的值:
(1)sinπ= ;(2)cos 405°= .
4.已知函数f(x)在其定义域上都有f(x+1)=-,求证:f(x)是以2为周期的周期函数.
(2011年2江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= .
考题变式(我来改编):
第3课时任意角的正弦函数、
余弦函数的定义与周期性
知识体系梳理
问题1:正弦余弦角α正弦y=sin α(α∈R)角αy=cos
α(α∈R)y=sin x(x∈R)y=cos x(x∈R)
问题2:相同相同= =
问题3:正正负负正负负正
问题4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2kπ(k∈Z,k≠0)最小正周期
基础学习交流
1.D∵sin α<0,∴α在第三、四象限及y轴的负半轴上,由cos α>0,可知α在第一、四象限及x轴的正半轴上,故α在第四象限.
2.A cos α===-.
3.(-1,)∵x=|OP|cos =23(-)=-1,y=|OP|sin =.∴点P的坐标为(-1,).
4.解:1125°=360°33+45°,d=r sin 45°=r(cm).
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角,
∴cos(-345°)>0.
(2)∵175°是第二象限角,248°是第三象限角,
∴sin 175°>0,cos 248°<0,
∴sin 175° cos 248°<0.
【小结】熟记正弦、余弦函数值在各个象限内的符号是解决此类问题的关键,同时可结合图形帮助理解.
探究二:【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.
【小结】一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,使得对任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一个周期为T的周期函数,故解决此类问题的关键是找出周期T,并证明上述等式成立.
探究三:【解析】求角α的正、余弦值关键是确定角α的终边上任一点的坐标,所以在角α的终边上取一点P(4,-3),
则r=|OP|===5.
于是sin α==-,cos α==,
所以cos α-=+=.
[问题]上述解法全面吗?
[结论]角α的终边在一条直线上时,要对角α的终边为射线y=-x(x≤0)还是为射线y=-x(x>0)进行分类讨论.
于是,正确解答如下:
①在角α的终边上取一点P1(4,-3).
则r=|OP1|===5.
于是sin α==-,cos α==,
∴cos α-=.
②在角α的终边上取一点P2(-4,3).
则r=|OP2|===5.
于是sin α==,cos α==-,
∴cos α-=--=-.
综上,cos α-的值为或-.
【小结】(1)在角α的终边上取点,利用定义求sin α,cos α;
(2)若终边落在直线上,则需分两种情况讨论.
思维拓展应用
应用一:当α的终边落在第二象限时,+=+=0;
当α的终边落在第四象限时,+=+=0.∴+=0.
应用二:∵f(x)是以为周期的奇函数,
∴f(-)=-f()=-f(33π+)=-f()=-1.
应用三:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.
又cos α=x,∴cos α==x.
∵x≠0,∴x=±,∴r=2.
当x=时,P点的坐标为(,-),
由三角函数的定义,有sin α==-,==-,
∴sin α+=--=-;
当x=-时,同理,可求得sin α+=.
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1.B=|sin 120°|=.
2.C若cos θ>0,sin θ<0,则θ在第四象限;若cos θ<0,sin θ>0,则θ在第二象限.故选C.
3.(1)1(2)(1)sinπ=sin(+6π)=sin=1.
(2)cos 405°=cos(45°+360°)=cos 45°=.
4.解:∵f(x+2)=-=-=f(x),
即f(x+2)=f(x).
∴由周期函数的定义可知:函数f(x)是以2为周期的周期函数.
全新视角拓展
-8r==,且sin θ=-,所以sin θ===-,则y=-8.
思维导图构建
f(x+T)=f(x)