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一种新型学习算法极限学习机当前研究

一种新型学习算法极限学习机当前研究
一种新型学习算法极限学习机当前研究

大连大学

论文题目:一种新型学习算法极限学习机当前研究

姓名:邹全义

学科、专业:计算机科学与技术

年级: 2015级

日期: 2016年7月

摘要

机器学习是当今大数据时代的核心研究方向,机器学习的研究成果被广泛应用到模式识别、计算机视觉、数据挖掘、控制论等领域当中,并渗透到人们日常生活的方方面面当中。而在机器学习的研究当中,预测、分类的研究占据着重要的地位,预测、分类模型的性能往往是一个应用成果与否的关键。数据挖掘,如支持向量机(SVM)、极限学习机(ELM)等,的潜力已经成为了当今机器学习的主流研究方向。传统前馈神经网络采用梯度下降的迭代算法去调整权重参数,具有明显的缺陷;(1)学习速度缓慢,从而计算时间代价增大;(2)学习率难以确定且易陷入局部最小值;(3)易出现过度训练,引起泛化性能下降。这些缺点制约迭代算法的前馈神经网络的广泛应用。针对这些问题,近几年来,许多学者研究极限学习(ELM)算法,该算法仅通过一步计算即可解析求出学习网络的输出权值,同迭代算法相比,极限学习机(ELM)算法提高了神经网络的学习速度。

关键词:神经网络;极限学习机;分类;回归;数据挖掘

目录

摘要 (1)

目录 (2)

1. ELM 算法概述 (3)

3.当前ELM的研究状况 (6)

4.几种ELM结构选择方式的对比 (8)

总结 (11)

参考文献 (12)

1. ELM 算法概述

虽然神经网络研究经过五十多年的发展,已经取得了诸多显着的理论成果,但由于大规模系统中大数据量,高维度的数据中包含的高不确定性,都使得神经网络辨识速度缓慢而难于满足实际要求。例如在数据挖掘、智能控制领域,使用神经网络控制方法虽然可以辨识高度复杂和非线性系统,解决被控对象复杂和高不确定时的建模问题,但神经网络的实时性是非常差,学习时间过久。

此外,对于大中型数据集的系统辨识和分类、回归问题,传统神经网络方法如BP网络、RBF网络、SVM算法等不仅需要大量的训练时间,还会出现“过

饱和”、“假饱和”和最优化隐含层节点数目难以确定等各种问题。2004年南洋

理工大学Huang G.B.教授等人提出了ELM算法。极限学习机(ELM Extreme Learning Machine)是一种快速的单隐含层神经网络(SLFN)[1,2]。ELM神经网络和BP神经网络、RBF神经网络一样,都是SLFN(single-hidden layer feed forward neural network)。近几年来相继提出了基于极限学习的多种神经网络学习算法,

将神经网络研究又推进了一步。在传统的人工神经网络中,网络的隐含层节点参数是通过一定的迭代算法进行多次优化并最终确定的。这些迭代步骤往往会使参数的训练过程占用大量的时间,并且,例如BP算法很容易产生局部最优解,从而使网络训练过程的效率得不到保证,同时迭代耗时比较多。

图1.1

为增强构建网络的整体性能,ELM神经网络的隐含层到输出层的之间的连接不需要迭代,该算法的特点是在网络参数的确定过程中,隐含层节点参数随机选取,在训练过程中无需调节,只需要设置隐含层神经元的个数,便可以获得唯一的最优解;而网络的外权(即输出权值)是通过最小化平方损失函数得到的最

小二乘解,最终化归成求解一个矩阵的 Moore-Penrose 广义逆[3]。这样网络参数的确定过程中无需任何迭代步骤,从而大大降低了网络参数的调节时间。与传统的训练方法相比,该方法具有学习速度快优点,可以采用最小二乘原理求出[4]。

};,....,{X 21n x x x =为数输入数据},...,{21n y y y Y =为输出数据,i i b a ,表示第i 个隐含层的参数,)(i i i x b a ,,G 为第i 个隐含层的启动函数, i β是第i 隐含层都输出层的连接权值,针对于训练集(X ,Y )具有以下关系;

∑==L i j i i X b a G f 1),,()X (β

i e 是训练集中第i 样本误差即;)(i i i y x f e -=T Y T =

)(∑∑∑===-==n j i L i j i i i n j j L y x b a G e 11121|),,(|,....,ββββ?

;B ),,(.......)

,,(G :::),,(.......)

,,(H 21111111????????????=??????????=?L L N n L L n L L x b a G x b a x b a G x b a G βββ:,令

;则可以表示成 T HB = T H +∧

=B ELM 算法:

① Input:给定训练样本集{X ,Y}层输出函数),,(i i i x b a G 和隐含层节点个数L.

② 随机生成隐含层的参数i i b a ,;

③ 计算隐含层输出矩阵H ;

④ Output:网络外权T +=H B ;

其中,加法型隐含层节点的单隐含层神经网络的启动函数可以选作任意有界非常数分段连续函数;而对于RBF 型隐含层节点的单隐含层神经网络,启动函数可以选作任意分段连续可积函数。

数据压缩、特征学习、聚类、回归和分类是机器学习和机器智能的基础。极

(2.1)

(2.2) (2.3)

限学习机的目标实现这五种基本学习操作[5]。

2.2图

近年来,极限学习机(Extreme Learning Machine, ELM)作为一种新兴的机器学习方法,在全世界许多研究者的不断研究下,已经成为了一个热门研究方向。极限学习机主要有以下四个特点:

(1)极限学习理论探讨了神经网络、机器学习领域悬而从未决的问题:在学习过程中隐含层节点数目,神经元之间的权值是否需要调整。与传统神经网络有所不同,在理论父母已经证明,对于ELM神经网络和学习算法,隐含层节点,神经元不需要迭代式的调整,而早期工作并没有提供随机隐含层节点前馈神经网络的理论基础。

(2)极限学习机的相同构架可用作特征学习,聚类,回归和(二类/多类)分类问题。

(3)相比于极限学习机,支持向量机(SVM)和最小二乘支持向量机(LS ‐SVM)趋向于得到次优解。支持向量机和最小二乘支持向量机也没考虑多层前馈网络中隐含层的特征表征[6]。

3.当前ELM的研究状况

我们知道神经网络的学习速度是至关重要的,但目前的情况远远小于我们要求的,多年来,它都是其应用的一个瓶颈,主要有两个原因:

(1)基于梯度的慢的学习算法,

(2)神经网络中的参数需要迭代调整。比如说BP。为此,黄广斌等2004 年针对单隐含层前馈神经网络(SLFNs)提出了ELM 算法,并在2006 年对ELM 做了进一步研究,给出了部分理论证明及应用[1,2]。

但是该算法同时也有一些缺点,主要是网络结构的确定没有启发性算法,只能随机指定隐含结点个数,隐含层结点个数的多少直接影响了分类器最后的精度和性能[7],此外尽管随机指定隐含层权值和偏置使得网络的学习速度很快,但也同时使得该网络不稳定,两次独立的实验结果可能会相差较大,网络输出波动较大。另外对于该算法中随机指定权值和偏置能否使网络具有一致逼近能力有待进一步证明。针对ELM 的这些优点和缺点,近年来众多专家学者投身于其研究中研究方向如下:

(1)随机生成参数的优化:由于隐含层节点参数随机选取,从而使得隐含层不具有调节能,,因此,隐含层元在构建的单隐含层网络中不具有多大的作用。在不影响ELM算法学习能力和预测能力的情况之下,对其隐含层进行优化显得更加重要。在2010年Huang G. B.和Lan Y.等提出CS_ELM[8]和TS_ELM[9],用不同的方法对随机生成的隐含层节点参数进行筛选,淘汰显着性较弱的隐含层,来实现对已得ELM算法的优化。2011年, Wang Y. G., Cao F. L.和Yuan Y. B.提出了对角占优的方法(EELM) [10]来优化隐含层节点参数,因此保证了隐含层输出矩阵的非奇异性,提高了ELM算法的稳定性。Rong H. J.等提出了P-ELM[11],针对分类问题的ELM算法,利用统计学原理,裁剪对网络分类效果影响较弱的隐含层来实现网络结构的优[7]。

(2)最优外权的求解:由于ELM的外权求解过程中要用到求解隐含层输出矩阵的Moore-Penrose[3]广义逆,而隐含层矩阵奇异和接近奇异的情况不能得到有效的避免,为提高所构建ELM算法的学习能力,避免噪音带来的广义扰动所产生的偏差,Toh K. A.等均借助添加正则项的方法优化了最优外权的选取[7]。

(3)最优隐含层节点个数的选取:针对ELM算法需要较多的隐含层节点个数

来弥补隐含层节点参数随机选取带来的缺陷这一问题, Huang G. B.等在2006年和2008年先后提出了I-ELM[13]和EI-ELM[14]来优化随机选取的隐含层节点参数,从而大为简化了ELM算法的复杂程度,提高了其优化效率.然而由上述算法过程可知,最终确定的外权并不能保证是相应单隐含层的最优外权.针对该问题, Huang G. B.等在2009年提出EM-ELM[15]实现了在增加隐含层元的过程中,求得相应单隐含层的最优外权,同时又避免了对上一级隐含层输出矩阵的重复计算。

(4)ELM核函数:在原始的ELM算法中, Huang G. B.等在2004年提出了训练对应于常加法型隐含层节点网络[1]以及径向基型隐含层节点的单隐含层网络的ELM算法[16]。结合支持向量机的学习原理Huang G. B.等又在2010提出了ELMKernel,利用该方法[17]所构建的ELM算法较Liu Q.[17]和Frenay B[18].所提出的Extreme SVMs有着更少的约束条件和更好的学习能力。

(5)在线ELM算法:在很多情况下,数据的采集往往是一个在线过程,也就是说,所有的样本数据不能一次性的得到,而是每隔一定的时间得到一批数据.由于样本不能同时得到,这样就使得数据的训练过程变得非常复杂.针对这一情况,Liang N. Y.和Huang G. B.提出了处理在线数据的OS-ELM[19],该方法有效地将新旧样本的训练衔接在一起,同时避免了对已有数据的多次重复训练。

4.几种ELM 结构选择方式的对比

在学习了有关Extreme Learning Machine (ELM) 的一些基础的及其扩展的论文,对ELM 有了更深入的了解。由于ELM 中隐藏层和输出层的权重分别是随机和分析得到的,唯一不能确定的(需要人为指定的)是隐节点的个数,也就是网络结构的大小。本文对当前已有的有关ELM 的结构选择方法进行了简单的介绍和比较[20]。

在神经网络的研究中,如何确定网络结构一直是一个公开问题。在模式识别中,我们都知道如果我们设计的网络太小,则它不能够很好的拟合训练数据,这样的网络,我们肯定也不希望它能够很好的拟合未见数据。另一方面,如果网络太大,它又可能会过拟合训练数据,导致不能拟合未见数据。另外,网络太大会造成计算更复杂,对运行环境提出了更高的要求。

ELM 是基于单隐藏层前馈型神经网络设计的,它的主要优势在于计算复杂度低,是一种简单和易于实现的方法。但是,在原始的ELM 中没有提供一个关于网络结构设计的有效的解,在大多数情况下,我们是通过多次试验,以训练误差为标准来选出的适当的隐节点个数。这样做,在很多应用中就变得很乏味而且很难找到一个最优的解。所以,很多研究人员改进了原始的ELM ,通过一个学习算法来计算所需隐节点的个数。

一般来说,对于SLFNs 的构造有两种启发式的方法:一是构造的方法,也就是加节点的方法;另一个就是剪枝的方法。目前已有构造法的方法,包过I-ELM, EM-ELM, CS-ELM,。剪枝的方法有。P-ELM,和OP-ELM [21]接下来,对这几种方法进行简单的介绍和比较。

构造方法的主要思想就是先初始化一个简单(隐节点个数比所需要的少)的网络结构,然后一个个或一组组的加隐节点。通过控制最大的隐节点个数和期望的误差,来停止学习过程,进而得到所需的网络结构。主要有I-ELM 和EM-ELM ,下面简单的介绍这两种方法。

I_ELM 算法,给定一个训练集(){},|,,1,,n i i i i D x t x R t R i N =∈∈= ,启动函数()g x ,最大的隐节点个数~max N ,期望的学习误差ε:

Step 1) 初始化过程:设置~0N =,残差E t =,其中[]1,,T

N t t t = 。

Step 2) 学习过程:当~~

max N N <并且E ε>

a) 一个个的增加隐节点~~~:1N N N =+;

b) 随机设置新加入的隐藏层节点的权值~N w 和偏置~N b ; c) 对于每一个新加的隐节点,计算输出权值~N

β: ~

~~~

T N T N N N E H H H β?=?; d) 计算新加入隐节点~N 后的残差~~N N

E E H β=-?。 在Step 2 即学习过程开始前,网络中节点个数为0,残差E 初始化为训练数据集的期望目标向量t. 当隐含层节点的个数~N 大于预先设定的最大数~

max N 或者残差E 小于等于期望误差时,学习过程停止。

EM_ELM 与I-ELM 给出的前提条件一样,

Step 1 初始化阶段

a) 初始化一个具有0L 个隐节点的SLFN ,其中0L 是一个人为给定的

小的正整数;

b) 计算隐藏层输出矩阵1H ;

c) 计算相应的残差()+111=-E H H H T T ;

Step 2 学习过程,设置k =0;

当~max k L N <并且()k E H ε>时

a) k =k +1;

b) 随机的增加1k L δ-个隐节点,则总的隐节点数目变成11k k k L L L δ--=+,相应的隐藏层输出矩阵[]1,k k k H H H δ+=;

c) 计算此时的残差()1k E H +.

I-ELM 算法与EM-ELM 算法的比较:它们的主要区别是:I-ELM 增加新的隐节点时,原有已存在的隐节点的输出权值保持不变;但是当EM-ELM 增加新的隐节点时,相应的输出权值是一直重复更新的。

剪枝方法的主要思想是:先生成一个具有比所必需的隐节点个数多的SLFN ,然后根据各种方法一个个的剪掉不必要的隐节点,从而得出最优的网络结构。主要有P-ELM [11]和OP-ELM [12],下面介绍这两种方法的主要内容。

P-ELM [11]算法:给定一个训练集D ,启动函数g ,初始化的隐节点个数~

N ,一个相关度阈值()12,,,q γγγγ 。

1) 把训练集分成互不相交的学习集和验证集;

2) 随机设置隐含层节点参数,并计算隐藏层输出矩阵H ;

3) 用统计的方法2χ或IG 计算每个隐含层节点与类目标相关度,然

后按降序排列;

4) 对于每一个相关度阈值i γ;

a) 找出满足i γ的的隐含层节点子集i S ,并计算相应的验证精度i o ;

b) 计算()(),i i AIC i f S o =;

5) 选择()min AIC 对应的隐节点子集*S ;

6) 重新训练网络用整个训练集和隐节点子集*S ;

7) 用测试数据评价新的网络的性能。

OP-ELM 算法步骤:

1) 构造SLFN 用原始的ELM 算法;

2) 用多响应稀疏回归算法对隐节点进行排序;

3) 用留一交叉验证选择最优的隐节点个数。

P-ELM 算法与OP-ELM 算法的比较:这两种方法的思路都是先根据某种方法对隐节点进行排序,然后再用一种结构选择方法选择所需要的隐节点个数。唯一的区别就是所用的方法不同。

构造方法的主要思想就是,先构造一个较小的网络,然后一个个或一组组的

加隐节点;剪枝方法是,先构造一个比所需的隐节点个数大的网络,然后再一个个的把不必要的剪掉。

对于剪枝算法来说,我们很难确定开始构造的网络的大小,为了能找到最优的,往往我们构造了一个比需要的大的多的网络,这样就增加了计算复杂性,需要更多的训练时间[21]。

对于构造算法来说,它们不能自动的获得最优的网络结构,因为一般来说,构造算法都是当隐节点个数达到一个最大值或是小于一个期望误差时才停止;而隐节点个数的最大值和期望误差都是人为确定的。

总结

ELM算法采用不用迭代而是随机产生隐藏层权值,然后分析决定输出层权值的方法,大大的减少了学习时间,给很多应用带来了方便。对ELM唯一需要确定的隐节点个数,很多学者也有了这方面的研究,取得了不少的成果,比如以上讲的构造方法和剪枝方法。但是,在这些结构选择的方法中,一般都需要设置一些参数,比如构造方法中的最大隐含层节点个数和期望误差,剪枝方法中的开始构造的网络大小,而这些参数一般都是很难确定的,不同的数据集这些参数有时差别还很大。若是在构造网络结构时,不需要人为的设置一些参数,或者对不同的数据集参数设置都是一样的,这样的方法值得期待。

由于极限学习机的隐含层节点数目是随机给定的,而实际实验显示隐含层节点数目的选取很大程度上决定了神经网络的系统辨识精度(测试误差)是否可最优。换言之,就是极限学习机的神经元数目直接关系到神经网络的系统逼近与泛化性能。目前最优神经元个数的选择方法依然只能通过试凑法来获得,这大大影响了极限学习机的实际应用效果。

参考文献

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高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下:

1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

光滑极限量规

第6章 光滑极限量规 6.1 概 述 检验光滑工件尺寸时,可用通用测量器具,也可使用极限量规。通用测量器具可以有具体的指示值,能直接测量出工件的尺寸,而光滑极限量规是一种没有刻线的专用量具,它不能确定工件的实际尺寸,只能判断工件合格与否。因量规结构简单,制造容易,使用方便,并且可以保证工件在生产中的互换性,因此广泛应用于成批大量生产中。光滑极限量规的标准是GB/T 1957-2006。 光滑极限量规有塞规和卡规之分,无论塞规和卡规都有通规和止规,且它们成对使用。塞规是孔用极限量规,它的通规是根据孔的最小极限尺寸确定的,作用是防止孔的作用尺寸小于孔的最小极限尺寸;止规是按孔的最大极限尺寸设计的,作用是防止孔的实际尺寸大于孔的最大极限尺寸,如图6.1所示。 卡规是轴用量规,它的通规是按轴的最大极限尺寸设计的,其作用是防止轴的作用尺寸大于轴的最大极限尺寸;止规是按轴的最小极限尺寸设计的,其作用是防止轴的实际尺寸小于轴的最小极限尺寸,如图6.2所示。 图6.1 塞规检验孔 图6.2 环规检验轴

量规按用途可分为以下三类: 1)工作量规工作量规是工人在生产过程中检验工件用的量规,它的通规和止规分别用代号“T”和“Z”表示。 2)验收量规验收量规量是检验部门或用户代表验收产品时使用的量规。 3)校对量规校对量规是校对轴用工作量规的量规,以检验其是否符合制造公差和在使用中是否达到磨损极限。 6.2量规设计 6.2.1极限尺寸判断原则(泰勒原则) 单一要素的孔和轴遵守包容要求时,要求其被测要素的实体处处不得超越最大实体边界,而实际要素局部实际尺寸不得超越最小实体尺寸,从检验角度出发,在国家标准“极限与配合”中规定了极限尺寸判断原则,它是光滑极限量规设计的重要依据,阐述如下:孔或轴的体外作用尺寸不允许超过最大实体尺寸。即对于孔,其体外作用尺寸应不小于最小极限尺寸;对于轴,其体外作用尺寸不大于最大极限尺寸。 任何位置上的实际尺寸不允许超过最小实体尺寸。即对于孔,其实际尺寸不大于最大极限尺寸;对于轴,其实际尺寸不小于最小极限尺寸。 显而易见,作用尺寸由最大实体尺寸控制,而实际尺寸由最小实体尺寸控制,光滑极限量规的设计应遵循这一原则。 6.2.2量规公差带设计Array 1. 工作量规 1)量规制造公差 量规的制造精度比工件高得多,但量规 在制造过程中,不可避免会产生误差,因而 对量规规定了制造公差。通规在检验零件 时,要经常通过被检验零件,其工作表面会 逐渐磨损以至报废。为了使通规有一个合理 的使用寿命,还必须留有适当的磨损量。因 此通规公差由制造公差(T)和磨损公差两 部分组成。 止规由于不经常通过零件,磨损极少, 所以只规定了制造公差。 量规设计时,以被检验零件的极限尺寸作为量规的基本尺寸。 图6.3光滑极限量规公差带图图6.3所示为光滑极限量规公差带图。标准规定量规的公差带不得超越工件的公差带。 通规尺寸公差带的中心到工件最大实体尺寸之间的距离Z(称为公差带位置要素)体

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可 以用上面的极限严格定义证明,例如: )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5 )13(lim 2 =-→x x ; ???≥<=∞→时当不存在, 时 当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运 用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条 件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x

(2) e x x x =+→10 ) 1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的 等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且 )(x f ~)(1x f ,)(x g ~)(1x g ,则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →,即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5.洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数)(x f 和)(x g 满 足:(1))(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大; (2))(x f 和)(x g 都可导,且)(x g 的导数不为0; (3)) () (lim x g x f ''存在(或是无穷大);

光滑极限量规8

第5章光滑极限量规 5.1 概述 在机械制造中,检验尺寸一般使用通用计量器具,直接测取工件的实际尺寸,以判定其是否合格,但是,对成批大量生产的工件,为提高检测效率,则常常使用光滑极限量规来检验。光滑极限量规是用来检验某一孔或轴专用的量具,简称量规。 一、量规的作用 量规是一种无刻度的专用检验工具,用它来检验工件时,只能判断工件是否合格,而不能测量出工件的实际尺寸。检验工件孔径的量规一般又称为塞规,检验工件轴径的量规一般称为卡规。 塞规有“通规”和“止规”两部分,应成对使用,尺寸较小的塞规,其通规和止规直接配制在一个塞规体上,尺寸较大的塞规,做成片状或棒状的。塞规的通端按被测工件孔的MMS(Dmin)制造,止规按被测孔的LMS(Dmax)制造,使用时,塞规的通端若能通过被测工件孔,表示被测孔径大于其Dmin,止规若塞不进工件孔,表示孔径小于其Dmax,因此可知被测孔的实际尺寸在规定的极限尺寸范围内,是合格的,否则,若通规塞不进工件孔,或者止规能通过被测工件孔,则此孔为不合格的。 同理,检验轴用的卡规,也有“通规”和“止规”两部分,且通端按被测工件轴的MMS(dmax)制造,止规按被测轴的LMS(dmin)制造,使用时,通端若能通过被测工件轴,而止规不能被通过,则表示被测轴的实际尺寸在规定的极限尺寸范围内,是合格的,否则,就是不合格的了。 二、量规的标准与种类 我国于1981年颁布者了《光滑极限量规》GB1957-81,标准规定的量规适用于检验基本尺寸500mm,公差等级为IT6-IT16级的孔与轴。 量规按其用途不同可分为工作量规、验收量规和校对量规三类。 1.工作量规:工作量规是工人在工件的生产过程中用来检验工件的量规。其通端代号为“T”止端代号为“Z”。 2.验收量规:验收量规是检验部门或用户验收产品时使用的量规。GB对工作量规的公差带作了规定,而没有规定验收量规的公差,但规定了工作量规与验收量规的使用顺序。即:加工者应使用新的或磨损较少的量规;检验部门应使用与加工者具有相同形式且已磨损较多的量规;而用户在用量规验收产品时,通规应接近工件的MMS,而止规应该接近工件的LMS,这样规定的目的,

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?

归纳函数极限的计算方法

归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

归纳函数极限的计算方法 摘 要 :本文总结出了求极限的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract :The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words :Function Limit ;Computing method ;L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念,极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具,因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法,对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活,本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的0ε>,存在正数'()δδ<,使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<,则称函数当趋于0x 时以A 为极限,记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势,以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限;但是结构较为复杂的函数的图形不易画出,基于直观也就无法得出极

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

极限计算方法总结

极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且; 5)13(lim 2=-→x x ;??? ≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2 x - ~ 2x -。

高数求极限方法总结

第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义: 数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:0)1(1 lim 2=+-∞→n n ;5)13(lim 2=-→x x ;1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来,缺一不可!(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限 作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在, 且(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[(2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 0)1(lim ; e x x x =+∞→)11(lim 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立的条件。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→210)21(lim ,e x x x =+∞→3)31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~)(1x f , )(x g ~)(1x g ,则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时,)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5.连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内

论文二重极限计算方法

包头师范学院 本科毕业论文 题目:二重极限的计算方法 学生姓名:王伟 学院:数学科学学院 专业:数学与应用数学 班级:应数一班 指导教师:李国明老师 二〇一四年四月

摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法,各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的,二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数,变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法,并给出相关例题及解题步骤,及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词:二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性

Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity

光滑极限量规教程(塞规-检具)

第6章光滑极限量规 6.1概述 检验光滑工件尺寸时,可用通用测量器具,也可使用极限量规。通用测量器具可以有具体的指示值,能直接测量出工件的尺寸,而光滑极限量规是一种没有刻线的专用量具,它不能确定工件的实际尺寸,只能判断工件合格与否。因量规结构简单,制造容易,使用方便,并且可以保证工件在生产中的互换性,因此广泛应用于成批大量生产中。光滑极限量规的标准是GB/T 1957-2006。 光滑极限量规有塞规和卡规之分,无论塞规和卡规都有通规和止规,且它们成对使用。塞规是孔用极限量规,它的通规是根据孔的最小极限尺寸确定的,作用是防止孔的作用尺寸小于孔的最小极限尺寸;止规是按孔的最大极限尺寸设计的,作用是防止孔的实际尺寸大于孔的最大极限尺寸,如图6.1所示。 卡规是轴用量规,它的通规是按轴的最大极限尺寸设计的,其作用是防止轴的作用尺寸大于轴的最大极限尺寸;止规是按轴的最小极限尺寸设计的,其作用是防止轴的实际尺寸小于轴的最小极限尺寸,如图6.2所示。 图6.1塞规检验孔 图6.2环规检验轴

量规按用途可分为以下三类: 1)工作量规工作量规是工人在生产过程中检验工件用的量规,它的通规和止规分别用代号“T”和“Z”表示。 2)验收量规验收量规量是检验部门或用户代表验收产品时使用的量规。 3)校对量规校对量规是校对轴用工作量规的量规,以检验其是否符合制造公差和在使用中是否达到磨损极限。 6.2量规设计 6.2.1极限尺寸判断原则(泰勒原则) 单一要素的孔和轴遵守包容要求时,要求其被测要素的实体处处不得超越最大实体边界,而实际要素局部实际尺寸不得超越最小实体尺寸,从检验角度出发,在国家标准“极限与配合”中规定了极限尺寸判断原则,它是光滑极限量规设计的重要依据,阐述如下:孔或轴的体外作用尺寸不允许超过最大实体尺寸。即对于孔,其体外作用尺寸应不小于最小极限尺寸;对于轴,其体外作用尺寸不大于最大极限尺寸。 任何位置上的实际尺寸不允许超过最小实体尺寸。即对于孔,其实际尺寸不大于最大极限尺寸;对于轴,其实际尺寸不小于最小极限尺寸。 显而易见,作用尺寸由最大实体尺寸控制,而实际尺寸由最小实体尺寸控制,光滑极限量规的设计应遵循这一原则。 6.2.2量规公差带设计 1. 工作量规 1)量规制造公差 量规的制造精度比工件高得多,但量规 在制造过程中,不可避免会产生误差,因而 对量规规定了制造公差。通规在检验零件时, 要经常通过被检验零件,其工作表面会逐渐 磨损以至报废。为了使通规有一个合理的使 用寿命,还必须留有适当的磨损量。因此通 规公差由制造公差(T)和磨损公差两部分 组成。 止规由于不经常通过零件,磨损极少, 所以只规定了制造公差。 量规设计时,以被检验零件的极限尺寸 图6.3光滑极限量规公差带图 作为量规的基本尺寸。 图6.3所示为光滑极限量规公差带图。标准规定量规的公差带不得超越工件的公差带。 通规尺寸公差带的中心到工件最大实体尺寸之间的距离Z (称为公差带位置要素)体

考研数学极限计算方法:利用单侧极限

https://www.doczj.com/doc/2d19092218.html, 版权所有翻印必究 考研数学极限计算方法:利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢,我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在,那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢? 第一,当分段函数的分段点两侧表达式不同时,求分段点处的极限利用单侧极限。例如,讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析:在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的,所以计算0=x 处的极限要分左右来求解,也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ,1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ,左右两侧的极限同时存在且相等,所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数,如,[],max{},min{},sgn x x x ,当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二,如果出现(),arctan e a ∞∞∞,求极限是要分左右的,例如,???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析:这道题让我们求解0=x 处的极限,我们发现它有x ,在脱绝对值时

版权所有翻印必究 https://www.doczj.com/doc/2d19092218.html, 2会出现负号,同时出现了e ∞,故分单侧计算极限, 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????,11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ,所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单,但是需要同学们在做题目中多去总结,掌握其具体的解题思路,也要将知识点和不同类型的题目建立联系,提高自己的解题能力。

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结(简洁版) 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2=-→x x ;???≥<=∞→时当不存在, 时当,1||1||0lim q q q n n ; 等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1) B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+ →1 )1(lim ; e x x x =+∞ →)11(lim 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如: 133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0)21(lim ,e x x x =+∞→3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价

光滑极限量规校准规范20110105修改版

计量校准规范 华荣集团有限公司 自制光滑极限量规校准规范 WAROM/CQC-JJF-002 编 制: 审 核: 批 准: 受控状态: 发 放 号: 2010-12-27发布 2010-12-30实施 华荣集团有限公司 内部资料 严禁外传

前言 本规范是根据JJG 343-1996 《光滑极限量规》、JJF 1001-1998 通用计量术语及定义、JJF 1071-2000 国家计量校准规范编写规则进行编制的。 本规范由华荣集团有限公司计量检测中心提出并负责起草。 本规范主要起草人:周建根 本规范参加起草人:肖卫国、肖闽、陈世娥。 本规范于2010年12月27日首次发布。

A版0次 WAROM/CQC-JJF-002 共2页第1页 1 范围 本校准规范适用于公司自制光滑极限量规的要求。 2 引用文献 JJF 1001-1998 通用计量术语及定义 JJF 1071-2000 国家计量校准规范编写规则 JJG 343-1996 光滑极限量规 使用本规范时,应注意使用上述引用文献的现行有效版本。 3 术语 3.1校准 Calibration(JJF 1001-1998) 在规定条件下,为确定测量仪器或测量系统所指示的量值,或实物量具或参考物质所代表的量值,与对应的由标准所复现的量值之间关系的一组操作。 3.2 光滑极限量规 是一种控制工件极限尺寸的定值量具。 4 概述 对光滑极限量规进行校准,是否满足使用要求。 5 技术要求和校准方法 5.1 外观 5.1.1要求:量规的测量面不应有锈迹、毛刺、黑斑、划痕等缺陷,使用中的量规不应有明显影响外观和使用质量的缺陷。 5.1.2 校准方法:目力观察表面光滑并良好. 5.2 硬度 5.2.1 要求:量规测量面的硬度应为HRC58~65。 5.2.2 校准方法:用洛氏硬度计对量规进行测量。 5.3 表面粗糙度 不超过1.6μm。 5.3.1 要求:自制量规测量面要求平均表面粗糙度R a 5.3.2 校准方法:用表面粗糙度比较样块对量规进行比对。 5.4 量规的尺寸

求极限的方法及例题总结

1.定义: 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;5 )13(lim 2 =-→x x (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2.极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有(1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3) )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解:原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注:本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解:原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

求极限的方法总结

求极限的方法总结 1.约去零因子求极限 例1:求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题:2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2.分子分母同除求极限 例2:求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除........x .的最高次方;......且一般...x .是趋于无穷的...... ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++(-5)(-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→

3.分子(母)有理化求极限 例1:求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2:求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 习题:2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限(当函数连续时,它的函数值就是它的极限值................... ) 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉,就是:当取极限时,分子不为 0而分母为0时 就取倒数!】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞

极限计算方法总结

极限计算方法总结 靳一东 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的 极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2 =-→x x ;???≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需 再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1)B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时, 不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim =→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim =→x x x ,e x x x =--→21 ) 21(lim ,e x x x =+∞ →3)3 1(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

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