数学高考圆锥曲线压轴
题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题
★★椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝
3
2，a＋b＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．
★★如图，椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1，
3
2），离心率e＝
1
2，直
线l的方程为x＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
★★椭圆C：x2
a2＋
y2
b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为
3
2，过
F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只
有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明
1
kk1＋
1
kk2
为定值，并求出这个定值．
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二、圆锥曲线中的最值问题
＋y2
b2＝1（
a＞b＞0）的离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
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★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝
|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
＋y2
b2＝1（
a＞b＞0）的左、右焦点分－
y2
b2＝1的左、右焦点分别为
F3，
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
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三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题
★★设椭圆E：x2
a2＋
y2
1－a2
＝1的焦点在x轴上．
（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
四、圆锥曲线与求参数
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★★在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP
→＝tOE →，求实数t 的值．
五、存在性问题
y 2b 2＝
焦点分别为F 1、F 2．点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜线分别为k 1、k 2．
①证明：1
k1－
3
k
2
＝2；
②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
六、轨迹方程
★★已知椭圆C：
x2
a2＋
y2
b2＝1（
a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（
4
3
，
1
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
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（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段
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