内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用
作者郝芸芸
系别统计与数学学院
专业信息与计算科学
年级10级
学号102093113
指导教师高菲菲
导师职称讲师
答辩日期
成绩
内容提要
矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．
关键词：二次型正定矩阵判定方法应用
Abstract
Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.
Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
目录
引言 .............................................................................................. 错误！未定义书签。
一、正定矩阵的定义 ..................................................................... 错误！未定义书签。
二、正定矩阵的性质 ..................................................................... 错误！未定义书签。
三、正定矩阵的有关定理 .............................................................. 错误！未定义书签。
四、正定矩阵的判定方法 .............................................................. 错误！未定义书签。（一）定义法 ............................................................................ 错误！未定义书签。（二）主子式法......................................................................... 错误！未定义书签。（三）特征值法......................................................................... 错误！未定义书签。（四）与单位矩阵E合同法....................................................... 错误！未定义书签。
五、正定矩阵的应用 ..................................................................... 错误！未定义书签。（一）正定矩阵在不等式中的应用 ............................................ 错误！未定义书签。（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 .......................... 错误！未定义书签。总结 .............................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ....................................................................................... 错误！未定义书签。后记 .............................................................................................. 错误！未定义书签。
正定矩阵的性质及应用
引言
矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字1,,n X X 的正定二次型与n 阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．
一、 正定矩阵的定义
定义1[3]
设(),1,2,,;ij a i j n i j =≤ 均为实常数，则关于n 个实变量12,,,n x x x 的二
次齐次多项式函数
()22212111222,,,n nn n f x x x a x a x a x =+++ 121213131,1222n n n n a x x a x x a x x --++++ ， ()1
称为n 元实二次型．
定义2[3] 只含有平方项的二次型称为标准形，即
()2
22
1211
22,,
,n n n
f
y y y d y d y d y =+++ ． ()2 定义3[3] 若二次型的标准形中的系数()1,2,,i d i n = 仅为1,1,0-，则此标准形称为二次型的规范形．
定义4 [1] 实二次型()12,,,n f x x x 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数
12,,,n c c c ，都有()12,,,0n f c c c > ； 如果都有()12,,,0n f c c c < ，那么()
12,,,n f x x x 称为负定的；如果都有()12,,,0n f c c c ≥ ，那么()12,,,n f x x x 称为半正定的；如果都有
()12,,,0n f c c c ≤ ，那么()12,,,n f x x x 称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是
半负定，那么()12,,,n f x x x 就称为不定的．
定义5
[1]
若实数域上的n 元二次型1211
(,,,)()n n
n ij i j ij ji i j f x x x a X a a ====∑∑ ＸT X AX
=是正定二次型（负定二次型），则称A 为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负定二次型），则称A 为半正定矩阵（半负定矩阵）．其中
1112121
22212
n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ?
?= ?
?
?? ，12n x x X x ??
?
?= ? ???
．
定义6[1] 子式
()11
121212221
21,2,,i i
i i i ii
a a a a a a P i n a a a =
=
()3
称为矩阵()ij nn A a =的i 阶顺序主子式．
下面是正定矩阵的一些等价条件．
定理1[8] 设A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵．
(2)A 的正惯性指数等于n ． (3)A 的特征值全大于零． (4)A 合同于n 阶单位矩阵n E ．
(5)A 合同于主对角元大于零的对角矩阵．
(6)存在可逆矩阵P ，使得T A P P =，其中T P 表示P 的转置．
注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性．不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的．二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系．因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定．
二、 正定矩阵的性质
性质1[1] 正定矩阵的行列式大于零．
证明 设A 是正定矩阵．因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵C 使
A C EC C C ''==． 两边取行列式，有2
0A C C C '==>．
推论1[1] 若A 是正定矩阵，则A 的顺序主子式全大于零．
证明 设二次型()1211,,n
n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 是正定的．对于每个,1k k n ≤≤，令
()1211
,,k k
k n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ ．下面证明k f 是一个k 元的正定二次型．对于任意一组不全
为零的实数1,,k c c ，有
()()1111,,,,,0,,00k
k
k k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑ ．
因此()1,,k k f x x 是正定的．由性质１可知，k f 的矩阵的行列式
11110,1,,k k kk
a a k n a a >=
．
这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零．
性质2 [6] 若A 是正定矩阵，则A 的主对角元全大于零．
证明 设()ij A a =，对于任意的0X ≠，恒有11n
n
T
ij i j i j X AX a x x ===∑∑，其中ij ji a a =，
,1,2,i j n = ．令(0,0,1,00)i T
X = ，将其代入11
()n n
T ij i j ij ji i j X AX a x x a a ====∑∑，得
T ii X AX a =，所以0ii a >，1,2,i n = ，从而结论得证．
性质3[6] 正定矩阵()ij A a =中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到． 证明 设()ij A a =是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零．如果()ij a i j ≠是A 的
中绝对值最大的一个元素，那么，取A 的二阶主子式
0ii ij ii jj ij ji ji
jj
a a a a a a a a =->，由此
可得2ii jj ij ji ij a a a a a >=，因此，,ii jj a a 的绝对值不可能都小于ij a ，所以，i j i i a a <或
ij jj a a <，故A 中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到．
性质4[8] 若A 是正定矩阵，则kA ，A kE +是正定矩阵，其中0k >．
证明 由A 是正定矩阵，可知A 的特征值120,0,0n λλλ>>> ，则kA 的特征值
0(1,2,)i k i n λ>= ，因此kA 是正定矩阵．
同理可得A kE +的特征值120,0,0n k k k λλλ+>+>+> ，因此A kE +也是正定矩阵．
性质5[7] 若A 是正定矩阵，则1A -，*A 是正定矩阵，其中1A -表示A 的逆矩阵，*
A 表示A 的伴随矩阵．
证明 首先证1A -是正定矩阵．
因为A 是正定矩阵，所以A 可逆且T A A =，则有
()()1
11T T A A A ---==，
即1A -为实对称矩阵．
设A 的特征值为12,,n λλλ ，因为A 是正定矩阵正定，所以0(1,2,)i i n λ>= ．故
1A -的特征值111120,0,0n λλλ--->>> ，因此1A -也是正定矩阵．
再证*A 是正定矩阵． 由*
1
A A A -=，()()()
1
111
T
T
T
A A
A A
A A
A A ----===可得()
**T
A
A =，即*A 是实对
称矩阵．因为*
A 的特征值
1
2
0,
0,0n
A
A
A
λλλ>>>
，所以*A 是正定矩阵．
性质6 [1]若A 是正定矩阵，则对于任意整数k ，k A 都是正定矩阵． 证明 当0k =时，k A E =显然是正定矩阵．
当0k <时，由于k k =-，而()1k
k A A -=，有性质３可知，1A -也是正定矩阵，故下面只需假定k 为正整数即可．
Ⅰ 当k 为偶数时，由于T
A A =，且22T
k k
k A A A ????= ? ?????
，由正定矩阵的等价条件(6)
可知k A 是正定矩阵．
Ⅱ 当k 为奇数时，由于A 是正定矩阵，故存在实可逆矩阵C ，使T A C C =． 由此可得：111111
2
2
22
22T
k k k k k k k T A A
AA
A C CA
CA CA ------????
=== ? ?????
，从而仍由正定矩阵的等价条件(6)可知，k A 是正定矩阵．
性质7[4] 设A 为n 阶正定矩阵，则1122nn A a a a ≤ ，其中ii a ()1,2,,i n = 为A 的主对角元素.
证明 设1
T
nn A A a αα
??
???
=，其中1A 为A 的1n -阶顺序主子式，()121,,,T n n n n a a a α-= ． 那么
111
1
1111110
00
10
1n n T
T T nn nn A A E E A a a A A ααααα-----??-??????
? ?
? ?--???
???
??=，
两边取行列式得 ：
()111T nn A A a A αα-=?-，
因为A 是正定矩阵，所以1A ，11A -都是正定矩阵，那么 1100T A A αα-≥>，
．由上式可知 1nn A A a ≤? ．
同理121,1n n A A a --≤?，其中2A 为A 的2n -级顺序主子式阵，这样继续下去可得
12-1,-11122nn n n nn nn A A a A a a a a a ≤?≤?≤≤ .
性质8[5] 任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正
线性组合也是正定矩阵．
证明 设A ,B 都是正定矩阵，又设,0a b >．由A ,B 是正定矩阵，可得
,T T A A B B ==．则有
()
T
T T aA bB aA bB aA bB +=+=+，
所以aA bB +是实对称矩阵．因为对任意0()n X X R ≠∈有
()T T T X aA bB X aX AX bX BX +=+，
由性质4可知,a A b B
是正定矩阵，则有0T a X A X >，0T bX BX >．所以()0T X a A b B X +
>．因此aA bB +是正定矩阵．
多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：
（1）当2n =时已证明命题成立；
（2）假设1n k <+时命题成立，现证明1n k =+时命题也成立．
设12,1,,k k A A A A + 是同阶正定矩阵，121,,,,0k k a a a a +> ．对任意0()n X X R ≠∈有
11111111()0T T T T k k k k k k k k X a A a A a A X a X A X a X A X a X A X +++++++=+++> ，
其中每一项均为正．所以当1n k =+时，结论成立．
综合（1）（2）可知，对于一切的自然数n ，多个正定矩阵的正线性组合必为正定矩阵．
性质9[8] 如果A 是正定矩阵，m 是任意实数，则存在正定矩阵B ，使得m A B =．
证明 由于A 是正定矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使100T n Q AQ λλ??
?= ?
?
?
? ，其中1,,0n λλ> ，所以
100T n A Q Q λλ??
?= ?
?
?
? ．
令00
T
B Q Q ??= ? ?
，则m
A B =，结论得证 ．
三、 正定矩阵的有关定理
定理2[5] 若A ，B 都是正定矩阵，则00A B ??
???
是正定矩阵． 由定理2的推广，可以得到如下推论：
推论2 若A ，B ，C ，D 都是正定矩阵，则12340(0,1,2,3,4)0i l A l B l i l C l D +??
>= ?+?
?是正定矩阵．
推论3 若12,,,s A A A 都是正定矩阵，则1
2
s A A A ??
?
? ? ??
?
是正定矩阵． 定理3[5] 正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵．
证明 设B 为n 阶正定矩阵，A 为n 阶实对称矩阵且与B 合同．
由正定矩阵的等价条件可知，B 与单位矩阵n E 合同．又因为A 与B 合同，那么A 也与单位矩阵n E 合同，即A 为正定矩阵．
定理4[5] 若A ,B 是实对称矩阵，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b ．若0a b +≥，则A B +是正定矩阵．
证明 性质5已证得A B +是实对称矩阵，且由已知条件可知A aE -，B bE -都是正定矩阵，由性质5可得()()A aE B bE -+-是正定矩阵．
设λ是A B +的任一特征值，则
[][]()()()()E A B a b E A aE B bE λλ-+=-+--+-，
这表明()a b λ-+是()()A aE B bE -+-的特征值．由于()()A aE B bE -+-是正定矩阵，故()0a b λ-+>，所以()0a b λ>+≥，即A B +的特征值全大于0，从而A B +为正定矩阵．
推论4 设12,,,s A A A 都是实对称矩阵，i A 的特征值均大于(1,2,,)i a i s = ．若
1
0s
i
i a
=≥∑，则12s A A A +++ 是正定矩阵．
定理5[9] 若A ,B 是正定矩阵，则AB 是正定矩阵的充要条件是AB BA =． 证明 必要性：设AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵，从而
()T
T T AB AB B A BA ===．
充分性：由AB BA =知，()T
T T AB B A BA AB ===，故AB 是实对称矩阵． 由于B 正定，存在可逆矩阵P 使得T B P P =，从而
11()T T T AB AP P P PAP P P PAP P --===，
即AB 与T PAP 相似，因而AB 与T PAP 有相同的特征值．因为A 正定，故T PAP 也正定，
T PAP 的特征值全大于零，故AB 的特征值全大于零，所以AB 是正定矩阵．
定理6[7] 若A 是实对称矩阵，且A 可逆，则2A 是正定矩阵．
证明 由已知可知，T A A =，()()2
22T
T A A A ==，则2A 是实对称矩阵.又因为
()121T
A A A E --=，故2A 与E 合同，从而2A 是正定矩阵正定.
对定理6推广，可以得到如下推论：
推论5 若A 是实对称矩阵，且A 可逆，则2()k A k Z +∈是正定矩阵.
注：当A 满足推论４的条件时，21()k A k Z ++∈不一定是正定矩阵．例如
123A ??
?=- ? ???，则A 是实对称矩阵，且A 可逆．显然()
()21
21
21123k k k A +++??
?
=-
? ? ??
?
不是正定矩阵．
定理7[6] 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶正定矩阵，则()ij C c =也是正定矩阵，其中
ij ij ij c a b =．
证明 ,A B 是实对称矩阵，显然C 也是实对称矩阵．任取1(,,)0T n X x x =≠ ，则由矩阵,A B 是正定矩阵，可知：
11
11
0,0n
n
n
n
T
T
jk j k jk j k j k j k X AX a x x X BX b x x =====>=>∑∑∑∑，
且存在n 阶可逆矩阵()ij Q q =，使得T B Q Q =，即
1(,1,,)n
jk lj lk l b q q j k n ===∑ ，
所以
()()11111111n
n
n
n
n n n n
jk jk j k jk lj lk j k jk j lj k lk j k j k l l j k a b x x a q q x x a x q x q ========??
== ???∑∑∑∑∑∑∑∑， 对任意1(,,)0T n X x x =≠ ，因为Q 可逆，所以总存在一个l ，使得
11(,,)0n T l n l x q x q ≠ ，
(不妨设10x ≠，则由Q 可逆知Q 的第一列中总有一个元素不为零，设为1l q ，于是
110l x q ≠)．又由A 是正定矩阵有：()()11
0n
n
jk j lj k lk j k a x q x q ==>∑∑对以上的l 成立．所以
11
0n
n
jk
jk j k j k a
b x x ==>∑∑，即()ij ij C a b =为正定矩阵．
定理8[6] 设A 是正定矩阵，B 为m n ?实矩阵，其中T B 为B 的转置矩阵，则T B AB 为正定矩阵的充要条件是B 的秩()r B n =．
证明 必要性 设T B AB 为正定矩阵，则对任意的n 维非零列向量X ，有
()()()X >0T
T T X B AB BX A BX =，于是0BX ≠，因此n 元齐次线性方程组0BX =只有
零解，故系数矩阵B 的秩()r B n =．
充分性 因为()T
T
T T T B AB B A B B AB ==，故T B AB 为实对称矩阵.
若()r B n =，则齐次线性方程组0BX =只有零解，从而对任意实n 维非零列向量X ，有0BX ≠．又因为A 正定，所以对于0BX ≠有()()>0T
BX A BX ，于是当0X ≠时，有
()()()>0T
T T X B AB X BX A BX =，故T B AB 为正定矩阵.
四、 正定矩阵的判定方法
(一)
定义法
n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意n 维实非零向量X ，都有
0T X AX >．则实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作：0A >．
用定义证明矩阵A 是正定矩阵需证明两点： (1)A 为实对称矩阵．
(2)对任意的非零向量X ，0T X AX >．
运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵．
例1 设A 是n m ?实矩阵，且A 是列满秩，即()r A m =，证明T A A 是正定矩阵． 证明 首先，因为()()
T
T
T
T
T
T A A A
A A A ==，所以，T A A 是实对称矩阵．
其次，由()r A m =可知，齐次线性方程组0AX =只有零解．因此，对任意m 维列向量0X ≠，必有0AX ≠，不妨设()12,,,T
n AX a a a = ，则12,,,n a a a 是一组不全为零的实数．从而，对任意m 维列向量0X ≠，二次型
()()()2
1
0n
T
T
T
i
i X
A A X AX AX a
===>∑，
即二次型()T T X A A X 正定，所以矩阵T A A 是正定矩阵．
例2 设A 是m n ?矩阵，T B E A A λ=+，证明当0λ>时，B 是正定矩阵．
证明 因为()T
T T T B E A A E A A B λλ=+=+=，故B 是n 阶实对称矩阵，对于任意的
n 维实向量0x ≠，有
()2
2
T
T T T T T x Bx x x x A Ax x x Ax Ax x Ax λλλ=+=+=+．
由于0x ≠，0λ>，则恒有20x λ>，而2
0Ax ≥，因此()00T x Bx x >?≠，由定义可得
B 是正定矩阵．
(二) 主子式法
若矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵A 为正定矩阵．
运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得．然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵．
例3 设二次型()22212312
31213,,65744f x x x x x x x x x x =++-+，判定该二次型的矩阵是 否属于正定矩阵.
解 二次型的矩阵为
622250207A -?? ?=- ?
???
， 其各阶顺序主子式分别为123626,26,1622
5
D D D A -==
===-全大于零，所以矩阵
A 是正定矩阵．
例4 t 取何值时，二次型222112132233222410f x x x x x x tx x x =+-+++的矩阵是正定矩阵．
解 二次型f 对应的矩阵为
1111221210A t t -?? ?= ?
?-??
， 要使矩阵A 正定，必须使A 的各阶顺序主子式全大于零，即满足
121110,10,12
D D =>=
=>
()22231
11
1
21944104484(2)0021
9
D A t t t t t t t t -==+=-++>=--+=-+->+，
得到21t -<<，所以，当(2,1)t ∈-时，二次型f 的矩阵是正定矩阵．
(三) 特征值法
若矩阵A 的特征值全为正数，则矩阵A 为正定矩阵．
运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可以判定该矩阵属于正定矩阵．如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定．此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵．
例5 已知,A A E -是n 阶实对称正定矩阵，证明1E A --是正定矩阵．
证明 由()()1
11T
T T E A E A E A ----=-=-可知，1E A --是对称矩阵．设12,,,n
λλλ 是A 的特征值，则A E -的特征值1210,1,,10n λλλ->->-> ，即1i λ>，那么
11i
λ<，
从而1
10i
λ-
>．
综上可得：1E A --的特征值全为正数，即1E A --是正定矩阵． 例6 判定n 元二次型1
2
11
1
n
n i i i i i f x x x -+===+∑∑的矩阵是否属于正定矩阵．
解 二次型f 的矩阵为
111221112
21112
2n n
A ??
? ?
? ?
?= ?
?
? ???
．
则()21111211111,1,,1221121A E ????
?? ? ???
? ???==
+
? ??? ? ???
??????
，记()111,1,,11B ??????=?????? ．
由2B nB =可得，B 的特征值是n 与0
（1n -重）．于是A 的特征值是()11
1,22
n +(1n -重) ．
A 的特征值全为正数，故A 属于正定矩阵．
例7 设A 是n 阶实对称矩阵，且满足43234640A A A A E -+-+=，证明A 是正定
矩阵．
证明 设λ是矩阵A 的特征值，α是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则有
()()4
32432346434640A
A A A E αλλλλα-+-+=-+-+=，
因为0α≠，所以43234640λλλλ-+-+=，即
()()()2
2120λ
λλ+--=，
由于A 是实对称矩阵，故由上式可知矩阵A 的特征值为１或２，即矩阵A 的特征值全为正数，从而可得A 是正定矩阵．
(四)
与单位矩阵E 合同法
正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为22212n y y y +++ ，而规范形的矩阵为单位矩
阵E ，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵E 合同．
此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可．此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵．
例8 已知A 是n 阶可逆矩阵，证明T A A 是正定矩阵． 证明 由于()T
T T A A A A =，则T A A 是对称矩阵．
因为T T A A A EA =，且A 是可逆矩阵，所以T A A 与E 是合同矩阵，从而T A A 是正定矩阵．
例9 用此法证明分块矩阵00A Q B ??
= ?
??
是正定矩阵，其中,A B 分别为,m n 阶正定矩阵．
证明 由于矩阵,A B 为正定矩阵，故存在可逆矩阵m m C ?和n n D ?，使得
,T T m n C AC E D BD E ==，
令00C P D ??=
???，则00T T
T C P D ??
= ???
，且P 为m n +阶可逆矩阵． 00000
000
T
T m
T
T T n E A C
C C AC
P QP E B D D D BD ??????????===
? ? ? ?????????
????，
所以，矩阵Q 与单位矩阵E 合同，故分块矩阵00A Q B ??
= ???
是正定矩阵．
五、 正定矩阵的应用
(一)
正定矩阵在不等式中的应用
实对称矩阵A 是正定矩阵是由于其对应的实二次型T XAX （其中()12,,,n X x x x = ）正定，而二次型正定是指对于任意0X 恒有000T X AX >．因此可以利用此性质来证明不等式是否成立．
例10 证明不等式22212312134222x x x x x x x ++>-（其中123,,x x x 是不全为零的实数）成立．
证明 令()2221231231213,,4222f x x x x x x x x x x =++-+，其系数矩阵为
1-11-140102A ??
?= ?
???
， A 的各阶顺序主子式为11221-1
=10,=30,20-14
A A A >=
>=>，则A 为正定矩阵．因此对
于任意一组不全为零的()123,,x x x 都有()123,,0f x x x >，故原不等式成立．
例11 证明不等式22
1
1
n
n
i
i i i n X X ==≥∑∑（）成立．
证明 令22
1
1
n n
T i
i i i f n X X X AX ===-
=∑∑（），则二次型为 ()1212111111,,,111n X n X f X X Xn Xn ---???? ???
---
???= ??? ???---????
， 则
1111111
11n n A ---?? ?
---
?= ? ?
---?? ． A 的各阶顺序主子式211221110,20,01
1
n A n A n n A n --=-≥=
=-≥=-- ，所以A 是半
正定的，那么二次型是半正定的，即0f ≥．故原不等式成立．
(二) 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用
在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.
定义7[2] 设n 元实函数12()(,,)n f X f x x x = 在12(,,,)T n n X x x x R =∈ 的某个邻域
内存在一阶、二阶连续偏导数．记12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ??
????= ??????
,称()f X ?为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x = 处的梯度．
定义8[2]
2222
112122
22212()()()()()()()()n i j n n
n n n
f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ???
??? ?
????? ?
??
? ?==
? ??? ?
????? ?
????????
，此矩阵称为函数12()(,,)n f X f x x x = 在点n X R ∈处的(Hessian)黑塞矩阵．则()H X 是由()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵．
定理9[2] (极值必要条件)设函数()f X 在点000012
(,,,)T n X x x x = 处可微，且0X 为该函数的极值点，则
1) 0X 必为()f X 的稳定点，即0()0f X ?=.
2) 若()f X 在0X 的某领域()0U X 存在连续二阶偏导数，则当()0f X 为极小值时，
()f X 在0X 的黑塞矩阵为正定或正半定；则当()0f X 为极大值时，()f X 在0X 的黑塞矩
阵为负定或负半定．
定理10[2] (极值充分条件)设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内存在一阶、二阶
连续偏导数时，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ??
????== ??????
．则： (1)当0()H X 是正定矩阵时，()f X 在0X 处取得极小值； (2)当0()H X 是负定矩阵时，()f X 在0X 处取得极大值； (3)当0()H X 是不定矩阵时，()f X 在0X 处不取极值．
例12 求多元函数222(,,)22244f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由
220
440440x y z
f x f y f z ?=+=?
=+=??=-=?， 解得1,1,1x y z =-=-=． 可得驻点为0(1,1,1)P --．
再求(Hessian)黑塞矩阵，因为2,0,0,4,0,4x x x y x z y y y z z z f f f f f f ======，所以
2
000
4000
4H ?? ?= ? ??
?
，由正定矩阵的等价命题（5）可知H 是正定的，所以0(1,1,1)P --是(,,)f x y z 的极小点，且(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点的极小值为(1,1,1)5f --=-．
例13 求多元函数()222
11223231342466f x x x x x x x x x x =-+-+-+的黑塞矩阵，并根据
结果判断该函数的极值点．
解 先求驻点，由
1231231233212460
44608660
x x x f x x x f x x x f x x x ?=-++=?
=--=??
=-+=?，解得1230,0,0x x x ===． 可得驻点为()00,0,0P ．
由上述方程组可求得(Hessian)黑塞矩阵为24
6446668H -?? ?=-- ? ?-??
，由于
11222420,804
4
H H -=-<=
=-<-，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故0P 不是极值点．
总结
本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法．最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率．
参考文献：
[1] 王萼芳，石生明．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社． [2] 华东师范大学数学系．《数学分析》（第四版）．高等教育出版社． [3] 何亚丽．《线性代数》．科学出版社．
[4] 陈大新．《矩阵理论》．上海：上海交通大学出版社．
[5] 刘畅．正定矩阵性质的推广［J ］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271． [6] 岳贵鑫．正定矩阵及其应用［J ］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33． [7] 黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J ］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88． [8] 张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J ］．中南大学学报，2011,31（4）． [9] 倪凌炜．实正定矩阵的若干判定方法［J ］．湖州师范学院学报，2010,26（2）．
后记
写完这篇论文之时，我深深地叹了口气，虽然写作过程艰苦，但是最终还是喜悦地，
顺利地完成了毕业论文．在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用．我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点．
首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文．无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导．从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德．还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步．最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们．
正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application
目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)
1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠
关于矩阵正定的若干判别方法 数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖 指导教师吴春 摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。 关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言 代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些
摘要 本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值
ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 正定矩阵的性质及其应用 姓名： 学号： 指导教师： 摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。 关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract: Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations. Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application 1. 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。 2. 正定矩阵的等价定理 首先我们给出正定矩阵的定义。 定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有 12(,,,)0n f c c c >,
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩
内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况, 变量35个，样本31个（全国31个省）, 希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 一、问题描述 通过SPSS的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”， 无法给出KMO直，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 二、疑问 1）什么是正定矩阵？ 2）因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3）非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4）如何修正使得变成正定矩阵？ 三、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1）样本量太少，而指标过多 2）某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无 法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且 相关系数在以上： 但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况 估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问 题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只 选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现SPSS没有再提示“非正定矩阵”而是正常 的输出了KMO佥验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，
当发现添加某个变量SPSS提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续 SPSS认为“非正定矩阵”的原因: 测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让 一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出 结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图： 上图的截图是“解释的总方差”显示所有变量的相关系数矩阵的所有特征值，大家可以看到在 用红色方框标注的5个特征值，他们的数值的数量级都是10的负16次方、17次方、18次方，甚 至出现了负值，几乎可以认为就是零了，远远小于其他特征值，根据之前的逐一测试法确认，这 5 个特征值是与之前发现的那5个变量是对应的，我想这就应该是为什么是这5个变量导致出现非正定矩阵的原因吧。 那进一步思考，特征值过小或者为负值说明了什么呢，根据正定矩阵的判定，正定矩阵的充分 必要条件是：特征值>0,所有出现负的特征值就肯定会出现“非正定矩阵”的原因，但就靠这点似 乎还不够，因为有些特征值是大于0的，只是非常非常小而已。我推测（仅仅是我推测），因为我 们在做主成分分析的时候，每个主成分的方差就等于对于特征值，特征值太小意味着主成分的方差 太小，方差太小意味着包含变量的信息量太少，而我们在做因子分析时往往也是用主成分法来抽取 公因子，所以特征值太小可能也无法满足正定矩阵的条件，当然这是我的推测。 四、总结 根据整个过程，我总结了一下几点： 1）出现非正定矩阵的情况，并不一定都是样本太少（本例中样本才31,变量有35个） 2）剔除变量的时候，可以利用逐一淘汰法来发现问题变量，再考虑是否要删除 3）非正定矩阵似乎对因子分析结果并无太多影响，因为我们往往只抽取了部分公因子（累计方差
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件 Decision of Real Positive Definite Matrix and Its Important Conclusion Abstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix . Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition
禄 鹏 （天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000） 摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论. 关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 2 实正定矩阵的等价定理 定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>. 定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定. 引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的. 引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4 [] 7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的 主对角元均为正. 定理1 实对称矩阵n n R A ?∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10?∈≠n R X ，使0>AX X T .
正定矩阵的性质及应用 摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。 关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用 前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即： （1）aii＞0，i=1，2，……，n； （2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元； （3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式； （4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立； 而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中
正定矩阵的性质及应用 摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了. 关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值. 研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用． 一、正定矩阵的定义 定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,, 21 都 有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵. 定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量) ,,,(21n x x x f X =都有0>' A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵. 注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定. 二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别. 二．正定矩阵的一些性质 1.正定矩阵的充分必要条 （1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定?它的惯性指数为n .
正定矩阵的判定 摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。 关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型 一、利用定义 （一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有 T X AX 0>。正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。 例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则T P AP 也是正定矩阵。 证明：因为A 是实对称阵，故T P AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ， 由于PX ≠0(P 是非奇阵),故() T T X P AP X 0>,即T P AP 是正定阵。 1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量 X =12x x ?? ? ? ??? ≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。 2．实对角矩阵1n d d ?? ? ? ??? 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2, n )。 3．实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等 于n 。 二、利用主子式 （一）n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0，则A 为正定矩阵。 证明：对n 作数学归纳法。当1n =时，()2 1111f x a x =，由条件11a >0，显然有 ()1f x 是正定的。假设该论断论断对1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。 令 111,111,11,1n n n n a a A a a ----?? ?= ? ??? ，11,n n n a a α-?? ?= ? ???
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生姓名：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
本科生学年论文（设计） 论文（设计）题目正定矩阵的性质及应用 作者 分院、专业理学分院数学与应用数学专业 班级 指导教师（职称） 字数 5488 成果完成时间
正定矩阵的性质及应用 摘要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用 The nature and application of positive definite matrices Abstract：We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion. Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application
本科毕业论文(设计) 正定矩阵及其应用 学生：学号： 专业：指导老师： 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Positive definite matrices and their applications Student Name: Student No.: Specialty:s Supervisor: Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要 矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用. 关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值
Abstract The matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars' attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix' primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum. Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum
一、案例介绍 某运营商无线增值业务全国各省某一个月内运营情况，变量35个，样本31个（全国31个省），希望通过因子分析对各省综合实力进行排序。 二、问题描述 通过spss的因子分析对原始变量进行降维处理时，SPSS提示相关系数矩阵为“非正定矩阵”，无法给出KMO值，但是SPSS仍然给出了后续因子分析结果。 三、疑问 1)什么是正定矩阵？ 2)因子分析是否一定要求变量的相关系数矩阵为正定矩阵？ 3)非正定矩阵的存在对因子分析结果有何影响？ 4)如何修正使得变成正定矩阵？ 四、解决办法 通过在论坛上查阅人相关问题，发现其他网友总结出现这种情况的原因主要集中在两点： 1)样本量太少，而指标过多 2)某些变量间相关性太强 而解决方案分别要求增加样本，或者剔除某些显著强相关的变量，但是在我的这个例子里面无法增加样本，因此只能从变量的相关性上考虑，看是不是存在一些和其他变量高度相关的变量。 通过查看因子分析结果中的相关系数矩阵，的确发现大部分变量之间都存在高度相关性，而且相关系数在0.9以上：
但是现在问题来了，那是不是应该直接删除高度相关的变量？该删除哪些变量？按照我的情况估计很多变量都要剔除了，那对于分析结果就会产生很大的影响。为了找出具体是哪些变量导致问题的出现，我用了一个比较笨的办法：逐一淘汰法。刚开始时不把所有变量都用来做因子分析，只选取一小部分，例如我先选取了10个变量做分析，发现spss没有再提示“非正定矩阵”而是正常的输出了KMO检验值，而且顺利完成了因子分析结果；然后下一步我再逐个添加其他变量进行测试，当发现添加某个变量spss提示“非正定矩阵”时，就记下这个变量，然后再换成下一个变量继续测试，直到把所有变量测试完。通过这样的测试，我终于找到让spss认为“非正定矩阵”的原因：一共有5个变量，只要不纳入这5个变量进行分析，spss就能正常的进行因子分析。 找到原因后，我本来想直接删除掉这5个变量好了，但是我查看了一下spss因子分析的输出结果，发现了为什么是这5个变量的原因，如下图：
半正定矩阵的性质 内容摘要 矩阵是线性代数的一个重要内容，矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的，具有很大的现实意义.矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分，而且在在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用.本文以半正定矩阵的概念为基本出发点，从特征值、主子式、QR 分解、Gram 矩阵、半正定矩阵的各种运算等等系统研究半正定矩阵的基本性质，尤其是hadamard 积 和kronecker 积 ，更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质. 【关键词】 半正定矩阵 hadamard 积 kronecker 积 一、矩阵的相关知识 定义1[1] . 矩阵的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩，记作()R A . 定义2[1]. 矩阵的特征值与特征向量 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和非零n 维列向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ 为A 的一个特征值.非零n 维列向量x 称为矩阵A 的属于（对应于）特征值λ的特征向量，简称A 的特征向量.特征向量0≠x . 注1. 特征向量不是由特征值唯一确定的，但是特征值都是由特征向量唯一决定的.所以一个特征向量只能属于一个特征值，一个特征值有无穷多个特征向量. 注2．对于一个n 阶矩阵A ，λ是矩阵A 的特征值，一般通过求解特征方程 A E f -=λλ)(和齐次线性方程组()0E A X λ-=来得到矩阵的特征值和特征向 量. 定义3[1]. 矩阵的迹 设矩阵()ij n n A a ?=，那么矩阵A 的迹就是矩阵A 的主对角线元素的之和，记作()tr A .
Science Bird改组为:
08中科大高代 232 3 23567A(4{111}A(008A(λλλλλλλλλλλ??+n -1一、填空 1、已知方阵A,求A 、已知方阵A,求A 、线性方程组 4、求以A(1,-2,1),B(2,3,0),C(0,-1,4),D(1,3,-1)为四顶点的四面体 的体积。、向量组线性相关 、求线性变换在某基下的矩阵 、已知四阶方阵)的秩为，初等因子组为，，，（）（），，则)的不变因子是____，行列式因子是___ 、)=220 0Smith ___0010100010109A=Jordon ______ 00101000100000110λλλλ?? +?? ????????????? ?????????? ，求它的标准形、的标准形是、求实正交阵的正交相似标准形。 n n 1212F P FA=AF A 12 :112x-y+z=0 2 (1)l l 2l l y x z ππ×∈+?= =???1二、若对任意可逆，，则为数量矩阵。三、证明：酉矩阵的特征值的模长是。四、已知直线l 和平面：、求在上的投影直线的方程 ()、求绕旋转所得的旋转曲面的方程 222123123122331123123A B A+B A B A+B Q(x ,x ,x )x x x 4x x 4x x 4x x 1Q(x ,x ,x )2Q(x ,x ,x )1n A B A+B P P P P P P =++?+?=≥五、已知二次型（ ）用正交变换将化为标准形（）判断曲面的类型 六、阶实对称方阵，，的正惯性指数分别是，，证明：+
1s 1s 2s 1n 2s 1n n A B *****0****00B ***B=,B B ,,000***000000000λλλλ???????????????????? %""%++七、证明：阶实方阵正交相似于一个准上三角阵 其中，，为二阶实方阵;为实数。 A B A B 八、设实方阵，相似且相合，问，是否正交相似，试证之。
泰山学院 毕业论文材料汇编 正定矩阵的判定 所在学院 专业名称 申请学士学位所属学科 年级 学生姓名、学号 指导教师姓名、职称 装订日期 2015 年 6 月 30 日.
材料汇编目录 一、开题报告 二、任务书 三、论文 1. 封面 2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目录 5. 正文 6. 参考文献 7. 致谢 四、成绩评定书 泰山学院 毕业论文开题报告.
题目正定矩阵的判定 学院 年级 专业 姓名 学号 指导教师签字 学生签字 2014 年 12 月 15 日 .
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. 方法二（标准形法）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 与单位矩阵E 合同。 方法三（顺序主子式法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的所有顺序主子式全大于零。 方法四（特征值法）对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全大于0。 方法五（矩阵分解法）如果矩阵A 有分解式：C C '=A ,则C 列满秩时， A 正定。 （二）研究方法 主要运用理论知识与举例相结合的方法、经验总结法来研究求一元函数极限的方法。 三、进度安排 1. 调研、收集资料务必于2014年12月10日前完成。 2. 写作初稿务必于2015年4月10日前完成。 3. 修改、定稿、打印务必于2015年5月30日前完成。 四、主要参考文献 [1] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1996. [2] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989. [3] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中理工大学出版社，1993. [4] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室. 高等代数( 第三版)[M].北京：高等教育出版 社，2003. [6] 于增海.高等代数考研选讲[M].北京：国防工业出版社，2012. [7] 杨子胥.高等代数习题集[M].济南：山东科技出版社，2003.