江苏13市2011年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边
形
一、选择题
1.(无锡3分) 菱形具有而矩形不一定具有的性质是
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】A。
【考点】菱形和矩形的性质。
【分析】区分菱形和矩形的性质，直接得出结果： A．对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，选项正确； B．对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误；C．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，选项错误； D．对角互补是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误。故选A。
2. (无锡3分) 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那
么下列图案中不符合
．．．要求的是
【答案】D。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称的定义，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，得出A、B、C选项都关于正方形的某条对角线对称。故选D。
3.（泰州3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥C D，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC。其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C。
【考点】平行四边形的判定。
【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，①②③是平行四边形的条件
,④不一定，它还
可能是等腰梯形。故选C。
4.（扬州3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，等腰梯形的性质，菱形的判定，平行的性质。
【分析】根据平行四边形的性质①正确；根据等腰梯形的性质②正确；根据菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③错误；根据平行的性质，两直线平行，内错角相等，④错误。故选B。
5.（淮安3分）在菱形ABCD中，AB＝5cm，则此菱形的周长为
A. 5cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
【答案】C。
【考点】菱形的性质。
【分析】根据菱形四边都相等的性质, 直接得出结果：菱形的周长＝4AB＝20。故选C。
二、填空题
1. （苏州3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于▲ ．
【答案】3。
【考点】平行四边形的性质。
【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，由AC＝6，直接得出结果：AO＝3。
2.（南京2分）等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为▲ ㎝．【答案】6。
【考点】等腰梯形的中位线。
【分析】由已知，等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰长＝上底＋下底＋10＝22，即上底＋
下底＝12。从而中位线＝(上底＋下底)÷2＝6。
3.（南京2分）如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且
DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为▲ ㎝2．
【答案】
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】∵DE 丄AB ，E 是AB 的中点，∴AE＝1cm ，根据勾股定理得DE 。∴菱
形的面积＝底边×高＝
4.（泰州3分）如图，平面内4条直线l
1、l
2、 l
3、 l 4是一组平行线，相邻2条
平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些
平行线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正方形的面积是 ▲ 平方单位。
【答案】5或9。
【考点】平行的性质，勾股定理, 正方形面积。
【分析】①A 点在l 1定下后，B 点由A 点向下平移2个单位到l 2后向左平移1个单位得到；C 点由B 点向下平移1个单位到l 4后向右平移2个单位得到；D 点由C 点向上平移1个单位到
l 3后向左平移2个单位得到。这时得到的四边形ABCD
5平方单位。( 如下左图 ）②边长是3的正方形，该正方形的边长面积是9平方单位。( 如下右图 ）
决问题
5.（盐城3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画
线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ▲ ．
【答案】等腰梯形。
【考点】矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，等腰梯形的判定。
【分析】根据矩形的性质，有AB CD DCB ?∠∥等于三角板较大锐角（内错角相等），等
于∠ABC（相
似三角形对应角相等），且AB≠CD，从而得证四边形ABCD 的形状是等腰梯形。
6.（淮安3分）在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 ▲ .（写出一种即可）
【答案】∠A＝90°(答案不唯一) 。
【考点】矩形的判定。
【分析】由于已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，从而根据平行四边形的判定定理，四
边形ABCD 是平行四边形。再根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理，只要写出下列条件即可：∠A＝90°，∠B＝90°，∠C=90°，∠D＝90°或AC ＝BD 。
7.（宿迁3分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠ADC 的平分线
与∠BDC 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则
AB 的长度是 ▲ cm ．
【答案】15。
【考点】平行的性质，角的平分线定义，等腰三角形的性质。
【分析】∵AB∥DC，∴∠EDC＝∠AED，∠ECD＝∠BEC。
又∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BDC，∴∠EDC＝∠ADE，∠ECD＝∠BCE。
∴∠AED＝∠ADE，∠BEC＝∠BCE。
∴AD＝AE ＝7cm ，BC ＝BE ＝8cm ，AB ＝AE ＋BE ＝15cm 。
8.（连云港3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ ▲ ．
【答案】
【考点】等腰梯形，翻转，勾股定理。
【分析】等腰梯形两组对边中点所连线段，实际上两底的中点所连线段是等
腰梯形的高，即图中BE ；两腰中点所连线段是等腰梯形上底与下底和的一半， 即()1AB DC 2
+，把BCE DAF ??翻转到，这样()()11AB DC FB DE DE 22++＝＝。[来源:学§科§网]
等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8可表示为22DE BE 8+＝，而在Rt BDE ? 中，222DE BE BD +＝。从而BD
＝
三、解答题
1. (无锡8分) 如图，在 ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF．求证：BE=DF ． 【答案】证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF。 ∴在△ABE 和△CDF 中 BAE DCF AB CD ABE CDF ∠=∠??=??∠=∠?
，
D B A
∴△ABE≌△CDF （ASA）。∴BE＝DF。
【考点】平行四边形的性质, 平行线的性质, 全等三角形的判定和性质。
【分析】要证明BE=DF, 只要求证△ABE和△CDF全等, 利用平行四边形对边平行且相等和平
∠=∠，根据全等三行线内错角相等的性质可得AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，又由巳知BAE DCF
角形ASA的判定定理得证。
2.（常州、镇江7分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝CD，AD⊥BD，E为AB的中点。求证：四边形BCDE是菱形
【答案】证：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形。
∵E为AB的中点，∴DE＝EB。∴∠EDB＝∠EBD。
又∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠EBD。
又∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD。∴∠EDB＝∠CBD。
∴CB∥DE。∴四边形BCDE是菱形。
【考点】梯形性质, 直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，
平行的判定和性质，菱形的判定。
【分析】要证四边形BCDE是菱形，根据菱形的判定就要证一组邻边相等和四边形BCDE是平行四边形。
已知BC＝CD，故只要证四边形BCDE是平行四边形即可。由于已知AB∥CD，从而只要证CB∥DE。由已知，根据直角三角形斜边上的中线是斜边一半的性质，等腰三角形等边对等角的性质和内错角相等这一平行的判定和性质可证得CB∥DE。
3.（南京7分）如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，
连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩
形．
【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。
∵EC＝DC，∴AB＝EC。
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF（AAS）。
（2）∵AB＝EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC 是平行四边形。∴AF＝EF ， BF ＝CF 。 ∵四边形ABCD 是平行四边形。∴∠ABC＝∠D。
又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。
∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB 。
∴FA＝FE ＝FB ＝FC ，∴AE＝BC 。∴ ABEC 是矩形。
【考点】平行四边形的性质, 平行线的性质，矩形的判定, 全等三角形的判定和性质。
【分析】⑴要证△ABF≌△ECF，由已知 ABCD 和CE ＝DC ，很易知其有对应边相等AB ＝EC ，又有一对对顶角相等∠AFB＝∠EFC，只要再找－角即可，根据平行四边形对角相等和平行线的同位角相等可证∠ABF＝∠ECF。
（2）要证四边形ABEC 是矩形，首先证其是平行四边形，易证AB 平行且等于CE ，故只要证其对角线相等或有－个角是直角即可，利用∠AFC＝2∠D 结合平行四边形的性质都易得到。
4.（泰州10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F 。
（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由。
【答案】解: （1）△ABC∽△FOA。理由如下：
在矩形ABCD 中：∠BAC＋∠BCA＝90°，
∵直线l 垂直平分线段AC ，∴∠OFC＋∠BCA＝90°。
∴∠BAC＝∠OFC＝∠OFA。
又∵∠ABC＝∠FOC＝90°，∴△ABC∽△FOA。
（2）四边形AFCE 为菱形。理由如下：
∵AE∥FC ，∴△AOE∽△COF。
则OE ：OF ＝OA ：OC ＝1：1 ，∴OE＝OF 。
又∵直线l 垂直平分线段AC ，∴AC 与EF 互相垂直平分。∴四边形AFCE 为菱形。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定。
【分析】（1）△ABC 和△FOA 易证都是直角三角形，只要再证其一组对角相等，而∠BAC 和∠OFC=∠OFA 都与∠BCA 互余，从而得证。
（2）要证四边形AFCE 为菱形，已知直线l 垂直平分线段AC ，只要再证其互相平分，由△AOE∽△COF 可证OE=OF ，从而得证。
（第24题图）
5.（宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q
为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE⊥AB 于点E ，过M 作MF⊥BC 于点F ．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求
出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形 ， ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
AD ＝AB 。
∵QE⊥AB，MF⊥BC ，∴∠AEQ＝∠MFB＝90°。
∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形。∴MF＝AB ，QE ＝AD ，MF⊥QE。∴MF＝QE 。 又∵PQ⊥MN ， ∴∠EQP＝∠FMN。
又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ， ∴△PEQ≌△NFM（ASA ）。
（2）∵点P 是边AB 的中点，AB ＝2，DQ ＝AE ＝t
∴PA＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2。
由勾股定理，得PQ
∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ
又∵PQ⊥MN ∴S＝1PQ MN 2?＝21(1)42t ??-+??＝12t 2－t ＋52 ∵0≤t≤2 ∴当t ＝1时，S 最小值＝2。
综上：S ＝12t 2
－t ＋52，S 的最小值为2。 【考点】正方形的性质, 全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】⑴要证△PEQ≌△NFM，重点证∠EQP＝∠FMN 即可。
（2）把面积S 用t 表示，利用二次函数的最值即可求。
6.（徐州8分）如图, 在四边形ABCD 中, AB=CD, BF=DE, AE ⊥BD, CF⊥BD,
垂足分别为E, F 。
（1）求证：△ABE ≌△CDF;
（2）若AC 与BD 交于点O. 求证:AO=CO 。
【答案】证：（1）∵AE⊥BD, CF⊥BD,∴△ABE 和△CDF 都是直角三角形。
又∵BF=DE，∴BE=DF。
Q P N
M F E D C
B A
∵在R t△ABE和R t△CDF中，AB=CD，BE=DF，∴△ABE≌△CDF（HL）。
（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF。∴AB∥CD。
又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴AO=CO。
【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）要证△ABE≌△CDF，考虑到它们都是直角三角形，并且斜边AB和CD已知相等，而由BF=DE可得BE=DF。所以由斜边直角边定理可得证。
（2）要证AO=CO，考虑到点O是四边形ABCD对角线上的一点，只要证四边形ABCD是平行四边形。由于已知对边AB=CD，从而要证四边形ABCD是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理，只要证AB∥CD即可。而（1）已证△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠ABE=∠CD F，从而根据内错角相等两直线平行的判定定理，有AB∥CD，从而得证。