函数单调性和奇偶性
一、选择题 (每小题 5 分，一共 12 道小题，总分60 分)
1．命题“若x, y都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是（）A．若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数
B．若x y 是偶数，则x与y不都是偶数
C．若x y 是偶数，则x与y都不是偶数
D．若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数
2．下列函数是偶函数的是（）
1
． y 2x 1
A．y sin x B． y x sin x C．y x 2D
2x
3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）
A．y2x B． y 2 x
C．y2x 2 x D．y 2x 2 x
4．下列函数中，不是偶函数的是（）
A．y x24B． y tan x
C．y cos2x D． y3x 3 x
5．（ 2015 秋?石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞ +∞）上单调递增的
是（）
A． y=﹣B．y=sinx
C． y=x D．y=ln|x|
6．如图，给出了偶函数y f x 的局部图象，那么 f 1 与 f 3的大小关系正确的是( )
A. f 1 f 3
B. f 1 f 3
C. f 1 f 3
D. f 1f3 7．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（）
A．f ( x) g(x)是偶函数B．| f ( x) | g( x)是奇函数
8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 y f ( x) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x) f ( x) 0 ; ②
f (x 1) f ( x) 1 ; ③ y
f ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数 , 则对于下述命题：
① y
f (x) 为周期函数且最小正周期为
4;
② y
f (x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有
1 条 ;
③ y f (x) 在 [3,4] 上为减函数 .
正确命题的个数为 ( )
A ．0 个
B ．1个
C ． 2 个
D ．3个
9．设 f ( x)
是奇函数，且在 ( 0,
)
内是增函数，又
f ( 3) 0 ，则 x
f ( x)
的解集
是
A ． x | 3 x 0或x 3
B
． x | x
3或0 x 3
C ． x | 3 x 0或 0 x 3
D ． x | x
3或x 3
10 ． 函 数 f
x 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f x
的周期 6．当
3 x
1 时 ,
f x
x 2
2
，当 1 x 3 时， f x x ．则 f 1
f 2
f 2013 + f 2014
（ ）
A ． 337
B
． 338
C
． 1678
D
． 2012
二、填空题 (每小题 5 分，一共 6 道小题，总分 30 分)
11 ．若函数 f ( x)
x
(2 a 1)x
1
1 为奇函数，则 a
________．
x
12 ．已知奇函数 f （x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ） =
，则 f （﹣ 1）=
．
13 ． 已 知 f ( x) 3
b x 4其 中 a, b 为 常 数 ， 若 f ( 2) 2 ， 则 f ( 2 ) 的 值 等
a x
于
．
14 ．若函数
f ( x)
kx
2
( k 1)x
2
是偶函数，则
f (x)
的递减区间是
．
15 ．设定义在 R 上的函数 （fx ）满足 f ( x 2) f (x)
7，若（f 1）=2，则 （f 107）=__________.
16 ．设函数 f(x) 是奇函数且周期为 3，若 f(1) ＝－ 1，则 f(2015) ＝ ________．
三、解答题 (每小题 5 分，一共 4 道小题，总分 20 分)
17．已知函数 f ( x)
a (1,3) 、 (2,3) 两点．
bx ( 其中 a ， b 为常数 ) 的图象经过 x
.
（1）求a
，
b
的值，判断并证明函数
f ( x)
的奇偶性；
（2）证明：函数f ( x)
在区间
[ 2,)
上单调递增．
18．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x ＋ 2) ＝－ f(x)，当 x∈[0 ，2]时， f(x)＝ 2x－ x2.
(1)求证： f(x) 是周期函数；
(2)当 x∈[2 ， 4] 时，求 f(x) 的解析式；
(3)计算 f(0) ＋ f(1) ＋ f(2) ＋?＋ f(2014) 的值．
.
参考答案
1． D
【解析】
试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位” 且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数”，故选 D.
考点：四种命题的概念.
2． B
【解析】
试题分析：偶函数的定义域要关于原点对称，且满足 f ( x) f ( x) ，选项A中f (x)sin(x)sin x
f ( x) ，奇函数不符合；选项B中 f ( x) ( x)sin( x)xsin x f ( x) ，偶函数符合；选项 C 中定义域为0,，不关于原点对称，非奇非偶函数不符合；选项 D 中
f (x) 2 x1 2 x2x f ( x) ，奇函数不符合．故选B．
2 x
考点：利用定义判断一个函数是否为偶函数．
3． C
【解析】
试题解析： A 虽增却非奇非偶，B、 D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数
单调性可知在其定义域内是增函数（或y '2
x ln 22x ln 2 0 ），故选C
．
考点：函数的单调性、奇偶性
4． D
【解析】
试题分析： A 选项，f - x
2
4= x2 4 f x ，所以f x为偶函数； B 选项，= - x
f - x tan-x
= tan x f x ，所以 f x 为偶函数；C选项， f- x cos2 - x=cos2 x f x ，所
以 f x是偶函数； D 选项，fx 3 x3x3x 3 x f x，所以 f x 为奇函数.故选 D.
考点：函数奇偶性的定义.
5． C
【解析】
试题分析：根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可．
解： y=﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；
.
y=sinx 在每个区间（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，
故排除 B；
令 f （ x） =，其定义域为R，且 f （﹣ x） ==﹣=﹣ f （ x），所以f（x）为
奇函数，
又f ′（ x） =3x2≥0，所以 f （x）在 R上单调递增，
故选： C．
考点：函数奇偶性的判断．
6． D
【解析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f(-3)=f(3),结合图像可知 f(1) 【答案】 D 7【解析】 试题分析：对于选项 A ，因为 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f ( x)g ( x) f ( x) g(x) ，所以 f (x)g( x) 是奇函数，所以选项 A 不正确；对于选项 B ，因为 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f ( x) g ( x) f ( x) g( x) ，所以| f ( x) | g ( x)是偶函数，所以选项 B 不正确；对于选项 C ，因为 f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，且 f (x) g(x) f (x) g( x) ，所以| f (x) g( x) | 是偶函数，所以选项C不正确； 对于选项 D ，因为 f (x)是奇函数，g( x)是偶函数，且 f (x ) f ( x ) ，所以 f (| x |)是偶 函数，所以选项 D 正确；故应选 D ． 考点： 1、函数的奇偶性． 8． B 【解析】 试题分析：（ 1）由f ( x 1) f ( x) 1 得 f ( x2) f (x1)1，所以得 f ( x) f ( x2) ，得最小正周期是 2.该命题错误 . (2)由 f (x) f ( x)0得 f (x) f ( x) ，知其是偶函数，图像关于 y 轴对称，但该函数是周期函数，所以对称轴有无数条. 该命题错误 . (3)由y f (x) 在 [0,1] 上为增函数，因为是偶函数，所以在[1,0] 上为减函数，周期为2，所以y f (x) 在 [3,4] 上为减函数.该命题正确. 考点：函数性质的综合考察. 9． C 【解析】 试题分析：因为函数为奇函数，且 f 3 0 ，在 0,内是增函数，所以 f 30 ，在 . x 3 3 x 0 0 x 3 x 3 ,0 内是减函数，从而可得 ， f x ， f x ， ，由此 f x 0 f x 0 可得满足 x f x 0 的 x 的取值集合为 x | 3 x 0或0 x 3 ． 考点：函数单调性与奇偶性的综合应用． 10． A 【解析】 试题分析：由已知得 f (1) 1 ， f (2) 2 ， f (3) f ( 3) 1 ， f (4) f ( 2) 0 ， f (5) f ( 1) 1 ， f (6) f (0) 0 ， 故 f 1 f 2 f 6 ， 1 f 1 f 2 f 2013 + f 2014 335+ f 1 f 2 f 3 f 4 = 337 ． 考点：函数周期性． 11． 1 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 函 数 f (x) x (2 a 1)x 1 1 x 1 2a 2 为 奇 函 数 ， 所 以 对 x x x ( ,0) (0, ) 均有 f ( x) 1 2a 2 x 1 ，所以 f ( x)，即 x 2a 2 x x 4a 4 0,a 1. 考点：函数的奇偶性 . 12．﹣ ． 【解析】 试题分析：利用函数的奇偶性，直接求解函数值即可． 解：奇函数 f （ x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ）= ，则 f （﹣ 1） =﹣ f （ 1） =﹣ ． 故答案为：﹣ ． 考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 13． -10 【解析】 试题分析： f x 4 ax 3 bx ，所以判断 f x 4 是奇函数， f 2 4 6，所以 f 2 4 6 ，即 f 2 6 4 10 考点：奇函数 【方法点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值， 属于基础题型， 谨记一些法则， 比如， 奇函数 +奇函数 =奇函数，奇函数 奇函数 =偶函数，奇函数 +偶函数 =非奇非偶函数，所以本 . 题 f x 并不是奇函数，但 f x 4 是奇函数，所以间接利用 f 2 4 ，求 f 2 4 ，最 后求 f 2 14． ,0 （ ,0 也对） 【解析】 试题分析：若函数 f x kx 2 k 1 x 2 是偶函数，所以 k 1，则 f x x 2 2 ，所以 函数 f x 的递减区间是 ,0 ． 考点： 1．偶函数； 2．二次函数的单调性． 【思路点晴】 本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数， 属于容易题． 解题时首先要根据 函数是偶函数得到 k 1 ，从而函数转化为二次函数，找到对称轴即可解决问题．另外本题 答案也可是 ,0 ． 7 15． . 2 【解析】 试题分析： 函数 f （x ）满足 f (x 2) f ( x) 7 ，则 f ( x) 7 ， f (x 2) 7 ， f ( x f (x 2) 4) 所以 f (x) f (x 4) ， f (107) f (26 4 3) 7 7 . f (3) f (1) 2 考点：函数的周期性 . 16． 1 【解析】由条件， f(2015) ＝f(671 ×3＋ 2) ＝ f(2) ＝ f( －1) ＝－ f(1) ＝ 1. 17．（ 1） a 2 , b 1 奇函数（ 2）详见解析 【解析】 试题分析：将函数过的点代入函数式可得到 a, b 的值，判断奇偶性可判断 f x f x ， f x f x 是否成立；（ 2）证明函数单调性一般采用定义法，在 x 1 x 2 的前提下证明 f x 1 f x 2 成立 试题解析：（ 1）∵ 函数 f ( x) 的图像经过 (1,3) 、 (2,3) 两点 a b 3 ∴ a 2b ，得 a 2 , b 1 2 3 . ∴ 函数解析式f (x)2，定义域 (，0）（ 0 ，+） x x ∵ f ( x)22 x)f (x) ( x)( x x 2 ∴函数解析式 f (x)x 是奇函数 x （ 2）设任意的x1、x2[ 2 ,) ，且 x1x2 f ( x1 ) 2 x1 2 x2 f ( x2 ) x2 x1 2( x2x1 ) x1 )( x22 1) ( x2x1 )( x1 x2x1 x2 ( x2 2 x1x2 x1 ) x1x2 ∵ x 1 2 , x2 2 ，且x1x2 ∴ x 1 x 2 2 ，则 2 x1 x20 ，且 x2 x10 得 f (x1 ) f (x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f (x2 ) ∴ 函数 f ( x) 在区间 [ 2 ,)上单调递增． 考点：函数奇偶性单调性 18．（ 1）见解析（ 2） f(x) ＝ x2－ 6x＋ 8， x∈ [2 ，4] ．（ 3） 1【解析】 (1) 证明：因为 f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，所以 f(x ＋4) ＝－ f(x ＋ 2) ＝f(x) ， 所以 f(x) 是周期为 4 的周期函数． (2)解：因为 x∈[2 ， 4] ， 所以－ x∈[ － 4，－ 2] ， 4－x∈[0 ， 2] ， 所以 f(4 －x) ＝ 2(4 － x) － (4 － x) 2＝－ x2＋6x－ 8. 又f(4 － x) ＝ f( － x) ＝－ f(x) ，所以－ f(x) ＝－ x2＋6x－ 8，即 f(x) ＝ x2－ 6x＋ 8，x∈ [2 ，4] ．(3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， 所以 f(0) ＋ f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝?＝0， 所以 f(0) ＋ f(1)＋f(2)＋?＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1. 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法） 高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1） 7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.f 函数的单调性与奇偶性 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 A ．2)()(x x f =是偶函数 B ．2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D ．23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是 A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0 微专题30 1．答案：－2. 解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－0)＝－f (0)，f (－3)＝－f (3)，所以f (0)＝0，f (3)＝－2，则f (0)＋f (3)＝－2. 2．答案：f (3)＜f (－2)＜f (1)． 解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－2)＝f (2)．又任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ＜0恒成立，则任意x 2＞x 1≥0时，f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数．所以，f (3)＜f (－2)＜f (1)． 3．答案：－4. 解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，于是m ＝－1，所以f (－log 35)＝ －f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4. 4．答案：(－1，3)． 解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，所以f (x －1)＞0可化为f (|x －1|)＞f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3. 5．答案：(－2，0)∪(0，2)． 解析：因为函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函 数，f (2)＝0，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数，f (－2)＝0.由x ·f (x )＜0得，???x ＜0，f （x ）＞0， 或???x ＞0，f （x ）＜0，，即???x ＜0，－2＜x ＜0，或???x ＞0，0＜x ＜2， 所以原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)． 6．答案：(2，3)． 解析：f ′(x )＝cos x －1－ln2(2－x ＋2x )≤cos x －1－22－ x ·2x ＝cos x －3＜0，则函数f (x )在R 上 是单调减函数．又f (－x )＝－sin x ＋x ＋1－4－x 2 －x ＝ －? ???sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，所以f (1－x 2)＋ f (5x －7)＜0可化为f (1－x 2)＜－f (5x －7)＝f (7－5x )，即1－x 2＞7－5x ，解得2＜x ＜3.所以，不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)＜0的解集为(2，3)． 7．答案：(1)奇函数；(2)(－∞，1)∪(4，＋∞)． 解析：(1)函数f (x )是奇函数，证明如下：由x ＋1x －1 ＞0，得x ＜－1，或x ＞1，则函数 f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ? ?? ??x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ ln x 1＋1x 1－1－ln x 2＋1x 2－1＝ln （x 1＋1）·（x 2－1）（x 1－1）·（x 2＋1）＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1 因为x 2＞x 1＞1，所以x 1·x 2＋x 2－x 1－1＞0，x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞0，且(x 1·x 2＋x 2－x 1－1) 考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】 增，若a ＝)3 1 (log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 函数的单调性、奇偶性综合运用 【学习目标】 1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题； 2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。 【学习过程】 一．复习回顾： 1．函数单调性、奇偶性的定义 2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是 二．例题精讲： 题型一：知单调性求参数的范围 1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。 2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围. 【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若 )4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。 题型二：单调性的判断与证明： 3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断) (1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】 1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时， 1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 . 2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f < ()1232+-a a f ,求a 的取值范围. 3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 函数的的单调性及奇偶性单元测试 一、选择题 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 （ ） A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 （ ） A ．2)()(x x f =是偶函数 B.2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D.23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ） A ．奇函数 B 。偶函数 C 。非奇非偶函数 D 。既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集 （ ） A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数在区间（0，+∞）上呢证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数证明你的结论． 函数单调性与奇偶性函数单调性例题及解析 函数单调性与奇偶性教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.教学建议 一、知识结构 （1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系. （2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与 函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些 关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以 融入其中,将概念的形成与认识结合起来. （2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步 骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号, 高一数学（必修1）专题复习一 函数的单调性和奇偶性 一．基础知识复习 1．函数单调性的定义： 如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有 ()()21x f x f <，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在I 内时减函数． 2．单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ?>--02 121在 [],a b 是增函数； ()()()x f x x x f x f ?<--02 121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --(1x ，I x ∈2)． ① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等． 4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性． （3）图象法． （4）如果()f x 在区间I 上是增（减）函数，那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增（减）函数 （5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ． （6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． （8）函数)0,0(>>+ =b a x b ax y 在,??-∞+∞ ? ??? 或上单调递增；在 0???? ?? ??? 或上是单调递减． 5．函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数． 6．奇偶函数的性质： （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称．（3）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． （4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 专题：函数的奇偶性与单调性题型汇总 题型1：证明函数的奇偶性与单调性班级姓名 例1、证明函数 y =在定义域上是奇函数．例2、证明函数3 1y x =--在定义域上是减函数．题型2：函数奇偶性的判断 例3、判断函数955 y x =--奇偶性．题型3：研究函数的单调性并确定函数的单调区间 例4、研究函数1 x y x =+的单调性并确定它的单调区间．题型4：函数的奇偶性的简单应用 例5、已知53()8f x x ax bx =++-，且f(-2)=10，则f(2)=． 例6、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2 ()21f x x x =-+，求()f x 在R 上的表达式． 例7、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[1,2]a a -则a=b=．例8、函数1()1a f x x x a =+-+是奇函数，求实数a．题型5：二次函数单调性的应用 例9、已知函数2 ()(1)28f x x a x a =+-+-在(,3]-∞上是减函数，求a 的取值范围．例10、已知函数2 ()(31)1f x ax a x =--+在[1,2]-上是增函数，求a 的取值范围．题型6：复合函数的单调区间的确定 例11、函数()f x =的递增区间是————————————————————————．例12、函数227()2 x x f x x ++=-的递减区间是————————————————————————．例13、已知2()28f x x x =-++，求函数2 (2)f x -的单调区间． 题型7：函数的奇偶性与单调性的综合应用 1、求值 2、例14、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2 (3)(2)f x f x -=的所有x 的值．例15、若函数()f x 在R 上的奇函数，(1)2,(3)()f f x f x =+=-，求(2003)f 的值． 2、解不等式 例16、若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2 (2)(4)0f x f x ---<．例17、函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ?=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->． 例18、若函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且(()()x f f x f y y =-，若(3)1f =，解不等式：1()()28 f x f x -≥-． 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 专题 抽象函数的单调性和奇偶性 一、选择题 1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式 ()121f x -≤-≤的解集为 A . []1,1- B ． []0,4 C ． []2,2- D ． [] 1,3 2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 3．已知()f x 是偶函数，它在[ )0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ）学=科网 A . 1,110?? ??? B . 1,1010?? ??? C . ()10,1,10?? ?+∞ ??? D . ()()0,110,?+∞ 4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A . ()()()201f f f ->> B . ()()()102f f f >>- C . ()()()210f f f ->> D . ()()()120f f f >-> 5．已知偶函数在区间 上单调递减，则满足的的取值范围是（ ） A . B . C . D . 6． ()(),f x g x 是定义在R 上的函数， ()()()h x f x g x =+若()(),f x g x 均为奇函数则下列说法不正确的是（ ） A . 一定是奇函数 B . 不可能是偶函数 C . 可以是偶函数 D . 不可能是非奇非偶函数 7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ?? === ???,则满足( ) A . a b c << B . b a c << C . c a b << D . c b a << 8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
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