C. A? R? B
D.
A? S? B
1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离
3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ .
4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其
5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁
每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟.
长方体
10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点
问怎样走路线最短？最短路线长为
12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和
4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4
个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm.
13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到
B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.
（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？
15?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂
蚁爬行的最短路径为____________ 米。
S
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勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径
正方体
1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B
是 ____________
A? Q? B
第3题
O
A爬到点B，需要爬行的最短距离是
15 16
14 17
16. 如图，直四棱柱侧棱长为 面爬到顶点B .求： （1 ）蚂蚁经过的最短路程；
（2 ）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程. 17. 如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点B .则蚂 蚁爬行的最短路径的长是 ___________ 。
18. 圆柱形坡璃容器，高 18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形 容器的上
口外侧距开口处 1cm 的点F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
第2题
3.有一圆形油罐底面圆的周长为 爬行的最短路线长为
23. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高
AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为 ，高为5,则蚂 蚁爬行的最短距离为 24. 如图，一圆柱体的底面周长为 24cm ，高AB 为
9cm , BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从点
A 出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点 C ,则蚂蚁爬行的最短路程是
25. （2006?荆州）有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm , AA 1, BB 1为相对的两条母线.在 AA 1上有 一个蜘蛛Q , QA=3cm ;在BB 1上有一只苍蝇 P , PB 1=2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径 是
cm
.（结果用带 n 和根号的式子表示）
学习好资料 欢迎下载 4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形.一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表 19
19. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物, cm
20. 如图，是一
个相对的端点， 面爬到B 点，最短线路是 2.有一圆柱体如图，高 离
20cm 、3cm 、2cm . A 和B 是这个台阶上两个相 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为
旦一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物 ______ cm 。 圆柱
底面半径5cm , A 处有一蚂蚁, 5cm , 3cm 和1cm , A 和B 是这个台阶的两 ?请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶
4cm ,
若蚂蚁欲爬行到
C 处，求蚂蚁爬行的最短距
24m ，高为6m , —只老鼠从距底面 1m 的A 处爬行到对角 B 处吃食物，它
B
n A
p
B
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名：_________________学号：_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图 1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） （A ）1cm ＜l ＜3cm??? （B ）2cm?????? （C ）3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） A B
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件，底面半径为3，现要在其侧面绕线圈。 （1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB= 5 1 22 2= +． 3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题
A B 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB= ()101212 2=++．故选C ． A B 1 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 图2 A D E P B C
1.如图，有一个圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则沿着圆柱的 表面需要爬行的最短路程是 10cm． 解：将圆柱体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短， ∵圆柱的高为6cm，底面周长为16cm， ∴AD=8cm，BD=6cm， ∴AB=√82+62 =10cm． 故答案为：10． 2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位) 展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm，OA=10cm。求AB ∴AB=√（OA2+OB2）=21.3cm 总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方 3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说明你的理由。
A 到 B 最短距离为其对角线，为根号2倍的边长 A到C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长 如图： 向左转|向右转
3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（） （A）1cm＜l＜3cm （B）2cm （C）3cm 这样的最短路径有 6条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm，宽DF=2cm，高AB=1.5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） 考点：． 分析：（I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （II）根据图形可得出最短路径为√5 ，进而得出答案即可； （Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 解答：解：（I）如图1所示，沿线段AB爬行即可，根据两点之间线段最短； （II）如图2所示：1cm＜l＜3cm， 故选A， 路线有6条，如图2所示：
蚂蚁爬行的最短路径问题 I?专题精讲： 当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 n.典型例题剖析： 一?两点之间，线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物?请你想一想，这只蚂蚁从 的最短距离_____________ 2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ . 3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ B点, 最短线路是 1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到 A 圆柱（锥）问题 第1题
4. 如图，底面半径为1,母线长为4的 圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是 ______________ . 5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂 蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示?若沿0A 剪开，则得到 的圆锥侧面展开图为 2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点 的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ . 3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( ) (长)方体问题 如图，边长为 1. 距离是 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短 2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥 A 出发，经过3个面爬到点 B ?如果它运动 R 第5题 A. B. C. D. 第2题
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（） A． A?P?B B． A?Q?B C． A?R?B D． A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选 A． 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是. 第6 题 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=2212 5 ． 8. 正方体盒子的棱长为 2 ， BC 的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为. 第7 题 解：将正方体展开，连接M、 D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，
MD = MD 2222 DD13213 ． 1 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一 蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 12B 1 A 解：如图， AB= 1 2 21210 ．故选C． 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm； （2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm； 所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5秒． 长方体 10．（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。 解：将长方体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短，AB==25．
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+． 3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm ． 解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短 第6题
路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB = ()101212 2=++．故选C ． 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC = 2 1 BC =1， 在直角三角形中AM = = ． 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 解：将盒子展开，如图所示： AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2 1 ×20=20cm ． 故选C ．
勾股定理中最短路径问题专题 一、同步知识梳理 1、勾股数：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： ①满足a2＋b2＝c2 ②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2 (但不一定是勾股数)，例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5 cm为边长的三个数就不是勾股数。 二、同步题型分析 1、等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积. 2、（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长. （2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度. 一、专题精讲 知识总结：长方体： （1）长方体的长、宽、高分别为a、b、c；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d。 E D A C B D E A C B
A B A 1B 1D C D 1C 1214 （2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是22c b a ++）（、22b c a ++）（、2 2a c b ++）（ 中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是h 、半径是r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ； 其二、圆柱表面展开后线段AB=2 2r h +的长. 题型二、长方体 例题1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 例题2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 B A A B
最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径 最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一
共得到多少粒芝麻． 2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为（）
1A B A 1B 1D C D 1 C 124 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个 中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 第9题 第10题 第11题 第12题 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为
《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计 伊旗四中徐晓梅 新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化，数学生活化”的典型例子，下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。 一、教材分析 1．教材地位和作用 本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容，是在学生学 习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。 本节课既注重了知识的前后联系，也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。 在这些具体问题的解决过程中，需要经历立体几何图形的抽象过程，需要借助观 察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用 意识； 2．学情分析 学生学习了勾股定理，并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的 相关知识。同时，八年级的学生已经初步具备了合作，探究学习的意识和能力。 二、教学目标分析 本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下： （一）学科核心素养培育目标： 通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索，培育学生探索精神和最优化思想； 通过在圆柱体和长方体等问题中的运用，培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养；通过最短路径问题的再探索，发展学生批判性思维和发散性思维，进而提升学生的思维品质. （二）学习目标： 1．知识与技能目标 能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。 2．过程与方法目标 在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决 问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． （三）教学重难点 本着课程标准，在吃透教材、了解学情的基础上，我确定了如下的教学重难 点。 重点：探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问题
归纳1:最短路径问题与勾股定理 原题1：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 原题2：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3） 原题3：如图，有一个长方体的长、宽、高分别是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短路程是多少? 变式1：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少。 变2：如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1、l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.(单位:米) 变3：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变4：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米） 变5：如图，圆柱底面半径为2cm,高为9π，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短距离。 变6：如图, 透明的圆柱形容器( 容器厚度忽略不计) 的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少? 变7：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A 关于杯口的对称点'A ，根据“两点之间，线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少 【答案】13cm
试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析： 展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B 在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路 径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A → D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB 爬行最近。 现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬 行路线是否都最短呢？ 我们不妨看一个具体的： 问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的． 下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ A B 如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆 柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。 当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路 2）路程最近？ 为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出： （1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。
C. A? R? B D. A? S? B 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离 3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ . 4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁 每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟. 长方体 10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 问怎样走路线最短？最短路线长为 12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm. 13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. （1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ ⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？ 15?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂 蚁爬行的最短路径为____________ 米。 S 学习好资料欢迎下载 勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B 是 ____________ A? Q? B 第3题 O A爬到点B，需要爬行的最短距离是 15 16 14 17
最短距离： 1.(本小题10分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上，CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )(π按3计算) A. 15 B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( ) A. 12cm B. C. 15cm D. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行 的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18 5. 如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．
A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽度至少应增加 多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点 0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ）×2=114 粒 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 . 3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从 点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知， 线段 AB= 22 12 5 ． AB 即为最短路线． B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短 路线是（） A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A． 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2， 蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C． 6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（） 解：展开正方体的点M所在的面，
最短距离： 令狐采学 1.(本小题10分) 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上， CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点， 则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A. 15B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉 线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的 长度最短为( )A. 12cmB. C. 15cmD. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为 50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点， A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18
5.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm． A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、 宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中， 能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方 形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工 厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略 不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过， 那么此大门的宽度至少应增加多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm， BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱 的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若 一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，
课题利用勾股定理求最短问题 学习目标：利用勾股定理知识与其他知识的综合应用解决图形中最短距离问题。 学习重点：勾股定理及其逆定理的综合应用。 学习难点：数形结合法分析问题。 学习过程： 一、复习回顾 （1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。（2）逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是三角形。（3）如图一个圆柱，延其一条与轴平行的曲面上一条直线展开侧面图是。 二、学以致用 例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）（A）3 （B）√5 （C）2 （D）1 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
三、巩固练习 1. 如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？( 取3) B 8 2．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点, 那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? 3.如图所示，圆柱形玻璃容器，高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm,点S处有一蜘蛛， 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛， 所走的最短路线的长度。 4. 如右图，有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm。在A点处有一只蚂蚁，它想吃到 B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少? 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 多少？ 20 3 2 A B 6．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得（1）若C，D两村到E站的距离相等，则E站应建 在离A站多少km处？ （2）若E站到C，D站的距离之和最短，则 E站应建在离 A站多少km处？ A D E B C
专题训练蚂蚁爬行的最 短路径含答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+． 第6
3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． A B 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A．
5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（） 解：如图，AB= ()10 1 2 12 2= + +．故选C． A B 12 1 6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（） 解：展开正方体的点M所在的面， ∵BC的中点为M， 所以MC= 2 1BC=1， 在直角三角形中AM= = ．
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
2 C B A 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标 知识目标 能运用勾股定理求最短路径问题 能力目标 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 情感目标 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感． 教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题． 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题． 教学过程 教学环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图 复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，AC =4，BC =2，则AB = ． 2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ 引导学生 复习利用勾股定理计算三角形的边长． 引导学生回顾同一平面内，两点之间线 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识． 帮助学生温 故知新