普通物理专题讲座(2011年度)
王 文 炜 (QQ ：89800820.Tel ：135********)
第一章 质点运动学
例1－1 一质点在xy 平面上运劝，运动方程为x =2t ，y =4t 2－8(国际单位制)。试求：(1) 该质点运动
的轨迹；(2) 在一秒末时质点与坐标原点的距离、此时质点的速度(大小，方向)． [ (1) 82-=x y ；(2) 47.4201==
=t r (m)，25.8681
==
=t v
(m/s)，v
与x 轴的夹角为
?===0.764arctan arctan
x
y v v θ ]
(广西师范大学05年普通物理，15分；江西理工08年，15分)
例1－2 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为2
2192x t y t =?
?=-?
，式中x 、y 以米计，t 以秒计。 (1) 写出1秒末的瞬时速度和瞬时加速度； (2) 在什么时刻，质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直? 这时，它们的x 、y 分量各为多少? (3) 在什么时刻，质点离原点最近? 算出这一距离。
[(1)j i v t 421-==(m/s)或47.4201===t v (m/s)，v 与x 轴的夹角为－63.4°；j a t 41-==(m/s 2
)； (2)在t =0或3s 时，质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直；j r t
190
==，i v
t 20
==；j i r
t
+==63
，
j i v
t
1223
-==；(3) t =3s 时质点离原点最近，其距离为37m=6.08m ]
(中国科技大学06年普通物理B ，15分；西北工业大学03年普通物理，10分)
例1－3 一质点在x 轴上作加速运动，开始时质点位于x 0处，初速度为v 0．求：(1) 当a =kt +c ，求任意时刻质点的速度和位置；(2) 当a =－kv ，求任意时刻质点的速度和位置；(3) 当a = kx ，求任意位置质点的速度．(以上各式中k 、c 是常量) [ (1) 2
02
1kt ct v v ++=，32
006
12
1kt ct
t v x x +
+
+=；(2) kt
e
v v -=0，)1(00kt
e
k
v x x --+
=
(3) )(2
02
2
0x x k v v -+=
]
(湖南大学08年普通物理，1 5分；中国科技大学2010年普通物理B ，15分；
温州大学2010年普通物理A ，15分；湘潭大学2010年普通物理一，6分)
例1－4 质量为m 的质点，在变力F =F 0(1－kt )(F 0和k 均为常量)作用下沿OX 轴作直线运动，若已知t =0时，质点位置坐标x 0=0，速度为v 0．试求：(1) 质点速度随时间的变化规律．(2) 质点的运动学方程． [ (1) )2
1(2
00kt t m F v v -
+
=；(2) )6
12
1(
3
2
00kt t m
F t v x -
+
= ]
(西安交通大学06年大学物理，15分)
例1－5 一个质量为m 的质点，沿x 轴作直线运动，受到的作用力为i t F F
ωcos 0=(SI)，t =0时刻，
质点的位置坐标为x 0，初速度v 0=0．试写出质点的位置坐标和时间的关系式． [ )cos 1(2
00t m F x x ωω
-+
= ]
(浙江大学08年普通物理，5分)
例1－6 一跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为v 0，入水后地球对他的吸引力和水的浮托作用相抵消，仅受水的阻碍而减速。自水面向下取Oy 轴，其加速度为2
y y kv a -=，y v 为速度，k 为常量。求入水后运动员速度随时间的变化。 [ 1
00+=
t kv v v ]
(中科大05年普物B ，20分；辽宁大学05年量子力学（含普通物理）B ，10分)
例1－7 运动会上跳水运动员自10米跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速。自水面向下取Oy 轴，其加速度为2y y kv a -=，y v 为速度，k =0.4m -1
。求运动员速度减为入水速度的1/10时，运动员入水深度。
[ ky
e v v -=0，y =5.76m ]
(中国科技大学05年普物A ，20分；厦门大学05普物A ，16分；南京农大04年物理学，15分) 例1－8 求降落伞在空气中竖直下降的速度v 随时间t 变化的函数关系与降落伞的极限速度v T (即降落伞的最大稳定速度)。已知降落伞与跳伞员的质量共为m ，空气对伞的阻力为f =－kv ，式中k 为常数。设t =0时伞的初速度为零。 [ )1(/m
kt e
k mg v --=
，k
mg v T =
]
(厦门大学08年普通物理，15分；北京工业大学05年普通物理I ，15分)
例1－9 质量为m 的物体，在恒定的牵引力F 的作用下运动。它所受的阻力与其速率的二次方成正比，它能达到的最大速率为v m 。试计算从静止加速到v m /2所需的时间以及走过的路程。 [ 3ln 2F
mv t m =
；)3
4ln(
22
F
mv x m =
]
(深圳大学08年普通物理，10分)
例1－10 将质量为m 的物体以初速度v 0竖直上抛，空气阻力正比于速率平方，记作f =k 2mgv 2，k 为常数．求：(1) 小球达到最高点所需的时间；(2) 物体所能达到的最大高度。 [ (1) 0arctan 1kv kg
t =
；(2) )1ln(212
022
v k g
k H +=
]
(东华大学06年普通物理，15分)
例1－11 一质点以初速度v 0做直线运动，所受阻力与其速度的三次方成正比。试求质点速度和位置随时间的变化规律。(注：设质点的质量为m ，t =0时质点位于x =0处。) [ m
t kv mv v +=
20
2
2；)2(2
00
m m t kv kv m x -
+=
]
(湖南大学09年普通物理，20分)
例1－12 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
[ (1) m kt e v v /0-=；(2) k mv x /0max = ]
(北京市联合命题05年大学物理，15分)
例1－13 由楼窗口以水平初速度0v 射出一发子弹，取枪口为原点，沿0v
方向为x 轴，竖直向下为y 轴，并取发射时刻t 为0，试求：(1) 子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨迹方程；(2) 子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度及相应的轨道曲率半径．
[ (1) ?????==202
1gt y t
v x ，2
2
02x v g y =；(2) 2
220t g v v +=，v 与x 轴的夹角为0
arctan v gt ；
2
220
2
t
g v t g a t +=
，2
220
022
t
g v g v a
a a t
n +=
-=
；g
v t g v a v
n
02
/322202
)
(+=
=
ρ ]
(天津工业大学06年普物二，5分；南京师大06年普物B ，15分；郑州大学05年普物A ，15分)
例1－14 一质点初速度0v
与水平面成θ0角抛出，忽略空气阻力，求：(1) 质点的运动方程；(2) 质点达到最高点的时间和最大高度；(3) 任一时刻的切向、法向加速度；(4) 最高点的曲率半径． [ (1) t v x 00cos θ=，2
002
1sin gt t v y -
=θ；
(2) g
v t 0
01sin θ=
，g
v H 2sin 0
2
2
0θ=；
(3) 2
0002
20
00)
sin (cos )sin (gt v v gt v g a t -+--
=θθθ
2
0002
2
0)
s i n (c o s c o s gt v v gv a n -+=
θθθ；(4) g
v 0
2
20cos θρ=
]
例1－15 火箭沿竖直方向由静止向上发射，加速度随时间的变化规律如图所示．试求：(1) 火箭在t =50s 时燃料用完瞬间所能达到的高度；(2) 此时刻火箭的速度。 [ (1) 7.891650
==t y
m ；(2) 47550
==t v
m/s ]
(中国科技大学06年普通物理A ，15分)
例1－16 重为W 、牵引力为F 的一列火车所受阻力为R 。当它从静止出发由一车站沿直线走过距离s 到另一站停止时，如果途中不用刹车。求：(1) 该列车行驶所需的最少时间；(2) 途中最大速度。
[ (1) Rg
R F sFW t )(2min -=
；(2) FW
R F sRg v )
(2max -=
]
(西南大学09年普通物理，10分；中国科技大学07年普通物理B ，15分)
例1－17 如图所示，在离水面高为h 的岸边，一人用绳拉着船靠岸。设绳长为l 0，当人以匀速v 0收绳时，则船的速度、加速度各为多少? [ 0v x l v -
==2
2
0h x x
v +-
或θ
cos 0v v -
=；3
2
20x
h v a -
= ]
(西南师范大学09、07年普通物理，15分；太原科技大学09年普通物理，6分；
南京农业大学05年物理学，15分；东北大学03年普通物理，16分)
例1－18 当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35m/s 的速率沿
水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地面的速度保持不变，试计算雨滴相对于地的速度大小。
[ 1
370
+=v m/s ]
(北京航空航天大学05年大学物理，8分)
例1－19 A 、B 两质点在同一平面上分别绕两个固定圆心O 和O '按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度都是ω，这两个圆的半径都是R ，O 和O '之间的距离为3R 。t =0时，这两个质点的距离最近，为R ，如图所示。试求质点B 相对质点A 的轨迹方程、速度和加速度。(要求速度和加速度用矢量式表示)
[ 轨迹方程 222)2()3(R y R x ='+-'，x'，y'是以A 为
坐标原点的坐标系；)cos (sin 2j t i t R v
ωωω+=； )sin (cos 22
j t i t R a
ωωω-=]
(华南师范大学02年普通物理，10分)
例1－20 已知：水流速与距河岸的距离成正比，即??
?≥-≤=a
y i
y a k a y i ky v
)2(（注：该式也可
表述为：河水靠岸处流速为0，水的流速按正比增大，河中心水流速度最快为v 0，则a
v k 0=
。）其中，k >0为常量，
2a 为小河宽度。小船从O 点出发以不变的静水速率u 垂直于河岸向对岸驶去。求小船的速度、加速度及运动轨迹。
[ ???≥+-≤+=a y j u i y a k a y j u i ky v )2(；?
?
?≥-≤=a y i ku a y i ku a ； a y ≤时，u
y
a v u
y
k
x 2
02
22
1=
=；a y ≥时，)4(22
2
ay y u
k u
a
k
x --
-=
]
(华南理工大学09年普通物理，15分；北京大学05年普通物理，18分)