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期权定价模型分类及其实际应用

期权定价模型分类及其实际应用
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摘要

随着社会的进步,金融市场的发展逐步完善,越来越多的金融衍生品走进了人们的视野。期权作为重要的金融衍生品之一,受到许多投资者与研究者的关注。本文就是对期权的产生与发展和期权相关的定价模型进行了讨论。本文先简要介绍了期权的发展史以及现阶段的概况,随后对期权进行分类详解,接着以B-S 模型和二叉树模型这两种经典定价模型为例进行了深入讨论并举例说明他们的实际应用,最后又分析了几种新型期权和他们的定价模型,并简要介绍了他们的实际用途。

关键词:期权发展历程;期权的分类;B-S定价模型;二叉树模型

Abstract

With the development of the society, finance market has been impr oving gradually, more and more financial derivative instruments have come to the eyesight of people. Option, as the important tool of fina ncial derivative instrument, has been cast more attention by the inve stor and the researcher. This essay would focus on the generation of option and Capital Asset Pricing Model of the option. First, this dis sertation introduces the history and nowadays state of the

option development. Then, it focuses its attention on classifying and description of the option. This paper raises the

Black-Scholes Model and Binary Tree Model as typical example

to talk deeply about their appliance. Finally, this paper analysis so me kinds of new options and their asset pricing model, and introduce the practical use of the new option to all readers.

Keywords: history of option development Option classifying

Black-Scholes Model Binary Tree Model

目录

摘要 (1)

Abstract (2)

目录 (3)

第一章绪论 (4)

1.1期权的含义 (4)

1.2期权定价理论的发展历程 (4)

第二章期权定价的基本理论 (6)

2.1 期权的分类 (6)

2.1.1 按期权的交割时间划分 (6)

2.1.2 按期权的权利划分 (6)

2.1.3 按期权合约的内在价值划分 (7)

2.2 期权定价的概念 (7)

2.2.1 平价、盈价与亏价 (7)

2.2.2 期权价格的组成部分 (7)

第三章各种期权定价模型 (9)

3.1 Black-Scholes模型(简称B-S模型) (9)

3.2 二叉树模型 (10)

3.2.1 单期二叉树模型 (10)

3.2.2 多期二叉树模型 (11)

第四章期权定价模型的应用实例及评价 (12)

4.1 B-S模型的应用及评价 (12)

4.2 二叉树模型的应用及评价 (12)

第五章几种变异期权模型及其应用 (14)

5.1 特殊标的物的期权 (14)

5.2 特殊标准期限的期权 (15)

5.2.1 百慕大期权 (15)

5.2.2 二进制期权 (15)

5.2.3 幂期权 (16)

5.3 其他特殊期权 (17)

5.3.1 平均利率期权(亚式期权) (17)

5.3.2 平均执行价格期权 (17)

参考文献 (18)

第一章 绪论

1.1 期权的含义

期权有很多用途。从投机层面讲,期权为投资者的投资行为提供了一种承担有限风险的保险。而且,由于需要付出的权利费的成本几乎仅仅占了它所代表的资产潜在价值百分比中很小的一部分,所以作为一种用来交易的投机衍生品,也就是期权,一个投资者能用此博弈比期权的权利费的面值高出很多的资产。这就是人们常说的杠杆效应,与其他投资方式相比,期权有机会获得更多的利润。

如果我们抛开投机的因素不说,期权交易的主要目的和事实上期权存在的主要原因,是因为它特别适合于企业。完善的金融市场能使得期权拥有作为保险的功能和满足这一领域商业和服务业的需要。就保险功能而言,用来交易的期权能通过买入或者卖出满足需要。举一个例子说明,出口制造商需要用一个特定的合同来确保有一个稳定的汇率。制造商在接受订单(已经按外汇市场上一个给定的汇率定好价格)和回收贷款期间,希望能确保价格不要在外汇市场上出现不利于自己的波动。为了做到这一点,他选择购买了涵盖整个生产、交割和支付期的外汇期权。在这个案例中,通过简单的保险和投机手段,我们可以发现期权所具有的灵活性,因为它使制造商和持续经营企业都受益却不需要支付过多额外的成本。制造商可以通过购买一个一致的外汇汇率或者商品汇率的期权,并支付期权费以获得保险。当然,随着时间的推移,若外汇汇率或商品汇率变得有利于期权支付者时,期权将被执行,投机的选择也变得可行。当外汇汇率或商品汇率不利于期权支付者时,期权可以选择不被执行。换句话说,当公开市场上购买所需要的资产比执行期权能获得更多利益时,期权拥有者将放弃执行期权。期权交易是金融市场少有的一种非常有效的金融工具,它能让交易者拥有两种选择,并作出更有利的方案。

1.2 期权定价理论的发展历程

期权及相似的交易方式有着悠久的历史,期权思想的提出可以追溯到公元前1800年的《汉穆拉比法典》,而期权交易的迅速发展到20世纪50年代以后才开始,真正的标准化的场内期权交易也不够30年左右的时间。公认的期权定价理论的创始人和提出者是法国数学家巴舍利耶(Bachelier),1900年他在博士论文《投机交易理论》中尝试将数学知识运用于股票、期权、期货等投机性很强的证券交易,研究其价格波动规律。巴舍利耶给出了描述期权价格变动的第一个科学模型,而且将数学中很多有效的方法带入金融经济学,巴舍利耶模型假设股票价格过程是绝对的布朗运动,单位时间方差为2σ,期权的预期价格为:

c =V S + 其中,S 为股票价格,K 为执行价格,t 为离到期日的时间,K 为买权的价格,φ(·)和?(·)分别为标准正态分布累积函数和正态密度函数。巴舍利耶在研究有关期权定价理论问题时,推导出了很多重要的数学关系式,他的研究对后人来说起

到了一个开创性的作用。Macaulay在1938年建立了债券价格关于利率的敏感性数学模型。很久之后Paul Samuelson才通过著名的统计学家La J. Savage重新发现了巴舍利耶的结论,这标志着现代金融学的开始。不过从现在的角度来看,他的假设前提是不符合实际的,即零利率和允许股票价格为负值,这在实际生活中是不能实现的,但是这些仍能充分奠定了巴舍利耶研究的开创性地位。

随着世界金融市场的迅猛发展,金融机构在投融资过程中将面临许多金融风险,比如汇率风险,信用风险等。为了解决这一问题,人们发展出了许多金融衍生产品,它们的价格或投资回报最终取决于标的资产的价格。期权就是一种基本的金融衍生产品,期权费反映出买卖双方对某一权利做出的公共的价值判断,但是期权的价格很难从市场中直接反映。近30年来,数理金融学界研究的热点之一便是期权定价的问题,众多学者们近年进行了深入的研究,并取得了丰硕的成果。1973年,美国芝加哥大学的Black教授和Scholes教授在美国《政治经济学杂志》上发表了一篇名为《期权定价与公司负债》的论文,与此同时,哈佛大学的Merton教授则在另一刊物《贝尔经济与管理科学杂志》上发表了另一篇名为《期权的理性定价理论》的论文。这两篇论文奠定了期权定价的理论上基础,为了表彰他们在评估衍生金融工具价值方面的杰出贡献,Scholes教授和Merton教授共同获得了1997年的诺贝尔经济学奖。然而没有哪一种理论是绝对完美的,B-S理论同样不例外,它对欧式期权定价是拥有很强的准确性,但是对美式期权却毫无办法,其中原因将会在后面说明,为了弥补这一缺陷,1979年,罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦等在《金融经济学杂志》上发表了一篇题为《期权定价:一种简化的方法》,该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法,被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权(也称二叉树法)定价模型。它与B-S定价模型可以看作是两种互补的方法,前者更倾向于解决离散型问题,而后者主要用以解决连续型问题,前者多用于美式期权定价应用,这也是B-S定价模型所不具备的能力。具体模型将在后面讨论。

从期权定价理论的发展历程我们可以看出,期权定价理论是以鞍分析理论为主要工具而发展起来的。鞍的本来原意是指马笼套或者船索具。鞍的概念首先由P. Levy在研究随机变量和中引人概率论的知识。在1979年和1981年,Harrison 分别和Kreps 、Pliska合作,写了两篇对期权定价理论以后的发展有着巨大影响的论文。这一成果为鞍分析理论在期权定价理论中的应用开辟了道路,同时也为期权定价理论的进一步发展提供了一个强有力的工具,他们的工作开启了现代金融研究的新时代。随后,数学家和金融学家的共同研究,建立了资产定价基本定理,当且仅当金融市场上不存在套利机会时,所有金融资产的贴现价格都是一个鞍,金融衍生品的价格等于未来现金流数学期望值的贴现值。这一基本定理是现代金融理论的核心工具,期权定价理论和鞍分析理论这两个完全不同的学科从此紧紧地联系在一起。因此,鞍理论在期权定价理论中起着重要的作用,鞍方法作为近代金融数学研究的基本数学方法,相对于其它的期权定价方法有着它独特的优势。一般而言,对金融衍生品定价主要有四种方法,分别是偏微分方程定价方法、二叉树期权定价法、蒙特卡罗模拟定价方法和等价鞍测度定价方法。由于求解偏微分方程的过程过于麻烦且困难,因此,使用偏微分方程方法具有一定的局限性。二叉树期权定价方法也是期权定价的常用方法之一,因为用二叉树模型定价欧式期权时,往往只能给出一个真实值附近的结果,是金融衍生产品定价的近似方法。蒙特卡罗模拟定价方法的一个局限是它只能用来对欧式衍生品进行定价,还涉及到计算精度和计算时间的问题。

第二章期权定价的基本理论

2.1 期权的分类

根据期权交易方式、方向、标的物等方面,可将期权划分为不同的类型。

2.1.1 按期权的交割时间划分

美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利的期权;欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利的期权,如果期权的买方在合同到期日之前不行使权利,过了期限,合约则自动作废。

目前我国国内的外汇期权交易多采用欧式期权的合同方式。相比而言,美式期权的选择方案比欧式期权多,相应的价值也就比欧式期权略高,这就意味着美式期权拥有相对较高的权利金。

2.1.2 按期权的权利划分

看涨期权(Call Options):指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利费后,即拥有在期权合约的有效期内,按事先敲定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利,但没有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内,如果期权买方要求,必须以期权合约事先敲定的价格卖出期权合约规定的特定商品。

看跌期权(Put Options):指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利费后,即拥有在期权合约的有效期内,按事先敲定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利,但没有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内,如果期权买方要求,必须以期权合约事先敲定的价格买入期权合约规定的特定商品。

百慕大期权(Bermuda option):一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权。界定百慕大期权、美式期权和欧式期权的主要区别在于行权时间的不同,从一定程度上来看,百慕大期权可以被视为美式期权与欧式期权的混合体,就如同百慕大群岛混合了美国文化和英国文化一样。

比较常见的是前两种,看涨与看跌期权,这里进一步叙述两者之间,的关系与区别。看涨期权是授予期权者以一个特定的价格买入标的资产的权利,这种特定的价格也称作敲定价格。看跌期权是授予持有者以一个敲定价格卖出标的资产的权利。(这里我们先要明确“标的”这个词的意思,它是期权用来交易的资产。期权交易实际运用的金融工具的标的是多种多样的。理论上说,任何种类的资产都可用来作为期权的标的物,包括股票、货币、利率。黄金、商品和其它许多市场品种。当然,不管标的物是什么,相应的期权交易的基本原理是相同的)不管买入看涨期权或者看跌期权中的哪一种,期权买方必须支付期权费给期权卖方(无论是即时支付还是稍后支付,在某些市场,期权费在期权到期日才支付)。这里用一个例子以便于更好的理解看涨期权与看跌期权。假如有一个市场,那里的大豆远期交易合同是每公斤10元,大豆期货的看涨期权和看跌期权的敲定价格都是8元。那么拥有8元看涨期权的人如果行使他的买方权利将会有现金流入,因为他能以8元的价格买入并以10元的价格卖出标的期权,这样会有每公斤2元的收入。如果一个人手里拥有8元的看跌期权,他将不会选择执行他的卖出权利,因为这样他将会面对每公斤2元的亏损。这时他只能等待大豆的市场价格下跌到8元以下时,才能通过手中这份期权获得利润。

2.1.3 按期权合约的内在价值划分

实值期权(In the Money):指内在价值为正的期权。

虚值期权(Out of the Money):指内在价值为负的期权。

平价期权(At the Money):指内在价值为零的期权。

内在价值是指期权买方行使期权时可以获得的收益现值,有关价值的理论将在下一部分说明。

2.2 期权定价的概念

2.2.1 平价、盈价与亏价

这里以某一只股票为例,不妨设为股票A。当市场股票的交易价格与股票的敲定价格一致时,期权被称作处于平价。加入你此时拥有一份15元的股票A看涨期权,而现行的市场价格也是15元,期权就是平价看涨期权。

如果期权持有人在标的资产市场上以某一敲定价格进行了交易之后产生了现金流入,那么这种期权称为处于盈价。例如股票A的现行市场价是每股20.5元,如果以每一份15元买入了看涨期权,将有现金流入。因而15元看涨期权被称为盈价看涨期权,股票A的价格和这个期权的盈价亏价关系如下图所示:

当以期权交易价格进行交易时,相应的标的资产会产生资金流出,这种期权被称为处于亏价。考虑每股股票的敲定价格为15元的股票A看跌期权,当股票价格为20.5元时,执行这一看跌期权将产生资金流出,这时这个期权就是亏价看跌期权,此时股票A的价格和这个期权的盈价亏价关系如下图所示:

2.2.2 期权价格的组成部分

期权价格的主要组成部分是两个:内在价值与时间价值。其中内在价值与标的价格、敲定价格、空头条款和利率等相关,时间价值与到期日波动率等有关。可以参照公式:内在价值+时间价值=期权费。

内在价值简单来说就是盈价数值,即执行期权合约之后现金流入的多少。由于处于亏价时不会选择执行期权,所以内在价值一定不会为负。这里依旧以股票A为例,假如手里有一份以65元买入股票A的权利,而此时股票A的市价是65.5元,那我们此时手里的期权如果执行,将会有0.5元现金流入,这也就意味着此时这份期权的内在价值是0.5元。同理,如果此时股票A的市价为65元,那么这个期权的内在价值就为0。下面用一个表格来显示市场价格与一份确定期权内在价值的关系。

由上面的等式可以看出,时间价值的确定可以用期权的价格减去内在价值。还是利用上面的例子,假如股票A的市价为65元,你能以买入每股60元的看涨期权和看跌期权。如果60美元看涨期权的价格为5.75元,60美元看跌期权的价格为0.75元。而此时看涨期权的盈价数值为5元,所以内在价值是5元,此时的看涨期权时间价值就是5.75-5=0.75元。而看跌期权此时处于亏价,因此它的内在价值是0元,所以此时看跌期权的时间价值就是0.75-0=0.75元,意味着这个期权的整个价值是由时间价值组成的。

第三章 各种期权定价模型

3.1 Black-Scholes 模型(简称B-S 模型)

随着人们逐步对期权价值的明确,接下来科学家们开始考虑具体的期权定价模型,以便得出较为精确的结论。20世纪70年代,芝加哥的两位教授布莱克(Black )和斯科尔斯(Scholes )先是解释了时间价值,然后又给出了几个假设,最终得出了一个很重要的模型,这就是后来被大家接受和认可的B-S 期权定价模型。该模型是建立在对市场的七条假设之上的:

(1) 基础资产不支付红利,且其价格服从几何布朗运动。以下均假设基础资产

为股票。

(2) 市场是完全的,即对所有未定权益都是可复制的。

(3) 市场是无套利的。

(4) 无风险利率是一个常数,且任何期限的借贷利率都相等。

(5) 可以无限制的卖空。

(6) 市场无摩擦。即无税收成本,无交易成本。

(7) 基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易。

B-S 模型的推导可以利用微分方程或者利用鞅方法推导,后者更为简便。

以股票的看涨期权为例,一份看涨期权的买入方实际上买入的是两种价值,一部分是当股票价格高于期权敲定(执行)价格时,它具有的无限的潜在获利,另一部分是当股票价格低于期权敲定价格时,它具有的有限的潜在损失。通过评估未来股票价格运动的可能性,我们可以得出这个期权应具有的价值,因此布莱克和斯科尔斯假设了这是一个正态分布过程,于是写出了一个方程式

我们主要想解决的问题是EV 的确定,利用鞅方法,布莱克和斯科尔斯最终确定出关于EV 的公式:

r t t 12(S )=S e (d )/()T T EV S E N N d |>??

然后假定p=N(d2),代入上式并化简,最终得出了B-S 模型的定价公式

3.2 二叉树模型

尽管B-S模型有很多优点,但是仍有许多局限性,而且它的一些假设并不被所有人认可,到了1979年,罗斯、考克斯、鲁宾斯坦和夏普等人提出了一种新的更为简单的期权定价模型,称为二叉树模型,或者二项式模型。尽管方法简单,但是却包含了衍生品定价的基本原理和思想,主要用于解决美式期权定价问题和离散过程的相关问题。

二叉树定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向,而且在整个考虑的时间内股价波动的概率和幅度不变。于是将考虑的时间分为若干阶段,根据历史波动率计算每个阶段结算的期权价格,这一特点是B-S模型无法做到的,而且非常适用于计算可以在任何有效期内行使期权的美式期权价格。

3.2.1 单期二叉树模型

这里我们仅考虑单期二叉树模型,只有两个基础资产:无风险资产和基础风险资产。1时刻的状态为{u,d},u和d分别表示1时刻基础风险资产的价格上升或者下降的比例,并且u>1,d<1。u=1.1的含义就是如果1时刻基础风险资产价格上升,则价格变为1.1S0。假设无风险收益率r满足d

我们考虑基础风险资产的价格过程。假定基础风险资产是股票,其0、1时刻价格如下:

0时刻1时刻

假设市场上还有一个在0时刻签订的价格为C0、1时刻价格到期的未定权益(也

就是衍生品),它的价值依赖于股票价格的变化。在1时刻,当股票的价格上升时其价格为Cu,股票价格下降的时候其价格为Cd ,价格变化过程可以用下图来表示。

0时刻 1时刻

如果确定了衍生品的含义,我们就可以知道衍生品1时刻的支付。如果若未定权益为执行价格为K 的看涨期权,则1时刻的支付为

Cu=max(uS0-K,0)和Cd=max(dS0-K,0)

3.2.2 多期二叉树模型

在多期二叉树模型中衍生品的定价原理与单期原理相似,也是采用复制的方法。在求解复制资产组合时,我们将用逆推的方法。因为基础资产在n 时刻的2n 个可能值是已知的,所以我们可以写出衍生品在n 时刻的2n 种可能值。在第n 期一共有2n-1个单期二叉树,我们可以用单期模型的公式计算n-1时刻2n-1个节点处衍生品的价格。以此类推到0时刻,就可以得出衍生品的期初价格。每一次逆推都是前一个时刻价格的复制,在整个过程中,每个节点处都没有资金的注入和撤出。这样,我们实际上得到了一个复制策略的随机过程,该随机过程保证了在每个节点处复制策略资产组合的价格与衍生品在同一节点处的价格相等。 由此我们可以得到一个关于资产组合的方程,解方程之后推导出在i-1时刻的j 节点处,风险中性概率测度下股价上升的概率为

i-1r j 2j

j 2j+12e q =j S S S S --

则衍生品在该节点的价格为

1212[(1)]

i r j j j j j C e q C q C --+=?+-?

第四章期权定价模型的应用实例及评价

4.1 B-S模型的应用及评价

考虑一个欧式看涨期权,期权的股票在2个月以及5个月后将各有一个除权日。每个除权日的红利的期望值为40元,股票价格波动率设为每年30%,无风险利率为每年9%,到期日还有6个月,求这个欧式看涨期权价格。

解:先计算红利的现值为0.5e-0.1567*0.09+0.5e-0.4167*0.09=0.9741。

根据题中条件可知S=40-0.9741=39.0259,x=40,r=0.09,σ=0.3,T-t=0.5.

将这些数据代入B-S公式可以计算出

10.2017

d==

20.0104

d==-

近似得到N(d1)=0.5800, N(d2)=0.4959.

再由公式计算的看涨期权价格为39.0259*0.5800-40*0.4959*e-0.009*0.54=3.67,

即这个欧式看涨期权的价格为3.67元。

从这个例子我们可以看出,B-S模型具有很强的应用性,随着近年来研究的不断深入,人们发现它在许多情况下具有非常好的准确性。但是,从它的七条假设可以看出,它的应用范围同时也具有一定的局限性。一方面假设市场是完全的且是无套利的,另一方面又假设市场是理想化的,甚至布莱克本人在后续的研究中也发现了自己模型假设中的不足。现在人们对B-S模型的几个普遍的看法为:

(1) 模型对平值期权估价较为准确,尤其是有效期较长切不支付红利的期权;

(2) 对于高度增值或者高度减值的期权估计偏差较大;

(3) 对临近到期日的期权估价偏差较大。

总的来说,B-S模型还是一个相当准确且具有很大使用价值的期权定价模型。4.2 二叉树模型的应用及评价

已知某支股票价格过程满足下列二叉树模型。每个时间区间上的连续复利率均为5%,试计算执行价格为45的欧式看涨期权0时刻的价格。

80

60

50

40

40

30

25

0时刻1时刻2时刻

解:这是一个两期的二叉树模型问题。根据题中的条件,我们可以列出衍生品的价格过程,如下图所示:

35

V(1)

5

V(0)

V(2)

0时刻 1时刻 2时刻

首先考虑1时刻到2时刻的时间区间,先计算V(1)。在该节点上风险中性概率测度下股价上升的概率为

0.0516050q 0.435888050

e -==-. 于是0.0511(1)[*35(1)*5]17.195V e q q -=+-=,显然有V(2)=0.

其次考虑时刻0到时刻1的时间区间。在风险中性概率测度下,股价上升的概率为

0.0540300.401696030

e q -==-. 因此0时刻时该标准欧式看涨期权的价格为

0.05(0)[*(1)(1)*(2)] 6.57V e q V q V -=?+-=.

对于二叉树方法的评价有以下几点:

(1) 从这个例子可以看出,二叉树模型的原理比B-S 模型简单许多,更容易理解;

(2) 它可以解决美式期权中提前执行期权的定价问题,弥补了B-S 模型在这个问题上的不足,所以说这两种模型有着互补的特点;

(3) 二叉树模型的计算较为简便,但是对于维数较多、因素较多的问题,计算量会过大;

(4) 二叉树模型不能解决连续性问题,模拟随机变量分布的局限性比较大。

第五章几种变异期权模型及其应用

随着近年来经济的发展,科学水平的不断进步,金融市场也变得越来越完善,金融衍生品的种类逐渐多样,一系列的新型期权和更精确的定价模型出现在人们面前,他们被称为“变异期权”,这一章主要讨论这些变异期权及相关知识。

5.1 特殊标的物的期权

在第二章提到过标的物的概念,理论上大部分资产都可以作为期权的标的物,那么就有一个新问题,如果标的物就是一个期权呢?显然这个问题与之前所说的期权不太一样,这样的期权通常被称为复合期权。比如,你买入了一个看涨期权,这个看涨期权允许持有人有权购买另一个有效期更长的看涨期权,在下面例子中的复合期权的标的资产就是一个简单期权。复合期权的种类如下:

标的期权市场

看涨期权看跌期权

看跌期权

以上图右上角为例,这个看跌期权即允许持有人有权利(但是不包括义务)买入另一个看涨期权。其他种类的期权含义以此类推。

在实际交易或者可能发生套现的场合,人们或许需要的不是期权,而是一个能买入某个期权的期权,所以这样的复合型期权是很有实际意义的,下面用一个真实的案例来说明这一点。

美国芝加哥的西北运输公司有一笔用于融资的两年期8亿美元的贷款,他们想要规避掉美元上升带来的损失。公司担心利率将要上升,但相反,如果利率下降的话,公司又会错过节省利息的机会。因此纽约化学银行专门为他们定制合成了一个上限复合期权(购买上限的权益)。在1989年9月,芝加哥西北运输公司与纽约化学银行达成了两年借款期间一系列欧式期权。执行水平和6个月美元LIBOR相比设在10%和11%,并且从1990年9月开始的每六个月,公司可以选择是否执行上限协议。上限复合期权的结构包括两部分,以当前价格在未来购买上限协议的前期费用和如果公司选择执行期权时的执行价格。上限复合期权的期权费大致为标的上限协议价值的35%-40%。

既然我们合成了复合期权,那么我们自然要考虑复合期权的定价问题,这个问题其实并没有想象的那样困难,罗伯特·格思科以股票复合期权为例,运用一

个类似于B-S模型的公式对复合型期权定价进行了验证,并得出了下列的结果:

事实上,从一定程度上看,格思科的模型其实是先估计了股票的价格,然后才计算期权执行价格,若将这个模型稍加改动,就能评估出一个具有提前执行特征的复合期权的价值理论。

5.2 特殊标准期限的期权

5.2.1 百慕大期权

百慕大期权一般多出现在固定收益市场,这个市场的债券在到期前的不同时间可以被赎回或者转换。如果有投资者想要消除看涨期权或者看跌期权的影响时,可以利用百慕大期权,因为它允许持有人在有效期内特定的几个时间执行期权。有关百慕大期权的定价理论基本上和美式期权定价模型一致,即利用二叉树模型划分节点进行计算,在这里不再赘述。

5.2.2 二进制期权

这个期权的内容十分简单,如果到期时标的市场价格高于执行价格则盈,低于则亏。这类期权的应用在于“超股票”概念的提出。“超股票”指的是一种特殊证券,如果到期日基金资产的价值在某个较低价值和较高价值之间,则“超股票”在到期日将给持有人相当于资产一定比例的价值,反之则价值为0。这种期权的特点在于它为投资者提供了客户化定制的组合损益。

对于二进制期权的定价有很多种,由于二进制期权本身就有很多变种,不同的触发条件还会产生不同的期权种类,在这里我们谈论最简单的“有或无”二进制期权的定价模型,它可以看作是B-S模型的调整股利后修改版或者延伸。

5.2.3 幂期权

这种期权允许持有人得到和标准期权一样的损益,但是标的资产的价值被提高到某个乘方。比如,

显然,这样的期权对那些希望标的市场价格变化大的人很有用。同时它的定价理论也不复杂。由于我们假设了标的资产价格服从对数正态分布,因此价格的平方同样服从对数正态分布。于是有

资产随机过程为

dS Sdt Sdz =μ?+σ?

资产的平方随机过程为

222()2()d S S Sdt Sdz S dt =??μ?+σ?+σ?

简化并求解可得

2222()(2)(2d S S dt S dz =?μ?σ?+?σ)?

接下来,我们把新的变化项和波动项即上式中括号里的两项代入B-S 模型公式中,即可解得风险环境中性下的结果。

5.3 其他特殊期权

5.3.1 平均利率期权(亚式期权)

平均利率期权对公司使用者具有很强的吸引力,尤其是那些不肯暴露风险和有不确定借款需求的公司。如果一个公司很难准确判断借款时间和借款数额,平均利率期权可以将那一段时间发生的利率波动风险提供套利。由于平均利率期权比其他类型期权具有较低廉的权利费,所以这个期权在很多地方都有使用。

平均利率期权的定价一直是个很复杂的问题,由于它的价格仅仅取决于标的资产的价格水平,B-S模型也只适用于对数正态分布的模型,不能用来解决这个问题。现在很多机构在对平均利率期权定价时仍然采用估计近似的方法,不过有一点可以确定的是,利用平均利率期权来进行套现保值几乎不会存在问题,所以从结果来看,这不失为一个很好的期权。

5.3.2 平均执行价格期权

类似于平均利率期权,平均执行价格期权也是取决于有效期内标的资产价格的平均值,并且他们有着类似的用途。不同的是,平均执行价格期权支付的是平均价格和到期日资产价格间的差额,在这里把标准看涨期权,平均利率看涨期权和平均执行价格看涨期权在支付日的款项放在一起加以比较:

参考文献

【1】(英)罗伯特·汤普金斯(Robert Tompkins),解读期权(M),经济管理出版社,2004(2)2-33,409-427

【2】徐景峰,金融数学(M),中国财政经济出版社,2012(2),197-202

【3】代标,期权的定价与应用(D),长江大学,2009(4),2-3

【4】彭学峰,期权定价理论及其发展展望(J),高等函授学报,2011(6),1

【5】期权-MBA智库百科,https://www.doczj.com/doc/311547279.html,/wiki

【6】李泉,刘新平,Black-Scholes模型期权定价方法及其应用(J),重庆工商大学学报,2006(8),3

【7】对不确定性的保险(J),风险杂志,第二卷第九期,1989(10),20

【8】优雅的亚式期权(J),风险杂志,第三卷第一期,1989(12),30-34

(定价策略)二项期权定价模型

摘要: 在可转债的定价过程中,期权部分的定价最为复杂,本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型,以单一时期内买权定价为例进行了。 一般来说,二项期权定价模型(binomal option price model , BOPM )的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个,即上升或下降。BOPM 的定价依据是在期权在第一次买进时,能建立起一个零风险套头交易,或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值,该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格;反之,如果存在套利机会,投资者则可以买两种产品种价格便宜者,卖出价格较高者,从而获得无风险收益,当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是,期货的套头交易一旦建立就不用改变,而期权的套头交易则需不断调整,直至期权到期。 一、对股票价格和期权价格变化的描述 假设股票当期(t =0)的价格S 为100元,时期末(t =1)的价格有两种可能:若上升,则为120元,记做uS ;若下降,则为90元,记做dS 。执行价格为110元。相对应地来看,期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ,则在t =1时,up C 、down C 分别等于max (120-110,0)、max (90-110,0),即10元和0。此时的状态可以用下图描述: uS =120 股价上升时 分 析 师:高谦 报告类型:可转换债券研究 二项期权定价模型

S =100 dS =90 股价下降时 up C =10 max (120-110,0) 0C =? down C =0 max (90-110,0) 二、构建投资组合求解买权 (一)构建投资组合 在上图中,唯一需要求解的是0C 。为求解0C ,也即给t =0时的买权定价,可以证明0C 的价格可以通过建立期权和相关资产的零风险套利交易来得到,具体来说,就是考虑一个包括股票和无风险债券在内的投资组合,该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格,因此可以用来模拟买权的价格。 我们可以考虑这样一个投资组合: (1) 以价格0C 卖出一份看涨期权; (2) 以价格100买入0.333股股票; (3) 以无风险利率8%借入27.78元。 (二)投资组合的净现金流分析 根据上述投资组合,可以得到t =0时期的净现金流为:0C -(0.333×100+27.78)。根据前述对股票和期权价格变化的描述,在到期日时会出现两种可能的结果,这两种结果在到期日时的现金流可以描述如下: 股价上升时的现金流 股价下跌时的现金流 买进一份看涨期权 -10(由max 【120-110】得到) 0(由max 【90-110】得到) 股票变现 40(由0.333×120得到) 30(由0.333×90得到) 偿付贷款 -30(由-27.78×1.08得到) -30(由-27.78×1.08得到) 净现金流 0 0 这表明,不管相关资产的价格是上升还是下降,这个投资组合的最终结果都

第11章 期权定价模型

第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型 一、基本思路 1. 基本思路 我们为了给股票期权定价,必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产(即股票)的衍生工具,在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下,期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化,股票价格是影响期权价格的最根本因素。 用几何布朗运动表示股票价格的变化过程,具体形式如下: dS dt dz S μσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+ 伊藤引理表明,当股票价格服从上述随机过程时,作为衍生品的期权价格f 将服从 22221()2f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ????=+++???? 两式表明:股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响,只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。 从数学上看,将两式联立,解方程组可消掉随机项。其金融含义可看作:买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。在一个无套利市场中,该投资组合必然只能获得无风险利率收益。由此可得到一个期权价格满足的微分方程,此即为BSM 期权定价模型的微分形式,具体为 2222 12f f f rS S rf t S S σ???++=??? 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益,因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。求解该方程可得到期权定价公式。无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=- 其中, 21221d d d = ==- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式 ()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 无收益美式看涨期权是不会提前执行的,因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同, ()12()()r T t C SN d Xe N d --=- 对于有收益欧式期权,需要在股票价格中抛去收益的现值,对有收益的美式看涨期权,需要考虑其提前执行的情况,由于不存在美式期权之间的平价公式,因此无法给出美式看跌期权

BS期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型 (重定向自Black—Scholes公式) Black-Scholes期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model),布莱克-肖尔斯期权定价模型 Black-Scholes 期权定价模型概述 1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。 [编辑] B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 [编辑] (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式; 2、在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的; 3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割; 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃); 5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会;

实物期权法模型分析

实物期权法模型分析

实物期权模型介绍 一、模型简介 (一)期权及实物期权 期权是一种未来的选择权,是指购买方向卖方支付一定的费用(期权费)后所获得的在将来某一特定到期日或某一时间内按协定的价格购买(买权,看涨期权)或出售 (卖权,看跌期权)一定数量的某种标的资产的权利。 实物期权,一种期权,其底层证券是既非股票又非期货的实物商品。这实物商品自身(货币,债券,货物)构成了该期权的底层实体。实物期权(real options),把金融市场的规则引入企业内部战略投资决策,用于规划与管理战略投资。在公司面临不确定性的市场环境下,实物期权的价值来源于公司战略决策的实物期权。 每一个公司都是通过不同的投资组合,确定自己的实物期权,并对其进行管理、运作,从而为股东创造价值。实物期权法应用金融期权理论,给出动态管理的定量价值,从而将不确定性转变成企业的优势。 根据标的资产不同,期权分金融期权和实物期权。实物期权是一种与金融期权相对应的非金融性选择权,实物期权模型在金融期权模型的基

础上发展,以类比的思维将存在期权性质的项目或资产进行测算。 继 1973 年著名的 B-S 定价模型之后,美国学者 Stewart Myers 在 1977 年首次提出了实物期权的概念,即把具有期权特性的实物资产看做看涨期权,此期权的执行价格是投资的成本价格,期权的价值取决于投资项目的价值和是否对此投资的决策。 实物期权定价的理论模型是建立在非套利均衡的基础上,其核心思想是“在确定投资机会的价值和最优投资策略时,投资者不应简单地使用主观概率方法或效用函数,理性的投资者应寻求一种建立在市场基础上的使项目价值最大化的方法”。 (二)实物期权常用模型 从建模的角度来看,实物期权分析建模思想有两大类,离散型模型主要是动态规划的方法,而连续型主要有偏微分法和模拟的方法。 (1) 动态规划法:其方法是推算出期权到期日标的资产的可能价值并推导出未来最优决策的价值。它首先列出了基础资产在期权生命周期内可能出现的价格,在多种情况或路径下,最终形成了相关的价值,最后需要把这个价值折现后进行评价。二叉树期权定价模型是采用动态规划方法的一个典型期权方法。 (2) 微分法:通过数学运算求出期权价值,它必须有一条偏微分方程式及边界条件限制。偏微分

实物期权的定价模式

实物期权的定价模式的种类较多,理论界和实务界尚未形成通用定价模型,主要估值方 法有两种:一是费雪·布莱克和梅隆·舒尔斯创立的布莱克-舒尔斯模型;二是以考克斯、罗斯、罗宾斯坦等1979年授相继提出的二叉树定价模型。 一、布莱克-斯科尔斯定价模型 布莱克-斯科尔斯模型是布莱克和斯科尔斯合作完成的。该模型为包括期权在内的金融 衍生工具定价问题的研究开创了一个新的时代。布莱克-舒尔斯模型假定期权的基础资产现货价格的变动是一种随机的“布朗运动”(Brownian Motion),其主要特点是:每一个小区内价格变动服从正态分布,且不同的两个区间内的价格变动互相独立。 1.模型假设条件: ? 金融资产价格服从对数正态分布; ? 在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的; ? 市场无摩擦,即不存在税收和交易成本; ? 金融资产在期权有效期内无红利及其它所得; ? 该期权是欧式期权。 2.布莱克-斯科尔斯期权定价方法的基本思想是,衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响,二者遵循相同的维纳过程。如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合,可以消除维纳过程,标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消。由这样构成的资产组合为无风险的资产组合,在不存在无风险套利机会的情况下,该资产组合的收益应等于无风险利率,由此可以得到衍生资产价格的Black-Scholes 微分方程。 看涨期权的布莱克—斯科尔斯(Black —Scholes )模型: Black —Scholes 微分方程: C r S S C S C S r t C f f =??+??+??222 221σ

期权定价模型分类及其实际应用

摘要 随着社会的进步,金融市场的发展逐步完善,越来越多的金融衍生品走进了人们的视野。期权作为重要的金融衍生品之一,受到许多投资者与研究者的关注。本文就是对期权的产生与发展和期权相关的定价模型进行了讨论。本文先简要介绍了期权的发展史以及现阶段的概况,随后对期权进行分类详解,接着以B-S 模型和二叉树模型这两种经典定价模型为例进行了深入讨论并举例说明他们的实际应用,最后又分析了几种新型期权和他们的定价模型,并简要介绍了他们的实际用途。 关键词:期权发展历程;期权的分类;B-S定价模型;二叉树模型

Abstract With the development of the society, finance market has been impr oving gradually, more and more financial derivative instruments have come to the eyesight of people. Option, as the important tool of fina ncial derivative instrument, has been cast more attention by the inve stor and the researcher. This essay would focus on the generation of option and Capital Asset Pricing Model of the option. First, this dis sertation introduces the history and nowadays state of the option development. Then, it focuses its attention on classifying and description of the option. This paper raises the Black-Scholes Model and Binary Tree Model as typical example to talk deeply about their appliance. Finally, this paper analysis so me kinds of new options and their asset pricing model, and introduce the practical use of the new option to all readers. Keywords: history of option development Option classifying Black-Scholes Model Binary Tree Model

B-S期权定价模型的推导过程

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式; 2、在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的; 3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割; 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃); 5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会; 7、证券交易是持续的; 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1] C = S * N(d 1) ? Le? rT N(d2) 其中: C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易金融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计无风险利率H

σ2—年度化方差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点: 第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次,而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r 0)或r0=Er-1。例如r0=0.06,则r=ln(1+0.06)=0.0583,即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。 第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则。 B-S定价模型的推导与运用[1] (一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是: E[G] = E[max(S t? L,O)] 其中,E[G]—看涨期权到期期望值 S t—到期所交易金融资产的市场价值 L—期权交割(实施)价 到期有两种可能情况: 1、如果S t > L,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且max(S t? L,O) = S t? L 2、如果S t < L,则期权所有人放弃购买权力,期权以出帐(Out-of-the-money)失效,且有: max(S t? L,O) = 0 从而: 其中:P:(S t > L)的概率E[S t | S t > L]:既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:

期权定价模型

二、期权价值评估的方法 (一)期权估价原理 1、复制原理 基本思想复制原理的基本思想是:构造一个股票和贷款的适当组合,使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同,那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。 基本公式每份期权价格(买价)=借钱买若干股股票的投资支出=购买股票支出-借款额 计算步骤(1)确定可能的到期日股票价格Su和Sd 上行股价Su=股票现价S×上行乘数u 下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d (2)根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd: 股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格 股价下行时期权到期日价值Cd=0 (3)计算套期保值率: 套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd) (4)计算投资组合的成本(期权价值)=购买股票支出-借款数额 购买股票支出=套期保值率×股票现价=H×S0 借款数额=价格下行时股票收入的现值 =(到期日下行股价×套期保值率)/(1+r)= H×Sd/(1+r) 2、风险中性原理 基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的,所有证券的预期收益率都应当是无风险利率;假设股票不派发红利,股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。 因此: 期望报酬率(无风险收益率)=(上行概率×股价上升时股价变动百分比)+(下行概率×股价下降时股价变动百分比) =p×股价上升时股价变动百分比+(1-p)×股价下降时股价变动百分比 计算步骤 (1)确定可能的到期日股票价格Su和Sd(同复制原理) (2)根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd(同复制原理) (3)计算上行概率和下行概率 期望报酬率=(上行概率×股价上升百分比)+(下行概率×股价下降百分比) (4)计算期权价值 期权价值=(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/(1+r) (二)二叉树期权定价模型 1、单期二叉树定价模型 基本原理风险中性原理的应用 计算公式(1)教材公式 期权价格= U=股价上行乘数=1+股价上升百分比

第十一章 期权定价模型

第十一章 期权定价模型 【学习目标】 本章是期权部分的重点内容之一。本章主要介绍了著名的Black-Scholes 期权定价模型和由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型,并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。学习完本章,读者应能掌握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用,掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。 自从期权交易产生以来,尤其是股票期权交易产生以来,学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年,美国芝加哥大学教授 Fischer Black 和Myron Scholes 发表《期权定价与公司负债》1一文,提出了著名的Black-Scholes 期权定价模型,在学术界和实务界引起强烈的反响,Scholes 并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后,其他各种期权定价模型也纷纷被提出,其中最著名的是1979年由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型。在本章中,我们将介绍以上这两个期权定价模型,并对其进行相应的分析和探讨2。 第一节 Black-Scholes 期权定价模型 一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下: 1. 期权标的资产为一风险资产(Black-Scholes 期权定价模型中为股票),当前时刻市场价格为S 。S 遵循几何布朗运动3,即 dz dt S dS σμ+= 其中,dS 为股票价格瞬时变化值,dt 为极短瞬间的时间变化值,dz 为均值为零,方差为dt 的无穷小的随机变化值(dt dz ε=,称为标准布朗运动,ε代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1.0的正态分布)中取的一个随机值),μ为股票价格在单位时间内的期望收益率(以连续复利表示),σ则是股票价格的波动率,即证券收益率在单位时间内的标准差。μ和σ都是已知的。 简单地分析几何布朗运动,意味着股票价格在短时期内的变动(即收益)来源于两个方面:一是单位时间内已知的一个收益率变化μ,被称为漂移率,可以被看成一个总体的变 1 Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities ”, Journal of Political Economy , 81( May-June), p. 637-659 2 从本书难度的设定出发,本章只介绍期权定价模型的基本内容及其理解,而不具体推导模型,更深入的内容可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章 3 有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的详细信息,可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 115页-121页

期权定价模型与数值方法

参考文献 1、期权、期货和其它衍生产品,John Hull,华夏出版社。 2、期权定价的数学模型和方法,姜礼尚著,高等教育出版社。 3、金融衍生产品定价的数学模型与案例分析,姜礼尚等著,高等教育 出版社。 4、金融衍生产品定价—数理金融引论,孙建著,中国经济出版社。 5、金融衍生工具中的数学,朱波译,西南财经大学出版社。 6、N umerical methods in finance and economics—a MATLAB-based introduction, Paolo Brandimarte,A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION 7.金融计算教程—MATLAB金融工具箱的应用,张树德编著,清华大学出 版社。 8、数值分析及其MATLAB实现,任玉杰著,高等教育出版社。 9、数学物理方程讲义,姜礼尚著,高等教育出版社。 10、英汉双向金融词典,田文举主编,上海交通大学出版社。 11、偏微分方程数值解法,孙志忠编著,科学出版社。 第三部分期权定价模型与数值方法 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具。理论和实践均表明,只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例,就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期,Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律,运用套期保值的思想,成功的推出了在无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定、完善与繁荣。

一、期权定价基础 1.1 期权及其有关概念 1.期权的定义 期权分为买入期权(Call Option)和卖出期权(Put Option) 买入期权:又称看涨期权(或敲入期权),它赋予期权持有者在给定时间(或在此时间之前任一时刻)按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权(或敲出期权),它赋予期权持有者在给定时间(或在此时间之前任一时刻)按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 针对有效期规定不同期权又分为欧式期权(European Option)与美式期权(American Option) 欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间可以行使的权利 美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。 2.期权的要素 期权的四个要素:施权价(exercise price或striking price);施权日(maturing data);标的资产(underlying asset);期权费(option premium)对于期权的购买者(持有者)而言,付出期权费后,只有权利而没有义务;对期权的出售者而言,接受期权费后,只有义务而没有权利。 3.期权的内在价值 买入期权在执行日的价值 C为 T 其中, E为施权价, S为标的资产的市场价。 T

谈实物期权与金融期权的对比分析

[论文关键词] 实物期权金融期权对比分析[论文摘要] 从金融期权定价模型的输入量和实物期权自身特点两个角度出发,对比实物期权在实际操作和运用过程中与金融期权的不同。以此做出科学的决策和判断。提高在运用实物期权理论进行管理时的准确性。在现实的投资环境下,由于投资的不可逆性和延期的可能性的存在,使得传统的NPV规则在项目投资评价过程中的准确性受到置疑。拥有投资机会的企业,相当于持有一种类似于金融看涨期权的“选择权”(麻省理工学院的Stewart Myers首次将这种“选择权”称为“实物期权”(real option),企业一旦进行投资,相当于执行了该实物期权。而期权是有价值的,失去期权价值是一种机会成本,它必须包括在投资成本中。研究表明,投资的这一机会成本可以很大,而忽视这一成本的投资评价方法(如NPV规则)对于正确的投资决策的得出,将有可能产生极大的负面影响。实物期权的研究在我国尚属起步阶段,国内学者的研究主要涉及实物期权的定价、对战略管理的影响。在不同领域的具体应用等方面的内容,试图从金融期权定价模型的输入量和实物期权自身特点两个角度出发,分析实物期权在实际操作和运用过程中与金融期权的不同。以提高在运用实物期权理论进行管理时的准确性。一、从金融期权定价模型的输入量考虑从传统金融期权定价模型的输入变量考虑,一般涉及6个变量:标的资产、风险、分红、执行价格、无风险利率以及到期日。(表1)比较了金融看涨期权和实物看涨期权之间的对应关系。从上表我们可以对两者的差异依次进行如下分析: (一)对于金融期权而言,正是由于存在丰富的可交易的标的资产市场,才使相关无套利复制思想得以实现;而对于实物期权而言,有些不存在可交易市场标的资产,只能采取寻找类似可交易资产作为“孪生证券”的方法进行定价。国外研究者已经将动态规划的思想引进到了对不存在交易市场的标的资产实物期权的定价。他们的分析指出,一般的金融期权的定价要求市场应存在充分的风险资产,然后可以通过一些可交易资产(或资产的组合)对标的资产进行复制。而动态规划的方法则没有做这样的要求,如果风险资产不能在市场中交易,目标函数可简单反映决策者对风险价值的主观评价。另外,在实物期权中将期望现金流的现值看做是标的资产,如果这个现值是负值,则无法应用经典的金融期权定价模型进行定价,此时需要根据项目的特点重新选择适当的标的资产。(二)由于金融期权的到期期限较短,因而可以不用考虑股票的到期期限。而对于实物期权来说,不仅仅是期权到期的问题,还有项目到期的问题。这是因为实物期权的到期期限往往会较长,经常会出现在期权到期日之前,项目由于某些原因已经被终止。这一点也是金融期权中没有涉及的问题。[!--empirenews.page--][1][2]下一页(三)金融期权中风险可以认为是外生的,但在实物期权中风险可以是部分内生的,对于项目决策者及项目的管理方式不同可能会造成项目风险的增加或减少。而且对于R&D项目的风险、近期的研究与区分市场风险和技术风险,前者有利于期权价值的提升,而后者则降低了期权的价值,所以说这两者都会决定项目本身风险的发展尺度——波动率。(四)从分红支付角度来看,金融期权只考虑了对于标的资产持有者的分红支付,如对股票持有者的支付;而实物期权中还有对于期权持有者的支付,如一块农业用地被用作生产用地后产生的利润应有部分用于对于期权持有者的分红。(五)投资机会的价值有期权定价方法给出的结果可能对模型和模型中参数比较敏感。期权定价方法对期权定价已被证明是非常成功的,这是因为期权到期日都在一年之间,时间比较短;而投资机会的有效期一般比较长。风险随时间变化而变化,评价起来更为复杂,使用常数风险(volatility)会导致较大的误差。另外,我们一般都假定常数的利率,时间较长时,利率也是变化的,这更增添了计算的难度。二、从实物期权自身的特点考虑(一)金融期权从合约形式上来看,可分为看涨期权和看跌期权;从期权种类上来看,可以分为欧式期权和美式期权。而实物期权除具有以上特征外,由于不同实物项目所具有的不同特点,实物期权可以分为延迟期权、放弃期权、柔性期权以及成长期权等。除此之外,实物期权作为一种管理思想,在企业战略管理领域也具有很多的应用空间。(二)实物项目投资面临竞争对手的出现。如果有

实物期权分析中波动率参数估算研究

实物期权分析中波动率参数估算研究 何刚 宁波大学工商管理系,浙江宁波(315211) E-mail :hegang_1024@https://www.doczj.com/doc/311547279.html, 摘 要:波动率在实物期权定价模型中是一个非常重要的参数,但由于其标的资产没有历史 的交易记录,因此很难准确地对其估算。为了准确地估算波动率参数,本文应用蒙特卡洛模 拟原理对项目净现值进行模拟,推导出项目波动率估算方法,并运用著名的风险管理软件 Crystal Ball 进行蒙特卡洛模拟实例应用,结果表明该方法能比较准确地估算出项目波动率。 关键词:实物期权;波动率;蒙特卡罗原理;净现值 中图分类号:F830.59 1. 引言 在项目投资评价中,传统的决策分析方法是折现现金流量法(DCF ),这种方法隐含着项 目投资具有可逆性及决策不可延迟性,但现实中项目投资作为沉没成本一般都具有不可逆 性,并且项目投资还具有不确定性与灵活性。因此传统决策方法并不能完全反映投资项目的 价值,特别是对于一些战略性投资项目而言,如R&D 投资。为了弥补传统投资决策方法的 局限性,近年来出现了一种新的投资决策分析方法,这就是实物期权分析方法,它能很好地 反映投资项目的不确定性与管理柔性,从而能更完全地反映项目的潜在价值[1-3]。 2. 波动率参数的作用及现有估算方法的局限性 目前项目期权价值的计算是通过金融期权定价模型来实现的,其中又分为连续性时间定 价模型与离散性时间定价模型,只要期权分析框架构建合理,两种模型计算的期权价值是一 致的。在连续时间定价模型情况下,它假设项目收益现值V 服从几何布朗运动 /..dV V dt dz ασ=+ (1) 其中,α是项目瞬间期望报酬率,σ是项目价值瞬间标准离差,dz 是标准Wiener 过程。通 过偏微分方程(PDE ),布莱克与斯科尔斯推导出著名的Black-Sholes 期权定价模型 12()()rT C SN d Xe N d ?=? (2) 式中 2 1d = 21d d σ=? 其中,C 表示期权价值,S 表示当前项目价值,X 表示预期投资额,r 为无风险利率,σ为项 目价值波动率参数,T 为项目期权的期限,N (d )为标准正态分布函数[4]。 在公式(2)所有的变量参数中,项目价值波动率σ在期权价值计算中扮演着关键的角 色,在期权理论中,波动率越大,项目价值上升的潜力越大,而下降的潜力则被限制住,所 以说波动率的准确性直接影响着期权价值能否真实反映项目的潜在价值,从而为决策服务 [5]。但是由于实物期权具有非交易性的特点,所以其标的资产的价格没有历史的交易记录, 因此很难准确地估算波动率σ。现有估算σ的方法主要有以下两种: ① 专家经验值法。这种方法是由专家根据对经验数据的分析推断来估算波动率参数值。Dixit 和Pindyck(1994)推荐使用15%-25%的年波动率作为项目价值的波动率[6-7],也有 学者像Baker 推荐使用更高的波动率,如30%来作为项目价值的波动率。这种方法在难于正

期权定价模型

第14章期权定价模型 中央财经大学 刘志东2010-06-162 期权的应用 激励方式 一些证券具有期权的特征:可回购债、可转债 Hedging, (speculative) investing, and asset allocation are among the top reasons for option trading. In essence, options and other derivatives provide a tailored service of risk by slicing, reshaping, and re packaging the existing risks in the underlying security. The risks are still the same, but investors can choose to take on different aspects of the existing risks in the underlying asset.

2010-06-163 期权定价方法的应用 期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域,包括各种衍生证券定价、公司投资决策、自然资源开发、核废料处理等。 学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。 近年来,从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展,从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。 所以,无论从理论还是从实际需要出发,期权定价的思想都具有十分重要的意义。2010-06-164 1. 一些基本定义 例子1: 投资者B 和W 计划签定一份合同:现在B 支付给W 200元,交换条件是在接下来的六个月的任何时间,允许B 自愿从W 那里以150元/股的价格购买100股IBM 公司股票。IBM 公司股票现在的价格为145元/股。问题: B 和W 为什么都愿意签定这个合同? B 如果不支付给W 200元,W 是否愿意签定这个合同?

期权定价模型介绍及改进

Final Exam 课程:金融计量 Title: Give a literature review on option pricing. Try to propose a new option and study the price of new option or try to improve a known option and study the price of the improved option.

期权定价模型介绍及改进课程名称:金融计量 任课老师:XX 姓名:XXX 学号:XXXXXX 班级:XXXXXX 2014年1月8日

目录 一、期权定价模型的发展 (4) 二、期权的基础知识 (5) 2.1期权的概念及分类 (5) 2.1.1期权的基本概念 (5) 2.1.2期权的分类 (5) 2.2影响期权定价的主要因素 (6) 2.2.1期权价格 (6) 2.2.2期权价值的构成 (6) 2.2.3期权价格的决定因素 (7) 2.3期权的作用-投机与保值 (8) 三、期权定价模型介绍 (9) 3.1期权定价的基本原理 (9) 3.2期权定价的方法 (9) 3.3常见期权定价模型 (10) 3.3.1二叉树模型 (10) 3.3.1.1单周期二叉树定价模型 (10) 3.3.1.2n周期二叉树定价模型 (11) 3.3.2 Black-Scholes 公式 (12) 3.3.2.1无风险投资组合方法 (13) 3.3.2.2风险中性(等价鞅测度)方法 (14) 3.4常见定价模型应用分析 (15) 四、期权定价模型的推广及改进 (15) 4.1二叉树定价模型的推广 (15) 4.2Black-Scholes定价模型的推广 (16) 五、结论 (17) 参考文献 (18)

关于期权定价模型

关于期权定价模型

期权定价问题的数学模型 白秀琴杨宝玉(平顶山工业职业技术学院,基础部,河南平顶山467001) 摘要:介绍了资产定价理论近十年来的发展状况和历史背景,阐述了期权定价的基本概念 和基本假设的直观模型。 关键词:期权;套利;数学模型 Mathematical Model of OPricing Model BAI Xiu-qin,Yang Bao-yu (Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Introducing the historical background of asset pricing theory and the development during the past 10 years .Expounding the intuitive model of the basic concept and the basic assumptions of option pricing Key words: option arbitrage

mathematicai model 金融数学是研究经济运行规律的一门新兴学科,是数学与金融学的交叉,建立数学模型是对金融理论和实践进行数量分析和研究的主要方法。金融数学的几个主要理论是投资组合选择理论,资本资产定价理论,期权定价理论。本文主要探讨期权定价理论的数学模型及应用。 一 、期权定价理论的基本思想及其发展 期权是一种选择权,是其购买者在支付一定数额的期权费后,即拥有在某一特定时间内以某一确定的价格买卖某种特定商品契约的权利,但又无实施这种权利(即必须买进或卖出)的义务。它按交易性质可分为看涨期权和看跌期权,前者赋予期权拥有者在未来按履约价格购买期权标的物权利,又称买入期权;后者赋予期权拥有者在未来履约价格售出期权标的物权利,又称为卖出期权。期权按权利行使时间的不同,还可以分为欧式期权和美式期权,欧式期权只有在权利到期日才能履约交易,美式期权则在期权有效期内的任何时间都可以行使权利。 期权的交易由来已久,但金融期权到20世纪70年代才创立,并在80年代得到广泛应用。1973年4月26日美国率先成立了芝加哥期权交易所,使期权合约在交割数额,交割月份以及交易程序等方面实现了标准化。在标准化的期权合约中,只有期权的价格是唯一的变量,是交易双方在交易所内用公开竞价方式决定出来的。而其余项目都是事先规定的。因此,我们的问题就是如何确定期权的合理价格。目前两个经典的期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价公式。尽管它们是针对不同状态而言的,但二者在本质上是完全一致的。 在讨论期权定价模型之前,我们先对金融价格行为进行分析。 二、金融价格行为 资产价格的随机行为是金融经济学领域中的一个重要内容。价格波动的合理解释在决定资产本身的均衡价格及衍生定价中起着重要的作用。资产价格波动的经典假设,也是被广泛应用的一个假设是资产价格遵循一扩散过程,称其为几何布朗运动,即 )()()()(t dB t S dt t S t dS σα+= (1) 其中,S(t)为t 时刻的资产价格,μ为飘移率,σ为资产价格的波动率,B(t)遵循一标准的维纳过程。为说明问题的方便,下面我们引入It?引理: 设F(S,t)是关于S 两次连续可微,关于t 一次可微的函数,S(t)是满足随机微分方程(1)的扩散过程,则有以下随机变量函数的It?微分公式 dt F dS F dt F t S dF SS S t 2 21),(σ++= (2) Black-Scholes 期权定价模型的一个重要假设是资产价格遵循对数正态分布,即)(ln ),(t S t S F =。将该式与(1)式同时代入(2)式,有 )()()(ln 2 2 1t dB dt t S d σσα+-= (3) 从而有

实物期权法模型分析

实物期权模型介绍 一、模型简介 (一)期权及实物期权 期权是一种未来的选择权,是指购买方向卖方支付一定的费用(期权费)后所获得的在将来某一特定到期日或某一时间内按协定的价格购买 (买权,看涨期权)或出售 (卖权,看跌期权)一定数量的某种标的资产的权利。 实物期权,一种期权,其底层证券是既非股票又非期货的实物商品。这实物商品自身(货币,债券,货物)构成了该期权的底层实体。实物期权(real options),把金融市场的规则引入企业内部战略投资决策,用于规划与管理战略投资。在公司面临不确定性的市场环境下,实物期权的价值来源于公司战略决策的实物期权。 每一个公司都是通过不同的投资组合,确定自己的实物期权,并对其进行管理、运作,从而为股东创造价值。实物期权法应用金融期权理论,给出动态管理的定量价值,从而将不确定性转变成企业的优势。 根据标的资产不同,期权分金融期权和实物期权。实物期权是一种与金融期权相对应的非金融性选择权,实物期权模型在金融期权模型的基础上发展,以类比的思维将存在期权性质的项目或资产进行测算。 继 1973 年著名的 B-S 定价模型之后,美国学者 Stewart Myers 在 1977 年首次提出了实物期权的概念,即把具有期权特性的实物资产看做看涨期权,此期权的执行价格是投资的成本价格,期权的价值取决于投资项目的价值和是否对此投资的决策。 实物期权定价的理论模型是建立在非套利均衡的基础上,其核心思想是“在确定投资机会的价值和最优投资策略时,投资者不应简单地使用主观概率方法或效用函数,理性的投资者应寻求一种建立在市场基础上的使项目价值最大化的方法”。 (二)实物期权常用模型 从建模的角度来看,实物期权分析建模思想有两大类,离散型模型主要是动态规划的方法,而连续型主要有偏微分法和模拟的方法。 (1) 动态规划法:其方法是推算出期权到期日标的资产的可能价值并推导出未来最优决策的价值。它首先列出了基础资产在期权生命周期内可能出现的价格,在多种情况或路径下,最终形成了相关的价值,最后需要把这个价值折现后进行评价。二叉树期权定价模型是采用动态规划方法的一个典型期权方法。 (2) 微分法:通过数学运算求出期权价值,它必须有一条偏微分方程式及边界条件限制。偏微分方程与边界条件的解析法中最为人知的便是 Black-Scholes 欧式期权定价模型,应用相当广泛。 (3) 模拟法:模拟的方法是列出标的资产价格从当前价格到期权最终决策日之间有多种可能的变化路径。最常用的是蒙特卡罗模拟方法,通过在每个路径的末端作出最优投资决策并计算出支付状况。 二、B-S 模型 (一)模型假设 通常而言,B-S 模型是首选模型,它使用起来较为简便且计算精确。Black和Scholes 在推导B-S模型时,做了如下基本假设: (1) 风险利率恒定,r为常数 (2) 标的资产为股票,股票价格S是连续的,服从对数正态分布,其价格变化遵循几何布朗运动。 (3)项目运行期,无红利和其他所得

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型 一、 影响期权价值的主要因素 由前面的分析知道决定期权价值(价格)C V 的因素是到期的 股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。但是到期m S 是未知的,它 的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。 1)标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格越高,则买入期权的价值越高,卖出期权的价值越低;期权的执行价越高,则买入的期权价值越低,卖出期权的价值越高。 2)标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的,虽然正反两方面的影响都会增大,但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处,因此,期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。如下图: )(s f )(1s f )(2s f x s 股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ,S>X 的可能性增大,买入期权的价值增大,对卖出期权的价值则相反。 3)到期时间距离的影响。距离愈长,股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益,因此,距离期

权到期的时间越长,期权的价值就越高。 4)利率的影响。利率越高,则到期m S 的现值就越低,使得 买入期权价值提高,而卖出期权价值降低。 5)现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护,期权数量也适应调整,而不受影响,但是期权不受现金股利的保护,因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时,买入期权的价值下降,卖出期权的价值便上升。 二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件 B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型,它的假定条件,除了市场无摩擦(例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等)以外,还有: 1. 股票价格是连续的随机变量,所以股票可以无限分割。 2. T 时期内各时段的预期收益率 r i 和收益方差σi 保持 不变。 3. 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布,即 在t 1-t 2时段内有: ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ??-- ??? 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示,其中S (t )表示第t 日股票的价格,它是一个随机变量. 则第t 日股票的收 益率(年收益率)为R t :3651)1()(t R t S t S +=- 股票的年收益率(单利)R 应该是:

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