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点线面之间的位置关系的知识点总结

点线面之间的位置关系的知识点总结
点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1 平面含义:平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450

,且横边画成邻边的2倍长(如图)

(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理:

(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用:判断直线是否在平面内

(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系:

相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;

平行直线:同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4:平行于 c ∥b

强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

4 注意点:

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

D C

B

A

α L

A ·

α C ·

B

·

A · α P

· α

L

β 共面直线

=>a ∥c

2

⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系:

(1)直线在平面内——有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点

(3)直线在平面平行——没有公共点

指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种:

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

α∥β

α∩γ= a a ∥b β∩γ= b

作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面α互相垂直,记作L ⊥α,直线L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

L p

α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。\

异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围.

[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点,则直线OM( ).

A .是AC 和MN 的公垂线.

B .垂直于A

C 但不垂直于MN. C .垂直于MN ,但不垂直于AC.

D .与AC 、MN 都不垂直.

错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A.

[例2]如图,已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,G,H 分别是BC,CD 上的点,且2==

HC

DH

GC

BG

,求证:直线EG,FH,AC 相

交于

一点.

错解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,

EF ∴∥BD,EF=21

BD,

2==

HC

DH GC

BG ,∴ GH ∥BD,GH=31

BD,

四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T,

2=HC

DH ,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.

∴直线EG,FH,AC 相交于一点

正解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,

EF ∴ ∥BD,EF=21

BD,

又2==

HC

DH GC

BG

,

GH ∥BD,GH=31

BD,

∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T, ?EG 平面ABC,FH ?平面ACD,

∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC, AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.

[例3] 在立方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,

(1)找出平面AC 的斜线BD 1在平面AC 内的射影; (2)直线BD 1和直线AC 的位置关系如何? (3)直

线BD 1和直线AC 所成的角是多少度? 解:(1)连结BD, 交AC 于点O

上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ .

(2)BD 1和AC 是异面直线.

(3)过O 作BD 1的平行线交DD 1于点M ,连结MA 、MC ,则∠MOA 或其补角即为异面直线AC 和BD 1所成的角. 不难得到MA =MC ,而O 为AC 的中点,因此MO ⊥AC ,即∠MOA =90°, ∴异面直线BD 1与AC 所成的角为90°.

[例4] a和b为异面直线,则过a与b垂直的平面( ).

A.有且只有一个 B.一个面或无数个

C.可能不存在 D.可能有无数个

错解:A.

错因:过a与b垂直的平面条件不清.

正解:C.

[例5]在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB、BC的中点,O是底面ABCD的中点.求证:EF垂直平面BB1O.

证明:如图,连接AC、BD,则O为AC和BD的交点.

∵E、F分别是AB、BC的中点,

∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC.

∵B1B⊥平面ABCD,AC?平面ABCD

∴AC⊥B1B,由正方形ABCD知:AC⊥BO,

又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线,

∴AC⊥平面BB1O(线面垂直判定定理)

∵AC∥EF,

∴ EF⊥平面BB1O.

[例6]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BB1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:OE⊥平面ACD1.

分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明OE⊥平面ACD1,只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE 垂直.

证明:连结B1D 、A!D 、BD ,在△B1BD 中,

∵E,O 分别是B1B 和DB 的中点,

∴EO∥B1D .

∵B1A1⊥面AA1D1D ,

∴DA1为DB1在面AA1D1D 内的射影.

又∵AD1⊥A1D ,

∴AD 1⊥DB 1 . 同理可证B 1D ⊥D 1C .

又∵AD 111D CD = ,AD 1,D 1C ? 面ACD 1 , ∴B 1D ⊥ 平面ACD 1 . ∵B 1D ∥OE , ∴OE ⊥ 平面ACD 1 .

点 评:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.

[例7].如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上, 点M 在B 1C 上,

且CM=DN,求证:MN ∥平面AA 1B 1B. 证明:

证法一.如图,作ME ∥BC,交BB 1于E,作NF ∥AD,交AB 于F,连EF 则EF ?平面AA 1B 1B.

,

11C

B M B BC

ME =

,

BD BN AD NF =

,AD

NF BD

BN BC

ME ==

∴ME=NF

又ME ∥BC ∥AD ∥NF,∴MEFN 为平行四边形,

∴MN ∥EF. ∴ MN ∥平面AA 1B 1B.

证法二.如图,连接并延长CN 交BA 延长线于点P,连B 1P,则B 1P ?平面AA 1B 1B.

NDC ?∽NBP ?,.

NP CN NB

DN =

又CM=DN,B 1C=BD,

.1NP CN NB D N

MB CM ==

MN ∴∥B 1P.

B 1P ?平面AA 1B 1B, ∴MN ∥平面AA 1B 1B.

证法三.如图,作MP ∥BB 1,交BC 于点P,连NP.

MP ∥BB 1,.1

PB

CP MB CM

=∴

BD=B 1C,DN=CM,.1BN M B =∴

.,1

NB

D N

PB CP NB D N MB CM =∴=

∴NP ∥CD ∥AB.∴面MNP ∥面AA 1B 1B.

∴MN ∥平面AA 1B 1B.

点、线、面之间的位置关系单元测试

第1题. 下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

答案:D.

第2题. 如图,空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别 是AB ,BC ,CD ,DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形.

答案:证明:连接BD .

因为EH 是ABD △的中位线,

所以EH BD ∥,且1

2EH BD =

. 同理,FG BD ∥,且1

2

FG BD =.

因为EH FG ∥,且EH FG =. 所以四边形EFGH 为平行四边形.

第3题. 如图,已知长方体ABCD A B C D ''''-

中,AB =

AD =2AA '=. (1)BC 和A C ''所成的角是多少度? (2)AA '和BC '所成的角是多少度?

A

E B

H

G

C

F

D

答案:(1)45t;(2)60t.

第4题. 下列命题中正确的个数是()

①若直线l上有无数个点不在平面α内,则lα

∥.

②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行.

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.

④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

A.0B.1 C.2 D.3

答案:B.

?,则下列结论成立的是()

第5题. 若直线a不平行于平面α,且aα

A.α内的所有直线与a异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内的直线与a都相交

答案:B.

∥,且a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为.

第6题. 已知a,b,c是三条直线,角a b

答案:θ.

第7题. 如图,AA'是长方体的一条棱,这个长方体中与AA'垂直的棱共条.Array

答案:8条.

第8题. 如果a,b是异面直线,直线c与a,b都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个.

答案:2个.

第9题. 已知两条相交直线a ,b ,a α平面∥则b 与α的位置关系是 .

答案:b a ∥,或b 与a 相交.

第10题. 如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?

答案:3个,3个.

第11题. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM 与ED 平行. ②CN 与BE 是异面直线.

③CN 与BM 成60?角. ④DM 与BN 垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①,②,③

B.②,④ C.③,④

D.②,③,④

答案:C.

第12题. 下列命题中,正确的个数为( )

①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;

②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变;

③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ,则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角; ④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B.

第13题. 在空间四边形ABCD 中,N ,M 分别是BC ,AD 的中点,则2MN 与AB CD +的大小关系是 .答案:2MN AB CD <+.

第14题. 已知a b ,是一对异面直线,且a b ,成70角,P 为空间一定点,则在过P 点的直线中与a b ,所成的角都为70的直线有 条.

E

答案:4.

第15题. 已知平面αβ//,P 是平面αβ,外的一点,过点P 的直线m 与平面αβ,分别交于A C ,两点,过点P 的直线n 与平面αβ,分别交于B D ,两点,若698PA AC PD ===,,,

则BD 的长为 .答案:24

245

. 第16题. 空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,若AC BD a ==,

且AC 与BD 所成的角为90,则四边形EFGH 的面积是 . 答案:

2

14

a . 第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为11D C ,11C B 的中点,AC

BD P =,

11

AC EF Q =.求证:

(1)D ,B ,F ,E 四点共面;

(2)若1AC 交平面

DBFE 于R 点,则P ,Q ,R 三点共线. 答案:证明:如图. (1)

EF 是111D B C △的中位线,11EF B D ∴∥.

在正方体1AC 中,11B D BD ∥,∴EF BD ∥.

EF ∴确定一个平面,即D ,B ,F ,E 四点共面.

(2)正方体1AC 中,设11A ACC 确定的平面为α,又设平面

BDEF 为β. 11Q AC ∈,Q α∴∈.又Q EF ∈,Q β∴∈.

则Q 是α与β的公共点,PQ αβ∴=.

又1

AC R β=,1R AC ∴∈.

R α∴∈,R β∈且,则R PQ ∈.

故P ,Q ,R 三点共线.

第18题. 已知下列四个命题: ① 很平的桌面是一个平面;

② 一个平面的面积可以是4m 2

③ 平面是矩形或平行四边形; ④ 两个平面叠在一起比一个平面厚. 其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:A.

第19题. 给出下列命题:

和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; 三条两两相交的直线在同一平面内; 有三个不同公共点的两个平面重合; 两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A.

第20题. 直线12l l ∥,在1l 上取3点,2l 上取2点,由这5点能确定的平面有( )

A.9个 B.6个 C.3个 D.1个 答案:D.

第21题. 三条直线相交于一点,可能确定的平面有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 答案:D.

第22题. 下列命题中,不正确的是( )

①一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面; ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面; ③两条相交直线上的三个点确定一个平面; ④两条互相垂直的直线共面. A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④ 答案:B.

第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线

答案:D.

第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中,点O ,1O 分别是四边形ABCD ,1111A B C D 的对角线的交点,

点E ,F 分别是四边形11AA D D ,11BB C C 的对角线的交点,点G ,H 分别是四边形11A ABB ,11C CDD 的对角线的交点.

求证:1OEG O FH △≌△.1D

答案:证明:如图,连结1AD ,AC ,1CD ,11C A ,1C B ,1BA .

由三角形中位线定理可知OE ∥ 112

CD ,1

O F ∥11

2

BA . 又1BA ∥1CD ,OE ∴ ∥1

O F .同理可证EG ∥FH . 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠.

∴1OEG O FH △≌△.

第25题. 若a ,b 是异面直线,b ,c 也是异面直线,则a 与c 的位置关系是( )

A.异面 B.相交或平行 C.平行或异面 D.相交或平行或异面 答案:D.

第26题. a ,b 是异面直线,A ,B 是a 上两点,C ,D 是b 上的两点,M ,N 分别是线段AC 和BD 的中点,则MN 和a 的位置关系是( ) A.异面直线 B.平行直线 C.相交直线 D.平行、相交或异面 答案:A.

第27题. 如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中

①BM 与ED 平行;

②CN 与BE 是异面直线;

③CN 与BM 成60

t角; ④DM 与BN 垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

答案:C.

第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线不相交 D.无数条直线不相交 答案:C.

第29题. 如果直线a 平行于平面α,则 ( ) A.平面α内有且只有一直线与a 平行 B.平面α内有无数条直线与a 平行 C.平面α内不存在与a 平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a 都平行

答案:B.

点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc

精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα,点βαα∈∈∈C B A ,,,且L C ∈,又R L AB =?,过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ,则γβ?是( ) A .直线AC B .直线B C C .直线CR D .以上都不对 2、空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( ) A .0 B .1 C .1或4 D .无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中,一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中,P 、Q 分别为11,CC AA 的中点,则四边形PBQ D 1是( ) A .正方形 B .菱形 C .矩形 D .空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若AC=BD , 且BD AC ⊥,则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是( ) A . 若βα??b a ,,则直线b a ,为异面直线 B . 若βα??b a ,,则直线b a ,为异面直线 C . 若?=?b a ,则直线b a ,为异面直线 D . 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有 公共点,则这两条直线是异面直线,以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面,可以作( ) A .1个 B .1个或无数个 C .0个或无数个 D .0个、1个或无数个 9、b a //,且a 与平面α相交,那么直线b 与平面α的位置关系是( ) A .必相交 B .有可能平行 C .相交或平行 D .相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A .一条直线不相交 B .两条直线不相交 C .任意一条直线不相交 D .无数条直线不相交 11、如果两直线b a //,且//a 平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .相交 B .α//b C .α?b D .α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直,a 平行于平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .α//b B .α?b C .b 与平面α相交 D .以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线,且//a 平面α,则b 与平面α的位置关系是( ) A .α//b B .b 与平面α相交 C .α?b D .不能确定 14、已知//a 平面α,直线α?b ,则直线a 与直线b 的关系是( ) A .相交 B .平行 C .异面 D .平行或异面

点线面位置关系练习题

点线面位置关系知识点总结 【空间中的平行问题】 (1)直线与平面平行的判定及其性质 ①线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (线线平行→线面平行) ②线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(线面平行→线线平行) (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理: ①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行→面面平行) ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。(线线平行→面面平行) ③垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理: ①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行) 【空间中的垂直问题】 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 【空间角问题】 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O ,分别作与两条异面直线a ,b 平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 ,a b ''0

下册英语各单元知识点总结

2014人教版七年级下英语知识点总结 第一单元Can you play the guitar? 一、词汇拓展 1. sing(现在分词)singing 2. dance(现在分词)dancing 3. swim(现在分词)swimming 4.draw(同义词)paint 5. story(复数)stories 6. Write(同音词)right 7. drum(复数)drums 8. piano(复数)pianos 9. also(同义词)too/either 10.make(单三)makes (现在分词)making 11. Center(形容词)central 12.teach(名词)teacher 13. musician(形容词)musical 二、重点短语与句型 1. play chess下国际象棋speak English说英语play the guitar弹吉它 want to do…想做……2. be good at擅长于what club /sports什么俱乐部/运动music /swimming /sports club音乐/游泳/运动俱乐部 be good at doing sth.= do well in doing sth. 擅长做某事 like to do …喜欢做… What about…?…怎么样? be good at doing…擅长做… tell stories讲故事 the story telling club讲故事俱乐部 3. talk to跟…..说write stories写小说 want …for the school show为学校表演招聘…… after school放学后 do kung fu打中国功夫come and show us来给我们表演 4. play the drum敲鼓play the piano弹钢琴 play the violin拉小提琴 5. be good with善于应付(处理)…的;和某人相处很好 make friends结交朋友help sb. with sth在某方面帮助某人 on the weekend在周末help with...帮助做…… be free /busy有空/很忙call sb. at…拨打某人的……号码 need sb./sth. to do…需要某人/某物做…… English-speaking students说英语的学生join…… the club加入…俱乐部,be in=join in …成为…中的一员 三、关键句型 1. Can you draw? Yes, I can. / No, I can’t. 2. What club do you want to join? I want to join the chess club. 3. You can join the English club. Sounds good. 4. I can speak English and I can also play soccer. 5. Please call Mrs. Miller at 555-3721. ◆话题写作

(完整word版)空间点线面之间位置关系知识点总结,推荐文档

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章 空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线 称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这 些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. (二)空间几何体的三视图与直观图 1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法:在坐标系'''x o y 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线段长度减半。 重点记忆:直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602 n R S lr π==扇形(其中l 表示弧长,r 表示半径) 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 1 3 V S h =?底 ③台体的体积 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上( ④球体的体积 343 V R π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2π2π2π2r rl S +=

(精编)点线面之间的位置关系测试题)

点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点,则下列命题正确的是( ) ( A )过只能作一条直线与平面相交 ( B )过可作无数条直线与平面 垂直 (C )过只能作一条直线与平面平行 (D )过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线,α为平面,且l ⊥α,给出下列命题 ① 若m ⊥α,则m ∥l ;②若m ⊥l ,则m ∥α;③若m ∥α,则m ⊥l ;④若m ∥l ,则m ⊥α, 其中真命题... 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3.设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2,底面边长为3,E 是SA 的中点,则异面直线BE 与SC 所成的角是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 4.如图所示,在正方形ABCD 中, E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起,使A 、B 、C 三点重合,重合后的点记为P .那么,在四面体P —DEF 中,必有 ( ) 5.下列说法正确的是( ) A .若直线平行于平面内的无数条直线,则 B .若直线在平面外,则 C .若直线,,则 D .若直线,,则直线就平行于平面内的无数条直线 6.在下列条件中,可判断平面与平面平行的是( ) A .、都垂直于平面 B .内存在不共线的三点到平面的距离相等 C .、是内两条直线,且, D .、是两条异面直线,且,,, 7.已知直线a ∥平面α,直线b ?α,则a 与b 的关系为( ) A .相交 B .平行 C .异面 D .平行或异面1.设M 表示平面,a 、b 表示直线,给出下列四个命题: ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当点D 到平面ABC 的距离最大时, 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 ( ) A . 90 B . 60 C . 45 D . 30 第4题图

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ,A ∈α ,B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么L A · α C · B · A · α P · α L β

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0,); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2

人教版七年级下册各单元知识点总结

Unit 1 Can you play the guitar? 一短语归纳 1.speak English/Chinese 说英语/汉语 2. what club /sports 什么俱乐部/运动 3.play the guitar/ piano/drums/ violin 弹吉它/弹钢琴/敲鼓/拉小提琴 4. play chess/ basketball/ volleyball/ soccer 下国际象棋/ 打篮球/排球/足球 5.tell stories 讲故 6. the art/chess/swimming/sports/ story telling/English club 艺术/国际象棋/游泳/体育/讲故事/英语俱乐部 7.school show 学校演出 8.sound good听起来不错 9.teach music 教音乐 10.do kung fu 练(中国) 功夫 11.make friends(with sb.)( 结交朋友) 12.on the weekend/on weekends在周末 https://www.doczj.com/doc/3f1839265.html,e and show us 来给我们表演 15.write stories 写故事 16.after school 放学后 17.English-speaking students说英语的学生 18.play games 做游戏

19.the Students’Sports Center学生运动中心 20.at the old people’s home在老人之家 21.be in our school music festival 参加学校音乐节 22.jion the music club加入音乐俱乐部 二用法集萃 1. play +棋类/球类下……棋,打……球 2. play the +乐器弹/拉……乐器 3. be good at doing sth.擅长做某事 be good for.. 对…有好处be good /kind to …对…友好 4. be good with sb. 和某人相处地好; 善于应付(处理)… 5. need(sb./sth.)to do… 需要(某人/某物)做…. 6. can + 动词原形能/会做某事 7. a little + 不可数名词: 一点儿…… 9. like to do sth.或like doing sth. 喜欢做某事 10.want to do…想做…… 11.What about…?…怎么样?(后面接Ving/代词/名词) 12. talk用法: talk to/with sb. 跟某人说话 talk about sth. 谈论某事 tell 用法:tell sb sth. 告诉某人某事 tell sb to do sth 告诉某人去做某事 tell stories 讲故事

点线面位置关系知识点小结(可编辑修改word版)

点线面位置关系知识点小结

a α α 考纲要求 了解空两条直线的位置关系,掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念 了解空间直线和平面的位置关系,掌握直线和平面平行的判定定理 和性质定理,理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理,掌握斜线 在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念, 了解三垂线定理及其逆定理 了解平面与平面的位置关系,掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 (1) 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 a a ?, a = A , a // a α A

a ? ? (2) 直线与平面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 a α 符号表示: b β => a∥α a∥b 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = a∥ α b∥α0 β∥α (3) 直线与平面、平面与平面平行性质 〖直线与平面平行的性质定理〗 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. a // a ? ? ? ? a // b = b ? 平面与平面平行的性质定理:当两个平行平面和第三个平面都相交时,两条交线平行。简言之,“面面平行,则线线平行.” 用符号语言表示性质定理: / / } ? a / /b α b P ?= a ,?= b

点线面位置关系(知识点加典型例题)

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点:空间直线、平面的位置关系。 难点:三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)的转换 2、三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ,A∈α ,B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 (4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等. 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 L A · α C · B · A · α P · α L β

3、异面直线所成角θ的范围是 00 <θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0,); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 共面直线 =>a ∥c 2

新部编二年级语文(下册)各单元知识点归纳总结

新部编版二年级语文下册各单元知识点归纳总结 第一单元知识小结 一、易读错的字 古诗(shī)村(cūn)居化妆(zhuāng)喝醉(zuì)丝(sī)绦裁(cái)剪 遮(zhē)掩兴致(zhì)茁(zhuó)壮 花籽(zǐ)绚(xuàn)丽植(zhí)树二、易写错的字 绿:右边的“录”,下面不是“水”。 柳:右边是“卯”,不要丢掉第七笔“丿”。 格:右边是“各”,不是“名”。 局:下面不是“可”。 三、会写词语 古诗村居儿童碧绿 化妆丝带剪刀冲出 寻找姑娘吐丝柳枝 荡秋千鲜花桃花杏花 邮递员先生原来大叔 邮局东西太太做客 惊奇去年美好一堆

礼物植树格外 引人注目满意休息树苗 四、多音字 长:cháng(长处) zhǎng(长大) 似:sì(似乎) shì(似的) 冲:chōng(冲锋枪) chòng(冲着) 藏:cáng(捉迷藏) zàng(藏族) 奇:qí(奇怪) jī(奇数) 种:zhǒng(种子) zhòng(栽种) 五、形近字 村(山村)妆(化妆)冲(冲动)树(大数)壮(壮丽)种(种植)桃(桃树)姑(姑娘)车(汽车)跳(跳动)咕(咕咕)东(东西)礼(有礼)植(植物)住(居住)扎(挣扎)值(值日)注(注意) 六、近义词 丝绦—丝带裁—剪奔—跑仔细—细心寻找—寻觅懊丧—沮丧惊奇—诧异格外—特别碧空如洗—万里无云兴致勃勃—兴味盎然 七、反义词 赶紧—迟缓懊丧—兴奋惊奇—平静仔细—马虎害羞—大方探出—缩进茁壮—瘦弱笔直—弯曲

满意—不满 八、词语搭配 1. 动词搭配: (脱掉)棉袄(冲出)家门 (奔向)田野(寻找)春天 2. 形容词搭配: (害羞)的小姑娘(解冻)的小溪 (难忘)的日子(绿油油)的小柏树 (精心)地挑选(兴致勃勃)地挖着 九、词语归类 1. AABB 式的词语: 遮遮掩掩躲躲藏藏叮叮咚咚高高兴兴 快快乐乐 2. ABCC 式的词语: 兴致勃勃人才济济仪表堂堂 十、句子积累 1. 设问句、比喻句:不知细叶谁裁出,二月春风似剪刀。 2. 疑问句、感叹句:这是谁在我家门前种的花?真美啊! 3. 比喻句:一棵绿油油的小柏树栽好了,就像战士一样笔直地站在那里。 十一、考点提示 1. 背诵:《村居》《咏柳》《赋得古原草送别(节选)》。 2. 理解《村居》《咏柳》所描绘的春天的景象。

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义:平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面 通常画成一个平行四边形,锐角画成45°,且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示,如平面a、平面B等,也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。符号表示为:A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。 公理2作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。符号表示为:P€aQB => aPp =L,且P€ L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系: f相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a、b、c是三条直线 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4注意点: ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与0的选择无关,为简便,点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0,); ③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a丄b; a// b 2公理4:平行 =>a // c

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(1)

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为 简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

点线面之间的位置关系的知识点汇总

点线面之间的位置关系的知识点汇总

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高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4:平行于 c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2

三年级语文下册各单元知识点归纳

部编版三年级下册语文第一单元单元知识小结一、易读错的字 惠崇(chóng)芦芽(yá)泥融(róng)鸳鸯(yuān yāng)减(jiǎn)少河豚(tún)伶(líng)俐掠(lüè)过 荡漾(yàng)几痕(hén)形(xíng)成沾(zhān)水 闲散(sǎn)凑(còu)成饱胀(zhàng)破裂(liè) 姿势(zīshì)随(suí)风仿(fǎng)佛昆(kūn)虫 款(kuǎn)款地瞎(xiā)子备忘录(lù)黑绸(chóu) 二、易写错的字 融:左下里面是“点、撇、横、竖”; 崇:上下结构,下面是“宗”; 聚:上下结构,下面是“”; 倦:右下部分是“”,不要写成“巳”; 瓣:左中右结构,中间是“瓜”; 露:上面的雨字头写法为“”。 三、重点词语 融化燕子鸳鸯优惠崇高芦芽梅花 小溪广泛减法绝句杜甫花草春风 取长补短凑成吹拂聚拢赶集形成 掠过偶尔沾水疲倦纤细痕迹乌黑 剪刀活泼春日轻风洒落加入春光 湖面电线花瓣莲蓬饱胀破裂姿势

仿佛 随风 舞蹈 停止 荷花 清香 赶紧 圆盘 眼前 画家 本领 飘动 了不起 花骨朵儿 四、多音字 行?????x íng (行走) h áng (银行) 得?????d é(得到)d ěi (我得) 地? ????d ì(地球)de (高兴地) 杆?????g ān (电线杆)g ǎn (枪杆儿) 散?????s ǎn (闲散)s àn (散步) 圈?????qu ān (圆圈)ju àn (羊圈) 佛?????f ú(仿佛)f ó(佛像) 挨?????āi (挨着)ái (挨冻) 骨?????ɡū(花骨朵)ɡǔ(骨头) 蚂?????m à(蚂蚱)m ā(蚂螂)m ǎ(蚂蚁) 五、形近字 ? ????牙(牙齿)芽(芦芽) ?????芦(芦芽)庐(庐山) ?????沾(沾水)粘(糖粘牙) ?????瓣(花瓣)辨(分辨) ?????胀(饱胀)账(账目)) ?????蓬(莲蓬)篷(帐篷) ? ????姿(姿势)资(资助) ?????佛(仿佛)拂(拂尘) ?????斑(斑纹)班(班级) ?????距(距离)巨(巨大 ?????绸(绸缎)稠(稠密) ?????膜(膜翅)馍(馍馍) 六、近义词 融—溶 暖—热 满—遍 欲—想 尽—完 添—增 偶尔—偶然 轻快—轻盈 平添—增添 聚拢—聚集 姿势—姿态

高中数学空间点线面之间的位置关系讲义

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义: 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理: 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α

四、等角定理: 五、异面直线所成的角 1.定义: 2.范围: 3.图形表示 4.垂直: 六、典型例题

1.下面推理过程,错误的是( ) (A ) αα??∈A l A l ,// (B ) ααα??∈∈∈l B A l A ,, (C ) AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, (D ) βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2.一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( ) (A )1个或3个 (B )1个或4个 (C )3个或4个 (D )1个、3个或4个 3.以下命题正确的有( ) (1)若a ∥b ,b ∥c ,则直线a ,b ,c 共面; (2)若a ∥α,则a 平行于平面α内的所有直线; (3)若平面α内的无数条直线都与β平行,则α∥β; (4)分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个 4.正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 6 (D ) 12 5.以下命题中为真命题的个数是( ) (1)若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则直线l ∥α; (2)若直线a 在平面α外,则a ∥α; (3)若直线a ∥b ,α?b ,则a ∥α; (4)若直线a ∥b ,α?b ,则a 平行于平面α内的无数条直线。 (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个 6.若三个平面两两相交,则它们的交线条数是( ) (A ) 1条 (B ) 2条 (C ) 3条 (D )1条或3条 7.若直线l 与平面α相交于点O ,l B A ∈,,α∈D C ,,且BD AC //,则O,C,D 三点的位置关系是 。 8.在空间中, ① 若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 (把符合要求的命题序号填上) 9.已知长方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别是1BB 和BC 的中点,AB=4,AD=2,1521=BB ,求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点,P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面;(2)若1A C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线.

【练习】高中数学空间中点线面的位置关系练习题

空间中点线面的位置关系练习题 1、下列有关平面的说法正确的是( ) A 一个平面长是10cm ,宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α,则: ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是( ) A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分( ) A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 、R 分别是AB 、 AD 、1B 1C 1的中点,则,正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 ( ) A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交,交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点,则这条直线在这个平面内②过两条相交直线A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ?

的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点,则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面,其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与直线BD 异面且成600角的面对角线有( )条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点,下列说法中不正确的是( ) A.若AC 和BD 共面,则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线 C.若AB =AC ,DB =DC ,则AD =BC D.若AB =BC =CD =DA ,则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中,各边及对角线长都相等,若E 、 F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角 为( ) A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线,给出四个论断:①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //,以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题—————————————————— S C A B E F

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